Fiecare școlar știe că pătratul ipotenuzei este întotdeauna egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele fiind pătrat. Această afirmație se numește teorema lui Pitagora. Este una dintre cele mai cunoscute teoreme de trigonometrie și matematică în general. Să aruncăm o privire mai atentă.

Conceptul de triunghi dreptunghic

Înainte de a trece la considerarea teoremei lui Pitagora, în care pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor care sunt pătrate, ar trebui să luăm în considerare conceptul și proprietățile unui triunghi dreptunghic pentru care teorema este valabilă.

triunghi - figură plată având trei unghiuri și trei laturi. Un triunghi dreptunghic, după cum sugerează și numele, are un unghi drept, adică acest unghi este egal cu 90 o.

Din proprietățile generale ale tuturor triunghiurilor, se știe că suma tuturor celor trei unghiuri ale acestei figuri este egală cu 180 o, ceea ce înseamnă că pentru un triunghi dreptunghic, suma a două unghiuri care nu sunt unghiuri drepte este 180 o - 90. o = 90 o. Acest ultim fapt înseamnă că orice unghi dintr-un triunghi dreptunghic care nu este drept va fi întotdeauna mai mic de 90 o.

Partea care se află împotriva unghi drept, se numește de obicei ipotenuză. Celelalte două laturi sunt catetele triunghiului, pot fi egale între ele sau pot fi diferite. Din trigonometrie știm că cu cât este mai mare unghiul față de care se află o latură a unui triunghi, cu atât lungimea acelei laturi este mai mare. Aceasta înseamnă că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza (se află vizavi de unghiul de 90 o) va fi întotdeauna mai mare decât oricare dintre catete (se află vizavi de unghiuri).< 90 o).

Notarea matematică a teoremei lui Pitagora

Această teoremă afirmă că pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele fiind anterior la pătrat. Pentru a scrie această formulare matematic, considerăm un triunghi dreptunghic în care laturile a, b și c sunt cele două catete și, respectiv, ipotenuza. În acest caz, teorema, care se formulează ca pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, poate fi reprezentată prin următoarea formulă: c 2 = a 2 + b 2. De aici se pot obține și alte formule importante pentru practică: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) și c = √(a 2 + b 2).

Rețineți că în cazul unui triunghi echilateral dreptunghic, adică a = b, formularea: pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele la pătrat, se va scrie matematic după cum urmează: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ceea ce presupune egalitatea: c = a√2.

Context istoric

Teorema lui Pitagora, care afirmă că pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele fiind pătrat, era cunoscută cu mult înainte ca celebrul filosof grec să-i acorde atenție. Multe papirusuri din Egiptul Antic, precum și tăblițele de lut ale babilonienilor, confirmă că aceste popoare au folosit proprietatea remarcată a laturilor unui triunghi dreptunghic. De exemplu, unul dintre primii Piramidele egiptene, Piramida lui Khafre, a cărei construcție datează din secolul 26 î.Hr. (2000 de ani înainte de viața lui Pitagora), a fost construită pe baza cunoașterii raportului de aspect într-un triunghi dreptunghic 3x4x5.

Atunci de ce teorema poartă acum numele grecului? Răspunsul este simplu: Pitagora este primul care a demonstrat matematic această teoremă. Sursele scrise babiloniene și egiptene care au supraviețuit vorbesc doar despre utilizarea sa, dar nu oferă nicio dovadă matematică.

Se crede că Pitagora a demonstrat teorema în cauză folosind proprietățile triunghiurilor similare, pe care le-a obținut desenând înălțimea într-un triunghi dreptunghic de la un unghi de 90 o la ipotenuză.

Un exemplu de utilizare a teoremei lui Pitagora

Luați în considerare o problemă simplă: este necesar să se determine lungimea unei scări înclinate L, dacă se știe că are o înălțime H = 3 metri, iar distanța de la peretele de care se sprijină scara până la picior este P = 2,5. metri.

ÎN în acest caz, H și P sunt catetele, iar L este ipotenuza. Deoarece lungimea ipotenuzei este egală cu suma pătratelor catetelor, obținem: L 2 = H 2 + P 2, de unde L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3,905 metri sau 3 m și 90, 5 cm.

Asigurați-vă că triunghiul care vi se oferă este un triunghi dreptunghic, deoarece teorema lui Pitagora se aplică doar triunghiurilor dreptunghiulare.

