Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de a vă familiariza cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și dispersia discretă variabilă aleatorie? Atunci acest subiect va fi foarte interesant pentru tine. Să facem cunoștință cu câteva dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei ramuri a științei.
Să ne amintim elementele de bază
Chiar dacă îți amintești cel mai mult concepte simple teoria probabilității, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Ideea este că fără înţelegere clară de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.
Deci se întâmplă ceva eveniment aleatoriu, un fel de experiment. Ca urmare a acțiunilor pe care le întreprindem, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele apar mai des, altele mai rar. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip la numărul total posibil. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.
In medie
Înapoi la școală, în timpul orelor de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi este acest moment este că o vom întâlni în formulele pentru așteptarea și dispersia matematică a unei variabile aleatoare.
Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din secvență. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi egală cu 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.
Dispersia
În termeni științifici, dispersia este pătratul mediu al abaterilor valorilor obținute ale unei caracteristici de la media aritmetică. Este notat cu o literă latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul existent și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, însumăm tot ceea ce a primit și împărțim la numărul de elemente din succesiune. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.
Dispersia are, de asemenea, proprietăți care trebuie reținute pentru a fi utilizate la rezolvarea problemelor. De exemplu, când crește o variabilă aleatoare de X ori, varianța crește de X ori la pătrat (adică X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor în sus sau în jos în cantități egale. În plus, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.
Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.
Să presupunem că am efectuat 21 de experimente și am obținut 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele de 1, 2, 2, 3, 4, 4 și, respectiv, de 5 ori. Cu ce va fi egală varianța?
Mai întâi, să calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. Împărțiți-o la 7, obținând 3. Acum scădeți 3 din fiecare număr din succesiunea originală, pătrați fiecare valoare și adăugați rezultatele împreună. Rezultatul este 12. Acum tot ce trebuie să facem este să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.
Dependența de numărul de experimente
Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate conține unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde asta?
Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece prin numărul 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.
Sarcină
Să revenim la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor matematice. Am primit un număr intermediar 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.
Valorea estimata
Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Valorea estimata este rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea obținută, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga problemă, indiferent de câte rezultate sunt luate în considerare în ea.
Formula pentru așteptarea matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept nu este greu de calculat. De exemplu, suma valorilor așteptate este egală cu valoarea așteptată a sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Astfel de operatii simple Nu orice cantitate din teoria probabilității vă permite să faceți acest lucru. Să luăm problema și să calculăm semnificația a două concepte pe care le-am studiat deodată. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.
Încă un exemplu
Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilități, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.
Calculăm media aritmetică folosind formula din care ne amintim scoala generala: 50/10 = 5.
Acum să convertim probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a fi mai ușor de numărat. Se obtine 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 si 9. Din fiecare valoare obtinuta scadem media aritmetica, dupa care punem la patrat fiecare dintre rezultatele obtinute. Vedeți cum să faceți acest lucru folosind primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). În continuare: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul corect, atunci după ce le-ați adunat pe toate, veți obține 90.
Să continuăm să calculăm varianța și valoarea așteptată împărțind 90 la N. De ce alegem N mai degrabă decât N-1? Corect, deoarece numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut varianța. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o greșeală simplă în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și probabil totul va fi la locul său.
În cele din urmă, amintiți-vă formula pentru așteptările matematice. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar un răspuns pe care îl puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor necesare. Valoarea așteptată va fi 5,48. Să ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind primele elemente ca exemplu: 0*0,02 + 1*0,1... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.
Deviere
Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este media. deviație standard. Este desemnat fie cu litere latine sd sau greacă minusculă „sigma”. Acest concept arată cât de mult se abate, în medie, valorile caracteristică centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați Rădăcină pătrată din dispersie.
Dacă trasați un grafic de distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătratului direct pe acesta, acest lucru se poate face în mai multe etape. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului ( importanță centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât ariile figurilor rezultate să fie egale. Mărimea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va reprezenta abaterea standard.
Software
După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai simplă procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior institutii de invatamant- se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.
