Aflarea coordonatelor vârfului unei parabole. Parabola - proprietăți și graficul unei funcții pătratice

O parabolă este una dintre curbele de ordinul doi; punctele sale sunt construite în conformitate cu o ecuație pătratică. Principalul lucru în construirea acestei curbe este să găsești top parabole. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Pentru a găsi coordonatele unui vârf parabole, utilizați următoarea formulă: x=-b/2a, unde a este coeficientul lui x pătrat și b este coeficientul lui x. Conectați-vă valorile și calculați valoarea acesteia. Apoi înlocuiți valoarea rezultată pentru x în ecuație și calculați ordonata vârfului. De exemplu, dacă vi se oferă ecuația y=2x^2-4x+5, atunci găsiți abscisa după cum urmează: x=-(-4)/2*2=1. Înlocuind x=1 în ecuație, calculați valoarea y pentru vârf parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Deci partea de sus parabole are coordonatele (1-3).

Valoarea ordonatei parabole poate fi găsită fără a calcula mai întâi abscisa. Pentru a face acest lucru, utilizați formula y=-b^2/4ac+c.

Dacă sunteți familiarizat cu conceptul de derivat, găsiți top parabole folosind derivate, profitând de următoarea proprietate a oricărei funcții: derivata întâi a unei funcții, egală cu zero, indică puncte extreme. De la vârf parabole, indiferent dacă ramurile sale sunt direcționate în sus sau în jos, este un punct extremum, calculați derivata pentru funcția dvs. ÎN vedere generala va arăta ca f(x)=2ax+b. Echivalează-l cu zero și obțineți coordonatele vârfului parabole, corespunzătoare funcției dvs.

Încerca să găsească top parabole, profitând de proprietățile sale precum simetria. Pentru a face acest lucru, găsiți punctele de intersecție parabole cu axa x, echivalând funcția cu zero (înlocuind y = 0). Hotărându-se ecuație pătratică, veți găsi x1 și x2. Deoarece parabola este simetrică față de directricea care trece prin top, aceste puncte vor fi echidistante de abscisa vârfului. Pentru a o găsi, împărțiți distanța dintre puncte la jumătate: x=(Ix1-x2I)/2.

Dacă oricare dintre coeficienți este zero (cu excepția a), calculați coordonatele vârfului parabole folosind formule simplificate. De exemplu, dacă b=0, adică ecuația are forma y=ax^2+c, atunci vârful se va afla pe axa oy și coordonatele sale vor fi egale cu (0-c). Dacă nu numai coeficientul b=0, ci și c=0, atunci vârful parabole este situat la origine, punctul (0-0).

Instrucțiuni

O funcție pătratică în formă generală se scrie prin ecuația: y = ax² + bx + c. Graficul acestei ecuații este , ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (pentru a > 0) sau în jos (pentru a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Pentru persoanele familiarizate cu conceptul de derivată, este ușor să găsești vârful unei parabole. Indiferent de poziția ramurilor unei parabole, vârful acesteia este un punct (minimum dacă ramurile sunt îndreptate în sus, sau când ramurile sunt îndreptate în jos). Pentru a găsi punctele extreme presupuse ale oricărui , trebuie să calculați prima derivată și să o echivalați cu zero. În general, derivata este egală cu f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Echivalând cu zero, obțineți 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

O parabolă este o linie simetrică. Axa trece prin vârful parabolei. Cunoscând punctele parabolei cu axa de coordonate X, puteți găsi cu ușurință abscisa vârfului x0. Fie x1 și x2 rădăcinile parabolei (așa-numitele puncte de intersecție ale parabolei cu axa x, deoarece aceste valori fac ca ecuația pătratică ax² + bx + c să dispară). Mai mult, fie |x2| > |x1|, atunci vârful parabolei se află la jumătatea distanței dintre ele și poate fi găsit din următoarea expresie: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Video pe tema

Surse:

Funcția pătratică
formula pentru găsirea vârfului unei parabole

O parabolă este un grafic funcţie pătratică, în general, ecuația parabolei se scrie y=aх^2+bх+с, unde a≠0. Aceasta este o curbă universală de ordinul doi care descrie multe fenomene din viață, de exemplu, mișcarea unui corp aruncat și apoi în cădere, forma unui curcubeu, deci capacitatea de a găsi parabolă poate fi foarte util în viață.

