Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi să ne oprim asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari, să lucrăm cu baze și exponenți și să folosim proprietățile puterilor.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ce sunt expresiile puterii?
În cursurile școlare, puțini oameni folosesc expresia „expresii puternice”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. În cele mai multe cazuri, o expresie denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.
Definiția 1
Exprimarea puterii este o expresie care conține puteri.
Să dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu puterea cu indicator naturalși se termină cu o diplomă cu un exponent real.
Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Și, de asemenea, puteri cu exponent zero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Și puteri cu puteri întregi negative: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indicatorul poate fi variabila 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau logaritmul x 2 · l g x − 5 · x l g x.
Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să începem să le convertim.
Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii
În primul rând, ne vom uita la transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.
Exemplul 1
Calculați valoarea unei expresii de putere 2 3 (4 2 − 12).
Soluţie
Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. ÎN în acest caz, Vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența a două numere. Avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Tot ce trebuie să facem este să înlocuim gradul 2 3 sensul ei 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.
Răspuns: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .
Exemplul 2
Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Soluţie
Expresia dată nouă în enunțul problemei conține termeni similari pe care îi putem da: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Răspuns: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .
Exemplul 3
Exprimați expresia cu puteri 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.
Soluţie
Să ne imaginăm numărul 9 ca o putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Răspuns: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Acum să trecem la analiza transformărilor identitare care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.
Lucrul cu baza și exponent
Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Şi . Lucrul cu astfel de înregistrări este dificil. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.
Transformările de grad și exponent se realizează conform regulilor cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că transformarea are ca rezultat o expresie identică cu cea originală.
Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul dat mai sus, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 puteți urma pașii pentru a merge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem prezenta termeni similari cu baza puterii (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)și obțineți o expresie de putere de mai mult tip simplu a 2 (x + 1).
Utilizarea proprietăților gradului
Proprietățile puterilor, scrise sub formă de egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu puteri. Vă prezentăm aici pe cele principale, ținând cont de faptul că oŞi b sunt numere pozitive și rŞi s- numere reale arbitrare:
Definiția 2
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m · a n = a m + n, Unde mŞi n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.
Puteți aplica proprietățile puterilor fără restricții în cazurile în care bazele puterilor sunt pozitive sau conțin variabile, zonă valori acceptabile care este de așa natură încât baza pe ea acceptă numai valori pozitive. De fapt, în interior programa școlară la matematică, sarcina elevului este să aleagă o proprietate adecvată și să o aplice corect.
Când vă pregătiți pentru a intra în universități, puteți întâmpina probleme în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a DL și alte dificultăți de rezolvare. În această secțiune vom examina doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre această problemă pot fi găsite în subiectul „Conversia expresiilor folosind proprietățile puterilor”.
Exemplul 4
Imaginează-ți expresia a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 sub forma unei puteri cu o bază o.
Soluţie
În primul rând, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm cel de-al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:
a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .
Răspuns: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea puterilor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.
Exemplul 5
Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Soluţie
Dacă aplicăm egalitatea (a · b) r = a r · b r, de la dreapta la stânga, obținem un produs de forma 3 · 7 1 3 · 21 2 3 și apoi 21 1 3 · 21 2 3 . Să adunăm exponenții la înmulțirea puterilor cu aceleași baze: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Există o altă modalitate de a realiza transformarea:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Exemplul 6
Dată o expresie de putere a 1, 5 − a 0, 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0,5.
Soluţie
Să ne imaginăm gradul a 1, 5 Cum a 0,5 3. Utilizarea proprietății grade în grade (a r) s = a r · s de la dreapta la stânga și obținem (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . Puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă în expresia rezultată t = a 0,5: primim t 3 − t − 6.
Răspuns: t 3 − t − 6 .
Conversia fracțiilor care conțin puteri
De obicei avem de-a face cu două versiuni de expresii de putere cu fracții: expresia reprezintă o fracție cu o putere sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de bază ale fracțiilor sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor sau lucrate separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.
Exemplul 7
Simplificați expresia puterii 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Soluţie
Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Pune un semn minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar în așa fel încât să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.
Exemplul 8
Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor o, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 până la numitorul x + 8 · y 1 2 .
Soluţie
a) Să selectăm un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, prin urmare, ca un factor suplimentar vom lua a 0, 3. Gama de valori permise ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. Licenta in acest domeniu a 0, 3 nu merge la zero.
Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Să fim atenți la numitor:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Să înmulțim această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6, obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6, adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.
Așa am găsit factorul suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori admisibile ale variabilelor xŞi y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Exemplul 9
Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Soluţie
a) Folosim cel mai mare numitor comun (MCG), prin care putem reduce numărătorul și numitorul. Pentru numerele 30 și 45 este 15. Putem face și o reducere de x0,5+1 iar pe x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Primim:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Operațiile de bază cu fracții includ conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, mai întâi fracțiile sunt reduse la un numitor comun, după care se efectuează operații (adunare sau scădere) cu numărătorii. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.
Exemplul 10
Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Soluţie
Să începem prin a scădea fracțiile care sunt în paranteze. Să le aducem la un numitor comun:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Să scădem numărătorii:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Acum înmulțim fracțiile:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Să reducem cu o putere x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Exemplul 11
Simplificați expresia legii puterii x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Soluţie
Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem fracția x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Să continuăm transformarea puterilor lui x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Acum puteți folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Răspuns: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați factorii cu exponenți negativi de la numărător la numitor și înapoi, schimbând semnul exponentului. Această acțiune vă permite să simplificați decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0, 2.
Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri
În probleme există expresii de putere care conțin nu numai puteri cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este indicat să reduceți astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Este de preferat să obțineți diplome, deoarece sunt mai ușor de lucrat cu acestea. Această tranziție este de preferat mai ales atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale.
Exemplul 12
Exprimați expresia x 1 9 · x · x 3 6 ca putere.
Soluţie
Gama de valori ale variabilelor admisibile x este definită de două inegalități x ≥ 0și x x 3 ≥ 0, care definesc mulțimea [ 0 , + ∞) .
Pe acest set avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Folosind proprietățile puterilor, simplificăm expresia puterii rezultată.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Răspuns: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Conversia puterilor cu variabile în exponent
Aceste transformări sunt destul de ușor de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Putem înlocui cu produsul puterilor, ai cărui exponenți sunt suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Acum să împărțim ambele părți ale egalității la 7 2 x. Această expresie pentru variabila x ia doar valori pozitive:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, rezultând ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Să introducem o nouă variabilă t = 5 7 x, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluție ecuație pătratică 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi
În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Un exemplu de astfel de expresii este: 1 4 1 - 5 · log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările și proprietățile logaritmilor discutate mai sus, despre care am discutat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Orice limbă poate exprima aceleași informații cu cuvinte diferite si revolutii. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.
Oamenii comunică mai departe diferite limbi. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „limba rusă - limbă matematică”. Aceeași informații pot fi comunicate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat în moduri diferite într-o singură limbă.
De exemplu: „Petya este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Petya și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar același lucru. Din oricare dintre aceste fraze am înțelege despre ce vorbim.
Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem despre ce vorbim. Cu toate acestea, nu ne place sunetul acestei fraze. Nu putem să o simplificăm, să spunem același lucru, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.
„Băieți”... Nu este clar din numele lor că nu sunt fete? Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petya și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază, lungă și urâtă, a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai simplu, dar nu a pierde sau a distorsiona sensul.
În limbajul matematic, aproximativ același lucru se întâmplă. Același lucru se poate spune, scris diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această varietate trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.
De exemplu, luați în considerare expresie numerică. Va fi echivalent cu .
De asemenea, va fi echivalent cu primele două: 
.
Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.
Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți totul și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.
Să ne uităm la un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.
Când simplificați expresiile literale, este necesar să efectuați toate acțiunile posibile.
Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori ne va fi mai convenabil să avem o intrare echivalentă, dar mai lungă.
Exemplu: trebuie să scazi un număr dintr-un număr.
Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .
Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.
Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.
Simplificați expresia: .
Soluţie
1) Efectuați acțiunile din prima și a doua paranteză: .
2) Să calculăm produsele: .
Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.
Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).
Pentru a determina expresia echivalentă aveți nevoie de:
1) efectuați toate acțiunile posibile,
2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.
Proprietăți de adunare și scădere:
1. Proprietatea comutativă a adunării: rearanjarea termenilor nu modifică suma.
2. Proprietatea combinativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.
3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea o sumă dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen separat.
Proprietăți de înmulțire și împărțire
1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: rearanjarea factorilor nu modifică produsul.
2. Proprietate combinativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.
3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulți cu fiecare termen separat.
Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.
Calcula:
Soluţie
1) Să ne imaginăm cum
2) Să ne imaginăm primul factor ca o sumă termeni de bițiși efectuați înmulțirea:
3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:
4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:
Legea distributivă poate fi folosită și în reversul: .
Urmați acești pași:
1) 
2) 
Soluţie
1) Pentru comoditate, puteți folosi legea distributivă, dar utilizați-o în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.
2) Să scoatem factorul comun din paranteze
Este necesar să cumpărați linoleum pentru bucătărie și hol. Zona bucatarie - , hol - . Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va costa fiecare? trei tipuri linoleum? (Fig. 1)
Orez. 1. Ilustrație pentru enunțul problemei
Soluţie
Metoda 1. Puteți afla separat câți bani va fi nevoie pentru a cumpăra linoleum pentru bucătărie, apoi pe hol și adăugați produsele rezultate.
Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.
De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.
Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
Pentru gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.
De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.
Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:
Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Prin utilizarea proprietate distributivăînmulțirile pot fi convertite (simplificate) într-un polinom, produsul unui monom și al unui polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
De obicei se folosește următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate
Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să se ocupe mai des decât cu alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;
Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja această sarcină la înmulțirea polinoamelor:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei egal cu suma pătrate și dublează produsul.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
Expresii, conversie de expresii
Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor
În acest articol vom vorbi despre conversia expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi deschiderea parantezelor și aducerea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.
Navigare în pagină.
Ce sunt expresiile puterii?
Termenul „expresii de putere” practic nu apare în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecții de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin puteri în intrările lor. Prin urmare, puteți accepta următoarea definiție pentru dvs.:
Definiţie.
Expresii de putere sunt expresii care conțin grade.
Să dăm exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care are loc dezvoltarea vederilor de la un grad cu exponent natural la un grad cu un exponent real.
După cum se știe, mai întâi se familiarizează cu puterea unui număr cu exponent natural în această etapă, primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 apar −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.
Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
În liceu se întorc la grade. Acolo este introdus un grad cu exponent rațional, care presupune apariția expresiilor de putere corespunzătoare: 
, , 
etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .
Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și, de exemplu, apar următoarele expresii: 2 x 2 +1 sau 
. Și după ce ne-am familiarizat cu , încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2·lgx −5·x lgx.
Deci, ne-am ocupat de întrebarea ce reprezintă expresiile puterii. În continuare vom învăța să-i convertim.
Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii
Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari etc. Desigur, în acest caz, este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.
Exemplu.
Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .
Soluţie.
