Valori medii. Formula medie aritmetică

Cel mai comun tip de medie este media aritmetică.

Media aritmetică simplă

O medie aritmetică simplă este termenul mediu, pentru a determina care volumul total a acestei caracteristiciîn date este distribuit în mod egal între toate unitățile incluse în populația dată. Astfel, producția medie anuală per angajat este cantitatea de producție care ar fi produsă de fiecare angajat dacă întregul volum de producție ar fi distribuit în mod egal între toți angajații organizației. Valoarea medie aritmetică simplă se calculează folosind formula:

Media aritmetică simplă— Egal cu raportul dintre suma valorilor individuale ale unei caracteristici și numărul de caracteristici în agregat

Exemplul 1 . O echipă de 6 muncitori primește 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 mii de ruble pe lună.

Găsiți salariul mediu
Rezolvare: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mii de ruble.

Media aritmetică ponderată

Dacă volumul setului de date este mare și reprezintă o serie de distribuție, atunci se calculează media aritmetică ponderată. Astfel se determină prețul mediu ponderat pe unitatea de producție: cost total produse (suma produselor cantității sale și prețul unei unități de producție) se împarte la cantitatea totală de produse.

Să ne imaginăm acest lucru sub forma următoarei formule:

Media aritmetică ponderată— egal cu raportul dintre (suma produselor valorii unei trăsături la frecvența de repetare a acestei trăsături) la (suma frecvențelor tuturor trăsăturilor). Se utilizează atunci când apar variante ale populației studiate un număr inegal de ori.

Exemplul 2 . Găsiți salariul mediu lunar al lucrătorilor atelierului

Salariul mediu se poate obține prin împărțirea totalului salariile pe numărul total muncitorii:

Răspuns: 3,35 mii de ruble.

Media aritmetică pentru serii de intervale

Când calculați media aritmetică pentru o serie de variații de interval, mai întâi determinați media pentru fiecare interval ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare și apoi media întregii serii. În cazul intervalelor deschise, valoarea intervalului inferior sau superior este determinată de mărimea intervalelor adiacente acestora.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative.

Exemplul 3. Defini varsta medie elevii de seară.

Mediile calculate din serii de intervale sunt aproximative. Gradul de aproximare a acestora depinde de măsura în care distribuția reală a unităților de populație în cadrul intervalului se apropie de distribuția uniformă.

Când se calculează medii, nu numai absolute, ci și valori relative(frecvență):

Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculele:

1. Produsul mediei prin suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantei după frecvențe, adică.

2. Mediu suma aritmetică mărimi variabile este egală cu suma mediilor aritmetice ale acestor mărimi:

3. Suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici de la medie este egală cu zero:

4. Suma abaterilor la pătrat ale opțiunilor de la medie este mai mică decât suma abaterilor la pătrat de la orice altă valoare arbitrară, adică.

În procesul de studiere a matematicii, școlarii se familiarizează cu conceptul de medie aritmetică. În viitor, în statistică și în alte științe, studenții se confruntă cu calculul altora.Ce pot fi ei și în ce se deosebesc unul de celălalt?

sens și diferențe

Indicatorii precisi nu oferă întotdeauna o înțelegere a situației. Pentru a evalua o anumită situație, uneori este necesar să se analizeze un număr mare de cifre. Și apoi mediile vin în ajutor. Ele ne permit să evaluăm situația în ansamblu.

Încă din timpul școlii, mulți adulți își amintesc existența mediei aritmetice. Este foarte simplu de calculat - suma unei secvențe de n termeni este împărțită la n. Adică, dacă trebuie să calculați media aritmetică în succesiunea valorilor 27, 22, 34 și 37, atunci trebuie să rezolvați expresia (27+22+34+37)/4, deoarece 4 valori sunt utilizate în calcule. ÎN în acest caz, valoarea cerută va fi egală cu 30.

Media geometrică este adesea studiată ca parte a unui curs școlar. Calculul acestei valori se bazează pe extragerea rădăcinii a n-a a produsului din n termeni. Dacă luăm aceleași numere: 27, 22, 34 și 37, atunci rezultatul calculelor va fi egal cu 29,4.