Vei avea nevoie

- formula ecuației pătratice;
- o coală de hârtie cu grilă de coordonate;
- radiera;
- calculator și program Excel.

Instrucțiuni

Mai întâi de toate, găsiți vârful parabolei. Pentru a găsi abscisa acestui punct, luați coeficientul lui x, împărțiți-l cu de două ori coeficientul lui x^2 și înmulțiți cu -1 ( x = -b/2a). Găsiți ordonata înlocuind valoarea rezultată în ecuație sau folosind formula y=(b^2-4ac)/4a. Ați obținut coordonatele punctului vârf al parabolei.

Vârful unei parabole poate fi găsit în alt mod. Deoarece este extremul funcției, pentru a o calcula, calculați prima derivată și echivalați-o cu zero. În general, veți obține formula f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. Și echivalând cu zero, veți ajunge la aceeași formulă - x=-b/2a.

Aflați dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos. Pentru a face acest lucru, priviți coeficientul din fața lui x^2, adică a. Dacă a>0, atunci ramurile sunt îndreptate în sus, dacă a

Coordonatele culmi au fost găsite parabole. Scrie-le ca coordonatele unui singur punct (x0,y0).

Video pe tema

Pentru funcții (mai precis, graficele lor) se folosește conceptul cea mai mare valoare, inclusiv maximul local. Conceptul de „vârf” este mai probabil asociat cu forme geometrice. Punctele maxime ale funcțiilor netede (care au o derivată) sunt ușor de determinat folosind zerourile primei derivate.

Instrucțiuni

Pentru punctele în care funcția nu este diferențiabilă, ci continuă, cea mai mare valoare din interval poate avea forma unui vârf (la y=-|x|). În astfel de puncte funcții Puteți desena câte tangente doriți; tangentele pur și simplu nu există pentru asta. Sami funcții Acest tip este de obicei specificat pe segmente. Puncte în care derivata funcții egale cu zero sau nu există sunt numite critice.

Rânarea. y=x+3 pentru x≤-1 și y=((x^2)^(1/3)) –x pentru x>-1. Funcția este specificată pe segmente în mod deliberat, deoarece în în acest caz, Scopul este de a afișa totul într-un singur exemplu. Este ușor ca pentru x=-1 funcția să rămână continuă.y'=1 pentru x≤-1 și y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) pentru x>-1. y'=0 pentru x=8/27. y' nu există pentru x=-1 și x=0. În acest caz, y '>0 dacă x

Video pe tema

Instrucțiuni

Pentru a găsi coordonatele unui vârf parabole, utilizați următoarea formulă: x=-b/2a, unde a este coeficientul înainte de x in și b este coeficientul înainte de x. Conectați-vă valorile și calculați-le. Apoi înlocuiți valoarea rezultată pentru x în ecuație și calculați ordonata vârfului. De exemplu, dacă vi se oferă ecuația y=2x^2-4x+5, atunci găsiți abscisa după cum urmează: x=-(-4)/2*2=1. Înlocuind x=1 în ecuație, calculați valoarea y pentru vârf parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Deci partea de sus parabole are coordonatele (1;3).

Valoarea ordonatei parabole poate fi găsită fără a calcula mai întâi abscisa. Pentru a face acest lucru, utilizați formula y=-b^2/4ac+c.

Dacă sunteți familiarizat cu conceptul de derivat, găsiți top parabole folosind derivate, folosind următoarea proprietate a oricărui: prima derivată a unei funcții, egală cu zero, indică către. De la vârf parabole, indiferent dacă ramurile sale sunt direcționate în sus sau în jos, punctul , calculați derivata pentru funcția dvs. În general, va arăta ca f(x)=2ax+b. Echivalează-l cu zero și obțineți coordonatele vârfului parabole, corespunzătoare funcției dvs.