În conformitate cu ordinea de execuție a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea 4 2 cu valoarea sa 16 (dacă este necesar, vezi), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4. Avem 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
În expresia rezultată, înlocuim puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8·4=32. Aceasta este valoarea dorită.
Aşa, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Răspuns:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Exemplu.
Simplificați expresiile cu puteri 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Soluţie.
Evident, această expresie conține termeni similari 3·a 4 ·b −7 și 2·a 4 ·b −7 , și îi putem prezenta: .
Răspuns:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Exemplu.
Exprimați o expresie cu puteri ca produs.
Soluţie.
Puteți face față sarcinii reprezentând numărul 9 ca o putere a lui 3 2 și apoi folosind formula de înmulțire abreviată - diferența de pătrate: 
Răspuns:
Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente în mod specific expresiilor de putere. Le vom analiza mai departe.
Lucrul cu baza și exponent
Există grade a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm intrările (2+0.3·7) 5−3.7 și (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală în ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, după regulile cunoscute de noi, putem transforma separat baza gradului și separat exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie care este identic egală cu cea inițială.
Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte obiective de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2+0.3 7) 5−3.7, puteți efectua operații cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să treceți la puterea 4.1 1.3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari la baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ).
Utilizarea proprietăților gradului
Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți ale puterilor sunt adevărate:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numere naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru pozitiv a, ci și pentru negativ a și pentru a=0.
La școală, accentul principal atunci când transformați expresiile puterii este pe capacitatea de a alege proprietate potrivităși aplicați-l corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite ca proprietățile gradelor să fie utilizate fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele puterilor - intervalul de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile puterilor . În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să utilizați vreo proprietate de grade în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a valorii educaționale și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor. Aici ne vom limita la a lua în considerare câteva exemple simple.
Exemplu.
Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a.
Soluţie.
Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 folosind proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Expresia originală a puterii va lua forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Răspuns:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Proprietățile puterilor la transformarea expresiilor de putere sunt folosite atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.
Exemplu.
Găsiți valoarea expresiei puterii.
Soluţie.
Egalitatea (a·b) r =a r ·b r, aplicată de la dreapta la stânga, ne permite să trecem de la expresia originală la un produs al formei și mai departe. Și la înmulțirea puterilor cu aceleași baze, exponenții se adună: 
.
A fost posibil să se transforme expresia originală într-un alt mod: 
Răspuns:
.
Exemplu.
Având în vedere expresia puterii a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți o nouă variabilă t=a 0,5.
Soluţie.
Puterea a 1,5 poate fi reprezentată ca 0,5·3 și apoi, pe baza proprietății unui grad la puterea (a r) s =a r·s, aplicată de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Astfel, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t=a 0,5, obținem t 3 −t−6.
Răspuns:
t 3 −t−6 .
Conversia fracțiilor care conțin puteri
Expresiile puterii pot conține sau reprezenta fracții cu puteri. La astfel de fracții în la maxim sunt aplicabile oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi reduse, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra aceste cuvinte, luați în considerare soluții pentru mai multe exemple.
Exemplu.
Simplificați exprimarea puterii 
.
Soluţie.
Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător deschidem parantezele și simplificăm expresia rezultată folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari: 
Și să schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: 
.
Răspuns:
.
Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a VA. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.
Exemplu.
Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) 
la numitor.
Soluţie.
a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama care multiplicator suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator de 0,3, deoarece a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), puterea lui 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul unui anumit număr. fracție de acest factor suplimentar: 
b) Aruncând o privire mai atentă la numitor, veți găsi că 
iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.
Așa am găsit un factor suplimentar. În intervalul de valori admisibile ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta: 
Răspuns:
O) 
, b) 
.
De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin puteri: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.
Exemplu.
Reduceți fracția: a) 
, b).
Soluţie.
a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, este evident posibil să se efectueze o reducere cu x 0,5 +1 și cu 
. Iată ce avem: 
b) În acest caz, factori identici la numărător și numitor nu sunt imediat vizibili. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului folosind formula diferenței de pătrate: 
Răspuns:
O) 
b) 
.
Conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt folosite în principal pentru a face lucruri cu fracții. Acţiunile se realizează conform reguli cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea se reduc la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, dar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul acesteia.
Exemplu.
Urmați pașii 
.
Soluţie.
În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este 
, după care scădem numărătorii: 
Acum înmulțim fracțiile: 
Evident, se poate reduce cu o putere de x 1/2, după care avem 
.
De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: 
.
Răspuns:
Exemplu.
Simplificați expresia puterii 
.
Soluţie.
Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția 
. Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui X. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea împărțirii puterilor cu aceleași baze: 
. Și la sfârșitul procesului trecem de la ultimul produs la fracțiune.
Răspuns:
.
Și să mai adăugăm că este posibil, și în multe cazuri de dorit, să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .
Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri
Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, rădăcinile cu exponenți fracționari sunt prezente și ele alături de puteri. Pentru a converti o astfel de expresie în tipul potrivit, în cele mai multe cazuri este suficient să mergi doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, din moment ce este mai convenabil să lucrezi cu puteri, de obicei se mută de la rădăcini la puteri. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articolul tranziția de la rădăcini la puteri și înapoi După ce ne-am familiarizat cu gradul cu un exponent rațional este introdus un grad cu un exponent irațional, ceea ce ne permite să vorbim despre un grad cu un exponent real arbitrar În această etapă, școala începe studiu. functie exponentiala , care este dată analitic de o putere, a cărei bază este un număr, iar exponentul este o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza puterii, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.
Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeŞi inegalități exponențiale , iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează, în cea mai mare parte, introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
În primul rând, puterile, în exponenții cărora este suma unei anumite variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x, care pe ODZ a variabilei x pentru ecuația originală ia doar valori pozitive (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ): 
Acum putem anula fracții cu puteri, ceea ce dă 
.
În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri de relații, rezultând ecuația 
, care este echivalent 
. Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția unei ecuații pătratice
O expresie literală (sau expresie variabilă) este o expresie matematică care constă din numere, litere și simboluri matematice. De exemplu, următoarea expresie este literală:
a+b+4
Folosind expresii alfabetice puteți scrie legi, formule, ecuații și funcții. Abilitatea de a manipula expresii cu litere este cheia unei bune cunoștințe de algebră și matematică superioară.
Orice problemă serioasă la matematică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor. Și pentru a putea rezolva ecuații, trebuie să poți lucra cu expresii literale.
Pentru a lucra cu expresii literale, trebuie să fii bine versat în aritmetica de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, legile de bază ale matematicii, fracții, operații cu fracții, proporții. Și nu doar studiați, ci înțelegeți bine.
Conținutul lecțieiVariabile
Literele care sunt conținute în expresii literale sunt numite variabile. De exemplu, în expresia a+b+ 4 variabile sunt litere oŞi b. Dacă înlocuim orice numere în loc de aceste variabile, atunci expresia literală a+b+ 4 se va transforma într-o expresie numerică a cărei valoare poate fi găsită.
Numerele care sunt înlocuite cu variabile sunt numite valorile variabilelor. De exemplu, să schimbăm valorile variabilelor oŞi b. Semnul egal este folosit pentru a schimba valori
a = 2, b = 3
Am schimbat valorile variabilelor oŞi b. Variabilă o a atribuit o valoare 2 , variabilă b a atribuit o valoare 3 . Ca urmare, expresia literală a+b+4 se transformă într-o expresie numerică regulată 2+3+4 a căror valoare poate fi găsită:
Când variabilele sunt înmulțite, acestea sunt scrise împreună. De exemplu, înregistrați abînseamnă același lucru cu intrarea a×b. Dacă înlocuim variabilele oŞi b numere 2 Şi 3 , apoi obținem 6
De asemenea, puteți scrie împreună înmulțirea unui număr cu o expresie între paranteze. De exemplu, în loc de a×(b + c) poate fi notat a(b + c). Aplicând legea distribuției înmulțirii, obținem a(b + c)=ab+ac.
Cote
În expresiile literale puteți găsi adesea o notație în care un număr și o variabilă sunt scrise împreună, de exemplu 3a. Aceasta este de fapt o scurtătură pentru înmulțirea numărului 3 cu o variabilă. oși această intrare arată ca 3×a .
Cu alte cuvinte, expresia 3a este produsul dintre numărul 3 și variabila o. Număr 3 în această lucrare ei numesc coeficient. Acest coeficient arată de câte ori va fi mărită variabila o. Această expresie poate fi citită ca „ o de trei ori” sau „de trei ori O", sau "creșteți valoarea unei variabile o de trei ori”, dar cel mai adesea citit ca „trei o«
De exemplu, dacă variabila o egal cu 5 , apoi valoarea expresiei 3a va fi egal cu 15.
3 × 5 = 15
Vorbitor într-un limbaj simplu, coeficientul este numărul care vine înaintea literei (înaintea variabilei).
Pot exista mai multe litere, de exemplu 5abc. Aici coeficientul este numărul 5 . Acest coeficient arată că produsul variabilelor abc crește de cinci ori. Această expresie poate fi citită ca „ abc de cinci ori” sau „mărește valoarea expresiei abc de cinci ori” sau „de cinci abc«.
Dacă în loc de variabile abcînlocuiți numerele 2, 3 și 4, apoi valoarea expresiei 5abc va fi egal 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Vă puteți imagina mental cum au fost înmulțite mai întâi numerele 2, 3 și 4, iar valoarea rezultată a crescut de cinci ori:
Semnul coeficientului se referă numai la coeficient și nu se aplică variabilelor.
Luați în considerare expresia −6b. Minus înainte de coeficient 6 , se aplică numai coeficientului 6 , și nu aparține variabilei b. Înțelegerea acestui fapt vă va permite să nu faceți greșeli în viitor cu semnele.
Să găsim valoarea expresiei −6b la b = 3.
−6b −6×b. Pentru claritate, să scriem expresia −6bîn formă extinsă și înlocuiți valoarea variabilei b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii −6b la b = −5
Să notăm expresia −6bîn formă extinsă
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Exemplul 3. Găsiți valoarea unei expresii −5a+b la a = 3Şi b = 2
−5a+b aceasta este o formă scurtă pentru −5 × a + b, deci pentru claritate scriem expresia −5×a+bîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor oŞi b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Uneori literele sunt scrise fără coeficient, de exemplu o sau ab. În acest caz, coeficientul este unitatea:
dar în mod tradițional unitatea nu este scrisă, așa că ei scriu pur și simplu o sau ab
Dacă înaintea literei este un minus, atunci coeficientul este un număr −1 . De exemplu, expresia −a de fapt arata ca −1a. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă o. A ieșit așa:
−1 × a = −1a
Există o mică captură aici. În exprimare −a semnul minus în fața variabilei o se referă de fapt la o „unitate invizibilă” mai degrabă decât la o variabilă o. Prin urmare, ar trebui să fiți atenți când rezolvați problemele.