Media armonică nu este de obicei un subiect de studiu în școlile secundare. Cu toate acestea, este folosit destul de des. Această valoare este inversul mediei aritmetice și se calculează ca coeficientul lui n - numărul de valori și suma 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. Dacă o luăm din nou pe aceeași pentru calcul, atunci armonica va fi 29,6.

Media ponderată: caracteristici

Cu toate acestea, este posibil ca toate valorile de mai sus să nu fie folosite peste tot. De exemplu, în statistici, atunci când se calculează unele, „greutatea” fiecărui număr folosit în calcule joacă un rol important. Rezultatele sunt mai orientative și mai corecte deoarece țin cont de mai multe informații. Acest grup de cantități este denumirea comună "medie ponderată„Nu se predau la scoala, asa ca merita sa le privim mai in detaliu.

În primul rând, merită să spuneți ce se înțelege prin „greutatea” unei anumite valori. Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este exemplu concret. De două ori pe zi în spital se măsoară temperatura corpului fiecărui pacient. Din 100 de pacienți din diferite secții ale spitalului, 44 vor avea temperatura normala- 36,6 grade. Alte 30 vor avea o valoare crescută - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, iar restul de două - 40. Și dacă luăm media aritmetică, atunci această valoare în general pentru spital va fi mai mare de 38. grade! Dar aproape jumătate dintre pacienți au absolut Și aici ar fi mai corect să folosiți o valoare medie ponderată, iar „greutatea” fiecărei valori va fi numărul de persoane. În acest caz, rezultatul calculului va fi de 37,25 grade. Diferența este evidentă.

În cazul calculelor medii ponderate, „greutatea” poate fi luată ca fiind numărul de expedieri, numărul de persoane care lucrează într-o anumită zi, în general, orice poate fi măsurat și poate afecta rezultatul final.

Soiuri

Media ponderată este legată de media aritmetică discutată la începutul articolului. Cu toate acestea, prima valoare, așa cum sa menționat deja, ia în considerare și ponderea fiecărui număr utilizat în calcule. În plus, există și valori geometrice și armonice ponderate.

Există o altă variație interesantă folosită în seria de numere. Aceasta este o medie mobilă ponderată. Pe această bază sunt calculate tendințele. Pe lângă valorile în sine și greutatea lor, acolo se utilizează și periodicitatea. Și atunci când se calculează valoarea medie la un moment dat, se iau în considerare și valorile pentru perioadele de timp anterioare.

Calcularea tuturor acestor valori nu este atât de dificilă, dar în practică se folosește de obicei doar media ponderată obișnuită.

Metode de calcul

În era informatizării larg răspândite, nu este nevoie să se calculeze manual media ponderată. Cu toate acestea, ar fi util să cunoașteți formula de calcul pentru a putea verifica și, dacă este cazul, ajusta rezultatele obținute.

Cel mai simplu mod este să luați în considerare calculul folosind un exemplu specific.

Este necesar să aflați care este salariul mediu la această întreprindere, ținând cont de numărul de lucrători care primesc unul sau altul salariu.

Deci, media ponderată se calculează folosind următoarea formulă:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

De exemplu, calculul ar fi astfel:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Evident nu dificultăți deosebite pentru a calcula manual media ponderată. Formula de calcul a acestei valori este una dintre cele mai multe aplicații populare cu formule - Excel - arată ca funcția SUMPRODUCT (seria de numere; serie de greutăți)/SUM (seria de greutăți).

Cea mai comună formă de indicatori statistici utilizată în cercetarea socio-economică este media, care este generalizată caracteristici cantitative semn populaţia statistică. Valorile medii sunt, parcă, „reprezentanți” întregii serii de observații. În multe cazuri, media poate fi determinată prin raportul mediu inițial (ARR) sau prin formula sa logică: . Deci, de exemplu, pentru a calcula salariul mediu al angajaților unei întreprinderi, este necesar să se împartă fondul total de salarii la numărul de angajați: numărătorul raportului inițial al mediei este indicatorul definitoriu al acestuia. Pentru salariile medii, un astfel de indicator determinant este fondul de salarii. Pentru fiecare indicator utilizat în analiza socio-economică, poate fi compilat un singur raport inițial adevărat pentru a calcula media. Mai trebuie adăugat că pentru a estima mai exact deviație standard pentru mostre mici (cu numărul de elemente mai mic de 30), expresia de sub rădăcină nu trebuie utilizată la numitor n, A n- 1.

