Proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor.
Proprietatea comutativă a adunării: atunci când termenii sunt rearanjați, valoarea sumei nu se modifică. Pentru orice numere a și b, egalitatea este adevărată
Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată
Proprietatea comutativă a înmulțirii: permutarea factorilor nu modifică valoarea produsului. Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată
Proprietatea asociativă a înmulțirii: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea.
Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată
Proprietate distributivă: Pentru a înmulți un număr cu o sumă, puteți înmulți acel număr cu fiecare termen și adăugați rezultatele. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată
Din proprietățile comutative și asociative ale adunării rezultă că în orice sumă puteți rearanja termenii după cum doriți și îi puteți combina în grupuri într-un mod arbitrar.
Exemplul 1 Să calculăm suma 1,23+13,5+4,27.
Pentru a face acest lucru, este convenabil să combinați primul termen cu al treilea. Primim:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Din proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii rezultă: în orice produs, puteți rearanja factorii în orice fel și îi puteți combina în mod arbitrar în grupuri.
Exemplul 2 Să aflăm valoarea produsului 1,8 0,25 64 0,5.
Combinând primul factor cu al patrulea și al doilea cu al treilea, vom avea:
1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.
Proprietatea de distribuție este valabilă și atunci când numărul este înmulțit cu suma a trei sau mai mulți termeni.
De exemplu, pentru orice numere a, b, c și d, egalitatea este adevărată
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Știm că scăderea poate fi înlocuită cu adunarea prin adăugarea la minuend a numărului opus scăderii:
Aceasta permite o expresie numerică tipul a-b consideram suma numerelor a si -b, consideram o expresie numerica de forma a + b-c-d ca suma numerelor a, b, -c, -d etc. Proprietatile luate in considerare ale actiunilor sunt valabile si pentru astfel de sume.
Exemplul 3 Să găsim valoarea expresiei 3,27-6,5-2,5+1,73.
Această expresie este suma numerelor 3,27, -6,5, -2,5 și 1,73. Aplicând proprietățile de adunare, obținem: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -patru.
Exemplul 4 Să calculăm produsul 36·().
Multiplicatorul poate fi considerat ca suma numerelor și -. Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, obținem:
36()=36-36=9-10=-1.
Identități
Definiție. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare a variabilelor se spune că sunt identic egale.
Definiție. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.
Să găsim valorile expresiilor 3(x+y) și 3x+3y pentru x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
Am obtinut acelasi rezultat. Din proprietate distributivă rezultă că, în general, pentru orice valori ale variabilelor, valorile corespunzătoare ale expresiilor 3(x+y) și 3x+3y sunt egale.
Luați în considerare acum expresiile 2x+y și 2xy. Pentru x=1, y=2 ele iau valori egale:
Cu toate acestea, puteți specifica valorile x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x=3, y=4, atunci
Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale.
Egalitatea 3(x+y)=x+3y, adevărată pentru orice valori ale lui x și y, este o identitate.
Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități.
Deci, identitățile sunt egalități care exprimă principalele proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Alte exemple de identități pot fi date:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Transformări identitare ale expresiilor
Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu ea, se numește transformare identică sau pur și simplu transformare a unei expresii.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Pentru a găsi valoarea expresiei xy-xz având în vedere valorile x, y, z, trebuie să efectuați trei pași. De exemplu, cu x=2,3, y=0,8, z=0,2 obținem:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Acest rezultat poate fi obținut în doar două etape, folosind expresia x(y-z), care este identic egală cu expresia xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.
Am simplificat calculele prin înlocuirea expresiei xy-xz cu expresia identic egală x(y-z).
Transformările de identitate ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. niste transformări identice deja trebuia să efectueze, de exemplu, reducerea termenilor similari, deschiderea parantezelor. Amintiți-vă regulile pentru efectuarea acestor transformări:
pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei;
dacă în fața parantezelor există un semn plus, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze;
dacă există un semn minus înaintea parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnului fiecărui termen cuprins între paranteze.
