eu. Expresiile în care numerele, simbolurile aritmetice și parantezele pot fi folosite împreună cu literele se numesc expresii algebrice.
Exemple expresii algebrice:
2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Deoarece o literă dintr-o expresie algebrică poate fi înlocuită cu câteva numere diferite, litera se numește variabilă, iar expresia algebrică în sine este numită expresie cu o variabilă.
II. Dacă într-o expresie algebrică literele (variabilele) sunt înlocuite cu valorile lor și sunt efectuate acțiunile specificate, atunci numărul rezultat se numește valoarea expresiei algebrice.
Exemple. Găsiți sensul expresiei:
1) a + 2b -c cu a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y = -5; z = 6.
Soluţie.
1) a + 2b -c cu a = -2; b = 10; c = -3,5. În loc de variabile, să le înlocuim valorile. Primim:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y = -5; z = 6. Înlocuiți valorile indicate. Ne amintim că modulul unui număr negativ este egal cu numărul său opus, iar modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși. Primim:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Valorile literei (variabilei) pentru care expresia algebrică are sens se numesc valori admisibile ale literei (variabilei).
Exemple. Pentru ce valori ale variabilei expresia nu are sens?
Soluţie.Știm că nu poți împărți la zero, prin urmare, fiecare dintre aceste expresii nu va avea sens având în vedere valoarea literei (variabilei) care transformă numitorul fracției la zero!
În exemplul 1) această valoare este a = 0. Într-adevăr, dacă înlocuiți 0 în loc de a, atunci va trebui să împărțiți numărul 6 la 0, dar acest lucru nu se poate face. Răspuns: expresia 1) nu are sens când a = 0.
În exemplul 2) numitorul lui x este 4 = 0 la x = 4, prin urmare, această valoare x = 4 nu poate fi luată. Răspuns: expresia 2) nu are sens când x = 4.
În exemplul 3) numitorul este x + 2 = 0 când x = -2. Răspuns: expresia 3) nu are sens când x = -2.
În exemplul 4) numitorul este 5 -|x| = 0 pentru |x| = 5. Și din moment ce |5| = 5 și |-5| = 5, atunci nu puteți lua x = 5 și x = -5. Răspuns: expresia 4) nu are sens la x = -5 și la x = 5.
IV. Se spune că două expresii sunt identice dacă pentru oricare valori acceptabile variabile, valorile corespunzătoare acestor expresii sunt egale.
Exemplu: 5 (a – b) și 5a – 5b sunt, de asemenea, egale, deoarece egalitatea 5 (a – b) = 5a – 5b va fi adevărată pentru orice valoare a și b. Egalitatea 5 (a – b) = 5a – 5b este o identitate.
Identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în ea. Exemple de identități deja cunoscute de dvs. sunt, de exemplu, proprietățile de adunare și înmulțire și proprietatea distributivă.
Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală se numește o transformare de identitate sau pur și simplu o transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Exemple.
A) convertiți expresia în egală identic folosind proprietatea distributivă a înmulțirii:
1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Soluţie. Să ne amintim proprietatea distributivă (legea) înmulțirii:
(a+b)c=ac+bc(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați rezultatele rezultate).
(a-b) c=a c-b c(legea distributivă a înmulțirii relativ la scădere: pentru a înmulți diferența a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți minuendul și scădeți cu acest număr separat și scădeți pe al doilea din primul rezultat).
1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
b) transformați expresia în identic egală, folosind proprietățile (legile) comutative și asociative ale adunării:
4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.
Soluţie. Să aplicăm legile (proprietățile) adunării:
a+b=b+a(comutativ: rearanjarea termenilor nu schimbă suma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativ: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.
V) Convertiți expresia în egală identică folosind proprietățile (legile) comutative și asociative ale înmulțirii:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Soluţie. Să aplicăm legile (proprietățile) înmulțirii:
a·b=b·a(comutativ: rearanjarea factorilor nu schimbă produsul).
(a b) c=a (b c)(combinativ: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea).
