Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte
1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat O(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată pantă k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct O(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.
2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: O(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2), scris astfel:
Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula
3. Unghiul dintre liniile drepte OŞi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Oîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații cu pantă
y = k 1 x + B 1 ,
Să fie date două puncte M(X 1 ,U 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.
Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma
U – Y 1 = K(X–x 1),
Unde K– coeficient unghiular necunoscut.
Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
De aici puteți găsi panta acestei linii:
,
Sau după conversie
(1.14)
Formula (1.14) determină Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).
În cazul special când punctele M(O, 0), N(0, B), O ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) va lua o formă mai simplă
Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici OŞi B se notează segmentele tăiate printr-o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).
Figura 1.6
Exemplul 1.10. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).
. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în sfârșit ecuația dorită
3X + 2Y – 7 = 0.
Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Vom găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații
Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei U:
Acum să scriem ecuația dreptei care trece prin punctele (2, 1) și:
sau .
Prin urmare sau –5( Y – 1) = X – 2.
Obținem în sfârșit ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.
Exemplul 1.12. Aflați ecuația dreptei care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).
Folosind formula (1.14), obținem ecuația
Nu are sens deoarece al doilea numitor este zero. Din condițiile problemei reiese clar că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Aceasta înseamnă că linia dreaptă dorită este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: x = 2.
Comentariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii folosind formula (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.
Să luăm în considerare și alte moduri de a defini o linie pe un plan.
1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe dreapta dată L, și punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).
Figura 1.7
Să notăm M(X, Y) orice punct de pe o dreaptă L. Vectori și 
Ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate ale acestor vectori, obținem sau O(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vector. Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca
Oh + Wu + CU= 0, unde CU = –(OX 0 + De 0), (1.16),
Unde OŞi ÎN– coordonatele vectorului normal.
Primim ecuație generală linie dreaptă în formă parametrică.
2. O linie dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu dreapta dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Să luăm din nou un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).
Figura 1.8
Vectori și 
coliniare.
Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T– un număr arbitrar numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:
Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Direct. Să excludem parametrul din aceste ecuații T:
Aceste ecuații pot fi scrise altfel sub formă
. (1.18)
Ecuația rezultată se numește Ecuația canonică a dreptei. Vectorul este numit Vectorul direcție este drept .
Comentariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul deoarece , adică .
Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2U– 8 = 0.
Soluţie . Vectorul este vectorul normal la liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 sau 3 X + 2у– 5 = 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte. În articol" " Ți-am promis să te uiți la a doua metodă de rezolvare a problemelor prezentate de găsire a derivatei, cu această diagramă funcţie şi tangentă la acest grafic. Vom discuta despre această metodă în , nu rata! De ce in urmatoarea?
Faptul este că formula pentru ecuația unei linii drepte va fi folosită acolo. Desigur, am putea pur și simplu să arătăm această formulă și să vă sfătuim să o învățați. Dar este mai bine să explici de unde provine (cum este derivat). Acest lucru este necesar! Dacă îl uitați, îl puteți restaura rapidnu va fi dificil. Totul este prezentat mai jos în detaliu. Deci, avem plan de coordonate sunt doua puncte A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2), se trasează o linie dreaptă prin punctele indicate: 
Iată formula directă în sine:
*Adică, când înlocuim coordonatele specifice ale punctelor, obținem o ecuație de forma y=kx+b.
**Dacă pur și simplu „memorezi” această formulă, atunci există o probabilitate mare de a te confunda cu indicii atunci când X. În plus, indicii pot fi desemnați în diferite moduri, de exemplu:
De aceea este important să înțelegem sensul.
Acum derivarea acestei formule. Este foarte simplu!
Triunghiurile ABE și ACF sunt similare ca unghi ascuțit (primul semn de similitudine al triunghiurilor dreptunghiulare). Rezultă din aceasta că rapoartele elementelor corespunzătoare sunt egale, adică:
Acum pur și simplu exprimăm aceste segmente prin diferența dintre coordonatele punctelor:
Desigur, nu va exista nicio eroare dacă scrieți relațiile elementelor într-o ordine diferită (principalul este să mențineți consistența):
Rezultatul va fi aceeași ecuație a dreptei. Asta e tot!
Adică, indiferent de modul în care sunt desemnate punctele în sine (și coordonatele lor), prin înțelegerea acestei formule veți găsi întotdeauna ecuația unei linii drepte.
Formula poate fi derivată folosind proprietățile vectorilor, dar principiul derivării va fi același, deoarece vom vorbi despre proporționalitatea coordonatelor acestora. În acest caz, funcționează aceeași similitudine a triunghiurilor dreptunghiulare. După părerea mea, concluzia descrisă mai sus este mai clară)).