De exemplu, dacă i se oferă expresia −ași ni se cere să îi găsim valoarea la a = 2, apoi la școală am înlocuit un doi în loc de o variabilă oși a primit un răspuns −2 , fără să ne concentrăm prea mult pe cum a ieșit. De fapt, minus unu a fost înmulțit cu numărul pozitiv 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Dacă i se dă expresia −ași trebuie să-i găsiți valoarea la a = −2, apoi înlocuim −2 în loc de o variabilă o
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Pentru a evita greșelile, la început unitățile invizibile pot fi scrise în mod explicit.
Exemplul 4. Găsiți valoarea unei expresii abc la a=2 , b=3Şi c=4
Expresie abc 1×a×b×c. Pentru claritate, să scriem expresia abc a, bŞi c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Exemplul 5. Găsiți valoarea unei expresii abc la a=−2 , b=−3Şi c=−4
Să notăm expresia abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bŞi c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Exemplul 6. Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=3, b=5 și c=7
Expresie − abc aceasta este o formă scurtă pentru −1×a×b×c. Pentru claritate, să scriem expresia − abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bŞi c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Exemplul 7. Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=−2 , b=−4 și c=−3
Să notăm expresia − abcîn formă extinsă:
−abc = −1 × a × b × c
Să înlocuim valorile variabilelor o , bŞi c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Cum se determină coeficientul
Uneori trebuie să rezolvați o problemă în care trebuie să determinați coeficientul unei expresii. În principiu, această sarcină este foarte simplă. Este suficient să poți înmulți corect numerele.
Pentru a determina coeficientul dintr-o expresie, trebuie să înmulțiți separat numerele incluse în această expresie și să înmulțiți separat literele. Factorul numeric rezultat va fi coeficientul.
Exemplul 1. 7m×5a×(−3)×n
Expresia constă din mai mulți factori. Acest lucru poate fi văzut clar dacă scrieți expresia în formă extinsă. Adică lucrările 7mŞi 5a scrieți-l în formă 7×mŞi 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Să aplicăm legea asociativă a înmulțirii, care vă permite să înmulțiți factorii în orice ordine. Și anume, vom înmulți separat numerele și vom înmulți separat literele (variabilele):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105om
Coeficientul este −105 . După finalizare, este recomandabil să aranjați partea de litere în ordine alfabetică:
−105 am
Exemplul 2. Determinați coeficientul în expresia: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Coeficientul este 6.
Exemplul 3. Determinați coeficientul în expresia: 
Să înmulțim separat numerele și literele:
Coeficientul este −1. Vă rugăm să rețineți că unitatea nu este scrisă, deoarece se obișnuiește să nu scrieți coeficientul 1.
Aceste sarcini aparent cele mai simple ne pot juca o glumă foarte crudă. Se dovedește adesea că semnul coeficientului este setat incorect: fie minusul lipsește, fie, dimpotrivă, a fost setat în zadar. Pentru a evita aceste greșeli enervante, trebuie studiat la un nivel bun.
Adăugări în expresii literale
La adunarea mai multor numere se obține suma acestor numere. Numerele care adaugă se numesc aditivi. Pot exista mai mulți termeni, de exemplu:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Când o expresie constă din termeni, este mult mai ușor de evaluat, deoarece adunarea este mai ușor decât scăderea. Dar expresia poate conține nu numai adunare, ci și scădere, de exemplu:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
În această expresie, numerele 3 și 5 sunt subtraende, nu adunări. Dar nimic nu ne împiedică să înlocuim scăderea cu adunarea. Apoi obținem din nou o expresie formată din termeni:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nu contează că numerele -3 și -5 au acum semnul minus. Principalul lucru este că toate numerele din această expresie sunt conectate printr-un semn de adunare, adică expresia este o sumă.
Ambele expresii 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Şi 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) egal cu aceeași valoare - minus unu
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Astfel, sensul expresiei nu va avea de suferit dacă înlocuim undeva scăderea cu adunarea.
De asemenea, puteți înlocui scăderea cu adunarea în expresiile literale. De exemplu, luați în considerare următoarea expresie:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Pentru orice valori ale variabilelor a, b, c, dŞi s expresii 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Şi 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) va fi egală cu aceeași valoare.
Trebuie să fii pregătit pentru faptul că un profesor de la școală sau un profesor de la un institut poate apela numere pare (sau variabile) care nu sunt aditivi.
De exemplu, dacă diferența este scrisă pe tablă a−b, atunci profesorul nu va spune asta o este un minuend și b- scădere. El va numi ambele variabile una în termeni generali — termeni. Și totul pentru că expresia formei a−b matematicianul vede cum suma a+(−b). În acest caz, expresia devine o sumă, iar variabilele oŞi (−b) devin termeni.
Termeni similari
Termeni similari- aceștia sunt termeni care au aceeași parte de literă. De exemplu, luați în considerare expresia 7a + 6b + 2a. Componente 7aŞi 2a au aceeași parte de literă - variabilă o. Deci termenii 7aŞi 2a sunt asemănătoare.
De obicei, termeni similari sunt adăugați pentru a simplifica o expresie sau pentru a rezolva o ecuație. Această operație se numește aducând termeni similari.
Pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestor termeni și să înmulțiți rezultatul rezultat cu partea de literă comună.
De exemplu, să prezentăm termeni similari în expresie 3a + 4a + 5a. În acest caz, toți termenii sunt similari. Să adunăm coeficienții lor și să înmulțim rezultatul cu partea comună cu literă - cu variabilă o
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Termeni similari sunt de obicei luați în considerare și rezultatul este notat imediat:
3a + 4a + 5a = 12a
De asemenea, se poate raționa după cum urmează:
Au fost adăugate 3 variabile a, încă 4 variabile a și încă 5 variabile a. Ca rezultat, am obținut 12 variabile a
Să ne uităm la câteva exemple de aducere a unor termeni similari. Avand in vedere ca acest subiect este foarte important, la inceput vom nota fiecare mic detaliu in detaliu. Chiar dacă aici totul este foarte simplu, majoritatea oamenilor fac multe greșeli. Mai ales din cauza neatenției, nu a ignoranței.
