Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.
Definiție. Prismă este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane se află două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile paralele corespunzătoare, iar toate muchiile care nu se află în aceste plane sunt paralele.
Două fețe egale sunt numite baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Toate fețele laterale se formează suprafata laterala a prismei .
Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme .
Marginile care nu se află la baze se numesc marginile laterale ale prismei ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Diagonala prismei este un segment ale cărui capete sunt două vârfuri ale unei prisme care nu se află pe aceeași față (AD 1).
Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .
Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea traversării, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile alteia; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, sunt desemnate doar vârfurile aflate într-o bază. prin litere fără index, iar în celălalt - cu index)
Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1 există un pentagon la bază, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar pentru că o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe - bazele prismei, 5 fețe - paralelograme, - fețele sale laterale)
Dintre prismele drepte se remarcă un anumit tip: prismele regulate.
Se numește prismă dreaptă corect, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.
Paralelipiped
Paralelipiped este o prismă patruunghiulară, la baza căreia se află un paralelogram (un paralelipiped înclinat). Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei.Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.
Proprietăți și teoreme:
Unele proprietăți ale unui paralelipiped sunt similare cu proprietățile cunoscute ale unui paralelogram.Un paralelipiped dreptunghiular având dimensiuni egale se numește cub
.Un cub are toate pătratele egale.Pătrat în diagonală, egal cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale 
,
unde d este diagonala pătratului;
a este latura pătratului.
O idee a unei prisme este dată de:
- diverse structuri arhitecturale;
- Jucării pentru copii;
- cutii de ambalare;
- articole de designer etc.
Aria suprafeței totale și laterale a prismei
Suprafața totală a prismei este suma ariilor tuturor fețelor sale Suprafata laterala se numește suma ariilor fețelor sale laterale. Bazele prismei sunt poligoane egale, apoi ariile lor sunt egale. De aceeaS plin = S lateral + 2S principal,
Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S baza- suprafata de baza
Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.
partea S= P de bază * h,
Unde partea S-aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,
P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,
h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.
Volumul prismei
Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Prisme diferite sunt diferite una de cealaltă. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.
Teoria generală
O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.
La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.
Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.
Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.
Prisma triunghiulara
Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.
Notația matematică arată astfel: S = ½ av.
Pentru a afla zona bazei în vedere generala, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.
Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.
Al doilea: S = ½ n a * a.
Dacă doriți să aflați aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.
Prismă patruunghiulară
Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.
Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.
Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.
În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.
Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.
Prismă pentagonală regulată
Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.
Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.
Prismă hexagonală regulată
Folosind principiul descris pentru o prismă pentagonală, este posibilă împărțirea hexagonului bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.
Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.
Sarcini
Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.
Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați doar aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.
Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.
Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.
Nr 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm.În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm.Calculează ariile: baza și suprafața laterală.
Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.
Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula suprafețele lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.
Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.
Poliedre
Obiectul principal de studiu al stereometriei îl reprezintă corpurile spațiale. Corp reprezintă o parte din spațiu limitată de o anumită suprafață.
Poliedru este un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plate. Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecărui poligon plan de pe suprafața sa. Se numește partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poliedru margine. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc marginile poliedrului, iar vârfurile sunt vârfurile poliedrului.
De exemplu, un cub este format din șase pătrate, care sunt fețele sale. Conține 12 margini (laturile pătratelor) și 8 vârfuri (topurile pătratelor).
Cele mai simple poliedre sunt prismele și piramidele, pe care le vom studia în continuare.
Prismă
Definiția și proprietățile unei prisme
Prismă este un poliedru format din două poligoane plate situate în planuri paralele combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale acestor poligoane. Se numesc poligoane baze de prisme, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare ale poligoanelor sunt marginile laterale ale prismei.
Înălțimea prismei se numește distanța dintre planele bazelor sale (). Se numește un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe diagonala prismei(). Prisma se numește n-carbon, dacă baza sa conține un n-gon.