Ministerul Educației al Republicii Belarus
Instituție educațională
„Gomel Universitate de stat lor. F. Skorina"
Facultatea de Matematică
Departamentul MPM
Transformări identice ale expresiilor și metode de predare a elevilor cum să le execute
Executor testamentar:
Student Starodubova A.Yu.
Consilier stiintific:
Cand. fizica si matematica Științe, conf. Lebedeva M.T.
Gomel 2007
Introducere
1 Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii utilizării transformărilor
Concluzie
Literatură
Introducere
Cele mai simple transformări ale expresiilor și formulelor, bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice, sunt efectuate în școală primară si clasele a V-a si a VI-a. Formarea deprinderilor și abilităților de a efectua transformări are loc într-un curs de algebră. Acest lucru se datorează atât creșterii puternice a numărului și varietății transformărilor efectuate, cât și complicației activităților de justificare și clarificare a condițiilor de aplicabilitate, identificării și studierii conceptelor generalizate de identitate, transformare identică, transformare echivalentă.
1. Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii utilizării transformărilor
1. Începuturile algebrei
Se folosește un sistem nedivizat de transformări, reprezentat de reguli pentru efectuarea acțiunilor asupra uneia sau ambelor părți ale formulei. Scopul este de a obține fluență în îndeplinirea sarcinilor pentru rezolvarea ecuațiilor simple, simplificarea formulelor care definesc funcții și efectuarea rațională a calculelor bazate pe proprietățile acțiunilor.
Exemple tipice:
Rezolvarea ecuațiilor:
A) ; b) ; V).
Transformare identică (a); echivalent și identic (b).
2. Formarea deprinderilor în aplicarea unor tipuri specifice de transformări
Concluzii: formule de înmulțire prescurtate; transformări asociate cu exponentiație; transformări asociate cu diverse clase de funcţii elementare.
Organizarea unui sistem integral de transformări (sinteză)
Scopul este de a crea un aparat flexibil și puternic, potrivit pentru a fi utilizat în rezolvarea unei varietăți de sarcini educaționale. Trecerea la această etapă se realizează în timpul repetării finale a cursului în cursul înțelegerii materialului deja cunoscut învățat pe părți; pentru anumite tipuri de transformări, la tipurile studiate anterior se adaugă transformări ale expresiilor trigonometrice. Toate aceste transformări pot fi numite „algebrice”; transformările „analitice” le includ pe cele care se bazează pe regulile de diferențiere și integrare și transformare a expresiilor care conțin treceri la limite. Diferența de acest tip constă în natura mulțimii prin care parcurg variabilele din identități (anumite seturi de funcții).
Identitățile studiate sunt împărțite în două clase:
I – identități de înmulțire prescurtată valabile într-un inel comutativ și identități
echitabil în domeniu.
II – identități care leagă operațiile aritmetice și funcțiile elementare de bază.
2 Caracteristici ale organizării sistemului de sarcini la studierea transformărilor identitare
Principiul principal al organizării sistemului de sarcini este de a le prezenta de la simplu la complex.
Ciclu de exerciții– îmbinarea într-o succesiune de exerciții a mai multor aspecte de studiu și tehnici de aranjare a materialului. La studierea transformărilor identitare, un ciclu de exerciții este asociat cu studiul unei identități, în jurul căruia sunt grupate alte identități care se află într-o legătură firească cu aceasta. Ciclul, împreună cu cele executive, include sarcini, impunând recunoașterea aplicabilității identității în cauză. Identitatea studiată este utilizată pentru a efectua calcule pe diverse domenii numerice. Sarcinile din fiecare ciclu sunt împărțite în două grupe. LA primul Acestea includ sarcini efectuate în timpul cunoașterii inițiale cu identitatea. Ei servesc material educațional pentru mai multe lecţii consecutive unite printr-o singură temă.
A doua grupă exercițiile leagă identitatea studiată cu diverse aplicații. Acest grup nu formează o unitate compozițională - exercițiile de aici sunt împrăștiate pe diverse subiecte.
Structurile ciclului descrise se referă la etapa de dezvoltare a abilităților de aplicare a transformărilor specifice.
