Erori absolute și relative

Trebuie să ne ocupăm de numere aproximative atunci când calculăm valorile oricăror funcții sau când măsurăm și procesăm mărimi fizice obţinute în urma experimentelor. În ambele cazuri, trebuie să puteți nota corect valorile numerelor aproximative și eroarea acestora.

Număr aproximativ A numit un număr care diferă ușor de numărul exact Ași îl înlocuiește pe acesta din urmă în calcule. Daca se stie ca A< А , Acea A se numește valoarea aproximativă a numărului A prin lipsă; Dacă a > a, - apoi în exces. Dacă A este valoarea aproximativă a numărului A, apoi scriu a ≈ A.

Sub eroare sau eroare A număr aproximativ A de obicei înțeles ca diferența dintre numărul exact corespunzător Ași date aproximative, adică

Pentru a obține numărul exact A, trebuie să adăugați eroarea acesteia la valoarea aproximativă a numărului, adică

În multe cazuri, semnul erorii este necunoscut. Atunci este recomandabil să folosiți eroarea absolută a numărului aproximativ

Din intrarea de mai sus rezultă că eroarea absolută a numărului aproximativ A se numește modulul diferenței dintre numărul exact corespunzător Ași valoarea sa aproximativă A, adică

Număr exact A cel mai adesea este necunoscut, deci nu este posibil să găsiți o eroare sau o eroare absolută. În acest caz, în locul unei erori teoretice necunoscute, este util să se introducă estimarea superioară a acesteia, așa-numita eroare absolută limitativă.

Sub eroarea absolută limitativă a numărului aproximativ A se înțelege orice număr care nu este mai mic decât eroarea absolută a acestui număr, adică.

Dacă în ultima intrare în loc să folosim formula (1.1), atunci putem scrie

(1.2)

Rezultă că numărul exact A cuprinse în limite

Prin urmare, diferența este o aproximare a numărului A prin deficiență și - aproximarea numărului Aîn exces. În acest caz, pentru concizie, folosim notația

Este clar că eroarea absolută limită este definită ambiguu: dacă un anumit număr este eroarea absolută limită, atunci orice mai mare decât un număr pozitiv este și eroarea absolută limitativă. În practică, ei încearcă să aleagă cel mai mic și mai simplu număr posibil, satisfacând inegalitatea (1.2).

De exemplu, dacă în urma măsurării am obținut lungimea segmentului l\u003d 210 cm ± 0,5 cm, atunci aici eroarea absolută limitativă = 0,5 cm și valoarea exactă l segmentul este închis în limitele de 209,5 cm ≤l≤ 210,5 cm.

Eroarea absolută nu este suficientă pentru a caracteriza acuratețea unei măsurători sau a unui calcul. Deci, de exemplu, dacă la măsurarea lungimii a două tije, rezultatele se obțin l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm și l 2= 8,3 ± 0,1 cm, atunci, în ciuda coincidenței erorilor absolute limitative, acuratețea primei măsurători este mai mare decât a doua. Acest lucru arată că, pentru acuratețea măsurătorilor, este mai importantă nu eroarea absolută, ci eroarea relativă, care depinde de valorile cantităților măsurate.

Eroare relativă δ număr aproximativ A este raportul dintre eroarea absolută a acestui număr și modulul numărului exact corespunzător A, acestea.

Similar erorii absolute limitatoare, definiția este folosită și pentru eroarea relativă limită. Eroarea relativă limită a acestui număr aproximativ A se numește orice număr care nu este mai mic decât eroarea relativă a acestui număr

acestea. de unde rezultă

Astfel, pentru eroarea absolută limitativă a numărului A poate fi acceptat

Din moment ce în practică A≈a, atunci în loc de formula (1.3) se folosește adesea formula

1.2 Notarea zecimală a numerelor aproximative

Orice număr zecimal pozitiv a poate fi reprezentat ca o fracție finită sau infinită

unde sunt cifrele zecimale ale numărului A( = 0,1,2,...,9), iar cea mai mare cifră a m- numărul de cifre din partea întreagă a numărului A, A n- numărul de cifre din înregistrarea părții fracționale a numărului A. De exemplu:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Fiecare cifră într-un anumit loc dintr-un număr A scris sub forma (1.4) are propria sa greutate. Deci, numărul de pe primul loc (adică) cântărește 10 m, pe a doua - 10 m-1 etc.

În practică, de obicei nu folosim notația în forma (1.4), ci folosim notația prescurtată a numerelor sub forma unei secvențe de coeficienți la puterile corespunzătoare de 10. acest număr în puteri de 10.

În practică, trebuie să se ocupe mai ales de numere aproximative sub formă de fracții zecimale finale. Pentru o comparație corectă a diferitelor rezultate computaționale și experimentale, este introdus conceptul cifra semnificativaîn înregistrarea rezultatelor. Toate salvat valori zecimale ( i = m,m- 1,…, m-n+ 1) altele decât zero și zero dacă se află între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate la sfârșitul numărului se numesc cifre semnificative ale numărului aproximativ A. În acest caz, zerourile asociate cu factorul 10 n nu sunt semnificative.

Cu desemnarea pozițională a numărului Aîn sistemul numeric zecimal, uneori trebuie să introduceți zerouri suplimentare la începutul sau la sfârșitul numărului. De exemplu,

A= 7 10 -3 + 0 10 -4 + 1 10 -5 + 0 10 -6 = 0,00 7010

b= 2 10 9 + 0 10 8 + 0 10 7 + 3 10 6 + 0 10 5 = 2003000000.