Orice prismă are următoarele proprietăți, rezultate din faptul că bazele prismei sunt combinate prin translație paralelă:
1. Bazele prismei sunt egale.
2. Marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.
Suprafața prismei este formată din baze și suprafata laterala. Suprafața laterală a prismei este formată din paralelograme (acest lucru rezultă din proprietățile prismei). Aria suprafeței laterale a unei prisme este suma suprafețelor fețelor laterale.
Prismă dreaptă
Prisma se numește Drept, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. Altfel se numește prisma înclinat.
Fețele unei prisme dreptunghiuri sunt dreptunghiuri. Înălțimea unei prisme drepte este egală cu fețele sale laterale.
Suprafața cu prismă completă se numește suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.
Cu prisma dreapta numită prismă dreaptă cu un poligon regulat la bază.
Teorema 13.1. Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul perimetrului și înălțimea prismei (sau, care este același, cu marginea laterală).
Dovada. Fețele laterale ale unei prisme dreptunghiuri sunt dreptunghiuri, ale căror baze sunt laturile poligoanelor de la bazele prismei, iar înălțimile sunt marginile laterale ale prismei. Atunci, prin definiție, aria suprafeței laterale este:
,
unde este perimetrul bazei unei prisme drepte.
Paralelipiped
Dacă paralelogramele se află la bazele unei prisme, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme. În acest caz, fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.
Teorema 13.2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.
Dovada. Luați în considerare două diagonale arbitrare, de exemplu, și . Deoarece fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, apoi și , ceea ce înseamnă conform To există două drepte paralele cu a treia. În plus, aceasta înseamnă că linii drepte și se află în același plan (plan). Acest plan intersectează plane paralele și de-a lungul liniilor paralele și . Astfel, un patrulater este un paralelogram, iar prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele sale se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție, care era ceea ce trebuia demonstrat.
Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește paralelipiped dreptunghiular. Toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri. Lungimile marginilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiunile (dimensiunile) liniare ale acestuia. Există trei astfel de dimensiuni (lățime, înălțime, lungime).
Teorema 13.3. Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale 
(demonstrat prin aplicarea de două ori a lui Pitagora).
Se numește paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale cub.
Sarcini
13.1 Câte diagonale are? n-prismă de carbon
13.2 Într-o prismă triunghiulară înclinată, distanțele dintre muchiile laterale sunt 37, 13 și 40. Aflați distanța dintre muchia laterală mai mare și muchia laterală opusă.
13.3 Un plan este trasat prin latura bazei inferioare a unei prisme triunghiulare regulate, intersectând fețele laterale de-a lungul segmentelor cu un unghi între ele. Aflați unghiul de înclinare al acestui plan față de baza prismei.
Definiție 1. Suprafață prismatică
Teorema 1. Despre secțiuni paralele suprafata prismatica
Definiție 2. Secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice
Definiție 3. Prismă
Definiție 4. Înălțimea prismei
Definiție 5. Prismă dreaptă
Teorema 2. Aria suprafeței laterale a prismei
Paralelipiped:
Definiție 6. Paralelepiped
Teorema 3. La intersecția diagonalelor unui paralelipiped
Definiție 7. Paralepiped drept
Definiție 8. Paralepiped dreptunghiular
Definiție 9. Măsurătorile unui paralelipiped
Definiție 10. Cub
Definiție 11. Romboedru
Teorema 4. Pe diagonalele unui paralelipiped dreptunghic
Teorema 5. Volumul unei prisme
Teorema 6. Volumul unei prisme drepte
Teorema 7. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular
Prismă este un poliedru ale cărui două fețe (baze) se află în planuri paralele, iar muchiile care nu se află în aceste fețe sunt paralele între ele.
Se numesc alte fețe decât bazele lateral.
Laturile fețelor laterale și ale bazelor se numesc nervuri prisme, se numesc capetele marginilor vârfurile prismei. Coastele laterale marginile care nu apartin bazelor se numesc. Unirea fețelor laterale se numește suprafata laterala a prismei, iar unirea tuturor fețelor se numește întreaga suprafață a prismei. Înălțimea prismei numită perpendiculară căzută din punctul bazei superioare până în planul bazei inferioare sau lungimea acestei perpendiculare. 