Concept și tipuri de medii

Valoarea medie- acesta este un indicator general al unei populații statistice care elimină diferențele individuale în valorile cantităților statistice, permițându-vă să comparați diferite populații între ele. Există 2 clase valori medii: putere şi structurală. Mediile structurale includ Modă Și median , dar cel mai des folosit medii de puteretipuri variate.

Mediile de putere

Mediile de putere pot fi simpluȘi ponderat.

O medie simplă se calculează atunci când există două sau mai multe valori statistice negrupate, dispuse în ordine aleatorie conform următoarelor formula generala legea puterii medii (pentru diferite valori ale lui k (m)):

Media ponderată este calculată din statisticile grupate folosind următoarea formulă generală:

Unde x - valoarea medie a fenomenului studiat; x i – versiunea a i-a a caracteristicii medii;

f i – ponderea opțiunii i-a.

Unde X sunt valorile valorilor statistice individuale sau mijlocul intervalelor de grupare;
m este un exponent, a cărui valoare determină următoarele tipuri de medii de putere:
când m = -1 medie armonică;
la m = 0 medie geometrică;
cu m = 1 medie aritmetică;
când m = 2 pătrat mediu;
la m = 3 media este cubica.

Folosind formule generale pentru medii simple și ponderate pentru diferiți exponenți m, obținem formule particulare de fiecare tip, care vor fi discutate în detaliu mai jos.

Media aritmetică

Media aritmetică – momentul inițial prima comanda, valorea estimata valorile variabilă aleatorie s la un numar mare testare;

Media aritmetică este valoarea medie cel mai frecvent utilizată, care se obține prin înlocuirea m=1 în formula generală. Media aritmetică simplu are următoarea formă:

sau

Unde X sunt valorile cantităților pentru care trebuie calculată valoarea medie; N este numărul total de valori X (numărul de unități din populația studiată).

De exemplu, un elev a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. Să calculăm scorul mediu folosind formula medie aritmetică simplă: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Media aritmetică ponderat are următoarea formă:

Unde f este numărul de mărimi cu aceeași valoare X (frecvență). >De exemplu, un student a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. Să calculăm scorul mediu folosind formula medie aritmetică ponderată: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . Dacă valorile X sunt specificate ca intervale, atunci punctele de mijloc ale intervalelor X sunt utilizate pentru calcule, care sunt definite ca jumătate de suma limitelor superioare și inferioare ale intervalului. Iar dacă intervalul X nu are un sau mai mic Limita superioară(interval deschis), apoi pentru a-l găsi, utilizați intervalul (diferența dintre limitele superioare și inferioare) intervalului adiacent X. De exemplu, o întreprindere are 10 angajați cu până la 3 ani de experiență, 20 cu 3 până la 5 ani de experiență, 5 angajați cu mai mult de 5 ani de experiență. Apoi calculăm vechimea medie a angajaților folosind formula medie aritmetică ponderată, luând ca X punctul de mijloc al intervalelor de vechime în muncă (2, 4 și 6 ani): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 ani.

Funcția AVERAGE

Această funcție calculează media (aritmetica) argumentelor sale.

MEDIE(număr1; număr2; ...)

Number1, number2, ... sunt de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează media.

Argumentele trebuie să fie numere sau nume, matrice sau referințe care conțin numere. Dacă argumentul, care este o matrice sau o referință, conține texte, valori booleene sau celule goale, atunci astfel de valori sunt ignorate; cu toate acestea, celulele care conțin valori zero sunt numărate.

Funcția AVERAGE

Calculează media aritmetică a valorilor date în lista de argumente. Pe lângă numere, calculul poate include text și valori logice, cum ar fi TRUE și FALSE.

MEDIE(valoare1,valoare2,...)

Valoarea1, valoarea2,... sunt de la 1 la 30 de celule, intervale de celule sau valori pentru care se calculează media.

Argumentele trebuie să fie numere, nume, matrice sau referințe. Matricele și legăturile care conțin text sunt interpretate ca 0 (zero). Textul gol ("") este interpretat ca 0 (zero). Argumentele care conțin valoarea TRUE sunt interpretate ca 1, Argumentele care conțin valoarea FALSE sunt interpretate ca 0 (zero).