Exemplul 1. 3a + 2a + 6a + 8 o
Să adunăm coeficienții din această expresie și să înmulțim rezultatul rezultat cu partea comună a literei:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
proiecta (3 + 2 + 6 + 8)×a Nu trebuie să-l notați, așa că vom scrie răspunsul imediat
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Exemplul 2. Dați termeni similari în expresie 2a+a
Al doilea mandat o scris fără coeficient, dar de fapt există un coeficient în fața lui 1 , pe care nu o vedem pentru că nu este înregistrată. Deci expresia arată astfel:
2a + 1a
Acum să prezentăm termeni similari. Adică, adunăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Să scriem soluția pe scurt:
2a + a = 3a
2a+a, poți gândi diferit:
Exemplul 3. Dați termeni similari în expresie 2a−a
Să înlocuim scăderea cu adunarea:
2a + (−a)
Al doilea mandat (−a) scris fara coeficient, dar in realitate pare (−1a). Coeficient −1 din nou invizibil datorită faptului că nu este înregistrat. Deci expresia arată astfel:
2a + (−1a)
Acum să prezentăm termeni similari. Să adăugăm coeficienții și să înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
De obicei scris mai scurt:
2a − a = a
Dând termeni similari în expresie 2a−a Puteți gândi diferit:
Au fost 2 variabile a, scădeți o variabilă a, până la urmă a rămas o singură variabilă a
Exemplul 4. Dați termeni similari în expresie 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Acum să prezentăm termeni similari. Să adăugăm coeficienții și să înmulțim rezultatul cu partea totală a literei
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Să scriem soluția pe scurt:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Există expresii care conțin mai multe grupuri diferite de termeni similari. De exemplu, 3a + 3b + 7a + 2b. Pentru astfel de expresii se aplică aceleași reguli ca și pentru celelalte, și anume, adunarea coeficienților și înmulțirea rezultatului cu partea de literă comună. Dar pentru a evita greșelile, este convenabil grupuri diferite Termenii sunt evidențiați cu linii diferite.
De exemplu, în expresia 3a + 3b + 7a + 2b acei termeni care conțin o variabilă o, poate fi subliniat cu o singură linie și acei termeni care conțin o variabilă b, poate fi subliniat cu două rânduri:
Acum putem prezenta termeni similari. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul rezultat cu partea totală a literei. Acest lucru trebuie făcut pentru ambele grupuri de termeni: pentru termeni care conțin o variabilă o iar pentru termeni care conțin o variabilă b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Din nou, repetăm, expresia este simplă și pot fi luați în considerare termeni similari:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Exemplul 5. Dați termeni similari în expresie 5a − 6a −7b + b
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Să subliniem termeni similari cu linii diferite. Termeni care conțin variabile o subliniem cu o linie, iar termenii sunt continutul variabilelor b, subliniați cu două rânduri:
Acum putem prezenta termeni similari. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul rezultat cu partea comună a literei:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Dacă expresia conține numere obișnuite fără factori de litere, atunci acestea sunt adăugate separat.
Exemplul 6. Dați termeni similari în expresie 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Să prezentăm termeni similari. Numerele −5 Şi 7 nu au factori de litere, dar sunt termeni similari - trebuie doar adăugați. Și termenul 2b va rămâne neschimbat, deoarece este singurul din această expresie care are un factor de litere b,și nu există nimic cu care să-l adaugi:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Să scriem soluția pe scurt:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Termenii pot fi ordonați astfel încât acei termeni care au aceeași parte de literă să fie localizați în aceeași parte a expresiei.
Exemplul 7. Dați termeni similari în expresie 5t+2x+3x+5t+x
Deoarece expresia este o sumă de mai mulți termeni, acest lucru ne permite să o evaluăm în orice ordine. Prin urmare, termenii care conțin variabila t, se pot scrie la începutul expresiei, iar termenii care conțin variabila x la sfârșitul expresiei:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Acum putem prezenta termeni similari:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Să scriem soluția pe scurt:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Suma numerelor opuse este zero. Această regulă funcționează și pentru expresiile literale. Dacă expresia conține termeni identici, dar cu semne opuse, atunci puteți scăpa de ei în stadiul de reducere a termenilor similari. Cu alte cuvinte, pur și simplu eliminați-le din expresie, deoarece suma lor este zero.
Exemplul 8. Dați termeni similari în expresie 3t − 4t − 3t + 2t
Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Componente 3tŞi (−3t) sunt opuse. Suma termenilor opuși este zero. Dacă scoatem acest zero din expresie, valoarea expresiei nu se va modifica, așa că o vom elimina. Și îl vom elimina prin simpla tăiere a termenilor 3tŞi (−3t)
Ca urmare, vom rămâne cu expresia (−4t) + 2t. În această expresie, puteți adăuga termeni similari și puteți obține răspunsul final:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Să scriem soluția pe scurt:
Simplificarea expresiilor
„simplificați expresia” iar mai jos este expresia care trebuie simplificată. Simplificați o expresieînseamnă să o faci mai simplă și mai scurtă.
De fapt, am simplificat deja expresiile atunci când am redus fracțiile. După reducere, fracția a devenit mai scurtă și mai ușor de înțeles.
Luați în considerare următorul exemplu. Simplificați expresia.
Această sarcină poate fi literalmente înțeleasă după cum urmează: „Aplicați orice acțiuni valide acestei expresii, dar simplificați-o.” .