Încerca să găsească top parabole, profitând de proprietățile sale precum simetria. Pentru a face acest lucru, găsiți punctele de intersecție parabole cu axa x, echivalând funcția cu zero (înlocuind y = 0). Rezolvând ecuația pătratică, veți găsi x1 și x2. Deoarece parabola este simetrică față de directricea care trece prin top, aceste puncte vor fi echidistante de abscisa vârfului. Pentru a-l găsi, împărțim

Graficul unei funcții pătratice se numește parabolă. Această linie are o semnificație fizică semnificativă. Unele corpuri cerești se mișcă de-a lungul parabolelor. O antenă în formă de parabolă concentrează razele paralele cu axa de simetrie a parabolei. Corpurile aruncate în sus sub un unghi ajung în punctul de sus și cad în jos, descriind și o parabolă. Aparent, este întotdeauna util să cunoaștem coordonatele vârfului acestei mișcări.

Instrucțiuni

1. Funcția pătratică în forma ei generală se scrie prin ecuația: y = ax? + bx + c. Graficul acestei ecuații este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (pentru a > 0) sau în jos (pentru a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Oamenii familiarizați cu reprezentarea derivată pot detecta cu ușurință vârful unei parabole. Indiferent de locația ramurilor parabolei, vârful acesteia este punctul de extremum (minim dacă ramurile sunt îndreptate în sus, sau maxim când ramurile sunt îndreptate în jos). Pentru a găsi punctele extreme presupuse ale oricărei funcții, trebuie să calculați prima derivată a acesteia și să o echivalați cu zero. În general, derivata unei funcții pătratice este egală cu f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Echivalând cu zero, se obține 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. O parabolă este o linie simetrică. Axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Cunoscând punctele de intersecție ale parabolei cu axa de coordonate X, puteți găsi cu ușurință abscisa vârfului x0. Fie x1 și x2 rădăcinile parabolei (așa-numitele puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor, deoarece aceste valori transformă ecuația pătratică ax? + bx + c la zero). În același timp, fie |x2| > |x1|, atunci vârful parabolei se află la mijloc între ele și poate fi găsit din expresia ulterioară: x0 = ?(|x2| – |x1|).

O parabolă este un grafic al unei funcții pătratice; în general, ecuația unei parabole se scrie y=aх^2+bх+с, unde a?0. Aceasta este o curbă universală de ordinul doi care descrie multe fenomene din viață, de exemplu, mișcarea unui corp aruncat și apoi căzut, forma unui curcubeu și, prin urmare, cunoștințele de detectat. parabolă Ar putea fi util în viața reală.

Vei avea nevoie

– formula ecuației pătratice;
– o coală de hârtie cu grilă de coordonate;
- radiera;
– calculator și program Excel.

Instrucțiuni

1. Mai întâi, localizați vârful parabolei. Pentru a găsi abscisa acestui punct, luați exponentul înainte de x, împărțiți-l cu de două ori exponentul înainte de x^2 și înmulțiți cu -1 (formula x=-b/2a). Găsiți ordonata înlocuind valoarea rezultată în ecuație sau folosind formula y=(b^2-4ac)/4a. Ați obținut coordonatele punctului vârf al parabolei.

2. Vârful unei parabole poate fi detectat și folosind o altă metodă. Deoarece vârful este extremul funcției, pentru a o calcula, calculați prima derivată și echivalați-o cu zero. În formă generală, veți obține formula f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Și echivalând cu zero, veți ajunge la aceeași formulă - x = -b/2a.