Astfel de zerouri (subliniate în exemple) nu sunt considerate cifre semnificative.

Cifra semnificativă a unui număr aproximativ este orice cifră din reprezentarea sa zecimală care este diferită de zero.,precum și zero dacă este cuprins între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate. Toate celelalte zerouri care fac parte din numărul aproximativ și servesc doar la desemnarea zecimalei acestuia nu sunt socotite ca numere semnificative.

De exemplu, în numărul 0,002080, primele trei zerouri nu sunt cifre semnificative, deoarece servesc doar la stabilirea zecimalei altor cifre. Cele două zerouri rămase sunt cifre semnificative, deoarece prima dintre ele se află între cifrele semnificative 2 și 8, iar a doua indică faptul că zecimala 10 -6 este stocată în numărul aproximativ. În cazul în care număr dat 0,002080 ultima cifră nu este semnificativă, atunci acest număr trebuie scris ca 0,00208. Din acest punct de vedere, numerele 0,002080 și 0,00208 nu sunt echivalente, deoarece prima dintre ele conține patru cifre semnificative, iar a doua doar trei.

Pe lângă conceptul de figură semnificativă, conceptul de număr corect. Trebuie remarcat faptul că acest concept există în două definiții - în îngustȘi în sens larg.

Definiție(în sens larg) . Ei spun asta n primele cifre semnificative ale numărului (numărând de la stânga la dreapta) sunt credincios în larg sens, dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește unu (greutate) n- descărcare fierbinte. (Explicație: 1 10 1 - aici greutatea 1 este egală cu 10; 1 10 0 - aici greutatea 1 este egală cu 1; 1 10 -1 - aici greutatea 1 este egală cu 0,1; 1 10 -2 - aici greutatea 1 este egală până la 0,01 și t .d.).

Definiție(V sens restrâns). Ei spun asta n primele cifre semnificative ale unui număr aproximativ sunt corecte dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește jumătate unități (greutate) n- descărcare fierbinte. (Explicație: 1 10 1 - aici greutatea jumătății 1 este 5; 1 10 0 - aici greutatea jumătății 1 este 0,5; 1 10 -1 - 0,05 etc.).

De exemplu, într-un număr aproximativ Pe baza primei definiții, numerele semnificative 3,4 și 5 sunt corecte în sens larg, iar numărul 6 este îndoielnic. Pe baza celei de-a doua definiții, numerele semnificative 3 și 4 sunt corecte în sens restrâns, iar numerele 5 și 6 sunt dubioase. Este important de subliniat că acuratețea unui număr aproximativ nu depinde de numărul de cifre semnificative, ci de numărul corectează cifrele semnificative.

Atât în raționamentul teoretic cât și în aplicații practice definiția figurii corecte în sens restrâns își găsește mai multă aplicație.

Astfel, dacă pentru un număr aproximativ a, înlocuind numărul A, se știe că

(1.6)

apoi, prin definiție, primul n numere acest număr este corect.

De exemplu, pentru numărul exact A= 35,97 număr A= 36,00 este o aproximare cu trei cifre valide. Următorul raționament conduce la acest rezultat. Deoarece eroarea absolută a numărului nostru aproximativ este 0,03, prin definiție trebuie să îndeplinească condiția

(1.7)

În numărul nostru aproximativ 36.00, 3 este prima cifră semnificativă (adică ), deci m= 1. Prin urmare, este evident că condiția (1.7) va fi îndeplinită pentru n = 3.

De obicei luate atunci când notarea zecimală a unui număr aproximativ scrie doar numere corecte. Dacă se știe că acest număr aproximativ este scris corect, atunci eroarea absolută maximă poate fi determinată din înregistrare. Cu înregistrarea corectă, eroarea absolută nu depășește jumătate din cifra cea mai puțin semnificativă care urmează ultimei cifre corecte (sau jumătate din unitatea ultimei cifre corecte, care este aceeași)

De exemplu, date numere aproximative scrise corect: a = 3,8; b= 0,0283; c = 4260. Conform definiţiei, erorile absolute limitative ale acestor numere vor fi: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Erori absolute și relative

Eroare absolută de aproximare

Când aveți de-a face cu calcule cu fracții zecimale infinite, este necesar, pentru comoditate, să efectuați o aproximare a acestor numere, adică să le rotunjiți. Numerele aproximative se obțin și din diferite măsurători.

Poate fi util să știm cât de mult diferă valoarea aproximativă a unui număr de valoarea lui exactă. Este clar că cu cât această diferență este mai mică, cu atât mai bine, cu atât măsurarea sau calculul se efectuează mai precis.

Pentru a determina acuratețea măsurătorilor (calculelor), este introdus un astfel de concept precum o eroare de aproximare. În alt fel, se numește eroare absolută.

Eroare absolută apropiere este modulul diferenței dintre valoarea exactă a unui număr și valoarea sa aproximativă.

Unde X este valoarea exactă a numărului, A este valoarea sa aproximativă.

De exemplu, în urma măsurătorilor, a fost obținut un număr. Cu toate acestea, ca rezultat al calculului prin formula, valoarea exactă a acestui număr. Apoi eroarea absolută de aproximare

În cazul fracțiilor infinite, eroarea de aproximare este determinată de aceeași formulă. În locul numărului exact, se scrie fracția infinită în sine. De exemplu, . Aici rezultă că eroarea absolută de aproximare este exprimată printr-un număr irațional.