• În triunghiuri dreptunghiulare, unul dintre cele trei unghiuri are întotdeauna 90 de grade.

Un unghi drept într-un triunghi dreptunghic este indicat printr-un simbol pătrat, mai degrabă decât prin simbolul curbei care reprezintă unghiurile oblice. Etichetați laturile triunghiului.

Instrucţiuni

Dacă trebuie să calculați folosind teorema lui Pitagora, folosiți următorul algoritm: - Determinați într-un triunghi care laturi sunt catetele și care sunt ipotenuza. Cele două laturi care formează un unghi de nouăzeci de grade sunt catetele, treimea rămasă este ipotenuza. (cm) - Ridicați fiecare picior la a doua putere triunghi dat, adică înmulțiți-vă singur. Exemplul 1. Să presupunem că trebuie să calculăm ipotenuza dacă un catet dintr-un triunghi are 12 cm și celălalt are 5 cm. În primul rând, pătratele catetelor sunt egale: 12 * 12 = 144 cm și 5 * 5 = 25 cm. Apoi, determinați suma picioarelor pătratelor. Un anumit număr este ipotenuză, trebuie să scapi de a doua putere a numărului pentru a găsi lungime această parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, scoateți de sub rădăcină pătrată valoarea sumei pătratelor catetelor. Exemplul 1. 144+25=169. Rădăcina pătrată a lui 169 este 13. Prin urmare, lungimea acestuia ipotenuză egal cu 13 cm.

Un alt mod de a calcula lungimea ipotenuză se află în terminologia sinusului și unghiurilor într-un triunghi. Prin definiție: sinusul unghiului alfa - catetul opus ipotenuzei. Adică, privind figura, sin a = CB / AB. Prin urmare, ipotenuza AB = CB / sin a Exemplul 2. Fie unghiul de 30 de grade, iar latura opusă trebuie să aflăm ipotenuza. Rezolvare: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Răspuns: lungime ipotenuză egal cu 8 cm.

O modalitate similară de a găsi ipotenuză din definiția cosinusului unui unghi. Cosinusul unui unghi este raportul laturii adiacente acestuia și ipotenuză. Adică cos a = AC/AB, deci AB = AC/cos a. Exemplul 3. În triunghiul ABC, AB este ipotenuza, unghiul BAC este de 60 de grade, catetul AC este de 2 cm.
Rezolvare: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Răspuns: Ipotenuza are 4 cm lungime.

Sfaturi utile

Când găsiți valoarea sinusului sau cosinusului unui unghi, utilizați fie tabelul sinusurilor și cosinusurilor, fie tabelul Bradis.

Sfat 2: Cum să găsiți lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

Ipotenuza este cea mai lungă latură dintr-un triunghi dreptunghic, așa că nu este de mirare că limba greacă acest cuvânt este tradus ca „strâns”. Această latură se află întotdeauna opusă unghiului de 90°, iar laturile care formează acest unghi se numesc picioare. Cunoscând lungimile acestor laturi și mărimile colțuri ascuțiteîn diferite combinații ale acestor valori se poate calcula lungimea ipotenuzei.

Instrucţiuni

Dacă sunt cunoscute lungimile ambelor triunghiuri (A și B), atunci folosiți lungimile ipotenuzei (C), poate cel mai faimos postulat matematic - teorema lui Pitagora. Afirmă că pătratul lungimii ipotenuzei este suma pătratelor lungimii catetelor, din care rezultă că ar trebui să calculezi rădăcina sumei pătratelor lungimii celor două laturi: C = √ ( A² + B²). De exemplu, dacă lungimea unui picior este de 15 și -10 centimetri, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 18,0277564 centimetri, deoarece √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Dacă se cunoaște lungimea doar a unuia dintre catetele (A) dintr-un triunghi dreptunghic, precum și valoarea unghiului opus acestuia (α), atunci lungimea ipotenuzei (C) poate fi utilizată folosind unul dintre trigonometricele. funcții – sinusul. Pentru a face acest lucru, împărțiți lungimea laturii cunoscute la sinusul unghiului cunoscut: C=A/sin(α). De exemplu, dacă lungimea unuia dintre catete este de 15 centimetri, iar unghiul la vârful opus al triunghiului este de 30°, atunci lungimea ipotenuzei va fi egală cu 30 centimetri, deoarece 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc dimensiunea unuia dintre unghiurile ascuțite (α) și lungimea catetei adiacente (B), atunci pentru a calcula lungimea ipotenuzei (C) puteți folosi un alt functie trigonometrica- cosinus. Ar trebui să împărțiți lungimea catetei cunoscute la cosinusul unghiului cunoscut: C=B/ cos(α). De exemplu, dacă lungimea acestui catete este de 15 centimetri, iar unghiul ascuțit adiacent acestuia este de 30°, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 17,3205081 centimetri, deoarece 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Lungimea este de obicei folosită pentru a desemna distanța dintre două puncte de pe un segment de linie. Poate fi drept, rupt sau linie închisă. Puteți calcula lungimea destul de simplu dacă cunoașteți alți indicatori ai segmentului.