În stadiul de sinteză, ciclurile se schimbă, grupurile de sarcini sunt combinate în direcția complicației și îmbinării ciclurilor legate de diverse identități, ceea ce ajută la creșterea rolului acțiunilor de recunoaștere a aplicabilității unei anumite identități.
Exemplu.
Ciclul sarcinilor pentru identitate:
I grup de sarcini:
a) prezent sub forma unui produs:
b) Verificați egalitatea:
c) Extindeți parantezele în expresia:
.
d) Calculați:
e) factorizați:
f) simplificați expresia:
.
Elevii tocmai s-au familiarizat cu formularea unei identități, scrierea ei sub forma unei identități și dovada ei.
Sarcina a) este asociată cu fixarea structurii identității studiate, cu stabilirea unei legături cu multimi numerice(compararea structurilor de semne ale identităţii şi expresiei transformate; înlocuirea unei litere cu un număr într-o identitate). În ultimul exemplu, mai trebuie să-l reducem la forma studiată. În exemplele următoare (e și g) există o complicație cauzată de rolul aplicat al identității și de complicarea structurii semnului.
Sarcinile de tip b) au ca scop dezvoltarea deprinderilor de înlocuire 
pe . Rolul sarcinii c) este similar.
Exemple de tip d), în care este necesară alegerea uneia dintre direcțiile de transformare, completează dezvoltarea acestei idei.
Sarcinile grupului I sunt axate pe stăpânirea structurii unei identități, a operațiunii de substituție în cazurile cele mai simple, fundamental cele mai importante, și a ideii de reversibilitate a transformărilor efectuate de o identitate. Foarte importantă este, de asemenea, îmbogățirea mijloacelor lingvistice care arată diverse aspecte ale identității. Textele temelor dau o idee despre aceste aspecte.
Grupa II de sarcini.
g) Folosind identitatea pentru , factorizează polinomul .
h) Eliminați iraționalitatea în numitorul fracției.
i) Demonstrați că dacă este un număr impar, atunci este divizibil cu 4.
j) Funcția este dată de o expresie analitică
.
Scăpați de semnul modulului luând în considerare două cazuri: , .
k) Rezolvați ecuația 
.
Aceste sarcini sunt vizate pe cât posibil utilizare deplinăși ținând cont de specificul acestei identități particulare, presupune formarea deprinderilor de utilizare a identității studiate pentru diferența de pătrate. Scopul este de a aprofunda înțelegerea identității prin luarea în considerare a diferitelor aplicații ale acesteia în situatii diferite, combinat cu utilizarea materialelor legate de alte subiecte la cursul de matematică.
sau 
.
Caracteristici ale ciclurilor de sarcini legate de identități pentru funcții elementare:
1) sunt studiate pe baza materialului funcțional;
2) identitățile primului grup apar ulterior și sunt studiate folosind abilități deja dezvoltate pentru realizarea transformărilor identitare.
Primul grup de sarcini din ciclu ar trebui să includă sarcini pentru a stabili conexiuni între aceste noi zone numerice și zona originală a numerelor raționale.
Exemplu.
Calculati:
;
.
Scopul unor astfel de sarcini este de a stăpâni caracteristicile înregistrărilor, inclusiv simbolurile de noi operațiuni și funcții, și de a dezvolta abilități de vorbire matematică.
O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Secvența de pași:
a) găsiți funcția φ pentru care ecuația dată f(x)=0 poate fi reprezentată ca:
b) înlocuiți y=φ(x) și rezolvați ecuația
c) rezolvați fiecare dintre ecuațiile φ(x)=y k, unde y k este mulțimea rădăcinilor ecuației F(y)=0.
Când se utilizează metoda descrisă, pasul b) este adesea efectuat implicit, fără a introduce o notație pentru φ(x). În plus, elevii preferă adesea căi diferite conducând la găsirea răspunsului, alegeți-l pe cel care duce la ecuația algebrică mai rapid și mai ușor.
Exemplu. Rezolvați ecuația 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (pasul a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (pasul b)
Exemplu. Rezolvați ecuația:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Sugerați pentru o soluție independentă.)