De exemplu, specificați un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
In cele din urma
Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt discutate deja în primele luni de studiu a subiectului. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note proaste la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.
Exersează cel puțin o săptămână, o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teoria probabilităților, veți putea face față exemplelor fără sfaturi străine și cheat sheets.
Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare.Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora:
Exemplu.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Rezolvare: așteptarea matematică este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale lui X și probabilitățile acestora:
M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Pentru a calcula așteptările matematice, este convenabil să efectuați calcule în Excel (mai ales când există multe date), vă sugerăm să utilizați un șablon gata făcut ().
Un exemplu pentru a o rezolva singur (puteți folosi un calculator).
Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X specificate de legea distribuției:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Aşteptarea matematică are următoarele proprietăţi.
Proprietatea 1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi: M(C)=C.
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos ca semn al așteptării matematice: M(CX)=CM(X).
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Problema 189. Aflați așteptările matematice ale variabilei aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Rezolvare: Folosind proprietățile așteptării matematice (așteptările matematice ale sumei este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor; factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice), obținem M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Folosind proprietățile așteptării matematice, demonstrați că: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) așteptarea matematică a abaterii X-M(X) este egală cu zero.
191. O variabilă aleatoare discretă X ia trei valori posibile: x1= 4 Cu probabilitatea p1 = 0,5; xЗ = 6 Cu probabilitatea P2 = 0,3 și x3 cu probabilitatea p3. Aflați: x3 și p3, știind că M(X)=8.
192. Se oferă o listă de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; așteptările matematice ale acestei valori și pătratul ei sunt de asemenea cunoscute: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Aflați probabilitățile p1, p2, p3 corespunzătoare valorilor posibile ale lui xi
194. Un lot de 10 părți conține trei părți nestandard. Două părți au fost selectate la întâmplare. Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X - numărul de părți non-standard dintre două dintre cele selectate.
196. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X-număr de astfel de aruncări de cinci zaruri, în fiecare dintre acestea un punct va apărea pe două zaruri, dacă numărul total de aruncări este douăzeci.
Așteptările matematice ale unei distribuții binomiale este egală cu numărul de încercări înmulțit cu probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Fie ca o variabilă aleatorie să ia numai valori de probabilitate care sunt, respectiv, egale. Atunci așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este determinată de egalitate
Dacă o variabilă aleatorie discretă ia un set numărabil de valori posibile, atunci
Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.
Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o mărime non-aleatoare (constantă).
Definirea așteptării matematice în cazul general
Să determinăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare a cărei distribuție nu este neapărat discretă. Să începem cu cazul variabilelor aleatoare nenegative. Ideea va fi de a aproxima astfel de variabile aleatoare folosind unele discrete pentru care așteptarea matematică a fost deja determinată și de a stabili așteptările matematice egale cu limita așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare discrete care o aproximează. Apropo, aceasta este o idee generală foarte utilă, și anume că o anumită caracteristică este mai întâi determinată pentru obiecte simple, iar apoi pentru obiecte mai complexe este determinată prin aproximarea lor cu altele mai simple.
Lema 1. Fie o variabilă aleatorie nenegativă arbitrară. Apoi există o secvență de variabile aleatoare discrete astfel încât
Dovada. Să împărțim semiaxa în segmente de lungime egală și să determinăm
Apoi proprietățile 1 și 2 urmează cu ușurință din definiția unei variabile aleatoare și
Lema 2. Fie o variabilă aleatoare nenegativă și două secvențe de variabile aleatoare discrete care posedă proprietățile 1-3 din lema 1. Atunci
Dovada. Rețineți că pentru variabile aleatoare nenegative permitem
În virtutea proprietății 3, este ușor de observat că există o succesiune de numere pozitive astfel încât
Rezultă că
Folosind proprietățile așteptărilor matematice pentru variabile aleatoare discrete, obținem
Trecând la limita de la obținem afirmația Lemei 2.