Exemplul 1 Să adăugăm termeni similari în suma 5x+2x-3x.
Folosim regula pentru reducerea termenilor similari:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii.
Exemplul 2 Să extindem parantezele din expresia 2a+(b-3c).
Aplicarea regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul plus:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea asociativă a adunării.
Exemplul 3 Să extindem parantezele din expresia a-(4b-c).
Să folosim regula pentru extinderea parantezelor precedate de semnul minus:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii și proprietatea asociativă a adunării. Să o arătăm. Să reprezentăm al doilea termen -(4b-c) din această expresie ca un produs (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Aplicând aceste proprietăți ale acțiunilor, obținem:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.
De exemplu, în expresia 3+x, numărul 3 poate fi înlocuit cu suma 1+2 , care are ca rezultat expresia (1+2)+x , care este identic egală cu expresia originală. Un alt exemplu: în expresia 1+a 5 gradul a 5 poate fi înlocuit cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a·a 4 . Aceasta ne va da expresia 1+a·a 4 .
Această transformare este, fără îndoială, artificială și este de obicei o pregătire pentru o transformare ulterioară. De exemplu, în suma 4·x 3 +2·x 2 , ținând cont de proprietățile gradului, termenul 4·x 3 poate fi reprezentat ca un produs 2·x 2 ·2·x . După o astfel de transformare, expresia originală va lua forma 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Evident, termenii din suma rezultată au un factor comun 2 x 2, deci putem efectua următoarea transformare - paranteze. După aceasta, vom ajunge la expresia: 2 x 2 (2 x+1) .
Adunarea și scăderea aceluiași număr
O altă transformare artificială a unei expresii este adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp. O astfel de transformare este identică, deoarece este, de fapt, echivalentă cu adăugarea zero, iar adăugarea zero nu schimbă valoarea.
Luați în considerare un exemplu. Să luăm expresia x 2 +2 x . Dacă adăugați unul și scădeți unul, atunci acest lucru vă va permite să efectuați o altă transformare identică în viitor - selectați pătratul binomului: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.
De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.
Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
Pe gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.
De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților ei. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.
Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:
Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
Utilizați de obicei următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe
Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să facă față mai mult decât alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.
Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de transformat (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - suma pătratului este egală cu suma pătrate și produs dublu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
Expresii numerice și algebrice. Conversia expresiei.
Ce este o expresie în matematică? De ce sunt necesare conversiile expresiilor?
Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Faptul este că aceste concepte stau la baza tuturor matematicii. Toată matematica constă din expresii și transformările lor. Nu foarte clar? Lasă-mă să explic.
Să presupunem că ai un exemplu rău. Foarte mare și foarte complex. Să zicem că ești bun la matematică și nu ți-e frică de nimic! Poti sa raspunzi imediat?
Va trebui rezolva acest exemplu. Secvenţial, pas cu pas, acest exemplu simplifica. De anumite reguli, firesc. Acestea. do conversia expresiei. Cât de bine realizați aceste transformări, deci sunteți puternic la matematică. Dacă nu știi să faci transformările corecte, la matematică nu poți face nimic...
Pentru a evita un viitor atât de incomod (sau prezent...), nu strică să înțelegi acest subiect.)
Pentru început, să aflăm ce este o expresie în matematică. Ce expresie numerică si ce este expresie algebrica.
Ce este o expresie în matematică?
Exprimarea în matematică este un concept foarte larg. Aproape tot ceea ce ne ocupăm în matematică este un set de expresii matematice. Orice exemple, formule, fracții, ecuații și așa mai departe - toate constă în expresii matematice.
3+2 este o expresie matematică. c 2 - d 2 este, de asemenea, o expresie matematică. Și o fracție sănătoasă și chiar un număr - toate acestea sunt expresii matematice. Ecuația, de exemplu, este:
5x + 2 = 12
constă din două expresii matematice legate printr-un semn egal. O expresie este în stânga, cealaltă este în dreapta.