Clasificarea sarcinilor în cicluri legate de rezolvarea ecuațiilor transcendentale, inclusiv functie exponentiala:
1) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x =y 0 și au un răspuns simplu, general:
2) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x = a k, unde k este un număr întreg, sau a x = b, unde b≤0.
3) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x =y 0 și necesită o analiză explicită a formei în care numărul y 0 este scris explicit.
Sarcinile în care transformările de identitate sunt folosite pentru a construi grafice în timp ce se simplifică formulele care definesc funcțiile sunt de mare beneficiu.
a) Reprezentați grafic funcția y=;
b) Rezolvați ecuația lgx+lg(x-3)=1
c) pe ce mulțime este formula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) o identitate?
Utilizarea transformărilor identitare în calcule (Jurnal of Mathematics at School, Nr. 4, 1983, p. 45)
Sarcina nr. 1. Funcția este dată de formula y=0,3x 2 +4,64x-6. Aflați valorile funcției la x=1,2
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Sarcina nr. 2. Calculați lungimea unui catete al unui triunghi dreptunghic dacă lungimea ipotenuzei acestuia este de 3,6 cm, iar celălalt catete este de 2,16 cm.
Sarcina nr. 3. Care este aria unei parcele dreptunghiulare având dimensiunile a) 0,64 m și 6,25 m; b) 99,8m și 2,6m?
a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;
b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Aceste exemple fac posibilă identificarea uz practic transformări identitare. Elevul trebuie să fie familiarizat cu condițiile de fezabilitate a transformării (vezi diagramele).
| |
- imaginea unui polinom, unde orice polinom se potrivește în contururi rotunde (Diagrama 1)
-
este dată condiția de fezabilitate a transformării produsului unui monom și a unei expresii care să permită transformarea într-o diferență de pătrate. (schema 2)
-
aici umbririle înseamnă monomii egale și este dată o expresie care poate fi convertită într-o diferență de pătrate (Schema 3).
| |
| |
- o expresie care permite un factor comun.
Abilitățile elevilor în identificarea condițiilor pot fi dezvoltate folosind următoarele exemple:
Care dintre următoarele expresii poate fi transformată prin scoaterea din paranteze a factorului comun:
2) 
3) 0,7a2 +0,2b2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
Majoritatea calculelor în practică nu îndeplinesc condițiile de satisfacție, așa că elevii au nevoie de abilitățile pentru a le reduce la o formă care să permită calcularea transformărilor. În acest caz, următoarele sarcini sunt adecvate:
când studiezi scoaterea din paranteze a factorului comun:
convertiți această expresie, dacă este posibil, într-o expresie care este prezentată în diagrama 4:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Atunci când se formează conceptul de „transformare identică”, trebuie amintit că aceasta înseamnă nu numai că expresia dată și rezultată ca urmare a transformării capătă valori egale pentru orice valoare a literelor incluse în ea, dar și că în timpul transformării identice trecem de la expresia care definește un mod de calcul la o expresie care definește un alt mod de calcul de aceeași valoare.
Schema 5 (regula de conversie a produsului dintre un monom și un polinom) poate fi ilustrată cu exemple
0,5a(b+c) sau 3,8(0,7+).
Exerciții pentru a învăța cum să scoți un factor comun din paranteze:
Calculați valoarea expresiei:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a+bc la a=0,96; b=4,8; c=9,8.
c) a(a+c)-c(a+b) cu a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Să ilustrăm cu exemple formarea deprinderilor în calcule și transformări identitare.(Jurnal of Mathematics at School, Nr. 5, 1984, p. 30)
1) aptitudinile și abilitățile sunt dobândite mai rapid și păstrate mai mult timp dacă formarea lor are loc în mod conștient (principiul didactic al conștiinței).
1) Puteți formula o regulă pentru adunarea fracțiilor cu aceiași numitori sau anterior pe exemple concrete luați în considerare esența adunării acțiunilor egale.