Media aritmetică este folosită cel mai des, dar există momente când este necesară utilizarea altor tipuri de medii. Să luăm în considerare astfel de cazuri în continuare.

Mijloace armonică

Mijloc armonic pentru a determina suma medie a reciprocelor;

Mijloace armonică este utilizat atunci când datele sursă nu conțin frecvențele f pentru valorile individuale X, ci sunt prezentate ca produsul lor Xf. După ce am desemnat Xf=w, exprimăm f=w/X și, înlocuind aceste notații în formula pentru media ponderată aritmetică, obținem formula pentru media ponderată armonică:

Astfel, media armonică ponderată este utilizată atunci când frecvențele f sunt necunoscute și w=Xf este cunoscut. În cazurile în care toate w = 1, adică valorile individuale ale lui X apar o dată, se aplică formula primelor armonice medii: sau De exemplu, o mașină se deplasa din punctul A în punctul B cu o viteză de 90 km/h și înapoi cu o viteză de 110 km/h. Pentru a determina viteza medie, aplicăm formula pentru armonica medie simplă, deoarece în exemplu este dată distanța w 1 =w 2 (distanța de la punctul A la punctul B este aceeași ca de la B la A), care este egal cu produsul dintre viteză (X) și timp (f). Viteza medie = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Funcția SGARM

Returnează media armonică a unui set de date. Media armonică este reciproca mediei aritmetice a reciprocelor.

SRGARM(număr1,număr2, ...)

Number1, number2, ... sunt de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează media. Puteți utiliza o matrice sau o referință de matrice în loc de argumente separate prin punct și virgulă.

Media armonică este întotdeauna mai mică decât media geometrică, care este întotdeauna mai mică decât media aritmetică.

Medie geometrică

Medie geometrică pentru estimarea ratei medii de creștere a variabilelor aleatoare, aflarea valorii unei caracteristici echidistante de valorile minime și maxime;

Medie geometrică utilizate la determinarea modificărilor relative medii. Media geometrică oferă cel mai precis rezultat de mediere dacă sarcina este de a găsi o valoare a lui X care ar fi echidistantă de valorile maxime și minime ale lui X. De exemplu, între 2005 și 2008indicele de inflatie în Rusia a fost: în 2005 - 1.109; în 2006 - 1.090; în 2007 - 1.119; în 2008 - 1.133. Întrucât indicele de inflație este o modificare relativă (indice dinamic), valoarea medie trebuie calculată folosind media geometrică: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, adică pentru perioada din 2005 până în 2008 preţurile au crescut anual cu o medie de 11,26%. Un calcul eronat folosind media aritmetică ar da un rezultat incorect de 11,28%.

Funcția SRGEOM

Returnează media geometrică a unei matrice sau a unui interval de numere pozitive. De exemplu, funcția SRGEOM poate fi utilizată pentru a calcula rata medie de creștere dacă este specificat venitul compus cu rate variabile.

SRGEOM (număr1; număr2; ...)

Number1, number2, ... sunt de la 1 la 30 de argumente pentru care se calculează media geometrică. Puteți utiliza o matrice sau o referință de matrice în loc de argumente separate prin punct și virgulă.

Medie pătrată

Pătrat mediu – momentul inițial de ordinul doi.

Medie pătrată utilizat în cazurile în care valorile inițiale ale lui X pot fi atât pozitive, cât și negative, de exemplu, la calcularea abaterilor medii. Aplicația principală a mediei pătratice este măsurarea variației valorilor X.

Cubic mediu

Cubicul mediu este momentul inițial de ordinul trei.

Cubic mediu este folosit extrem de rar, de exemplu, la calcularea indicilor de sărăcie pentru țările în curs de dezvoltare (TIN-1) și pentru cele dezvoltate (TIN-2), propuși și calculați de ONU.

În statistici, sunt utilizate diferite tipuri de medii, care sunt împărțite în două clase mari:

Mijloace de putere (media armonică, medie geometrică, medie aritmetică, medie pătratică, medie cubică);

Mijloace structurale (mod, mediană).