LA vedere generala termen " expresie matematică" este folosit, cel mai adesea, pentru a nu bolborosi. Te vor întreba ce este o fracție obișnuită, de exemplu? Și cum să răspunzi?!
Răspunsul 1: „Este... m-m-m-m... asa ceva... in care... Pot sa scriu mai bine o fractiune? Pe care o vrei?"
Al doilea răspuns: " Fracție comună Aceasta este (cu bucurie și cu bucurie!) expresie matematică , care constă dintr-un numărător și un numitor!"
A doua opțiune este oarecum mai impresionantă, nu?)
În acest scop, sintagma „ expresie matematică „foarte bine. Si corecte si solide. Dar pt aplicație practică ar trebui să fie bine familiarizat tipuri specifice de expresii în matematică .
Tipul specific este o altă problemă. aceasta cu totul altceva! Fiecare tip de expresie matematică are A mea un set de reguli și tehnici care trebuie utilizate în decizie. Pentru a lucra cu fracții - un set. Pentru lucrul cu expresii trigonometrice - a doua. Pentru lucrul cu logaritmi - al treilea. Si asa mai departe. Undeva aceste reguli coincid, undeva diferă puternic. Dar nu vă temeți de aceste cuvinte groaznice. Logaritmi, trigonometrie și alte lucruri misterioase pe care le vom stăpâni în secțiunile relevante.
Aici vom stăpâni (sau - repetați, după cum doriți...) două tipuri principale de expresii matematice. Expresii numerice și expresii algebrice.
Expresii numerice.
Ce expresie numerică? Acesta este un concept foarte simplu. Numele însuși sugerează că aceasta este o expresie cu numere. Așa este. Expresie matematică alcătuită din numere, paranteze și semne operatii aritmetice se numește expresie numerică.
7-3 este o expresie numerică.
(8+3.2) 5.4 este de asemenea o expresie numerică.
Și acest monstr:
tot o expresie numerică, da...
Un număr obișnuit, o fracție, orice exemplu de calcul fără x și alte litere - toate acestea sunt expresii numerice.
caracteristica principală numeric expresii din ea fara litere. Nici unul. Doar numere și pictograme matematice (dacă este necesar). E simplu, nu?
Și ce se poate face cu expresiile numerice? Expresiile numerice pot fi de obicei numărate. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să deschideți paranteze, să schimbați semnele, să prescurtați, să schimbați termeni - de ex. do conversii de expresie. Dar mai multe despre asta mai jos.
Aici ne vom ocupa de un caz atât de amuzant când cu o expresie numerică nu trebuie să faci nimic. Ei bine, nimic! Această operațiune frumoasă A nu face nimic)- se execută atunci când expresia nu are sens.
Când nu are sens o expresie numerică?
Desigur, dacă vedem un fel de abracadabra în fața noastră, cum ar fi
atunci nu vom face nimic. Din moment ce nu este clar ce să faci cu el. Niște prostii. Cu excepția cazului în care, pentru a număra numărul de plusuri...
Dar în exterior există expresii destul de decente. De exemplu aceasta:
(2+3) : (16 - 2 8)
Cu toate acestea, această expresie este de asemenea nu are sens! Din simplul motiv că în a doua paranteză - dacă numărați - obțineți zero. Nu poți împărți la zero! Aceasta este o operație interzisă în matematică. Prin urmare, nici cu această expresie nu este nevoie să faceți nimic. Pentru orice sarcină cu o astfel de expresie, răspunsul va fi întotdeauna același: „Expresia nu are sens!”
Pentru a da un astfel de răspuns, desigur, a trebuit să calculez ce ar fi între paranteze. Și uneori între paranteze o astfel de răsucire... Ei bine, nu e nimic de făcut în privința asta.
Nu există atât de multe operații interzise în matematică. Există doar unul în acest thread. Impartirea cu zero. Interdicțiile suplimentare care apar în rădăcini și logaritmi sunt discutate în subiectele relevante.
Deci, o idee despre ce este expresie numerică- primit. concept expresia numerică nu are sens- realizat. Să mergem mai departe.