În acest caz, puteți reduce fracția, și anume, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 2:
Ce altceva poți face? Puteți calcula fracția rezultată. Apoi obținem fracția zecimală 0,5
Ca rezultat, fracția a fost simplificată la 0,5.
Prima întrebare pe care trebuie să ți-o pui atunci când rezolvi astfel de probleme ar trebui să fie „Ce se poate face?” . Pentru că există acțiuni pe care le poți face și există acțiuni pe care nu le poți face.
Altul punct important Lucrul de reținut este că valoarea expresiei nu ar trebui să se schimbe după simplificarea expresiei. Să revenim la expresie. Această expresie reprezintă o diviziune care poate fi efectuată. După efectuarea acestei împărțiri, obținem valoarea acestei expresii, care este egală cu 0,5
Dar am simplificat expresia și am obținut o nouă expresie simplificată. Valoarea noii expresii simplificate este încă 0,5
Dar am încercat și să simplificăm expresia calculând-o. Ca urmare, am primit un răspuns final de 0,5.
Astfel, indiferent de modul în care simplificăm expresia, valoarea expresiilor rezultate este totuși egală cu 0,5. Aceasta înseamnă că simplificarea a fost efectuată corect în fiecare etapă. Este exact ceea ce ar trebui să ne străduim atunci când simplificăm expresii - sensul expresiei nu ar trebui să sufere de pe urma acțiunilor noastre.
Este adesea necesară simplificarea expresiilor literale. Li se aplică aceleași reguli de simplificare ca și pentru expresiile numerice. Puteți efectua orice acțiuni valide, atâta timp cât valoarea expresiei nu se modifică.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1. Simplificați o expresie 5,21s × t × 2,5
Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți numerele separat și înmulți literele separat. Această sarcină este foarte asemănătoare cu cea la care ne-am uitat când am învățat să determinăm coeficientul:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025
Deci expresia 5,21s × t × 2,5 simplificat la 13.025.
Exemplul 2. Simplificați o expresie −0,4 × (−6,3b) × 2
A doua piesa (−6.3b) poate fi tradus într-o formă pe care o putem înțelege, și anume scrisă sub forma ( −6,3)×b , apoi înmulțiți numerele separat și înmulțiți literele separat:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Deci expresia −0,4 × (−6,3b) × 2 simplificat la 5.04b
Exemplul 3. Simplificați o expresie 
Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:
Acum să înmulțim numerele separat și să înmulțim literele separat:
Deci expresia simplificat la −abc. Această soluție poate fi scrisă pe scurt:
La simplificarea expresiilor, fracțiile pot fi reduse în timpul procesului de soluționare, și nu chiar la sfârșit, așa cum am făcut cu fracții obișnuite. De exemplu, dacă în cursul rezolvării întâlnim o expresie de forma , atunci nu este deloc necesar să calculăm numărătorul și numitorul și să facem ceva de genul acesta:
O fracție poate fi redusă selectând un factor în numărător și numitor și reducând acești factori cu cel mai mare divizor comun. Cu alte cuvinte, utilizare în care nu descriem în detaliu în ce au fost împărțite numărătorul și numitorul.
De exemplu, la numărător factorul este 12, iar la numitor factorul 4 poate fi redus cu 4. Le păstrăm în minte pe cele patru, iar împărțind 12 și 4 la aceste patru, notăm răspunsurile lângă aceste numere, trecându-le mai întâi
Acum puteți înmulți factorii mici rezultați. În acest caz, sunt puține dintre ele și le poți înmulți în minte:
De-a lungul timpului, este posibil să descoperiți că atunci când rezolvați o anumită problemă, expresiile încep să „se îngrașă”, așa că este indicat să vă obișnuiți cu calculele rapide. Ceea ce poate fi calculat în minte trebuie calculat în minte. Ceea ce poate fi redus rapid trebuie redus rapid.
Exemplul 4. Simplificați o expresie 
Deci expresia simplificat la
Exemplul 5. Simplificați o expresie 
Să înmulțim separat numerele și literele separat:
Deci expresia simplificat la mn.
Exemplul 6. Simplificați o expresie 
Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:
Acum să înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru ușurință de calcul, fracția zecimală -6,4 și un număr mixt pot fi convertite în fracții obișnuite:
Deci expresia simplificat la
Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arăta astfel:
Exemplul 7. Simplificați o expresie 
Să înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru ușurință de calcul, un număr mixt și zecimale 0,1 și 0,6 pot fi convertite în fracții obișnuite:
Deci expresia simplificat la abcd. Dacă sări peste detalii, această soluție poate fi scrisă mult mai scurt:
Observați cum a fost redusă fracția. Factorii noi care sunt obținuți ca urmare a reducerii factorilor anteriori pot fi, de asemenea, diminuați.
Acum hai să vorbim despre ce să nu faci. La simplificarea expresiilor, este strict interzisă înmulțirea numerelor și literelor dacă expresia este o sumă și nu un produs.
De exemplu, dacă doriți să simplificați expresia 5a+4b, atunci nu poți scrie așa:
Este la fel ca și cum ni s-ar cere să adunăm două numere și le-am înmulți în loc să le adunăm.
La înlocuirea oricăror valori variabile oŞi b expresie 5a +4b se transformă într-o expresie numerică obișnuită. Să presupunem că variabilele oŞi b au urmatoarele semnificatii:
a = 2, b = 3
Atunci valoarea expresiei va fi egală cu 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
În primul rând, se efectuează înmulțirea, apoi se adaugă rezultatele. Și dacă am încerca să simplificăm această expresie prin înmulțirea numerelor și literelor, am obține următoarele:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Se dovedește un sens complet diferit al expresiei. În primul caz a funcționat 22 , în al doilea caz 120 . Aceasta înseamnă că simplificarea expresiei 5a+4b a fost efectuat incorect.