Aproximarea se poate face ca prin lipsă , și în exces .

Același număr π, la apropierea deficienței cu o precizie de 0,01, este 3,14, iar la apropierea de exces cu o precizie de 0,01, este 3,15.

Regula de rotunjire: dacă prima cifră care trebuie eliminată este egală cu cinci sau mai mare de cinci, atunci se efectuează o aproximare în exces; dacă mai puțin de cinci, atunci prin defect.

De exemplu, pentru că a treia cifră după virgulă zecimală a numărului π este 1, apoi când se apropie cu o precizie de 0,01, se realizează prin lipsă.

Să calculăm erorile absolute de aproximare până la 0,01 ale numărului π în termeni de deficiență și exces:

După cum putem vedea, eroarea absolută a aproximării prin deficiență este mai mică decât prin exces. Prin urmare, aproximarea prin deficiență în acest caz are o precizie mai mare.

Eroare relativă de aproximare

Eroarea absolută are una dezavantaj important- nu permite aprecierea gradului de importanta a erorii.

De exemplu, cumpărăm 5 kg de cartofi din piață, iar un vânzător fără scrupule, la măsurarea greutății, a greșit cu 50 g în favoarea lui. Acestea. eroarea absolută a fost de 50 g. Pentru noi, o astfel de neglijare va fi un simplu fleac și nici măcar nu îi vom acorda atenție. Ce se întâmplă dacă apare o eroare similară în timpul pregătirii medicamentului? Aici totul va fi mult mai serios. Și la încărcarea unui vagon de marfă, este probabil să apară abateri mult mai mari decât această valoare.

Prin urmare, eroarea absolută în sine nu este foarte informativă. Pe lângă aceasta, abaterea relativă este adesea calculată suplimentar.

Eroare relativă de aproximare este raportul dintre eroarea absolută și valoarea exactă a numărului.

Eroarea relativă este o mărime adimensională sau este măsurată ca procent.

Să luăm câteva exemple.

Exemplul 1 În întreprindere sunt 1284 de lucrători și angajați. Rotunjiți numărul de lucrători la cel mai apropiat număr întreg cu un exces și o deficiență. Găsiți erorile lor absolute și relative (în procente). Faceți o concluzie.

Asa de, .

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Aceasta înseamnă că acuratețea aproximării cu un dezavantaj este mai mare decât acuratețea aproximării cu un exces.

Exemplul 2 Școala are 197 de elevi. Rotunjiți numărul de elevi la cel mai apropiat număr întreg cu un exces și o deficiență. Găsiți erorile lor absolute și relative (în procente). Faceți o concluzie.

Asa de, .

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Aceasta înseamnă că acuratețea aproximării cu exces este mai mare decât acuratețea aproximării cu un dezavantaj.

Găsiți eroarea absolută de aproximare:

Valoarea aproximativă a număruluiX egalăA . Găsiți eroarea absolută de aproximare dacă:

Scrieți ca o dublă inegalitate:

Aflați valoarea aproximativă a unui numărX , egal cu media aritmetică a subaproximațiilor și supraaproximațiilor dacă:

Demonstrați că media aritmetică a numerelorA Șib este valoarea aproximativă a fiecăruia dintre aceste numere până la.

Rotunjiți numerele:

până la unități

până la zecimi

până la miimi

până la mii

până la sute de miimi

până la unități

până la zeci

până la zecimi

până la miimi

până la sute

până la zece miimi

Imagina fracție comună ca zecimală și rotunjiți-o la miimi și găsiți eroarea absolută:

Demonstrați că fiecare dintre numerele 0,368 și 0,369 este o valoare aproximativă a numărului până la 0,001. Care dintre ele este valoarea aproximativă a unui număr cu o precizie de 0,0005?

Demonstrați că fiecare dintre numerele 0,38 și 0,39 este o valoare aproximativă a numărului până la 0,01. Care dintre ele este valoarea aproximativă a unui număr cu o precizie de 0,005?

Rotunjiți numărul la unități și găsiți eroarea relativă de rotunjire:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Reprezentați fiecare dintre numere și în formă fracție zecimală. Rotunjind fracțiile rezultate la zecimi, găsiți erorile absolute și relative ale aproximărilor.

Raza Pământului este de 6380 km cu o precizie de 10 km. Estimați eroarea relativă a valorii aproximative.

Cea mai mică distanță de la Pământ la Lună este de 356400 km cu o precizie de 100 km. Estimați eroarea relativă de aproximare.

Comparați calitățile de măsurare a maseiM locomotiva electrica si maseleT tablete de medicament dacă t (cu cea mai apropiată 0,5 t) și g (cu cea mai apropiată 0,01 g).

Comparați calitatea măsurării lungimii râului Volga și diametrul unei mingi de tenis de masă, dacă km (cu o precizie de 5 km) și mm (cu o precizie de 1 mm).

Pentru măsurători directe

1. Să se măsoare două tensiuni o dată pe un voltmetru U 1 = 10 V, U 2 \u003d 200 V. Voltmetrul are următoarele caracteristici: clasa de precizie d clasa t \u003d 0,2, U max = 300 V.

Să determinăm erorile absolute și relative ale acestor măsurători.

Deoarece ambele măsurători au fost făcute pe același dispozitiv, atunci D U 1=D U 2 și se calculează prin formula (B.4)

Conform definiției, erori relative U 1 și U 2 respectiv egal

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

Din rezultatele calculelor de mai sus pentru ε 1 și ε 2 se poate observa că ε 1 este mult mai mare decât ε 2 .