3. Aflați dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în sus sau în jos. Pentru a face acest lucru, priviți indicatorul din fața lui x^2, adică a. Dacă a>0, atunci ramurile sunt îndreptate în sus, dacă a

4. Construiți axa de simetrie a parabolei; aceasta intersectează vârful parabolei și este paralelă cu axa y. Toate punctele parabolei vor fi echidistante de aceasta, prin urmare este posibil să construiți o singură parte și apoi să o afișați simetric în raport cu axa parabolei.

5. Desenați o linie a unei parabole. Pentru a face acest lucru, găsiți mai multe puncte prin înlocuire sensuri diferite x în ecuații și rezolvarea egalității. Este convenabil să detectați intersecția cu axele; pentru a face acest lucru, înlocuiți x=0 și y=0 în egalitate. După ce a ridicat o parte, reflectați-o simetric în jurul axei.

6. Permis să construiască parabolă cu ajutor programe Excel. Pentru a face acest lucru, deschideți noul document și selectați două coloane în el, x și y=f(x). În prima coloană, notați valorile lui x pe segmentul selectat, iar în a doua coloană, notați formula, de exemplu, =2B3*B3-4B3+1 sau =2B3^2-4B3+1. Pentru a nu scrie această formulă de fiecare dată, „întindeți-o” la fiecare coloană făcând clic pe crucea mică din colțul din dreapta jos și trăgând-o în jos.

7. Odată ce aveți tabelul, faceți clic pe meniul „Inserare” – „Grafic”. Selectați graficul de dispersie, faceți clic pe Următorul. În fereastra care apare, adăugați un rând făcând clic pe butonul „Adăugați”. Pentru a selecta celulele necesare, faceți clic pe rând pe butoanele încercuite cu oval roșu de mai jos, apoi selectați coloanele cu valori. Făcând clic pe butonul „Efectuat”, evaluează rezultatul - gata parabolă .

Video pe tema

Când căutați o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă, într-unul dintre punctele pe care trebuie să le găsiți coordonate culmi parabole. Cum se face acest lucru analitic folosind ecuația dată pentru parabolă?

Instrucțiuni

1. O funcție pătratică este o funcție de forma y=ax^2+bx+c, unde a este exponentul principal (trebuie să fie strict diferit de zero), b este cel mai mic exponent, c este un termen liber. Această funcție dă graficului său o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate fie în sus (dacă a>0), fie în jos (dacă a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Să găsim coordonatele x0 culmi parabole. Se găsește prin formulax0=-b/a.

3. y0=y(x0).Pentru a detecta coordonata y0 culmi parabole, trebuie să înlocuiți valoarea detectată x0 în funcție în loc de x. Calculați cu ce este y0.

4. Coordonatele culmi au fost descoperite parabole. Scrie-le ca coordonatele unui singur punct (x0,y0).

5. Când construiți o parabolă, amintiți-vă că aceasta este simetrică față de axa de simetrie a parabolei, care trece vertical prin vârful parabolei, deoarece funcția pătratică este pară. În consecință, este suficient să construiești doar o ramură a parabolei din puncte și să o completezi simetric pe cealaltă.

Video pe tema

Pentru funcții (sau mai degrabă graficele lor), este utilizată reprezentarea celei mai mari valori, inclusiv maximul local. Ideea de „vârf” este mai probabil asociată cu forme geometrice. Punctele maxime ale funcțiilor netede (care au o derivată) sunt ușor de determinat folosind zerourile primei derivate.

Instrucțiuni

1. Pentru punctele în care funcția nu este diferențiabilă, ci constantă, cea mai mare valoare din interval poate avea forma unui vârf (de exemplu, y=-|x|). În astfel de puncte ale graficului funcții este posibil să se deseneze câte tangente se dorește, iar o derivată nu există ușor pentru aceasta. Sami funcții de acest tip sunt de obicei specificate pe segmente. Puncte în care derivata funcții egal cu zero sau nu există se numesc sceptici.

2. Se pare că pentru a găsi punctele maxime funcții y=f(x) este necesar: - pentru a detecta punctele sceptice; - pentru a prefera punctul maxim, este necesar să se detecteze semnul derivatei în vecinătatea punctului sceptic. Dacă, la trecerea unui punct, semnul alternează de la „+” la „-”, atunci are loc un maxim.