A calcula medii de putere este necesar să se utilizeze toate valorile caracteristice disponibile. ModăȘi median sunt determinate numai de structura distribuției, de aceea se numesc medii structurale, poziționale. Mediana și modul sunt adesea folosite ca caracteristica medieîn acele populații în care calcularea legii puterii medii este imposibilă sau nepractică.

Cel mai comun tip de medie este media aritmetică. Sub medie aritmetică se înțelege ca valoarea unei caracteristici pe care ar avea-o fiecare unitate a populației dacă suma totală a tuturor valorilor caracteristicii ar fi distribuită uniform între toate unitățile populației. Calculul acestei valori se reduce la însumarea tuturor valorilor caracteristicii variabile și la împărțirea sumei rezultate la numărul total de unități din populație. De exemplu, cinci muncitori au îndeplinit o comandă pentru producția de piese, în timp ce primul a făcut 5 piese, al doilea – 7, al treilea – 4, al patrulea – 10, al cincilea – 12. Întrucât în ​​datele sursă valoarea fiecăruia opțiunea a apărut o singură dată, pentru a determina

Pentru a determina producția medie a unui lucrător, ar trebui să aplicați formula medie aritmetică simplă:

adică, în exemplul nostru, producția medie a unui lucrător este egală cu

Împreună cu media aritmetică simplă, ei studiază medie aritmetică ponderată. De exemplu, să calculăm vârsta medie a elevilor dintr-un grup de 20 de persoane, ale căror vârste variază între 18 și 22 de ani, unde xi– variantele caracteristicii care se fac media, fi– frecvența, care arată de câte ori apare i-a valoarea în agregat (Tabelul 5.1).

Tabelul 5.1

Vârsta medie a elevilor

Aplicând formula mediei aritmetice ponderate, obținem:

Pentru a selecta o medie aritmetică ponderată, există o anumită regulă: dacă există o serie de date pe doi indicatori, pentru unul dintre care este necesar să se calculeze

valoarea medie și, în același timp, sunt cunoscute valorile numerice ale numitorului formulei sale logice, iar valorile numărătorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca produs al acestor indicatori, atunci valoarea medie ar trebui să se calculează folosind formula medie ponderată aritmetică.

În unele cazuri, natura datelor statistice inițiale este de așa natură încât calculul mediei aritmetice își pierde sensul și singurul indicator de generalizare nu poate fi decât un alt tip de valoare medie - medie armonică.În prezent, proprietățile de calcul ale mediei aritmetice și-au pierdut relevanța în calculul indicatorilor statistici generali, datorită introducerii pe scară largă a tehnologiei de calcul electronic. Valoarea medie armonică, care poate fi și simplă și ponderată, a căpătat o mare importanță practică. Dacă sunt cunoscute valorile numerice ale numărătorului unei formule logice, iar valorile numitorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca o împărțire parțială a unui indicator cu altul, atunci valoarea medie este calculată folosind armonica formula medie ponderată.

De exemplu, să se știe că mașina a parcurs primii 210 km cu o viteză de 70 km/h, iar restul de 150 km cu o viteză de 75 km/h. Este imposibil să se determine viteza medie a unei mașini pe întreaga călătorie de 360 ​​km folosind formula medie aritmetică. Deoarece opțiunile sunt viteze în secțiuni individuale xj= 70 km/h și X2= 75 km/h, iar greutățile (fi) sunt considerate a fi secțiunile corespunzătoare ale traseului, atunci produsele opțiunilor și greutățile nu vor avea nici semnificație fizică, nici economică. În acest caz, coeficientii dobândesc semnificație din împărțirea secțiunilor traseului în viteze corespunzătoare (opțiunile xi), adică timpul petrecut cu trecerea secțiunilor individuale ale traseului (fi / xi). Dacă segmentele căii sunt notate cu fi, atunci întregul drum va fi exprimat ca?fi, iar timpul petrecut pe întreaga cale va fi exprimat ca?fi. fi / xi , Apoi viteza medie poate fi găsită ca coeficientul întregii trasee împărțit la timpul total petrecut:

În exemplul nostru obținem:

Dacă, atunci când utilizați media armonică, ponderile tuturor opțiunilor (f) sunt egale, atunci în locul celei ponderate puteți utiliza medie armonică simplă (neponderată):

unde xi sunt opțiuni individuale; n– numărul de variante ale caracteristicii care se face media. În exemplul de viteză, media armonică simplă ar putea fi aplicată dacă segmentele de cale parcurse la viteze diferite ar fi egale.