Aceasta implică regula: ar trebui să alegeți un dispozitiv cu o astfel de limită de măsurare încât citirile să fie în ultima treime a scalei.

2. Lasă o anumită valoare să fie măsurată de mai multe ori, adică produsă n măsurători individuale ale acestei mărimi A x 1 , A x 2 ,...,A x 3 .

Apoi, pentru a calcula eroarea absolută, se efectuează următoarele operații:

1) conform formulei (B.5) determinaţi media valoare aritmetică A 0 valoare măsurată;

2) calculați suma abaterilor pătrate ale măsurătorilor individuale de la media aritmetică găsită și, folosind formula (B.6), determinați eroarea pătratică medie, care caracterizează eroarea absolută a unei singure măsurători în mai multe măsurători directe ale unei anumite cantități ;

3) eroarea relativă ε se calculează prin formula (B.2).

Calculul erorii absolute și relative

Când se măsoară indirect

Calculul erorilor în măsurători indirecte - mai mult sarcină dificilă, deoarece în acest caz valoarea dorită este în funcție de alte mărimi auxiliare, a căror măsurare este însoțită de apariția erorilor. De obicei, în măsurători, cu excepția erorilor, erorile aleatorii se dovedesc a fi foarte mici în comparație cu valoarea măsurată. Sunt atât de mici încât gradul al doilea și cel mai mare de erori se află în afara preciziei măsurătorii și pot fi neglijate. Datorită micii erori pentru a obține formula de eroare
mărime măsurată indirect, se folosesc metode de calcul diferenţial. În cazul măsurării indirecte a unei mărimi, când mărimile asociate cu dependența matematică dorită sunt măsurate direct, este mai convenabil să se determine mai întâi eroarea relativă și deja
prin eroarea relativă găsită, calculați eroarea absolută de măsurare.

Calculul diferenţial oferă cel mai simplu mod de a determina eroarea relativă într-o măsurătoare indirectă.

Lăsați valoarea dorită A legate funcțional de mai multe mărimi independente măsurate direct X 1 ,
X 2 , ..., x k, adică

A= f(X 1 , X 2 , ..., x k).

Pentru a determina eroarea relativă a valorii A luați logaritmul natural al ambelor părți ale ecuației

ln A=ln f(X 1 , X 2 , ..., x k).

Apoi se calculează diferența logaritmul natural funcții
A= f(X 1 ,X 2 , ..., x k),

dln A= dln f(X 1 , X 2 , ..., x k)

În expresia rezultată, tot posibil transformări algebrice si simplificare. După aceea, toate simbolurile diferențialelor d sunt înlocuite cu simbolurile de eroare D și semne negativeîn fața diferențelor variabilelor independente se înlocuiesc cu unele pozitive, adică se ia cazul cel mai defavorabil, când se adună toate erorile. În acest caz, se calculează eroarea maximă a rezultatului.

Având în vedere cele de mai sus

dar ε = D A / A

Această expresie este formula pentru eroarea relativă a mărimii A cu măsurători indirecte, determină eroarea relativă a valorii dorite, prin erorile relative ale valorilor măsurate. După ce s-a calculat conform formulei (B.11) eroarea relativă,
determina eroarea absolută a valorii A ca produs dintre eroarea relativă și valoarea calculată A adică

D A = ε A, (LA 12)

unde ε este exprimat ca număr adimensional.

Deci, erorile relative și absolute ale unei mărimi măsurate indirect ar trebui calculate în următoarea secvență:

1) se ia o formulă după care se calculează valoarea dorită (formula de calcul);

2) se ia logaritmul natural al ambelor părți ale formulei de calcul;

3) se calculează diferenţialul total al logaritmului natural al valorii dorite;

4) în expresia rezultată se efectuează toate transformările și simplificările algebrice posibile;

5) simbolul diferenţialelor d este înlocuit cu simbolul de eroare D, în timp ce toate semnele negative din faţa diferenţialelor variabilelor independente sunt înlocuite cu unele pozitive (valoarea erorii relative va fi maximă) şi se obţine o formulă de eroare relativă. ;

6) se calculează eroarea relativă a valorii măsurate;

7) în funcție de eroarea relativă calculată, eroarea absolută de măsurare indirectă se calculează conform formulei (B.12).

Să luăm în considerare câteva exemple de calculare a erorilor relative și absolute în măsurători indirecte.

1. Valoarea dorită A legate de mărimile măsurate direct X, la, z raport

Unde AȘi b sunt valori constante.

2. Luați logaritmul natural al expresiei (B.13)

3. Calculați diferența totală a logaritmului natural al valorii dorite A, adică deosebim (B.13)

4. Facem transformări. Având în vedere că d A= 0 deoarece A= const, cos la/păcat y=ctg y, primim:

5. Înlocuim simbolurile diferențiale cu simboluri ale erorilor și semnul minus din fața diferenţialului cu semnul plus

6. Calculăm eroarea relativă a valorii măsurate.

7. Pe baza erorii relative calculate, eroarea absolută a măsurării indirecte este calculată utilizând formula (B.12), i.e.

Se determină lungimea de undă Culoarea galbena linia spectrală a mercurului folosind o rețea de difracție (folosind secvența acceptată pentru calcularea erorilor relative și absolute pentru lungimea de undă galbenă).