2) La factorizarea prin scoaterea din paranteze a factorului comun, este important să vedeți acest factor comun și apoi să aplicați legea distribuției. La efectuarea primelor exerciții, este util să scrieți fiecare termen al polinomului ca produs, unul dintre factorii căruia este comun tuturor termenilor:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Este deosebit de util să faceți acest lucru atunci când unul dintre monomiile unui polinom este scos dintre paranteze:
II. Primul stagiu formarea abilităților – stăpânirea unei abilități (exercițiile sunt efectuate cu explicații și note detaliate)
(problema semnului este rezolvată mai întâi)
Faza a doua– etapa de automatizare a deprinderii prin eliminarea unor operatii intermediare
III. Puterea abilităților este obținută prin rezolvarea de exemple care sunt variate atât ca conținut, cât și ca formă.
Subiect: „Între paranteze factorul comun.”
1. Notează factorul care lipsește în loc de polinom:
2. Factorizați astfel încât înainte de paranteze să existe un monom cu coeficient negativ:
3. Factorizați astfel încât polinomul dintre paranteze să aibă coeficienți întregi:
4. Rezolvați ecuația:
IV. Dezvoltarea abilităților este cea mai eficientă atunci când unele calcule sau transformări intermediare sunt efectuate oral.
(oral);
V. Abilitățile și abilitățile dezvoltate trebuie să facă parte din sistemul format anterior de cunoștințe, abilități și abilități ale elevilor.
De exemplu, când predați cum să factorizați polinoamele folosind formule de înmulțire abreviate, sunt oferite următoarele exerciții:
Factorizați:
VI. Necesitatea executării raționale a calculelor și transformărilor.
V) simplificați expresia:
Raționalitatea constă în deschiderea parantezelor, pentru că
VII. Conversia expresiilor care conțin exponenți.
Nr. 1011 (Alg.9) Simplificați expresia:
Nr. 1012 (Alg.9) Scoateți multiplicatorul de sub semnul rădăcinii:
Nr. 1013 (Alg.9) Introduceți un factor sub semnul rădăcină:
Nr. 1014 (Alg.9) Simplificați expresia:
În toate exemplele, mai întâi efectuați fie factorizarea, fie scăderea factorului comun, sau „vedeți” formula de reducere corespunzătoare.
Nr. 1015 (Alg.9) Reduceți fracția:
Mulți studenți întâmpină unele dificultăți în transformarea expresiilor care conțin rădăcini, în special atunci când studiază egalitatea:
Prin urmare, fie descrieți în detaliu expresii ale formei sau 
sau mergi la un grad cu un exponent rațional.
Nr. 1018 (Alg.9) Aflați valoarea expresiei:
Nr. 1019 (Alg.9) Simplificați expresia:
2.285 (Skanavi) Simplificați expresia
apoi trasează funcția y Pentru
Nr. 2.299 (Skanavi) Verificați valabilitatea egalității:
Transformarea expresiilor care conțin un grad este o generalizare a abilităților și abilităților dobândite în studiul transformărilor identice ale polinoamelor.
Nr. 2.320 (Skanavi) Simplificați expresia:
Cursul de Algebra 7 oferă următoarele definiții.
Def. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru valorile variabilelor se spune că sunt identic egale.
Def. Egalitatea este adevărată pentru orice valoare a variabilelor numite. identitate.
Nr. 94 (Alg.7) Este egalitatea:
A) 
c) 
d) 
Definiția descrierii: Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală se numește o transformare identică sau pur și simplu o transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Nr. (Alg.7) Printre expresii
găsiți pe acelea care sunt identic egale.
Subiect: „Transformări identice ale expresiilor” (tehnica întrebărilor)
Prima temă din „Algebra-7” - „Expresii și transformările lor” ajută la consolidarea abilităților de calcul dobândite în clasele 5-6, sistematizarea și generalizarea informațiilor despre transformările expresiilor și soluțiile ecuațiilor.
Găsirea valorilor numerice și expresii literale face posibilă repetarea cu elevii a regulilor de funcţionare cu numere raţionale. Abilitatea de a performa operatii aritmetice cu numere raționale stau la baza întregului curs de algebră.
Când se iau în considerare transformările expresiilor, abilitățile formale și operaționale rămân la același nivel care a fost atins în clasele 5-6.