Instrucţiuni

Dacă trebuie să găsiți lungimea laturii unui pătrat, atunci aceasta nu va fi , dacă îi cunoașteți aria S. Datorită faptului că toate laturile pătratului au

Istoria teoremei lui Pitagora datează de câteva mii de ani. O afirmație care afirmă că era cunoscută cu mult înainte de nașterea matematicianului grec. Cu toate acestea, teorema lui Pitagora, istoria creării și demonstrația ei sunt asociate pentru majoritatea cu acest om de știință. Potrivit unor surse, motivul pentru aceasta a fost prima demonstrație a teoremei, care a fost dată de Pitagora. Cu toate acestea, unii cercetători neagă acest fapt.

Muzică și logică

Înainte de a spune cum s-a dezvoltat istoria teoremei lui Pitagora, să ne uităm pe scurt la biografia matematicianului. A trăit în secolul al VI-lea î.Hr. Data nașterii lui Pitagora este considerată a fi 570 î.Hr. e., locul este insula Samos. Se cunosc puține lucruri sigure despre viața omului de știință. Datele biografice din sursele grecești antice sunt împletite cu ficțiunea evidentă. Pe paginile tratatelor, el apare ca un mare înțelept cu o excelentă stăpânire a cuvintelor și abilitatea de a convinge. Apropo, acesta este motivul pentru care matematicianul grec a fost supranumit Pitagora, adică „vorbire persuasivă”. Potrivit unei alte versiuni, nașterea viitorului înțelept a fost prezisă de Pythia. Tatăl l-a numit pe băiat Pitagora în cinstea ei.

Înțeleptul a învățat de la marile minți ale vremii. Printre profesorii tânărului Pitagora se numără Hermodamantus și Pherecydes din Syros. Primul i-a insuflat dragostea pentru muzica, al doilea l-a invatat filozofia. Ambele științe vor rămâne în centrul atenției omului de știință de-a lungul vieții sale.

30 de ani de pregătire

Potrivit unei versiuni, fiind un tânăr curios, Pitagora și-a părăsit patria. S-a dus să caute cunoștințe în Egipt, unde a rămas, potrivit surse diferite, de la 11 la 22 de ani, apoi a fost capturat și trimis în Babilon. Pitagora a putut beneficia de pe urma poziției sale. Timp de 12 ani a studiat matematica, geometria și magia în stat antic. Pitagora s-a întors la Samos abia la vârsta de 56 de ani. Tiranul Policrate domnea aici pe vremea aceea. Pitagora nu putea accepta așa ceva sistem politicși în curând a mers în sudul Italiei, unde se afla colonia greacă Croton.

Astăzi este imposibil de spus cu siguranță dacă Pitagora a fost în Egipt și Babilon. Poate că a părăsit Samos mai târziu și s-a dus direct la Croton.

pitagoreici

Istoria teoremei lui Pitagora este legată de dezvoltarea școlii create de filozoful grec. Această frăție religioasă și etică a predicat respectarea unui mod special de viață, a studiat aritmetica, geometria și astronomia și s-a angajat în studiul laturii filozofice și mistice a numerelor.

Lui i-au fost atribuite toate descoperirile studenților matematicianului grec. Cu toate acestea, istoria apariției teoremei lui Pitagora este asociată de către biografii antici doar cu filozoful însuși. Se presupune că el a transmis grecilor cunoștințele dobândite în Babilon și Egipt. Există și o versiune că a descoperit de fapt teorema privind relația dintre catete și ipotenuză, fără să știe despre realizările altor popoare.