1. Lungimea de undă a culorii galbene în acest caz este determinată de formula:

Unde CU este constanta rețelei de difracție (valoare măsurată indirect); φ l este unghiul de difracție al liniei galbene într-o ordine dată a spectrului (valoare măsurată direct); K g este ordinea spectrului în care a fost făcută observația.

Constanta rețelei de difracție este calculată prin formula

Unde K h este ordinul spectrului liniei verzi; λz - lungimea de undă cunoscută a culorii verzi (λz - constantă); φ z este unghiul de difracție al liniei verzi într-o ordine dată a spectrului (valoare măsurată direct).

Apoi, ținând cont de expresia (B.15)

(B.16)

Unde K h, K g - observabile, care sunt considerate constante; φ h, φ l - sunt
cu cantități direct măsurabile.

Expresia (B.16) este formula de calcul pentru lungimea de undă galbenă determinată utilizând o rețea de difracție.

4.d K h = 0; d K f = 0; dλ h = 0, deoarece K h, K W și λ w sunt valori constante;

Apoi

5. (B.17)

unde Dφ w, Dφ h sunt erorile absolute în măsurarea unghiului de difracție al galbenului
și liniile verzi ale spectrului.

6. Calculați eroarea relativă a lungimii de undă galbenă.

7. Calculați eroarea absolută a lungimii de undă galbenă:

Dλ bine = ελ bine.

În implementarea practică a procesului de măsurare, indiferent de acuratețea instrumentelor de măsurare, corectitudinea metodologiei și minuțiozitatea
măsurători, rezultatele măsurătorii diferă de valoarea adevărată a mărimii măsurate, adică erorile de măsurare sunt inevitabile. La evaluarea erorii se ia valoarea reală în locul valorii adevărate; prin urmare, poate fi dată doar o estimare aproximativă a erorii de măsurare. Evaluarea fiabilității rezultatului măsurării, i.e. determinarea erorii de măsurare este una dintre sarcinile principale ale metrologiei.
Eroarea este abaterea rezultatului măsurării de la valoarea reală a mărimii măsurate. Erorile pot fi împărțite condiționat în erori ale instrumentelor de măsurare și erori ale rezultatului măsurării.
Erori la instrumentele de măsură au fost discutate în capitolul 3.
Eroare de măsurare este un număr care indică limitele posibile de incertitudine ale valorii mărimii măsurate.
Mai jos, se va da o clasificare și se vor lua în considerare erorile rezultatului măsurării.
De cale expresie numerică distinge erori absolute și relative.
În funcție de origine sunt erori instrumentale, metodice, lecturi și setări.
După tiparele de manifestare erorile de măsurare sunt împărțite la sistematic, progresiv, aleatoriu și brut.
Să luăm în considerare erorile de măsurare indicate mai detaliat.

4.1. Erori absolute și relative

Eroare absolută D este diferența dintre X măsurat și X adevărat și valorile mărimii măsurate. Eroarea absolută se exprimă în unități ale valorii măsurate: D = X - Chi.
Deoarece valoarea reală a mărimii măsurate nu poate fi determinată, în practică se utilizează în schimb valoarea reală a mărimii măsurate Xd. Valoarea reală se găsește experimental, prin aplicarea suficientă metode precise si instrumente de masura. Diferă puțin de valoarea adevărată și poate fi folosit în locul ei pentru a rezolva problema. În timpul verificării, citirile instrumentelor de măsurare exemplare sunt de obicei luate ca valoare reală. Astfel, în practică, eroarea absolută se găsește prin formula D » X - Xd. Eroare relativă d este raportul dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea adevărată (reala) a mărimii măsurate (de obicei este exprimată în procente): .

4.2. erori instrumentale și metodologice,
citiri și setări

instrumental erorile (instrument sau hardware) sunt cele care aparțin unui anumit instrument de măsurare, pot fi determinate în timpul testării acestuia și introduse în pașaportul acestuia.
Aceste erori se datorează deficiențelor de proiectare și tehnologice ale instrumentelor de măsură, precum și consecințelor uzurii, îmbătrânirii sau defecțiunii acestora. Erori instrumentale, din cauza erorilor instrumentelor de măsură folosite, au fost luate în considerare în Capitolul 3.
Cu toate acestea, pe lângă erorile instrumentale, în timpul măsurătorilor există și astfel de erori care nu pot fi atribuite acestui dispozitiv, nu pot fi indicate în pașaportul său și sunt numite metodic, acestea. asociat nu cu dispozitivul în sine, ci cu metoda de utilizare a acestuia.
Erori metodologice poate apărea din cauza imperfecțiunii dezvoltării teoriei fenomenelor care stă la baza metodei de măsurare, a inexactității relațiilor utilizate pentru a găsi o estimare a mărimii măsurate, precum și din cauza discrepanței dintre mărimea măsurată și modelul acesteia.
Luați în considerare exemple care ilustrează eroarea metodologică de măsurare.
Obiectul de studiu este o sursă de tensiune alternativă, a cărei valoare a amplitudinii um trebuie măsurat. Pe baza unui studiu preliminar al obiectului de studiu, a fost adoptat ca model un generator de tensiune sinusoidal. Folosind un voltmetru conceput pentru a măsura valorile efective ale tensiunilor alternative și cunoscând relația dintre valorile efective și amplitudinea tensiunii sinusoidale, obținem rezultatul măsurării sub forma um = × UV, Unde UV- citirea voltmetrului. Un studiu mai amănunțit al obiectului ar putea dezvălui că forma tensiunii măsurate diferă de cea sinusoidală și o relație mai corectă între valoarea măsurată și citirea voltmetrului um =k× UV, Unde k¹ . Astfel, imperfecțiunea modelului acceptat al obiectului de studiu duce la o eroare metodologică de măsurare DU= × UV-k× UV.
Această eroare poate fi redusă fie prin calcularea valorii k pe baza unei analize a formei curbei tensiunii măsurate, sau prin înlocuirea instrumentului de măsurare, luând un voltmetru destinat măsurării valorilor de amplitudine ale tensiunilor alternative.
Un motiv foarte frecvent pentru apariția erorilor metodologice este faptul că, atunci când organizăm măsurători, suntem forțați să măsurăm (sau să măsurăm în mod deliberat) nu valoarea care ar trebui măsurată, ci una alta, apropiată, dar nu egală cu aceasta.