După simplificarea unei expresii, valoarea acesteia nu ar trebui să se schimbe cu aceleași valori ale variabilelor. Dacă, la înlocuirea oricăror valori variabile în expresia originală, se obține o valoare, atunci după simplificarea expresiei, ar trebui să se obțină aceeași valoare ca înainte de simplificare.
Cu expresie 5a+4b chiar nu poți face nimic. Nu o simplifică.
Dacă o expresie conține termeni similari, atunci aceștia pot fi adăugați dacă scopul nostru este de a simplifica expresia.
Exemplul 8. Simplificați o expresie 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
sau mai scurt: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Deci expresia 0,3a−0,4a+a simplificat la 0,9a
Exemplul 9. Simplificați o expresie −7,5a − 2,5b + 4a
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
sau mai scurt −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termen (−2,5b) a rămas neschimbat pentru că nu era nimic cu care să-l pună.
Exemplul 10. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Coeficientul a fost pentru ușurință de calcul.
Deci expresia simplificat la
Exemplul 11. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Deci expresia simplificat la .
În acest exemplu, ar fi mai potrivit să adăugați mai întâi primul și ultimul coeficienți. În acest caz, am avea o soluție scurtă. Ar arata asa:
Exemplul 12. Simplificați o expresie 
Pentru a simplifica această expresie, putem adăuga termeni similari:
Deci expresia simplificat la 
.
Termenul a rămas neschimbat, deoarece nu era nimic de adăugat.
Această soluție poate fi scrisă mult mai scurt. Va arăta astfel:
Soluția scurtă a omis pașii de înlocuire a scăderii cu adunarea și detalierea modului în care fracțiile au fost reduse la un numitor comun.
O altă diferență este că în soluția detaliată răspunsul arată ca , iar pe scurt ca . De fapt, sunt aceeași expresie. Diferența este că, în primul caz, scăderea este înlocuită cu adunarea, deoarece la început când am scris soluția în în detaliu, am înlocuit scăderea cu adunarea ori de câte ori a fost posibil, iar această înlocuire a fost păstrată pentru răspuns.
Identități. Expresii identice egale
Odată ce am simplificat orice expresie, aceasta devine mai simplă și mai scurtă. Pentru a verifica dacă expresia simplificată este corectă, este suficient să înlocuiți orice valoare variabilă mai întâi în expresia anterioară care trebuia simplificată și apoi în cea nouă care a fost simplificată. Dacă valoarea din ambele expresii este aceeași, atunci expresia simplificată este adevărată.
Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu. Să fie necesar să simplificăm expresia 2a×7b. Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți separat numerele și literele:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Să verificăm dacă am simplificat corect expresia. Pentru a face acest lucru, să înlocuim orice valoare a variabilelor oŞi b mai întâi în prima expresie care trebuia simplificată și apoi în a doua, care a fost simplificată.
Lasă valorile variabilelor o , b va fi după cum urmează:
a = 4, b = 5
Să le substituim în prima expresie 2a×7b
Acum să substituim aceleași valori variabile în expresia care a rezultat din simplificare 2a×7b, și anume în expresia 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Vedem asta când a=4Şi b=5 valoarea primei expresii 2a×7bși sensul celei de-a doua expresii 14ab egal
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Același lucru se va întâmpla pentru orice alte valori. De exemplu, lasa a=1Şi b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Astfel, pentru orice valoare a variabilelor expresiei 2a×7bŞi 14ab sunt egale cu aceeași valoare. Astfel de expresii sunt numite identic egale.
Conchidem că între expresii 2a×7bŞi 14ab poți pune un semn egal pentru că sunt egale cu aceeași valoare.
2a × 7b = 14ab
O egalitate este orice expresie care este unită printr-un semn egal (=).
Și egalitatea formei 2a×7b = 14ab numit identitate.
O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor.
Alte exemple de identități:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Da, legile matematicii pe care le-am studiat sunt identități.
Egalitățile numerice adevărate sunt și identități. De exemplu:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Hotărând sarcină dificilă Pentru a ușura calculul, expresia complexă este înlocuită cu o expresie mai simplă care este identic egală cu cea anterioară. Acest înlocuitor se numește transformare identică a expresiei sau doar transformând expresia.
De exemplu, am simplificat expresia 2a×7b, și a primit o expresie mai simplă 14ab. Această simplificare poate fi numită transformarea identităţii.
Puteți găsi adesea o sarcină care spune „demonstrează că egalitatea este o identitate” iar apoi se dă egalitatea care trebuie dovedită. De obicei, această egalitate constă din două părți: părțile din stânga și din dreapta ale egalității. Sarcina noastră este să efectuăm transformări de identitate cu una dintre părțile egalității și să obținem cealaltă parte. Sau efectuați transformări identice cu ambele părți ale egalității și asigurați-vă că ambele părți ale egalității conțin aceleași expresii.
De exemplu, să demonstrăm că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.
Să simplificăm partea stângă a acestei egalități. Pentru a face acest lucru, înmulțiți separat numerele și literele:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Ca rezultat al unei mici transformări de identitate, partea stângă a egalității a devenit egală cu partea dreaptă a egalității. Deci am demonstrat că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.
Din transformări identice am învățat să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim numere, să reducem fracții, să adunăm termeni similari și, de asemenea, să simplificăm unele expresii.
Dar acestea nu sunt toate transformări identice care există în matematică. Transformări de identitate mult mai mult. Vom vedea asta de mai multe ori în viitor.
Sarcini pentru soluție independentă:
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