Teorema lui Pitagora: istoria descoperirilor

Unele surse grecești antice descriu bucuria lui Pitagora când a reușit să demonstreze teorema. În cinstea acestui eveniment, el a ordonat un sacrificiu către zei sub formă de sute de tauri și a ținut un ospăț. Unii oameni de știință, totuși, subliniază imposibilitatea unui astfel de act din cauza particularităților opiniilor pitagoreenilor.

Se crede că în tratatul „Elemente”, creat de Euclid, autorul oferă o dovadă a teoremei, al cărei autor a fost marele matematician grec. Cu toate acestea, nu toată lumea a susținut acest punct de vedere. Astfel, chiar și vechiul filosof neoplatonist Proclu a subliniat că autorul dovezii date în Elemente a fost însuși Euclid.

Oricum ar fi, prima persoană care a formulat teorema nu a fost Pitagora.

Egiptul antic și Babilonul

Teorema lui Pitagora, a cărei istorie este discutată în articol, conform matematicianului german Cantor, era cunoscută încă din anul 2300 î.Hr. e. în Egipt. Vechii locuitori ai Văii Nilului în timpul domniei faraonului Amenemhat I cunoșteau egalitatea 3 2 + 4 ² = 5 ². Se presupune că, cu ajutorul triunghiurilor cu laturile 3, 4 și 5, „tragetorii de frânghii” egipteni au construit unghiuri drepte.

Ei cunoșteau și teorema lui Pitagora din Babilon. Pe tăblițe de lut datând din anul 2000 î.Hr. și datând din vremea domniei, a fost descoperit un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic.

India și China

Istoria teoremei lui Pitagora este, de asemenea, legată de civilizațiile antice din India și China. Tratatul „Zhou-bi suan jin” conține indicii că (laturile sale sunt legate ca 3:4:5) a fost cunoscut în China încă din secolul al XII-lea. î.Hr e., iar prin secolul al VI-lea. î.Hr e. Matematicienii acestei stări cunoșteau forma generală a teoremei.

Construcția unui unghi drept folosind triunghiul egiptean a fost conturată și în tratatul indian „Sulva Sutra”, datând din secolele VII-V. î.Hr e.

Astfel, istoria teoremei lui Pitagora la momentul nașterii matematicianului și filosofului grec avea deja câteva sute de ani.

Dovada

În timpul existenței sale, teorema a devenit una dintre cele fundamentale în geometrie. Istoria demonstrației teoremei lui Pitagora a început probabil cu luarea în considerare a unui pătrat echilateral Pătratele sunt construite pe ipotenuza și catetele sale. Cel care a „crescut” pe ipotenuză va fi format din patru triunghiuri egale cu primul. Pătratele de pe laturi sunt formate din două astfel de triunghiuri. Simplu imagine grafică demonstrează clar validitatea enunţului formulat sub forma celebrei teoreme.

O altă demonstrație simplă combină geometria cu algebra. Se desenează patru triunghiuri dreptunghiulare identice cu laturile a, b, c astfel încât să formeze două pătrate: cel exterior cu latura (a + b) și cel interior cu latura c. În acest caz, aria pătratului mai mic va fi egală cu c 2. Aria unuia mare se calculează din suma suprafețelor pătrat micși toate triunghiurile (aria unui triunghi dreptunghic, reamintim, este calculată prin formula (a * b) / 2), adică c 2 + 4 * ((a * b) / 2), care este egală la c 2 + 2ab. Aria unui pătrat mare poate fi calculată într-un alt mod - ca produs a două laturi, adică (a + b) 2, care este egal cu a 2 + 2ab + b 2. Se dovedește:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Există multe versiuni ale demonstrației acestei teoreme. Euclid, oameni de știință indieni și Leonardo da Vinci au lucrat la ele. Adesea, înțelepții antici au citat desene, exemple ale cărora sunt situate mai sus și nu le-au însoțit cu alte explicații decât nota „Uite!” Simplitatea dovezii geometrice, cu condiția ca unele cunoștințe să fie disponibile, nu a necesitat comentarii.

Istoria teoremei lui Pitagora, prezentată pe scurt în articol, dezmintă mitul despre originea ei. Cu toate acestea, este greu de imaginat că numele marelui matematician și filozof grec va înceta vreodată să-i fie asociat.