Expresii algebrice.
Dacă într-o expresie numerică apar litere, această expresie devine... Expresia devine... Da! Devine expresie algebrica. De exemplu:
5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...
Astfel de expresii se mai numesc expresii literale. Sau expresii cu variabile. Este practic același lucru. Expresie 5a +c, de exemplu - atât literal cât și algebric și expresie cu variabile.
concept expresie algebrica - mai larg decât numeric. Aceasta includeși toate expresiile numerice. Acestea. o expresie numerică este și o expresie algebrică, doar fără litere. Fiecare hering este un pește, dar nu orice pește este un hering...)
De ce literal- Este curat. Ei bine, din moment ce există litere... Expresie expresie cu variabile de asemenea, nu foarte perplex. Dacă înțelegi că numerele sunt ascunse sub litere. Tot felul de numere pot fi ascunse sub litere ... Și 5, și -18, și orice doriți. Adică o scrisoare poate a inlocui pe numere diferite. De aceea se numesc literele variabile.
În expresie y+5, de exemplu, la- variabil. Sau doar spune " variabil", fără cuvântul „valoare”. Spre deosebire de cele cinci, care este o valoare constantă. Sau pur și simplu - constant.
Termen expresie algebricaînseamnă că pentru a lucra cu această expresie, trebuie să folosiți legile și regulile algebră. Dacă aritmetic funcționează cu numere specifice, atunci algebră- cu toate numerele deodată. Un exemplu simplu pentru clarificare.
În aritmetică, se poate scrie asta
Dar dacă scriem o egalitate similară prin expresii algebrice:
a + b = b + a
vom decide imediat Toata lumeaîntrebări. Pentru toate numerele accident vascular cerebral. Pentru un număr infinit de lucruri. Pentru că sub litere Ași b subînțeles Toata lumea numere. Și nu numai numere, ci chiar și alte expresii matematice. Așa funcționează algebra.
Când nu are sens o expresie algebrică?
Totul este clar despre expresia numerică. Nu poți împărți la zero. Și cu litere, este posibil să aflăm cu ce împărțim?!
Să luăm ca exemplu următoarea expresie variabilă:
2: (A - 5)
Are sens? Dar cine îl cunoaște? A- orice număr...
Oricare, orice... Dar există un singur sens A, pentru care această expresie exact nu are sens! Și care este acel număr? Da! Este 5! Dacă variabila Aînlocuiți (se spune - „înlocuitor”) cu numărul 5, între paranteze, va ieși zero. care nu poate fi divizat. Deci, se dovedește că expresia noastră nu are sens, dacă a = 5. Dar pentru alte valori A are sens? Puteți înlocui alte numere?
Desigur. În astfel de cazuri, se spune pur și simplu că expresia
2: (A - 5)
are sens pentru orice valoare A, cu excepția a = 5 .
Întregul set de numere poate sa substitut în expresia dată se numește zonă valori admise această expresie.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat. Ne uităm la expresia cu variabile și ne gândim: la ce valoare a variabilei se obține operația interzisă (diviziunea la zero)?
Și apoi asigurați-vă că vă uitați la întrebarea sarcinii. Ce intreaba ei?
nu are sens, valoarea noastră interzisă va fi răspunsul.
Dacă întrebi, la ce valoare expresie variabilă are sensul(simți diferența!), răspunsul va fi toate celelalte numere cu excepția celor interzise.
De ce avem nevoie de sensul expresiei? El este acolo, nu este... Care este diferența?! Cert este că acest concept devine foarte important în liceu. Foarte important! Aceasta este baza unor astfel de concepte solide, cum ar fi domeniul de valori valide sau domeniul de aplicare al unei funcții. Fără aceasta, nu veți putea rezolva deloc ecuații sau inegalități serioase. Ca aceasta.
Conversia expresiei. Transformări de identitate.