Un exemplu de astfel de eroare metodologică este eroarea de măsurare a tensiunii cu un voltmetru cu o rezistență finită (Fig. 4.1).
Datorită voltmetrului care manevrează secțiunea circuitului în care se măsoară tensiunea, aceasta se dovedește a fi mai mică decât era înainte de conectarea voltmetrului. Și într-adevăr, tensiunea pe care o va afișa voltmetrul este determinată de expresie U=I×Rv. Având în vedere că curentul din circuit I=E/(Ri +Rv), Acea
< .
Prin urmare, pentru același voltmetru conectat la rândul său la diferite secțiuni ale circuitului studiat, această eroare este diferită: în secțiunile cu rezistență scăzută este neglijabilă, iar în secțiunile cu rezistență ridicată poate fi foarte mare. Această eroare ar putea fi eliminată dacă voltmetrul a fost conectat în mod constant la această secțiune a circuitului pe toată durata de funcționare a dispozitivului (ca pe panoul unei centrale electrice), dar acest lucru este dezavantajos din multe motive.
Există cazuri frecvente când este în general dificil să se indice o metodă de măsurare care exclude eroarea metodologică. Să fie măsurată, de exemplu, temperatura lingourilor fierbinți care vin de la cuptor la laminor. Întrebarea este, unde să plasați senzorul de temperatură (de exemplu, un termocuplu): sub semifabricat, pe lateral sau deasupra semifabricatului? Oriunde îl plasăm, nu vom măsura temperatura internă a corpului gol, adică. vom avea o eroare metodologică semnificativă, deoarece măsurăm nu ceea ce este necesar, ci ceea ce este mai ușor (nu găuriți un canal în fiecare semifabricat pentru a plasa un termocuplu în centrul acestuia).
Deci principala trăsătură distinctivă erori metodologice constă în faptul că nu pot fi indicate în pașaportul instrumentului, ci trebuie evaluate de către experimentator însuși atunci când organizează tehnica de măsurare aleasă, de aceea trebuie să facă distincția clară între măsurabile ele de dimensiunea de măsurat.
Eroare de citire provine din citiri inexacte. Se datorează caracteristicilor subiective ale observatorului (de exemplu, eroarea de interpolare, adică citirea inexactă a fracțiilor de diviziune pe scara instrumentului) și tipului de dispozitiv de citire (de exemplu, eroarea de paralaxă). Nu există erori de numărare la utilizarea instrumentelor de măsurare digitale, ceea ce este unul dintre motivele caracterului promițător al acestora din urmă.
Eroare de instalare este cauzată de abaterea condițiilor de măsurare de la normal, adică condiţiile în care s-au efectuat calibrarea şi verificarea instrumentelor de măsură. Aceasta include, de exemplu, eroarea de la instalarea incorectă a dispozitivului în spațiu sau indicatorul său la zero, de la schimbările de temperatură, tensiunea de alimentare și alte cantități influențe.
Tipurile de erori luate în considerare sunt la fel de potrivite pentru caracterizarea acurateței atât a rezultatelor individuale de măsurare, cât și a instrumentelor de măsurare.