Definiție 1. Fie o variabilă aleatoare nenegativă, - o secvență de variabile aleatoare discrete care au proprietăți 1-3 din Lema 1. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este numărul
Lema 2 garantează că nu depinde de alegerea secvenței de aproximare.
Să fie acum o variabilă aleatorie arbitrară. Să definim
Din definiție și rezultă ușor că
Definiţia 2. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare arbitrare este numărul
Dacă cel puțin unul dintre numerele din partea dreaptă a acestei egalități este finit.
Proprietățile așteptărilor matematice
Proprietatea 1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși:
Dovada. Vom considera o constantă ca o variabilă aleatoare discretă care are o valoare posibilă și o ia cu probabilitate, prin urmare,
Observație 1. Să definim produsul unei variabile constante cu o variabilă aleatoare discretă ca o aleatoare discretă ale cărei valori posibile sunt egale cu produsele constantei prin valorile posibile; probabilitățile valorilor posibile sunt egale cu probabilitățile valorilor posibile corespunzătoare. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este egală, atunci probabilitatea ca valoarea să ia valoarea este, de asemenea, egală
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:
Dovada. Fie variabila aleatoare dată de legea distribuției probabilităților:
Ținând cont de Observația 1, scriem legea de distribuție a variabilei aleatoare
Observația 2. Înainte de a trece la următoarea proprietate, subliniem că două variabile aleatoare sunt numite independente dacă legea de distribuție a uneia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă variabilă. În caz contrar, variabilele aleatoare sunt dependente. Mai multe variabile aleatoare sunt numite independent reciproc dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat variabilele rămase.
Observația 3. Să definim produsul variabilelor aleatoare independente și ca o variabilă aleatoare ale cărei valori posibile sunt egale cu produsele fiecărei valori posibile cu fiecare valoare posibilă, probabilitățile valorilor posibile ale produsului sunt egale cu produsele probabilităților valorilor posibile ale factorilor. De exemplu, dacă probabilitatea unei valori posibile este, probabilitatea unei valori posibile este atunci probabilitatea unei valori posibile este
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
Dovada. Fie specificate variabile aleatoare independente prin propriile lor legi de distribuție a probabilității:
Să compilam toate valorile pe care le poate lua o variabilă aleatorie. Pentru a face acest lucru, să înmulțim toate valorile posibile cu fiecare valoare posibilă; Ca urmare, obținem și, ținând cont de Observația 3, scriem legea distribuției, presupunând, pentru simplitate, că toate valorile posibile ale produsului sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrația se realizează într-un mod similar):
Așteptările matematice sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile și probabilitățile acestora:
Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
Dovada. Fie variabile aleatoare și specificate de următoarele legi de distribuție:
Să compilam toate valorile posibile ale unei cantități. Pentru a face acest lucru, adăugăm fiecare valoare posibilă la fiecare valoare posibilă; obținem. Să presupunem, pentru simplitate, că aceste valori posibile sunt diferite (dacă nu este cazul, atunci demonstrația este efectuată într-un mod similar) și notăm probabilitățile lor, respectiv, prin și
Așteptările matematice ale unei valori este egală cu suma produselor valorilor posibile și probabilitățile acestora:
Să demonstrăm că un Eveniment care va lua valoarea (probabilitatea acestui eveniment este egală) implică un eveniment care va lua valoarea sau (probabilitatea acestui eveniment prin teorema adunării este egală) și invers. Prin urmare, rezultă că egalitățile sunt dovedite în mod similar
Înlocuind părțile din dreapta acestor egalități în relație (*), obținem
sau in sfarsit
Varianta si abaterea standard
În practică, este adesea necesar să se estimeze dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii. De exemplu, în artilerie este important să știți cât de aproape vor cădea obuzele lângă ținta care urmează să fie lovită.