Ne-am familiarizat cu expresiile numerice și algebrice. Înțelegeți ce înseamnă expresia „expresia nu are sens”. Acum trebuie să ne dăm seama ce conversia expresiei. Răspunsul este simplu, scandalos.) Aceasta este orice acțiune cu o expresie. Si asta e. Tu faci aceste transformări încă de la prima clasă.
Luați expresia numerică cool 3+5. Cum poate fi convertit? Da, foarte usor! Calculati:
Acest calcul va fi transformarea expresiei. Puteți scrie aceeași expresie într-un mod diferit:
Nu am numărat nimic aici. Doar scrieți expresia într-o formă diferită. Aceasta va fi, de asemenea, o transformare a expresiei. Se poate scrie asa:
Și aceasta este, de asemenea, transformarea unei expresii. Puteți face oricâte dintre aceste transformări doriți.
Orice acţiune asupra unei expresii orice scrierea lui într-o formă diferită se numește transformare de expresie. Și toate lucrurile. Totul este foarte simplu. Dar este un lucru aici regula foarte importanta. Atât de important încât poate fi apelat în siguranță regula principala toată matematica. Încălcarea acestei reguli inevitabil duce la erori. înțelegem?)
Să presupunem că ne-am transformat expresia în mod arbitrar, astfel:
Transformare? Desigur. Am scris expresia într-o formă diferită, ce este greșit aici?
Nu e așa.) Cert este că transformările "tot ceea ce" matematica nu este deloc interesată.) Toată matematica este construită pe transformări în care aspectul se schimbă, dar esența expresiei nu se schimbă. Trei plus cinci pot fi scrise sub orice formă, dar trebuie să fie opt.
transformări, expresii care nu schimbă esența numit identic.
Exact transformări identiceși permiteți-ne, pas cu pas, să ne transformăm exemplu complexîntr-o expresie simplă, păstrând esența exemplului. Dacă greșim în lanțul transformărilor, vom face o transformare NU identică, atunci vom decide un alt exemplu. Cu alte răspunsuri care nu au legătură cu cele corecte.)
Aici este regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: respectarea identității transformărilor.
Am dat un exemplu cu o expresie numerică 3 + 5 pentru claritate. În expresiile algebrice, transformările identice sunt date prin formule și reguli. Să presupunem că există o formulă în algebră:
a(b+c) = ab + ac
Deci, în orice exemplu, putem în loc de expresie a(b+c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie ab+ac. Si invers. aceasta transformare identică. Matematica ne oferă posibilitatea de a alege dintre aceste două expresii. Și din care să scrieți studiu de caz depinde.
Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări este proprietatea de bază a unei fracții. Puteți vedea mai multe detalii la link, dar aici reamintesc doar regula: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr sau cu o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica. Iată un exemplu de transformări identice pentru această proprietate:
După cum probabil ați ghicit, acest lanț poate fi continuat la nesfârșit...) O proprietate foarte importantă. Acesta vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)
Există multe formule care definesc transformări identice. Dar cel mai important - o sumă destul de rezonabilă. Una dintre transformările de bază este factorizarea. Este folosit în toate matematicile - de la elementar la avansat. Să începem cu el. în lecția următoare.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă pentru
Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:
„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.
Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini.
Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la un număr (doar!) obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).
Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fii capabil se ocupă de fracțiiși factorizarea polinoamelor.
Prin urmare, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.
Citit? Dacă da, atunci ești gata.
Sa mergem sa mergem!)
Operații de simplificare a expresiei de bază
Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.
Cel mai simplu dintre ele este
1. Aducerea asemănătoare
Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre.
Similar sunt termeni (monoame) cu aceeași parte de literă.
De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.
Amintit?
Aduceți similare- înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul cu celălalt și a obține un termen.
Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.
Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte.
De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia?
Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .
Acum încearcă această expresie:
Ca să nu te încurci, hai litere diferite reprezintă lucruri diferite.
De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă.
scaune mese scaune mese scaune scaune mese
Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți.
De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.
Deci, regula pentru a aduce similare:
Exemple:
Aduceți similare:
Raspunsuri:
2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).