4.3. Erori sistematice, progresive, aleatorii și grosolane

Eroare sistematică de măsurare Dc este componenta erorii de măsurare care rămâne constantă sau se modifică în mod regulat în timpul măsurătorilor repetate de aceeași valoare.
Motivele apariției erorilor sistematice pot fi de obicei stabilite în timpul pregătirii și efectuării măsurătorilor. Aceste motive sunt foarte diverse: imperfecțiunea instrumentelor și metodelor de măsurare utilizate, instalarea incorectă a instrumentului de măsurare, influența factori externi(cantități care influențează) asupra parametrilor instrumentelor de măsură și asupra obiectului de măsurat în sine, deficiențe ale metodei de măsurare (erori metodologice), caracteristici individuale operator (erori subiective), etc. În funcție de natura manifestării, erorile sistematice sunt împărțite în constante și variabile. Constantele includ, de exemplu, erori datorate inexactității în ajustarea valorii măsurii, gradarea incorectă a scalei instrumentului, instalarea incorectă a instrumentului în raport cu direcția câmpurilor magnetice etc. Erorile sistematice variabile se datorează influenței cantităților de influență asupra procesului de măsurare și pot apărea, de exemplu, atunci când se modifică tensiunea sursei de alimentare a dispozitivului, câmpurile magnetice externe, frecvența tensiunii alternative măsurate etc. Trăsătura erorilor sistematice este că dependența lor de mărimile care influențează este supusă unei anumite legi. Această lege poate fi studiată, iar rezultatul măsurării poate fi rafinat prin modificări, dacă se determină valorile numerice ale acestor erori. O altă modalitate de a reduce influența erorilor sistematice este utilizarea unor astfel de metode de măsurare care să permită excluderea influenței erorilor sistematice fără a determina valorile acestora (de exemplu, metoda de substituție).
Rezultatul măsurării este mai aproape de valoarea reală a mărimii măsurate, cu atât erorile sistematice rămase neexcluse sunt mai mici. Prezența erorilor sistematice excluse determină corectitudinea măsurătorilor, o calitate care reflectă apropierea erorilor sistematice de zero. Rezultatul măsurării va fi la fel de corect, cu cât nu este distorsionat de erori sistematice și, cu cât mai corect, cu atât mai mici aceste erori.
progresivă(sau deriva) se numesc erori imprevizibile care se schimba incet in timp. Aceste erori, de regulă, sunt cauzate de procesele de îmbătrânire ale anumitor părți ale echipamentului (descărcarea surselor de alimentare, îmbătrânirea rezistențelor, condensatoarelor, deformarea pieselor mecanice, contracția benzii de hârtie în instrumentele de autoînregistrare etc.). O caracteristică a erorilor progresive este că ele pot fi corectate prin introducerea unei corecții numai la un moment dat în timp și apoi cresc din nou în mod imprevizibil. Prin urmare, spre deosebire de erorile sistematice, care pot fi corectate printr-o corecție găsită o singură dată pe întreaga durată de viață a dispozitivului, erorile progresive necesită repetarea continuă a corecției și cu cât mai des, cu atât valoarea lor reziduală ar trebui să fie mai mică. O altă caracteristică a erorilor progresive este că schimbarea lor în timp este un proces aleator nestaționar și, prin urmare, în cadrul unei teorii bine dezvoltate a proceselor aleatoare staționare, ele pot fi descrise doar cu rezerve.
Eroare de măsurare aleatorie este componenta erorii de măsurare, care se modifică aleatoriu în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi. Valoarea și semnul erorilor aleatoare nu pot fi determinate, nu pot fi luate în considerare direct din cauza schimbării lor haotice datorită influenței simultane a diverșilor factori independenți unul de celălalt asupra rezultatului măsurării. Erorile aleatorii se găsesc în mai multe măsurători ale aceleiași mărimi (în acest caz, măsurătorile individuale se numesc observații) de către aceleași instrumente de măsurare în aceleași condiții de către același observator, i.e. la măsurători la fel de precise (echidisperse). Influența erorilor aleatoare asupra rezultatului măsurării este luată în considerare prin metodele statisticii matematice și teoria probabilităților.
Erori de măsurare brute - erori aleatorii de măsurare care le depășesc semnificativ pe cele așteptate în condițiile de eroare date.
Erorile mari (greșelile) sunt de obicei cauzate de citiri incorecte ale instrumentului, o eroare în înregistrarea observațiilor, prezența unei cantități puternic influențate, o funcționare defectuoasă a instrumentelor de măsurare și alte motive. De regulă, rezultatele măsurătorilor care conțin erori grosolane nu sunt luate în considerare, astfel încât erorile grosolane au un efect redus asupra preciziei măsurării. Găsirea unei rate nu este întotdeauna ușoară, mai ales cu o singură măsurare; este adesea dificil să distingem o eroare grosolană de o eroare aleatorie mare. Dacă erorile majore sunt comune, vom pune la îndoială toate rezultatele măsurătorilor. Prin urmare, erorile grave afectează validitatea măsurătorilor.
În concluzia împărțirii descrise a erorilor de medie și a rezultatelor măsurătorii în componente aleatoare, progresive și sistematice, este necesar să se acorde atenție faptului că o astfel de împărțire este o metodă foarte simplificată de analiză a acestora. Prin urmare, trebuie amintit întotdeauna că, în realitate, aceste componente ale erorii apar împreună și formează un singur proces aleator non-staționar. În acest caz, eroarea rezultatului măsurării poate fi reprezentată ca suma erorilor Dc aleatoare și sistematice: D = Dc +. Eroarea de măsurare include o componentă aleatorie, așa că ar trebui luată în considerare variabilă aleatorie.
Luarea în considerare a naturii manifestării erorilor de măsurare ne arată că singura modalitate corectă de evaluare a erorilor ne este dată de teoria probabilității și statistica matematică.

4.4. Abordare probabilistă a descrierii erorilor

Legile distribuției erorilor aleatoare. Erorile aleatorii sunt detectate în timpul unei serii de măsurători de aceeași valoare. În acest caz, rezultatele măsurătorii, de regulă, nu coincid unele cu altele, deoarece din cauza impactului total al multor factori diferiți care nu pot fi luați în considerare, fiecare măsurătoare nouă dă și o nouă valoare aleatorie a cantității măsurate. Cu măsurătorile corecte, cu un număr suficient de acestea și cu excluderea erorilor sistematice și a erorilor, se poate argumenta că valoarea adevărată a mărimii măsurate nu depășește valorile obținute în timpul acestor măsurători. Rămâne necunoscut până când este determinată valoarea teoretic probabilă a erorii aleatoare.
Fie măsurată valoarea lui A P ori și a observat valorile a1, a2, a3,…,a i,...,un. Eroarea absolută aleatorie a unei singure măsurători este determinată de diferență
Di = ai - A . (4,1)
Grafic, rezultatele măsurătorilor individuale sunt prezentate în Fig. 4.2.
Când suficient numere mari P aceleași erori, dacă au un număr de valori discrete, se repetă și de aceea se poate stabili frecvența (frecvența) relativă a apariției lor, adică. raportul dintre numărul de date identice primite mi La numărul total măsurătorile luate P. Pe măsură ce măsurătorile continuă, cantitățile A această frecvență nu se va modifica, deci poate fi considerată probabilitatea unei erori în aceste măsurători: p(AI) = mi / n.