Cu toate acestea, aici studenții se ridică la un nou nivel în stăpânirea teoriei. Sunt introduse conceptele de „expresii identice egale”, „identitate”, „transformări identice ale expresiilor”, al căror conținut va fi constant dezvăluit și aprofundat la studierea transformărilor diverselor expresii algebrice. Se subliniază că la baza transformărilor identitare se află proprietățile operațiilor asupra numerelor.
La studierea temei „Polinoame”, se formează abilități operaționale formale de transformări identice ale expresiilor algebrice. Formulele de înmulțire abreviate contribuie la continuarea procesului de dezvoltare a capacității de a efectua transformări identice ale expresiilor întregi; capacitatea de a aplica formule atât pentru înmulțirea abreviată, cât și pentru factorizarea polinoamelor este utilizată nu numai în transformarea expresiilor întregi, ci și în operațiuni cu fracții, rădăcini. , puteri cu exponent rațional .
În clasa a VIII-a se exersează deprinderile dobândite de transformări identitare pe operații cu fracții algebrice, rădăcină pătratăși expresii care conțin puteri cu un exponent întreg.
Pe viitor, tehnicile de transformare a identităţii se reflectă în expresii care conţin un grad cu exponent raţional.
Grup special transformările identice sunt expresii trigonometrice și expresii logaritmice.
Rezultatele de învățare obligatorii pentru un curs de algebră în clasele 7-9 includ:
1) transformări de identitate ale expresiilor întregi
a) console de deschidere și de închidere;
b) aducerea de membri similari;
c) adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor;
d) factorizarea polinoamelor prin scoaterea din paranteze a factorului comun și a formulelor de înmulțire prescurtate;
e) descompunere trinom pătratic prin multiplicatori.
„Matematica la școală” (B.U.M.) p.110
2) transformări identice ale expresiilor raționale: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor, precum și aplicarea deprinderilor enumerate la efectuarea transformărilor simple combinate [p. 111]
3) elevii ar trebui să fie capabili să efectueze transformări ale expresiilor simple care conțin puteri și rădăcini. (pag. 111-112)
Au fost luate în considerare principalele tipuri de probleme, capacitatea de rezolvare care permite elevului să primească o notă pozitivă.
Unul dintre cele mai importante aspecte ale metodologiei de studiu a transformărilor de identitate este dezvoltarea de către elev a obiectivelor pentru realizarea transformărilor de identitate.
1) 
- simplificarea valorii numerice a expresiei
2) care dintre transformări ar trebui efectuate: (1) 
sau (2) Analiza acestor opțiuni este o motivație (de preferință (1), deoarece în (2) domeniul de aplicare al definiției este restrâns)
3) Rezolvați ecuația:
Factorizarea la rezolvarea ecuațiilor.
4) Calculați:
Să aplicăm formula de înmulțire prescurtată:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Aflați valoarea expresiei:
Pentru a găsi valoarea, înmulțiți fiecare fracție cu conjugatul ei:
6) Reprezentați grafic funcția:
Să selectăm întreaga parte: .
Prevenirea erorilor la efectuarea transformărilor de identitate poate fi obținută prin diferite exemple de implementare a acestora. În acest caz, se practică tehnici „mici”, care, ca componente, sunt incluse într-un proces de transformare mai amplu.
De exemplu:
În funcție de direcțiile ecuației, pot fi avute în vedere mai multe probleme: înmulțirea polinoamelor de la dreapta la stânga; de la stânga la dreapta - factorizare. Partea stângă este un multiplu al unuia dintre factorii din partea dreaptă etc.
Pe lângă variația exemplelor, puteți folosi apologia între identități și egalități numerice.
Următoarea întâlnire– explicarea identităților.
Pentru a crește interesul studenților, putem include găsirea în diverse moduri rezolvarea problemelor.
Lecțiile despre studierea transformărilor identității vor deveni mai interesante dacă le dedicați cautand o solutie la problema .
De exemplu: 1) reduceți fracția:
3) demonstrați formula „radicalului complex”
Considera:
Să transformăm partea dreaptă a egalității:
-
suma expresiilor conjugate. Ele ar putea fi înmulțite și împărțite prin conjugatul lor, dar o astfel de operație ne-ar conduce la o fracție al cărei numitor este diferența radicalilor.