Vizualizați rezultatul utilizând coordonatele vectoriale >>>
Să fie construită o dreaptă pe planul de coordonate care trece prin două puncte date A(x 1;y 1) și B(x 2;y 2). Să marchem un punct arbitrar C pe dreapta cu coordonatele ( x; y). De asemenea, notăm doi vectori:
Se știe că pentru vectorii aflați pe drepte paralele (sau pe aceeași linie), coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale, adică:
— notăm egalitatea rapoartelor coordonatelor corespunzătoare:
Să ne uităm la un exemplu:
Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele (2;5) și (7:3).
Nici măcar nu trebuie să construiți linia dreaptă în sine. Aplicam formula:
Este important să înțelegeți corespondența atunci când stabiliți raportul. Nu poți greși dacă scrii:
Răspuns: y=-2/5x+29/5 merge y=-0,4x+5,8
Pentru a vă asigura că ecuația rezultată este găsită corect, asigurați-vă că verificați - înlocuiți coordonatele datelor în starea punctelor în ea. Ecuațiile ar trebui să fie corecte.
Asta e tot. Sper că materialul ți-a fost de folos.
Salutări, Alexandru.
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.
Să fie date două puncte M 1 (x 1,y 1)Şi M 2 (x 2,y 2). Să scriem ecuația dreptei în forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:
De la punctul M 2 aparține unei linii date, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuația (5): 
. Exprimând de aici și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:
Dacă 
această ecuație poate fi rescrisă într-o formă care este mai convenabilă pentru memorare:
(6)
Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 (1,2) și M 2 (-2,3)
Soluţie. 
. Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuația generală a unei drepte:
Unghiul dintre două linii drepte
Luați în considerare două linii drepte l 1Şi l 2:
l 1: , , Și
l 2: , ,
φ este unghiul dintre ele (). Din fig. 4 reiese clar: .
 |
De aici 
, sau
Folosind formula (7) puteți determina unul dintre unghiurile dintre liniile drepte. Al doilea unghi este egal cu .
Exemplu. Două drepte sunt date de ecuațiile y=2x+3 și y=-3x+2. găsiți unghiul dintre aceste drepte.
Soluţie. Din ecuații este clar că k 1 =2 și k 2 =-3. Înlocuind aceste valori în formula (7), găsim
. Astfel, unghiul dintre aceste drepte este egal cu .
Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte
Dacă drept l 1Şi l 2 sunt paralele, atunci φ=0 Şi tgφ=0. din formula (7) rezultă că , de unde k 2 = k 1. Astfel, condiția pentru paralelismul a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari.
Dacă drept l 1Şi l 2 sunt perpendiculare, atunci φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Astfel, condiția pentru perpendicularitatea a două drepte este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn.
Distanța de la punct la linie
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.
Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.
Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, liniile drepte sunt perpendiculare.
Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.
Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.
k= . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, atunci coordonatele acestuia satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .
Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.
Distanța de la un punct la o linie este determinată de lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie.
Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța de la punct O la o linie dreaptă h este necesară coborârea perpendicularei din punct O la orizontală h.
Să luăm în considerare mai multe exemplu complex, când linia ocupă o poziție generală. Să fie necesar să se determine distanța de la un punct M la o linie dreaptă O pozitia generala.
Sarcina de determinare distanțe dintre liniile paralele se rezolvă în mod similar cu cea precedentă. Un punct este luat pe o dreaptă și o perpendiculară este aruncată de pe o altă dreaptă. Lungimea unei perpendiculare este egală cu distanța dintre liniile paralele.
Curba de ordinul doi este o linie definită de o ecuație de gradul doi relativ la coordonatele carteziene curente. În cazul general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
unde A, B, C, D, E, F sunt numere reale și cel puțin unul dintre numerele A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Cerc
Centrul cercului– acesta este locul geometric al punctelor din plan echidistant de un punct din planul C(a,b).
Cercul este dat de următoarea ecuație:
Unde x,y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc, R este raza cercului.
Semnul ecuației unui cerc
1. Lipsește termenul cu x, y
2. Coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali
Elipsă
Elipsă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan se numește focare (o valoare constantă).
Ecuația canonică a elipsei:
X și y aparțin elipsei.
a – semiaxa mare a elipsei
b – semiaxa minoră a elipsei
Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OU. Axele de simetrie ale unei elipse sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Se numește axa pe care se află focarele axa focală. Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.
Raport de compresie (tensiune): ε = s/a– excentricitatea (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin extinsă de-a lungul axei focale.
Dacă centrele elipsei nu sunt în centrul C(α, β)
Hiperbolă
Hiperbolă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, valoarea absolută a diferenței de distanțe, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă diferită de zero.