La prima vedere, poate părea că cel mai simplu mod de a estima dispersia este de a calcula toate abaterile posibile ale unei variabile aleatoare și apoi de a găsi valoarea medie a acestora. Cu toate acestea, această cale nu va da nimic, deoarece valoarea medie a abaterii, i.e. pentru orice variabilă aleatoare este egală cu zero. Această proprietate se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, în timp ce altele sunt negative; ca urmare a anulării lor reciproce, valoarea medie a abaterii este zero. Aceste considerații indică oportunitatea înlocuirii posibilelor abateri cu valorile lor absolute sau cu pătratele lor. Asta fac ei în practică. Adevărat, în cazul în care posibilele abateri sunt înlocuite cu valori absolute, trebuie să se opereze cu valori absolute, ceea ce duce uneori la dificultăți serioase. Prin urmare, cel mai adesea ei iau o cale diferită, de exemplu. calculați valoarea medie a abaterii pătrate, care se numește dispersie.
Așteptările și varianța sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția și gradul de împrăștiere a acesteia. În multe probleme practice, o caracteristică completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, se limitează la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.
Valoarea așteptată este adesea numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, răspândirea unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.
Așteptarea unei variabile aleatoare discrete
Să abordăm conceptul de așteptare matematică, mai întâi pe baza interpretării mecanice a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare de p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să se selecteze un punct pe axa absciselor, care să caracterizeze poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, la care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare obţinută în acest fel X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1. A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt 10 ruble. 300 - 20 de ruble fiecare. 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru cineva care cumpără un bilet?
Soluţie. Vom găsi câștigurile medii dacă împărțim suma totală a câștigurilor, care este 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, la 1000 (valoarea totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigurilor medii poate fi prezentată în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, mărimea câștigătoare este o variabilă aleatorie, care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii câștigurilor și a probabilității de a le primi.
Exemplul 2. Editura a decis să publice o nouă carte. El plănuiește să vândă cartea cu 280 de ruble, din care el însuși va primi 200, 50 - librăria și 30 - autorul. Tabelul oferă informații despre costurile publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Soluţie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzări și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3. Probabilitatea de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de proiectile care oferă o așteptare matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Soluţie. Din aceeași formulă de așteptare matematică pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de coajă:
.
Exemplul 4. Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea unei lovituri la fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea de valori ale variabilelor aleatoare prin formula lui Bernoulli .
Proprietățile așteptărilor matematice
Să luăm în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale unui produs de variabile aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile unei variabile aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar CU, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu te poți limita doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza suficient o variabilă aleatoare.
Fie variabilele aleatoare XȘi Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, modelele lor de distribuție sunt diferite. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care diferă puțin de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu face posibilă judecarea ponderii lucrătorilor cu plăți mari și slabe. Cu alte cuvinte, nu se poate judeca din așteptarea matematică ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța variabilei aleatoare.
Varianta unei variabile aleatoare discrete
Varianta variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale se numește:
.
Exemplul 5. Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare XȘi Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Soluţie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare XȘi Y, așa cum s-a găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie la E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare XȘi Y inventa
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mic, dar o variabilă aleatorie Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferențelor în distribuția lor.
Exemplul 6. Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard pentru fiecare alternativă.
Soluţie. Să arătăm cum se calculează aceste valori pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceleași așteptări matematice. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât este mai mare riscul investiției. Un investitor care nu dorește mult risc va alege proiectul 1, deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Daca un investitor prefera riscul si randamente mari intr-o perioada scurta, atunci va alege proiectul cu cel mai mare deviație standard- proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Varianta unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7. Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Soluţie. Să notăm prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptarea matematică:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a dispersiei:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi uitați-vă la soluție
Exemplul 8. Variabilă aleatorie discretă X ia doar două valori. Acceptă cea mai mare dintre valorile 3 cu probabilitatea 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare.
Exemplul 9.Într-o urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. Din urnă se extrag 3 bile. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptarea și varianța unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, al cărei argument al funcției Xi se schimbă brusc; pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată funcția de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X este valoarea medie.
1. M(C) = C
2. M(CX) = CM(X), Unde C= const
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)
4. Dacă variabile aleatorii XȘi Y sunt independente, atunci M(XY) = M(X) M(Y)
Dispersia
Se numește varianța unei variabile aleatoare X
D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).