Orice valoare medie trebuie calculată astfel încât atunci când înlocuiește fiecare variantă a caracteristicii medii, valoarea unui indicator final, general, care este asociat cu indicatorul mediu, să nu se modifice. Astfel, la înlocuirea vitezelor reale pe secțiuni individuale ale traseului cu valoarea lor medie (viteza medie), distanța totală nu ar trebui să se modifice.

Forma (formula) valorii medii este determinată de natura (mecanismul) relației acestui indicator final cu cel mediat, prin urmare indicatorul final, a cărui valoare nu ar trebui să se modifice la înlocuirea opțiunilor cu valoarea lor medie, este numit indicator definitoriu. Pentru a obține formula pentru medie, trebuie să creați și să rezolvați o ecuație folosind relația dintre indicatorul mediat și cel determinant. Această ecuație se construiește prin înlocuirea variantelor caracteristicii (indicatorului) care se face media cu valoarea medie a acestora.

Pe lângă media aritmetică și media armonică, în statistică sunt folosite și alte tipuri (forme) de medie. Toate sunt cazuri speciale putere medie. Dacă calculăm toate tipurile de medii de putere pentru aceleași date, atunci valorile

se vor dovedi a fi la fel, aici se aplică regula major-rata in medie. Pe măsură ce exponentul mediei crește, valoarea medie în sine crește. Cele mai frecvent utilizate formule pentru calcularea diferitelor tipuri de medii de putere în cercetarea practică sunt prezentate în Tabel. 5.2.

Tabelul 5.2

Tipuri de mijloace de putere

Media geometrică este folosită atunci când există n coeficienții de creștere, în timp ce valorile individuale ale caracteristicii sunt, de regulă, valori de dinamică relativă, construite sub formă de valori în lanț, ca raport față de nivelul anterior al fiecărui nivel din seria dinamică. Media caracterizează astfel rata medie de creștere. Medie geometrică simplă calculate prin formula

Formulă medie geometrică ponderată are următoarea formă:

Formulele de mai sus sunt identice, dar una se aplică pentru coeficienții sau ratele de creștere actuale, iar a doua se aplică pentru valorile absolute ale nivelurilor de serie.

Medie pătrată utilizat în calcule cu valorile funcțiilor pătratice, utilizat pentru a măsura gradul de fluctuație a valorilor individuale ale unei caracteristici în jurul mediei aritmetice din seria de distribuție și este calculat prin formula

Pătrat mediu ponderat calculat folosind o altă formulă:

Cubic mediu se utilizează la calcularea cu valori ale funcțiilor cubice și se calculează prin formula

Cubic ponderat mediu:

Toate valorile medii discutate mai sus pot fi prezentate ca o formulă generală:

unde este valoarea medie; – sens individual; n– numărul de unități ale populației studiate; k– exponent care determină tipul mediei.

Când utilizați aceleași date sursă, cu atât mai mult kîn formula generală a puterii medii, cu atât valoarea medie este mai mare. De aici rezultă că există o relație naturală între valorile mediilor de putere:

Valorile medii descrise mai sus oferă o idee generalizată a populației studiate, iar din acest punct de vedere, semnificația lor teoretică, aplicată și educațională este incontestabilă. Dar se întâmplă ca valoarea medie să nu coincidă cu niciuna dintre opțiunile existente efectiv, prin urmare, pe lângă mediile considerate, analize statistice Este recomandabil să folosiți valorile opțiunilor specifice care ocupă o poziție bine definită în seria ordonată (clasată) de valori ale atributelor. Dintre aceste cantități, cele mai utilizate sunt structural, sau descriptiv, mediu– mod (Mo) și mediană (Me).