3. Exemplu. Găsiți cele mai mari valori funcții(vezi Fig. 1).y=x+3 pentru x?-1 și y=((x^2)^(1/3)) –x pentru x>-1.

4. Rânarea. y=x+3 pentru x?-1 și y=((x^2)^(1/3)) –x pentru x>-1. Funcția este specificată pe segmente în mod deliberat, deoarece în acest caz scopul este de a afișa totul într-un singur exemplu. Este ușor de verificat că la x=-1 funcția rămâne constantă. y'=1 la x?-1 și y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) pentru x>-1. y'=0 pentru x=8/27. y' nu există pentru x=-1 și x= 0. În acest caz y'>0 dacă x

Video pe tema

O parabolă este una dintre curbele de ordinul doi; punctele sale sunt ridicate în conformitate cu o ecuație pătratică. Principalul lucru în construirea acestui oblic este detectarea top parabole. Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

1. Pentru a găsi coordonatele vârfului parabole, utilizați următoarea formulă: x = -b/2a, unde a este indicatorul înainte de x pătrat și b este indicatorul înainte de x. Conectați-vă valorile și calculați valoarea acesteia. După aceasta, înlocuiți valoarea rezultată pentru x în ecuație și calculați ordonata vârfului. Să presupunem că, dacă vi se dă ecuația y=2x^2-4x+5, atunci găsiți abscisa în felul următor: x=-(-4)/2*2=1. Înlocuind x=1 în ecuație, calculați valoarea y pentru vârf parabole: y=2*1^2-4*1+5=3. Deci partea de sus parabole are coordonatele (1;3).

2. Valoarea ordonatei parabole poate fi detectat fără a calcula în prealabil abscisa. Pentru a face acest lucru, utilizați formula y=-b^2/4ac+c.

3. Dacă sunteți familiarizat cu reprezentarea derivată, descoperiți top parabole folosind derivate, profitând de proprietatea suplimentară a fiecărei funcții: prima derivată a unei funcții, egală cu zero, indică punctele extreme. Pentru că vârful parabole, indiferent dacă ramurile sale sunt direcționate în sus sau în jos, este un punct extremum, calculați derivata pentru funcția dvs. În formă generală, va arăta ca f(x)=2ax+b. Echivalează-l cu zero și obțineți coordonatele vârfului parabole, corespunzătoare funcției dvs.

4. Încearcă să descoperi top parabole, profitând de proprietățile sale precum simetria. Pentru a face acest lucru, găsiți punctele de intersecție parabole cu axa x, echivalând funcția cu zero (înlocuind y = 0). Când rezolvați o ecuație pătratică, veți găsi x1 și x2. Deoarece parabola este simetrică față de directricea care trece prin top, aceste puncte vor fi echidistante de abscisa vârfului. Pentru a-l detecta, împărțim distanța dintre puncte la jumătate: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Dacă oricare dintre exponenți este zero (în afară de a), calculați coordonatele vârfului parabole folosind formule simplificate. Să presupunem că dacă b = 0, adică ecuația are forma y = ax^2 + c, atunci vârful se va afla pe axa oy și coordonatele sale vor fi egale cu (0; c). Dacă nu numai exponentul b=0, ci și c=0, atunci vârful parabole este situat la origine, punctul (0;0).

Video pe tema

Pornind de la un punct, liniile drepte formează un unghi în care punctul lor comun este vârful. În secțiunea de algebră teoretică, există adesea probleme atunci când trebuie să găsiți coordonatele acesteia culmi, pentru a determina apoi ecuația dreptei care trece prin vârf.

Instrucțiuni

1. Înainte de a începe procesul de găsire a coordonatelor culmi, decideți asupra datelor inițiale. Acceptați că vârful dorit aparține triunghiului ABC, în care sunt cunoscute coordonatele celorlalte 2 vârfuri, precum și valorile numerice colțuri, egal cu „e” și „k” pe latura AB.