Dovada animată a teoremei lui Pitagora - una dintre fundamental teoreme de geometrie euclidiană care stabilesc relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care poartă numele (există și alte versiuni, în special opinia alternativă că această teoremă în vedere generală a fost formulat de matematicianul pitagoreian Hippasus).
Teorema spune:

Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Determinarea lungimii ipotenuzei triunghiului c, iar lungimile picioarelor sunt ca oŞi b, obținem următoarea formulă:

Astfel, teorema lui Pitagora stabilește o relație care vă permite să determinați latura unui triunghi dreptunghic, cunoscând lungimile celorlalți doi. Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinus, care determină relația dintre laturile unui triunghi arbitrar.
Afirmația inversă a fost, de asemenea, dovedită (numită și inversul teoremei Pitagora):

Pentru oricare trei numere pozitive a, b și c astfel încât a ? + b ? = c ?, există un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c.

Dovezi vizuale pentru triunghiul (3, 4, 5) din cartea „Chu Pei” 500-200 î.Hr. Istoria teoremei poate fi împărțită în patru părți: cunoașterea numerelor lui Pitagora, cunoașterea raportului laturilor dintr-un triunghi dreptunghic, cunoașterea raportului colțurile adiacenteși demonstrarea teoremei.
Structuri megalitice în jurul anului 2500 î.Hr. în Egipt şi Europa de Nord, conțin triunghiuri dreptunghiulare cu laturile formate din numere întregi. Bartel Leendert van der Waerden a emis ipoteza că la acea vreme numerele pitagorice au fost găsite algebric.
Scrisă între 2000 și 1876 î.Hr. papirus din Regatul Egiptului Mijlociu Berlin 6619 conține o problemă a cărei soluție sunt numerele pitagoreice.
În timpul domniei lui Hammurabi cel Mare, tăbliță babiloniană Plimpton 322, scris între 1790 și 1750 î.Hr. conține multe intrări strâns legate de numerele pitagorice.
În sutrele Budhayana, care datează din versiuni diferite secolele al VIII-lea sau al II-lea î.Hr în India, conține numere pitagorice derivate algebric, o declarație a teoremei lui Pitagora și o demonstrație geometrică pentru un triunghi dreptunghic echilateral.
Sutrele Apastamba (circa 600 î.Hr.) conțin o demonstrație numerică a teoremei lui Pitagora folosind calcule de suprafață. Van der Waerden crede că sa bazat pe tradițiile predecesorilor săi. Potrivit lui Albert Burco, aceasta este dovada originală a teoremei și el sugerează că Pitagora a vizitat Arakon și a copiat-o.
Pitagora, ai cărui ani de viață sunt de obicei indicați ca 569 - 475 î.Hr. folosește metode algebrice pentru calcularea numerelor pitagorice, conform comentariilor lui Proklov la Euclid. Proclus a trăit însă între 410 și 485 d.Hr. Potrivit lui Thomas Guise, nu există nicio indicație privind paternitatea teoremei până la cinci secole după Pitagora. Cu toate acestea, atunci când autori precum Plutarh sau Cicero îi atribuie teorema lui Pitagora, o fac ca și cum paternitatea ar fi fost cunoscută și sigură.
În jurul anului 400 î.Hr Potrivit lui Proclu, Platon a oferit o metodă de calculare a numerelor pitagorice care combina algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr., în Începuturile Euclid avem cea mai veche dovadă axiomatică care a supraviețuit până în zilele noastre.
Scris cândva între 500 î.Hr. și 200 î.Hr., cartea de matematică chineză „Chu Pei” (? ?? ?), oferă o dovadă vizuală a teoremei lui Pitagora, numită teorema Gugu (????) în China, pentru un triunghi cu laturile (3, 4). , 5). În timpul dinastiei Han, din 202 î.Hr. până în 220 d.Hr Numerele pitagorice apar în cartea „Nouă ramuri ale artei matematice” împreună cu o mențiune despre triunghiuri dreptunghiulare.
Prima utilizare înregistrată a teoremei a fost în China, unde este cunoscută ca teorema Gugu (????), și în India, unde este cunoscută ca teorema lui Bhaskar.
S-a dezbătut pe larg dacă teorema lui Pitagora a fost descoperită o dată sau în mod repetat. Boyer (1991) consideră că cunoștințele găsite în Shulba Sutra pot fi de origine mesopotamiană.
Dovada algebrică
Pătratele sunt formate din patru triunghiuri dreptunghiulare. Sunt cunoscute peste o sută de dovezi ale teoremei lui Pitagora. Iată o demonstrație bazată pe teorema existenței ariei unei figuri:

Să plasăm patru triunghiuri dreptunghiulare identice așa cum se arată în figură.
Patraunghi cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri ascuțite este , iar un unghi drept este .
Aria întregii figuri este egală, pe de o parte, cu aria unui pătrat cu latura „a + b”, iar pe de altă parte, cu suma ariilor a patru triunghiuri și a pătratului interior .