Prismă directă numită prismă ale cărei nervuri laterale sunt perpendiculare pe planurile bazelor. 
Corect numită prismă dreaptă (fig. 3), la baza căreia se află un poligon regulat.
Denumiri:
l - coastă laterală;
P - perimetrul bazei;
S o - zona de bază;
H - înălțime;
P^ - perimetrul secțiunii perpendiculare;
S b - suprafata laterala;
V - volum;
S p este aria suprafeței totale a prismei.
|
V=SH |
*Se presupune că fiecare două plane succesive se intersectează și că ultimul plan îl intersectează pe primul
Teorema 1 . Secțiunile unei suprafețe prismatice prin plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile acesteia) sunt poligoane egale.
Fie ABCDE și A"B"C"D"E" secțiuni ale unei suprafețe prismatice pe două plane paralele. Pentru a ne asigura că aceste două poligoane sunt egale, este suficient să arătăm că triunghiurile ABC și A"B"C" sunt egale și au același sens de rotație și că același sens este valabil și pentru triunghiurile ABD și A"B"D", ABE și A"B"E". Dar laturile corespunzătoare ale acestor triunghiuri sunt paralele (de exemplu, AC este paralelă cu AC) ca și linia de intersecție a unui anumit plan cu două plane paralele; rezultă că aceste laturi sunt egale (de exemplu, AC este egal cu A"C"), ca laturile opuse ale unui paralelogram, și că unghiurile formate de aceste laturi sunt egale și au aceeași direcție.
Definiția 2 . O secțiune perpendiculară a unei suprafețe prismatice este o secțiune a acestei suprafețe printr-un plan perpendicular pe marginile sale. Pe baza teoremei anterioare, toate secțiunile perpendiculare ale aceleiași suprafețe prismatice vor fi poligoane egale.
Definiția 3
. O prismă este un poliedru delimitat de o suprafață prismatică și două plane paralele între ele (dar nu paralele cu marginile suprafeței prismatice)
Se numesc chipurile situate în aceste ultime planuri baze de prisme; fețe aparținând suprafeței prismatice - fetele laterale; marginile suprafeței prismatice - nervurile laterale ale prismei. În virtutea teoremei anterioare, baza prismei este poligoane egale. Toate fețele laterale ale prismei - paralelograme; toate coastele laterale sunt egale între ele.
Evident, dacă sunt date baza prismei ABCDE și una dintre muchiile AA" ca dimensiune și direcție, atunci este posibil să se construiască o prismă desenând muchiile BB", CC", ... egale și paralele cu muchia AA" .
Definiția 4 . Înălțimea unei prisme este distanța dintre planele bazelor sale (HH").
Definiția 5
. O prismă se numește dreptă dacă bazele ei sunt secțiuni perpendiculare ale suprafeței prismatice. În acest caz, înălțimea prismei este, desigur, ea coastă laterală; marginile laterale vor fi dreptunghiuri.
Prismele pot fi clasificate în funcție de numărul de fețe laterale, număr egal laturile poligonului care îi servește drept bază. Astfel, prismele pot fi triunghiulare, patrulatere, pentagonale etc.
Teorema 2
. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul marginii laterale și perimetrul secțiunii perpendiculare.
Fie ABCDEA"B"C"D"E" o prismă dată și abcde secțiunea ei perpendiculară, astfel încât segmentele ab, bc, .. să fie perpendiculare pe marginile sale laterale. Fața ABA"B" este un paralelogram; aria sa este egal cu produsul bazei AA „ cu o înălțime care coincide cu ab; aria feței ВСВ "С" este egală cu produsul bazei ВВ" cu înălțimea bc etc. În consecință, suprafata laterala(adică, suma suprafețelor fețelor laterale) este egală cu produsul muchiei laterale, cu alte cuvinte, lungimea totală a segmentelor AA", BB", .., cu suma ab+bc+cd +de+ea.