Rețineți că primul termen din prima parte a identității este un număr mai mare decât al doilea, așa că putem pătra ambele părți:
Lecție practică №3.
Tema: Transformări identice ale expresiilor (tehnica întrebării).
Literatură: „Atelier despre MPM”, p. 87-93.
Un semn al unei culturi înalte a calculelor și transformărilor de identitate în rândul studenților este cunoașterea puternică a proprietăților și algoritmilor operațiilor asupra cantităților exacte și aproximative și aplicarea lor cu pricepere; metode raționale de calcule și transformări și verificarea acestora; capacitatea de a justifica utilizarea metodelor și regulilor de calcule și transformări, abilități automate de execuție fără erori a operațiilor de calcul.
La ce clasă ar trebui elevii să înceapă să lucreze la dezvoltarea abilităților enumerate?
Linia transformărilor identice ale expresiilor începe cu aplicarea tehnicilor de calcul rațional, începe cu aplicarea tehnicilor de calcul rațional pentru valorile expresiilor numerice. (clasa a 5-a)
Când studiați astfel de subiecte într-un curs de matematică școlar, trebuie să le acordați atenție. Atentie speciala!
Implementarea conștientă de către elevi a transformărilor identitare este facilitată de înțelegerea faptului că expresiile algebrice nu există de la sine, ci în legătură inextricabilă cu o anumită mulțime numerică, ele sunt înregistrări generalizate ale expresiilor numerice. Analogii între algebric și expresii numerice(și transformările lor) sunt legale în sens logic, utilizarea lor în predare ajută la prevenirea greșelilor la elevi.
Transformările identitare nu sunt oricare un subiect separat curs școlar de matematică, acestea sunt studiate pe tot parcursul cursului de algebră și începuturile analizei matematice.
Programul de matematică pentru clasele 1-5 este material propedeutic pentru studierea transformărilor identice ale expresiilor cu o variabilă.
La cursul de algebră de clasa a VII-a. se introduce definiţia identităţii şi transformărilor identitare.
Def. Sunt numite două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare a variabilelor. identic egale.
AOD. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.
Valoarea identității constă în faptul că permite înlocuirea unei expresii date cu o alta care este identic egală cu ea.
Def. Se numește înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală transformare identică sau pur și simplu transformare expresii.
Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.
Baza transformărilor identitare poate fi considerată transformări echivalente.
AOD. Sunt numite două propoziții, fiecare fiind o consecință logică a celeilalte. echivalent.
AOD. Se numește propoziție cu variabile A. consecința unei propoziții cu variabile B, dacă domeniul adevărului B este o submulțime a domeniului adevărului A.
O altă definiție a propozițiilor echivalente poate fi dată: două propoziții cu variabile sunt echivalente dacă domeniile lor de adevăr coincid.
a) B: x-1=0 peste R; A: (x-1) 2 peste R => A~B, deoarece zonele de adevăr (soluție) coincid (x=1)
b) A: x=2 peste R; B: x 2 =4 peste R => domeniul adevărului A: x = 2; domeniul de adevăr B: x=-2, x=2; deoarece domeniul de adevăr al lui A este cuprins în B, atunci: x 2 =4 este o consecință a propoziției x = 2.
Baza transformărilor identitare este capacitatea de a reprezenta același număr în forme diferite. De exemplu,
-
Această reprezentare va ajuta la studierea subiectului „proprietățile de bază ale fracțiilor”.
Abilitățile în efectuarea transformărilor de identitate încep să se dezvolte la rezolvarea unor exemple similare cu următoarele: „Aflați valoarea numerică a expresiei 2a 3 +3ab+b 2 cu a = 0,5, b = 2/3”, care sunt oferite elevilor din clasă. 5 și permit conceptul propedeutic al funcției.
Când studiați formulele de înmulțire prescurtate, ar trebui să acordați atenție înțelegerii profunde și asimilarii lor puternice. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarea ilustrație grafică:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Întrebare: Cum să explicăm elevilor esența formulelor date pe baza acestor desene?