2. Combina sistem nou coordonatele pe una dintre laturile triunghiului AB în așa fel încât prefața sistemului de coordonate să coincidă cu punctul A, ale cărui coordonate vă sunt cunoscute. Al doilea vârf B se va afla pe axa OX, iar coordonatele sale sunt, de asemenea, cunoscute de tine. Determinați lungimea laturii AB de-a lungul axei OX în funcție de coordonatele și luați-o egală cu „m”.

3. Coborâți perpendiculara de la necunoscut culmi C față de axa OX și, respectiv, de latura triunghiului AB. Înălțimea rezultată „y” determină valoarea uneia dintre coordonate culmi C de-a lungul axei OY. Să presupunem că înălțimea „y” împarte latura AB în două segmente egale cu „x” și „m – x”.

4. Pentru că știi semnificațiile tuturor colțuri triunghi, ceea ce înseamnă că sunt cunoscute și valorile tangentelor lor. Luați valorile tangentei pentru colțuri, adiacent laturii triunghiului AB, egal cu tan(e) și tan(k).

5. Introduceți ecuațiile pentru 2 drepte care trec de-a lungul laturilor AC și respectiv BC: y = tan(e) * x și y = tan(k) * (m – x). Găsiți apoi intersecția acestor drepte aplicând ecuațiile dreptelor transformate: tan(e) = y/x și tan(k) = y/(m – x).

6. Dacă presupuneți că tan(e)/tan(k) este egal cu (y/x) /(y/ (m – x)) sau mai târziu abreviați „y” – (m – x) / x, veți ajunge cu valorile dorite coordonate egale cu x = m / (tan(e)/tan(k) + e) și y = x * tan(e).

7. Valori de substituție colțuri(e) și (k), precum și valoarea detectată a laturii AB = m în ecuațiile x = m / (tan(e)/tan(k) + e) și y = x * tan(e) ).

8. Convertiți noul sistem de coordonate în sistem initial coordonate, din faptul că s-a stabilit o corespondență unu-la-unu între ele și vei obține coordonatele dorite culmi triunghiul ABC.

Video pe tema

În matematică există un întreg ciclu de identități, printre care ecuațiile pătratice ocupă un loc semnificativ. Astfel de egalități pot fi rezolvate atât separat, cât și pentru a construi grafice pe axa de coordonate. ecuațiile sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei oh.

Forma generală

În general, are următoarea structură:

Atât variabilele individuale, cât și expresiile întregi pot fi considerate „X”. De exemplu:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

În cazul în care rolul lui x este o expresie, este necesar să o reprezentați ca o variabilă și să găsiți.După aceea, egalați polinomul cu ele și găsiți x.

Deci, dacă (x+7)=a, atunci ecuația ia forma a 2 +3a+2=0.

D=32-4*1*2=1;

şi 1 =(-3-1)/2*1=-2;

și 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Cu rădăcini egale cu -2 și -1, obținem următoarele:

x+7=-2 și x+7=-1;

Rădăcinile sunt valoarea coordonatei x a punctului în care parabola intersectează axa x. În principiu, valoarea lor nu este atât de importantă dacă sarcina este doar de a găsi vârful parabolei. Dar pentru trasarea unui grafic, rădăcinile joacă un rol important.

Să revenim la ecuația inițială. Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți vârful unei parabole, trebuie să cunoașteți următoarea formulă:

unde x VP este valoarea coordonatei x a punctului dorit.

Dar cum să găsim vârful unei parabole fără valoarea coordonatei y? Inlocuim valoarea x rezultata in ecuatie si gasim variabila dorita. De exemplu, să rezolvăm următoarea ecuație:

Găsiți valoarea coordonatei x pentru vârful parabolei:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Găsiți valoarea coordonatei y pentru vârful parabolei:

y=2x 2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

Ca urmare, constatăm că vârful parabolei este situat în punctul cu coordonatele (-1,5;-7,25).