Modă– valoarea unei caracteristici care se găsește cel mai des la o populație dată. În raport cu o serie variațională, modul este valoarea cea mai frecventă a seriei clasate, adică opțiunea cu cea mai mare frecvență. Moda poate fi folosită în determinarea magazinelor care sunt vizitate mai des, cel mai frecvent preț pentru orice produs. Ea arată dimensiunea unei caracteristici caracteristice unei părți semnificative a populației și este determinată de formulă

unde x0 este limita inferioară a intervalului; h– dimensiunea intervalului; fm– frecvența intervalului; fm_ 1 – frecvența intervalului anterior; fm+ 1 – frecvența intervalului următor.

Median se numește opțiunea situată în centrul rândului clasat. Mediana împarte seria în două părți egale, astfel încât să existe același număr de unități de populație de ambele părți ale acesteia. În acest caz, jumătate din unitățile din populație au o valoare a caracteristicii variabile care este mai mică decât mediana, în timp ce cealaltă jumătate are o valoare mai mare decât aceasta. Mediana este utilizată atunci când se studiază un element a cărui valoare este mai mare sau egală cu, sau în același timp mai mică sau egală cu, jumătate dintre elementele unei serii de distribuție. Mediana dă ideea generala despre unde sunt concentrate valorile atributului, cu alte cuvinte, unde se află centrul lor.

Caracterul descriptiv al mediei se manifestă prin faptul că ea caracterizează limita cantitativă a valorilor unei caracteristici variabile pe care o posedă jumătate din unitățile din populație. Problema găsirii medianei pentru o serie de variații discrete este ușor de rezolvat. Dacă tuturor unităților seriei li se dau numere de serie, atunci numărul de serie al opțiunii mediane este determinat ca (n + 1) / 2 cu un număr impar de membri ai lui n. Dacă numărul de membri ai seriei este un număr par , atunci mediana va fi valoarea medie a două opțiuni care au numere de serie n/ 2 și n/ 2 + 1.

Când se determină mediana în seria de variații de interval, se stabilește mai întâi intervalul în care se află (intervalul median). Acest interval se caracterizează prin faptul că suma sa acumulată de frecvențe este egală cu sau depășește jumătate din suma tuturor frecvențelor seriei. Mediana unei serii de variații de interval este calculată folosind formula

Unde X0– limita inferioară a intervalului; h– dimensiunea intervalului; fm– frecvența intervalului; f– numărul de membri ai seriei;

M -1 – suma termenilor acumulați ai seriei premergătoare celei date.

Împreună cu mediana pentru mai mult caracteristici complete structurile populației studiate folosesc și alte valori ale opțiunilor care ocupă o poziție foarte specifică în seria clasată. Acestea includ quartilesȘi decile. Quartilele împart seria în funcție de suma frecvențelor în 4 părți egale, iar decilele - în 10 părți egale. Există trei quartile și nouă decile.

Mediana și modul, spre deosebire de media aritmetică, nu elimină diferențele individuale ale valorilor unei caracteristici variabile și, prin urmare, sunt caracteristici suplimentare și foarte importante ale populației statistice. În practică, ele sunt adesea folosite în locul mediei sau împreună cu aceasta. Este indicat mai ales să se calculeze mediana și modul în cazurile în care populația studiată conține un anumit număr de unități cu o valoare foarte mare sau foarte mică a caracteristicii variabile. Aceste valori ale opțiunilor, care nu sunt foarte caracteristice populației, deși influențează valoarea mediei aritmetice, nu afectează valorile medianei și ale modului, ceea ce face ca acestea din urmă indicatori foarte valoroși pentru economic și statistic. analiză.

Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în statistici. Valorile medii caracterizează indicatorii calitativi ai activității comerciale: costuri de distribuție, profit, rentabilitate etc.

In medie - Aceasta este una dintre tehnicile comune de generalizare. O înțelegere corectă a esenței mediei determină semnificația sa specială în condiții economie de piata, când media prin individ și aleatoriu ne permite să identificăm general și necesar, să identificăm tendința modelelor de dezvoltare economică.

valoarea medie - sunt indicatori generalizatori în care se exprimă efectele condiţiilor generale şi tiparelor fenomenului studiat.

Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă din observarea de masă organizată corect statistic (continuă și selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculați salariul mediu în cooperative și întreprinderile de stat și extindeți rezultatul la întreaga populație, atunci media este fictivă, deoarece este calculată pentru o populație eterogenă, iar o astfel de medie își pierde orice semnificație.