Ecuația canonică a hiperbolei
O hiperbola are 2 axe de simetrie:
a – semiaxa reală de simetrie
b – semiaxa imaginară de simetrie
Asimptotele unei hiperbole:
Parabolă
Parabolă este locul punctelor din plan echidistant de un punct dat F, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice.
Ecuația canonică a unei parabole:
У 2 =2рх, unde р este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolă)
Dacă vârful parabolei este C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 = 2р(x-α)
Dacă axa focală este luată ca axa ordonatelor, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 =2qу
Proprietățile unei drepte în geometria euclidiană.
Un număr infinit de linii drepte pot fi trase prin orice punct.
Prin oricare două puncte necoincidente poate fi trasată o singură linie dreaptă.
Două drepte divergente dintr-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt
paralel (urmează din precedentul).
În spațiul tridimensional, există trei opțiuni pentru poziția relativă a două linii:
- liniile se intersectează;
- liniile sunt paralele;
- linii drepte se intersectează.
Drept linia— curbă algebrică de ordinul întâi: o dreaptă în sistemul de coordonate carteziene
este dat pe plan de o ecuație de gradul I (ecuație liniară).
Ecuația generală a unei drepte.
Definiţie. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi
Ax + Wu + C = 0,
și constantă A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește general
ecuația unei linii drepte.În funcție de valorile constantelor A, BŞi CU Sunt posibile următoarele cazuri speciale:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- o linie dreaptă trece prin origine
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Prin + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh
. B = C = 0, A ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
. A = C = 0, B ≠0- linia dreaptă coincide cu axa Oh
Ecuația unei linii drepte poate fi reprezentată în sub diverse formeîn funcţie de orice dat
conditiile initiale.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.
Definiţie. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B)
perpendicular pe dreapta dată de ecuație
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct A(1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).
Soluţie. Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x - y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C
Să substituim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată. Obținem: 3 - 2 + C = 0, prin urmare
C = -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 = 0.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Să fie date două puncte în spațiu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Şi M2 (x 2, y 2, z 2), Apoi ecuația unei linii,
trecând prin aceste puncte:
Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero. Pe
plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:
Dacă x 1 ≠ x 2Şi x = x 1, Dacă x 1 = x 2 .
Fracţiune = k numit pantă direct.
Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).
Soluţie. Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:
Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.
Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Wu + C = 0 duce la:
și desemnează 
, atunci ecuația rezultată se numește
ecuația unei drepte cu panta k.
Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.
Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți intra în sarcină
o dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei drepte.
Definiţie. Fiecare vector diferit de zero (α 1 , α 2), ale căror componente satisfac condiția
Aα 1 + Bα 2 = 0 numit vector de direcție al unei linii drepte.
Ax + Wu + C = 0.
Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).
Soluţie. Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției,
coeficienții trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
1 * A + (-1) * B = 0, adică A = B.
Atunci ecuația dreptei are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C / A = 0.
la x = 1, y = 2 primim C/A = -3, adică ecuația necesară:
x + y - 3 = 0
Ecuația unei drepte în segmente.
Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la -С, obținem:
sau unde
Sensul geometric coeficienții este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție
drept cu axa Oh, O b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte x - y + 1 = 0. Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ecuația normală a unei linii.
Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C = 0împărțiți la număr 
care se numeste
factor de normalizare, apoi primim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuația normală a unei linii.
Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ*C< 0.
r- lungimea perpendicularei coborâte de la origine la linia dreaptă,
O φ - unghiul format de aceasta perpendiculara cu directia pozitiva a axei Oh.
Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații
această linie dreaptă.
Ecuația acestei drepte în segmente:
Ecuația acestei drepte cu coeficientul de pantă: (împarte la 5)
Ecuația unei linii:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,
paralel cu axele sau trecând prin origine.
Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.
Definiţie. Dacă sunt date două rânduri y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, apoi unghiul ascuțit dintre aceste linii
va fi definit ca
Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare
Dacă k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direct Ax + Wu + C = 0Şi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel când coeficienții sunt proporționali
A1 = λA, B1 = λB. Dacă de asemenea С 1 = λС, apoi liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte
se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o dreaptă dată.
Definiţie. Linie care trece printr-un punct M 1 (x 1, y 1)și perpendicular pe linie y = kx + b
reprezentată prin ecuația:
Distanța de la un punct la o dreaptă.
Teorema. Dacă se acordă un punct M(x 0, y 0), apoi distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C = 0 definit ca:
Dovada. Lasă punctul M 1 (x 1, y 1)- baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct M pentru un dat
direct. Apoi distanța dintre puncte MŞi M 1:
(1)
Coordonatele x 1Şi la 1 poate fi găsită ca soluție a sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece perpendicular printr-un punct dat M 0
linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Prin 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