O parabolă este o legătură de puncte care are o verticală Din acest motiv, construcția ei în sine nu este deosebit de dificilă. Cel mai dificil lucru este să faci calcule corecte ale coordonatelor punctelor.

Merită plătit Atentie speciala la coeficienții unei ecuații pătratice.

Coeficientul a afectează direcția parabolei. În cazul în care are sens negativ, ramurile vor fi îndreptate în jos, iar când semn pozitiv- sus.

Coeficientul b indică cât de lat va fi brațul parabolei. Cu cât valoarea sa este mai mare, cu atât va fi mai largă.

Coeficientul c indică deplasarea parabolei de-a lungul axei operaționale în raport cu originea.

Am învățat deja cum să găsim vârful unei parabole și pentru a găsi rădăcinile, ar trebui să ne ghidăm după următoarele formule:

unde D este discriminantul necesar pentru a găsi rădăcinile ecuației.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Valorile x rezultate vor corespunde cu valori y zero, deoarece sunt punctele de intersecție cu axa OX.

După aceasta, marchem valorile rezultate în partea de sus a parabolei. Pentru un grafic mai detaliat, trebuie să găsiți mai multe puncte. Pentru a face acest lucru, alegeți orice valoare a lui x permisă de domeniul definiției și înlocuiți-o în ecuația funcției. Rezultatul calculelor va fi coordonata punctului de-a lungul axei op-amp.

Pentru a simplifica procesul de reprezentare grafică, puteți trage o linie verticală prin partea de sus a parabolei și perpendiculară pe axa OX. Acesta va fi cu ajutorul căruia, având un punct, puteți desemna un al doilea, echidistant de linia trasată.

Probabil că toată lumea știe ce este o parabolă. Dar vom analiza mai jos cum să-l folosim corect și competent atunci când rezolvăm diverse probleme practice.

În primul rând, să subliniem conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Să luăm în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Să aflăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construcției curbei (geometrie). Să învățăm cum să găsim vârful și alte valori de bază ale unui grafic de acest tip.

Să aflăm: cum să construiți corect curba dorită folosind ecuația, la ce trebuie să acordați atenție. Să vedem elementele de bază uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată?

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția ramurilor funcției desenând de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 = 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră se va scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei absciselor.

Gama de valori ale funcției – (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția unei curbe de acest tip dintr-o expresie, trebuie să determinați semnul înaintea primului parametru expresie algebrica. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt direcționate în sus. Dacă este invers, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online, dar este mai bine să poți să o faci singur.

Cum să o determine? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Să găsim vârfurile acestei funcție.

Pentru o linie ca aceasta:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Deplasarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt egali cu 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează modificărilor parametrilor b și, respectiv, c. Linia de pe plan va fi deplasată exact cu numărul de unități egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Aceasta înseamnă că forma clasică a curbei se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca elevii să învețe cum să deseneze corect o parabolă folosind parametrii dați.

Analizând expresiile și ecuațiile, puteți vedea următoarele:

Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, punctele de intersecție cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor unei parabole depinde de rezultat:

D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, atunci x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

determinați direcția ramurilor;
găsiți coordonatele vârfului;
găsiți intersecția cu axa ordonatelor;
găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1.

Având în vedere funcția y = x 2 - 5 * x + 4. Este necesară construirea unei parabole. Urmăm algoritmul:

a = 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
se intersectează cu axa ordonatelor la valoarea y = 4;
să găsim discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
caut radacini:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Exemplul 2.

Pentru funcția y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului dat:

a = 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
se va intersecta cu axa y la valoarea y = -1;
să găsim discriminantul: D = 4 + 12 = 16. Deci rădăcinile sunt:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Folosind punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focalizarea lui F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă a unei parabole de o anumită lungime). Ecuația sa este: x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Ne-am uitat la un subiect pe care îl învață școlari liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există o deplasare de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.