Dispersia este o măsură a abaterii valorilor unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia.
1. D(C) = 0
2. D(X + C) = D(X)
3. D(CX) = C 2 D(X), Unde C= const
4. Pentru variabile aleatoare independente
D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)
Rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare X se numește abatere standard 
.
@ Sarcina 3: Fie ca variabila aleatoare X să ia doar două valori (0 sau 1) cu probabilități q, p, Unde p + q = 1. Găsiți așteptările și varianța matematică.
Soluţie:
M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.
@ Sarcina 4: Aşteptarea şi varianţa unei variabile aleatoare X sunt egale cu 8. Aflați așteptarea matematică și varianța variabilelor aleatoare: a) X – 4; b) 3X – 4.
Rezolvare: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.
@Sarcina 5: Totalitatea familiilor are următoarea distribuție după numărul de copii:
| x i | x 1 | x 2 | ||
| p i | 0,1 | p2 | 0,4 | 0,35 |
Defini x 1, x 2Și p2, dacă se știe că M(X) = 2; D(X) = 0,9.
Rezolvare: Probabilitatea p 2 este egală cu p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Necunoscutele x se găsesc din ecuațiile: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.
Populație și eșantion. Estimări ale parametrilor
Observație selectivă
Observarea statistică poate fi organizată continuu sau nu. Observarea continuă presupune examinarea tuturor unităților populației studiate ( populatia). Populația acesta este un ansamblu de persoane fizice sau juridice pe care cercetătorul le studiază conform sarcinii sale. Acest lucru nu este adesea viabil din punct de vedere economic și uneori imposibil. În acest sens, doar o parte din populația generală este studiată - populația eșantionului .
Rezultatele obținute dintr-o populație eșantion pot fi extinse la populația generală dacă sunt respectate următoarele principii:
1. Populația eșantionului trebuie determinată aleatoriu.
2. Numărul de unități din populația eșantionului trebuie să fie suficient.
3. Trebuie furnizat reprezentativitate ( reprezentativitatea) eşantionului. Un eșantion reprezentativ este un model mai mic, dar precis al populației pe care intenționează să o reflecte.
Tipuri de mostre
Următoarele tipuri de probe sunt utilizate în practică:
a) strict aleatoriu, b) mecanic, c) tipic, d) serial, e) combinat.
Eșantionare aleatorie adecvată
La eșantion real aleatoriu selecția unităților din populația eșantion se realizează în mod aleatoriu, de exemplu, prin tragere la sorți sau folosind un generator de numere aleatorii.
Probele pot fi repetate sau nerepetate. La reeșantionare, o unitate care este eșantionată este returnată și păstrează șanse egale de a fi eșantionată din nou. În eșantionarea nerepetitivă, o unitate de populație care este inclusă în eșantion nu mai participă la eșantion în viitor.
Erorile inerente observării prin eșantionare, apărute din cauza faptului că populația eșantionului nu reproduce complet populația generală, se numesc erori standard . Ele reprezintă diferența pătratică medie dintre valorile indicatorilor obținuți din eșantion și valorile corespunzătoare ale indicatorilor populației generale.
Formulele de calcul pentru eroarea standard pentru eșantionarea repetă aleatorie sunt următoarele: , iar pentru eșantionarea nerepetitivă aleatorie, după cum urmează: 
, unde S 2 este varianța populației eșantionului, n/N – cotă de eșantion, n, N- numărul de unități din eșantion și populația generală. La n = N eroare standard m = 0.
Prelevare mecanică de probe
La prelevare mecanică de probe Populația este împărțită în intervale egale și o unitate este selectată aleatoriu din fiecare interval.
De exemplu, cu o rată de eșantionare de 2%, fiecare a 50-a unitate este selectată din lista populației.
Eroarea standard a eșantionării mecanice este definită ca eroarea unei eșantionări nerepetitive cu adevărat aleatorii.
Probă tipică
La eșantion tipic populația generală este împărțită în grupuri tipice omogene, apoi unitățile sunt selectate aleatoriu din fiecare grup.