2. Factorizarea
Aceasta este de obicei cea mai importantă parte în simplificarea expresiilor.
După ce ați dat altele similare, cel mai adesea este nevoie de expresia rezultată factorizați, adică reprezintă ca produs.
Mai ales asta important în fracții: deoarece pentru a reduce fracția, numărătorul și numitorul trebuie exprimate ca produs.
Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat.
Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple (trebuie să factorizați)
Exemple:
Solutii:
3. Reducerea fracțiilor.
Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?
Aceasta este frumusețea abrevierilor.
E simplu:
Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.
Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:
Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).
Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.
Exemple:
Principiul, cred, este clar?
Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărătorul și numitorul după același număr.
Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.
De exemplu: trebuie să simplificați.
Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.
Un alt exemplu: reduce.
„Cel mai inteligent” va face asta:
Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.
Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine nu este descompus în factori.
Iată un alt exemplu: .
Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:
Puteți împărți imediat la:
Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoară cum să determinați dacă o expresie este factorizată:
Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”.
Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori).
Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).
Pentru a rezolva singur, câteva exemple:
Exemple:
Solutii:
4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunare si scadere fracții obișnuite- operația este binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.
Să ne amintim:
Raspunsuri:
1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:
2. Aici numitorul comun este:
3. Primul lucru aici fractii mixte transforma-le în unele greșite și apoi - conform schemei obișnuite:
Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:
Să începem simplu:
a) Numitorii nu conțin litere
Aici totul este la fel ca la obișnuit fractii: găsiți numitorul comun, înmulțiți fiecare fracție cu factorul lipsă și adăugați/scădeți numărătorii:
acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:
Incearca-l tu insuti:
Raspunsuri:
b) Numitorii conțin litere
Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:
În primul rând, determinăm factorii comuni;
Apoi scriem toți factorii comuni o dată;
și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:
Subliniem factorii comuni:
Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):
Acesta este numitorul comun.
Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:
Descompunem numitorii în factori;
determina multiplicatori comuni (identici);
scrieți toți factorii comuni o dată;
Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Deci, în ordine:
1) descompuneți numitorii în factori:
2) determinați factorii comuni (identici):
3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):
Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:
Apropo, există un singur truc:
De exemplu: .
Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:
in masura
in masura
in masura
în grad.
Să complicăm sarcina:
Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:
Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!
Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?
Deci, o altă regulă de neclintit:
Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!
Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?
Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:
Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”.
De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: este descompus în factori.
Dar exprimare? Este elementar?
Nu, deoarece poate fi factorizat:
(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).
Deci, factorii elementari în care descompuneți expresia cu litere este un analog factori primiîn care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.
Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).
Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:
Alt exemplu:
Decizie:
Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:
Excelent! Apoi:
Alt exemplu:
Decizie:
Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:
S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:
Deci hai sa scriem:
Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.
Acum aducem la un numitor comun:
Am înţeles? Acum să verificăm.
Sarcini pentru soluție independentă:
Raspunsuri:
5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:
Procedură
Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:
ai numarat?
Ar trebui să funcționeze.
Deci, vă reamintesc.
Primul pas este să calculezi gradul.
Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.
Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.
Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!
Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.
Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.
Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):
Bine, totul este simplu.
Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?
Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.
De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.
De exemplu:
Să simplificăm expresia.
1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:
Este imposibil să simplificăm mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai ții minte ce înseamnă asta?).
2) obținem:
Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.
3) Acum puteți scurta:
Asta e. Nimic complicat, nu?
Alt exemplu:
Simplificați expresia.
Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.
Decizie:
În primul rând, să definim procedura.
Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una.
Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție.
Voi numerota schematic pașii:
În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:
1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment avem altele asemănătoare, este indicat să le aducem imediat.
2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.
Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:
Și a promis chiar de la început:
Raspunsuri:
Soluții (pe scurt):
Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.
Acum, la învățare!
CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ
Operatii de simplificare de baza:
- Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
- Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea etc.
- Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
- Adunarea și scăderea fracțiilor:
; - Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru livrare cu succes Examenul Unificat de Stat, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen, nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neapărat cu soluții analiză detaliată și decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