O greșeală comună este aceea de a confunda expresiile „pătrat al sumei” și „suma pătratelor”. Indicația profesorului că aceste expresii diferă în ordinea operațiunii nu pare semnificativă, întrucât elevii consideră că aceste acțiuni sunt efectuate pe aceleași numere și, prin urmare, rezultatul nu se modifică prin modificarea ordinii acțiunilor.
Sarcina: Creați exerciții orale pentru a dezvolta abilitățile elevilor în utilizarea formulelor de mai sus fără erori. Cum putem explica cum aceste două expresii sunt similare și cum diferă una de cealaltă?
Varietatea mare de transformări identice face dificilă orientarea elevilor cu privire la scopul pentru care sunt efectuate. Cunoașterea neclară a scopului efectuării transformărilor (în fiecare caz specific) are un impact negativ asupra conștientizării acestora și servește drept sursă de erori masive în rândul elevilor. Acest lucru sugerează că explicarea studenților a obiectivelor efectuării diferitelor transformări identice este o parte importantă a metodologiei de studiere a acestora.
Exemple de motivații pentru transformările identității:
1. simplificarea găsirii valorii numerice a unei expresii;
2. alegerea unei transformări a ecuației care să nu conducă la pierderea rădăcinii;
3. Când efectuați o transformare, puteți marca zona de calcul a acesteia;
4. utilizarea transformărilor în calcule, de exemplu, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Pentru a gestiona procesul de decizie, este important ca profesorul să aibă capacitatea de a oferi o descriere exactă a esenței greșelii făcute de elev. Caracterizarea corectă a erorilor este esențială alegerea corecta acţiunile ulterioare întreprinse de profesor.
Exemple de erori ale elevilor:
1. efectuarea înmulțirii: elevul a primit -54abx 6 (7 celule);
2. Prin ridicarea la o putere (3x 2) 3 elevul a primit 3x 6 (7 note);
3. transformând (m + n) 2 într-un polinom, elevul a primit m 2 + n 2 (clasa a VII-a);
4. Prin reducerea fracției primite de elev (8 note);
5. efectuarea scăderii: 
, elevul scrie (clasa a VIII-a)
6. Reprezentând fracția sub formă de fracții, elevul a primit: 
(8 clase);
7. Îndepărtarea rădăcină aritmetică elevul a primit x-1 (nota 9);
8. rezolvarea ecuației (clasa a IX-a);
9. Prin transformarea expresiei elevul primeşte: (clasa a IX-a).
Concluzie
Studiul transformărilor identității se realizează în strânsă legătură cu mulțimile numerice studiate într-o anumită clasă.
La început, ar trebui să-i ceri elevului să explice fiecare pas al transformării, să formuleze regulile și legile care se aplică.
În transformările identice ale expresiilor algebrice se folosesc două reguli: înlocuirea și înlocuirea cu egale. Înlocuirea este folosită cel mai des, deoarece Calculul folosind formule se bazează pe acesta, adică. găsiți valoarea expresiei a*b cu a=5 și b=-3. Foarte des, elevii neglijează parantezele atunci când efectuează operații de înmulțire, crezând că semnul înmulțirii este subînțeles. De exemplu, următoarea intrare este posibilă: 5*-3.
Literatură
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare”, Mn..Aversev, 2004
2. O.N. Piryutko „Erori tipice în testarea centralizată”, Mn..Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Sarcini de capcană în testarea centralizată”, Mn..Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode pentru rezolvarea problemelor trigonometrice”, Mn..Aversev, 2005
Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.
De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.
Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
In spate gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.
De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.
Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece includerea parantezelor este transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:
Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Prin utilizarea proprietăți distributiveînmulțirile pot fi convertite (simplificate) într-un polinom, produsul unui monom și al unui polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
De obicei se folosește următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate
Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să se ocupe mai des decât cu alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des; de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.
Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard; de fapt, ați întâlnit deja această sarcină la înmulțirea polinoamelor:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei egal cu suma pătrate și dublează produsul.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublat.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