Un eșantion tipic este utilizat în cazul unei populații eterogene. Un eșantion tipic oferă rezultate mai precise deoarece asigură reprezentativitate.
De exemplu, profesorii, ca populație generală, sunt împărțiți în grupuri după următoarele criterii: gen, experiență, calificări, educație, școli urbane și rurale etc.
Erorile standard ale unui eșantion tipic sunt definite ca erori ale unui eșantion cu adevărat aleatoriu, cu singura diferență S 2 se înlocuiește cu media variațiilor în interiorul grupului.
Eșantionare în serie
La eșantionare în serie populația generală este împărțită în grupuri (serii) separate, apoi grupurile selectate aleatoriu sunt supuse observării continue.
Erorile standard ale unui eșantion în serie sunt definite ca erori ale unui eșantion cu adevărat aleatoriu, singura diferență fiind aceea că S 2 se înlocuiește cu media variațiilor între grupuri.
Probă combinată
Probă combinată este o combinație de două sau mai multe tipuri de mostre.
Estimare punctuală
Scopul final al observării eșantionului este de a găsi caracteristicile populației. Deoarece acest lucru nu se poate face direct, caracteristicile populației eșantionului sunt extinse la populația generală.
Este dovedită posibilitatea fundamentală de determinare a mediei aritmetice a populaţiei din datele eşantionului mediu teorema lui Cebyshev. Cu mărire nelimitată n probabilitatea ca diferența dintre media eșantionului și media generală să fie arbitrar mică tinde spre 1.
Aceasta înseamnă că caracteristicile populației cu o precizie de . Această evaluare se numește punct .
Estimarea intervalului
Baza estimării intervalului este teorema limitei centrale.
Estimarea intervalului ne permite să răspundem la întrebarea: în ce interval și cu ce probabilitate este situată valoarea necunoscută, dorită, a parametrului populației?
De obicei vorbim despre probabilitatea de încredere p = 1 – a, cu care va fi în interval – D< < + D, где D = t cr m > 0 eroare marginală mostre, a - nivelul de semnificație (probabilitatea ca inegalitatea să fie falsă), t cr- valoare critică, care depinde de valori n si a. Pentru un eșantion mic n< 30 t cr este specificat folosind valoarea critică a distribuției t Student pentru un test cu două fețe cu n– 1 grad de libertate cu nivelul de semnificație a ( t cr(n – 1, a) se regăsește din tabelul „Valori critice ale distribuției t a lui Student”, Anexa 2). Pentru n > 30, t cr- acesta este o cuantilă legea normală distribuții ( t cr se găsește din tabelul de valori al funcției Laplace F(t) = (1 – a)/2 ca argument). La p = 0,954 valoarea critică t cr= 2 la p = 0,997 valoare critică t cr= 3. Aceasta înseamnă că eroarea marginală este de obicei de 2-3 ori mai mare decât eroarea standard.
Astfel, esența metodei de eșantionare este că, pe baza datelor statistice ale unei anumite părți mici a populației, este posibil să se găsească un interval în care, cu o probabilitate de încredere p se constată caracteristica dorită a populaţiei generale (număr mediu de muncitori, scor mediu, randament mediu, abatere standard etc.).
@Sarcina 1. Pentru a determina viteza decontărilor cu creditorii întreprinderilor corporative, a fost efectuat un eșantion aleatoriu de 100 de documente de plată într-o bancă comercială, conform căruia termen mediu transferul și primirea banilor s-au dovedit a fi de 22 de zile (= 22) cu o abatere standard de 6 zile (S = 6). Cu probabilitate p= 0,954 determină eroarea maximă a mediei eșantionului și intervalul de încredere al duratei medii a decontărilor întreprinderilor acestei corporații.
Rezolvare: Eroarea marginală a mediei eșantionului conform(1)egal cu D= 2· 0,6 = 1,2, iar intervalul de încredere este definit ca (22 – 1,2; 22 + 1,2), i.e. (20,8; 23,2).
§6.5 Corelaţie şi regresie