Cu ajutorul mediei, diferențele în valoarea caracteristicii, care apar dintr-un motiv sau altul în unități individuale de observație.

De exemplu, productivitatea medie a unui agent de vânzări depinde de mai multe motive: calificări, vechime în muncă, vârstă, formă de serviciu, sănătate etc.

Producția medie reflectă proprietatea generală a întregii populații.

Valoarea medie este o reflectare a valorilor caracteristicii studiate, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune cu această caracteristică.

Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de oricare caracteristică. Pentru a obține o înțelegere completă și cuprinzătoare a populației studiate după o serie de caracteristici esențiale, în general este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.

Există diferite medii:

medie aritmetică;

medie geometrică;

medie armonică;

medie pătrată;

cronologic mediu.

Să ne uităm la câteva tipuri de medii care sunt cel mai des folosite în statistici.

Media aritmetică

Media aritmetică simplă (neponderată) este egală cu suma valorilor individuale ale atributului împărțită la numărul acestor valori.

Valorile individuale ale unei caracteristici se numesc variante și sunt notate cu x(); numărul de unități de populație se notează cu n, valoarea medie a caracteristicii se notează cu . Prin urmare, media aritmetică simplă este egală cu:

Conform datelor seriei de distribuție discretă, este clar că aceleași valori caracteristice (variante) se repetă de mai multe ori. Astfel, opțiunea x apare de 2 ori în total, iar opțiunea x de 16 ori etc.

Numărul de valori identice ale unei caracteristici din seria de distribuție se numește frecvență sau greutate și este notat cu simbolul n.

Să calculăm salariul mediu al unui muncitor în rub.:

Fondul de salarii pentru fiecare grup de lucrători este egal cu produsul opțiunilor și frecvența, iar suma acestor produse dă fondul de salarii total al tuturor lucrătorilor.

În conformitate cu aceasta, calculele pot fi prezentate în formă generală:

Formula rezultată se numește medie aritmetică ponderată.

Ca urmare a prelucrării, materialul statistic poate fi prezentat nu numai sub forma unor serii de distribuție discretă, ci și sub forma unor serii de variații de interval cu intervale închise sau deschise.

Media pentru datele grupate este calculată folosind formula medie aritmetică ponderată:

În practica statisticii economice, uneori este necesar să se calculeze media folosind medii de grup sau medii ale părților individuale ale populației (medii parțiale). În astfel de cazuri, mediile de grup sau private sunt luate ca opțiuni (x), pe baza cărora media generală este calculată ca medie aritmetică ponderată obișnuită.

Proprietățile de bază ale mediei aritmetice .

Media aritmetică are o serie de proprietăți:

1. Valoarea mediei aritmetice nu se va modifica de la scăderea sau creșterea frecvenței fiecărei valori a caracteristicii x de n ori.

Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau înmulțite cu orice număr, valoarea medie nu se va modifica.

2. Multiplicatorul comun al valorilor individuale ale unei caracteristici poate fi luat dincolo de semnul mediei:

3. Media sumei (diferenței) a două sau mai multor cantități este egală cu suma (diferența) mediilor lor:

4. Dacă x = c, unde c este o valoare constantă, atunci
.

5. Suma abaterilor valorilor atributului X de la media aritmetică x este egală cu zero:

Mijloace armonică.

Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată.

Caracteristicile seriei de variații, împreună cu mediile, sunt modul și mediana.

Modă - aceasta este valoarea unei caracteristici (variante) care se repetă cel mai des în populația studiată. Pentru seriile de distribuție discretă, modul va fi valoarea variantei cu cea mai mare frecvență.

Pentru serii de distribuție a intervalelor cu intervale egale, modul este determinat de formula:

Unde
- valoarea iniţială a intervalului care conţine modul;

- valoarea intervalului modal;

- frecvenţa intervalului modal;

- frecvenţa intervalului premergător celui modal;

- frecvenţa intervalului următor celui modal.

Median - aceasta este o opțiune situată la mijlocul seriei de variații. Dacă seria de distribuție este discretă și are un număr impar de membri, atunci mediana va fi opțiunea situată la mijlocul seriei ordonate (o serie ordonată este aranjarea unităților populației în ordine crescătoare sau descrescătoare).