Ceea ce trebuie dovedit.
Prin asemănarea triunghiurilor
Folosind triunghiuri similare. Lasă ABC- un triunghi dreptunghic în care unghiul C drept așa cum se arată în imagine. Să desenăm înălțimea din punct C,și hai să sunăm H punct de intersecție cu latura AB. Se formează un triunghi ACH asemănător cu un triunghi ABC,întrucât ambele sunt dreptunghiulare (prin definiția înălțimii) și au un unghi comun O, Evident și al treilea unghi din aceste triunghiuri va fi același. Similar cu pacea, triunghiul CBH asemenea unui triunghi ABC. Cu asemănarea triunghiurilor: Dacă

Acest lucru poate fi scris ca

Dacă adunăm aceste două egalități, obținem

HB + c ori AH = c ori (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = „http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png” />

Cu alte cuvinte, teorema lui Pitagora:

Dovada lui Euclid
Dovada lui Euclid în Elemente euclidiene, teorema lui Pitagora este dovedită prin metoda paralelogramelor. Lasă A, B, C vârfuri ale unui triunghi dreptunghic, cu unghi drept O. Să aruncăm o perpendiculară din punct O pe latura opusă ipotenuzei într-un pătrat construit pe ipotenuză. Linia împarte pătratul în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață ca și pătratele construite pe laturi. Ideea principalăîn dovada este că pătratele superioare se transformă în paralelograme de aceeași zonă, apoi se întorc și se transformă în dreptunghiuri în pătratul inferior și din nou cu aceeași zonă.

Să desenăm segmente CFŞi A.D. obținem triunghiuri BCFŞi B.D.A.
Unghiuri TAXIŞi SAC- Drept; respectiv puncte C, AŞi G– coliniare. Asemenea B, AŞi H.
Unghiuri CBDŞi FBA– ambele sunt linii drepte, apoi unghiul ABD egal cu unghiul FBC,întrucât ambele sunt suma unui unghi drept și a unui unghi ABC.
Triunghi ABDŞi FBC nivel pe două laturi și unghiul dintre ele.
Din moment ce punctele A, KŞi L– coliniar, aria dreptunghiului BDLK este egală cu două zone ale triunghiului ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
În mod similar, obținem CKLE = ACIH = AC 2
Pe de o parte zona CBDE egală cu suma ariilor dreptunghiurilor BDLKŞi CKLE, iar pe cealaltă parte aria pătratului BC 2, sau AB 2 + AC 2 = BC 2.

Utilizarea diferenţialelor
Utilizarea diferenţialelor. La teorema lui Pitagora se poate ajunge prin studierea modului în care creșterea laturii afectează dimensiunea ipotenuzei așa cum se arată în figura din dreapta și aplicând un mic calcul.
Ca urmare a cresterii in lateral o, de triunghiuri similare pentru incremente infinitezimale

Integrarea obținem

Dacă o= 0 atunci c = b, deci „constant” este b 2. Apoi

După cum se poate observa, pătratele se datorează proporției dintre creșteri și laturi, în timp ce suma este rezultatul contribuției independente a creșterilor laturilor, neevidentă din evidența geometrică. În aceste ecuații daŞi dc– incremente corespunzătoare infinitezimale ale laturilor oŞi c. Dar ce folosim în schimb? oŞi? c, atunci limita raportului dacă tind spre zero este da / dc, derivată și este, de asemenea, egală cu c / o, raportul lungimilor laturilor triunghiurilor, ca rezultat obținem ecuație diferențială.
În cazul unui sistem ortogonal de vectori, egalitatea este valabilă, care este numită și teorema lui Pitagora:

Dacă – Acestea sunt proiecții ale vectorului pe axele de coordonate, atunci această formulă coincide cu distanța euclidiană și înseamnă că lungimea vectorului este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor componentelor sale.
Analogul acestei egalități în cazul unui sistem infinit de vectori se numește egalitatea lui Parseval.