Se numește dependența statistică a probabilității de apariție a erorilor aleatoare de valoarea lor legea distribuirii erorilor sau legea distribuției probabilităților. Această lege determină natura aspectului rezultate diferite măsurători individuale. Există două tipuri de descriere a legilor de distribuție: integralăȘi diferenţial.
lege integrală, sau funcția de distribuție a probabilitățiiF( D ) eroare aleatorie Di Vi-a experiență, ei numesc o funcție a cărei valoare pentru fiecare D este probabilitatea unui eveniment R(D), care constă în faptul că eroarea aleatoare Di ia valori mai mici decât o anumită valoare D, adică. funcţie F( D ) = P[ Di < D ]. Această funcție, când D se schimbă de la -¥ la +¥, ia valori de la 0 la 1 și este nedescrescătoare. Ea există pentru toate variabilele aleatoare, atât discrete, cât și continue (Figura 4.3 a).
Dacă F(D) simetric fata de un punct A, probabilitatea corespunzătoare 0,5, atunci distribuția rezultatelor observației va fi simetrică față de valoarea adevărată A.În acest caz, este recomandabil F(D) deplasarea de-a lungul abscisei cu valoarea DA, i.e. excludeți componenta sistematică a erorii (DA =DC)și obțineți funcția de distribuție a componentei aleatoare a erorii D=(Fig. 4.3 b). Funcția de distribuție a probabilității de eroare D diferă de funcția de distribuție a probabilității a componentei aleatoare a erorii doar printr-o deplasare de-a lungul axei absciselor cu valoarea componentei sistematice a erorii DC.
legea diferentiala distribuții de probabilitate pentru o eroare aleatorie cu o funcție de distribuție continuă și diferențiabilă F(D) apelați funcția . Această dependență este densitatea distribuției de probabilitate. Un grafic de densitate de probabilitate poate avea formă diferităîn funcţie de legea repartizării erorilor. Pentru F(D) prezentată în fig. 4.3 b, curba de distribuție f(D) are o formă apropiată de forma unui clopot (Fig. 4.3 c).
Probabilitatea de apariție a erorilor aleatoare este determinată de aria delimitată de curbă f(D) sau partea sa și axa x (Fig. 4.3 c). În funcție de intervalul de eroare considerat .

Sens f(D)dD există un element de probabilitate egal cu aria unui dreptunghi cu bază dD și abscisă D1,D2, numite cuantile. Deoarece F(+¥)= 1, apoi egalitatea ,
acestea. zona de sub curbă f(D) conform regulii de normalizare, este egal cu unu și reflectă probabilitatea tuturor evenimentelor posibile.
In practica măsurători electrice una dintre cele mai comune legi ale distribuirii erorilor aleatoare este legea normală(Gauss).
Expresia matematică a legii normale are forma
,
Unde f(D)- densitatea de probabilitate a erorii aleatoare D = aeu-A; s - abaterea standard. Abaterea standard poate fi exprimată în termeni de abateri aleatorii ale rezultatelor observaționale Di (vezi formula (4.1)):
.
Natura curbelor descrise de această ecuație pentru două valori ale lui s este prezentată în fig. 4.4. Din aceste curbe se poate observa că cu cât s este mai mic, cu atât apar mai des erori aleatorii mici, adică cu atât măsurătorile sunt mai precise. În practica măsurătorilor, există și alte legi de distribuție care pot fi stabilite pe baza prelucrărilor statistice.

date experimentale. Unele dintre cele mai comune legi de distribuție sunt date în GOST 8.011-84 „Indicatori de precizie a măsurătorilor și forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor”.
Principalele caracteristici ale legilor de distribuție sunt valorea estimataȘi dispersie.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este valoarea sa în jurul căreia sunt grupate rezultatele observațiilor individuale. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete M[X] este definită ca suma produselor tuturor valori posibile variabilă aleatorie asupra probabilităţii acestor valori .
Pentru variabile aleatoare continue, se recurge la integrare, pentru care este necesar să se cunoască dependența densității de probabilitate de X, adică f(x), Unde x=D. Apoi .
Această expresie înseamnă că așteptarea matematică este egală cu suma unui număr infinit de produse ale tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare X peste zone infinitezimale f(x)dx, Unde f(x) - ordonate pentru fiecare X, A dx - segmente elementare ale axei x.
Dacă există o distribuție normală a erorilor aleatoare, atunci așteptarea matematică a erorii aleatoare este zero (Fig. 4.4). Dacă luăm în considerare distribuția normală a rezultatelor, atunci așteptarea matematică va corespunde valorii adevărate a mărimii măsurate, pe care o notăm cu A.
Eroarea sistematică în acest caz este abaterea așteptări matematice rezultate observaționale din valoarea adevărată A valoare măsurată: Dc = M[X]-A, iar eroarea aleatorie este diferența dintre rezultatul unei singure observații și așteptarea matematică: .
Dispersia unei serii de observații caracterizează gradul de dispersie (împrăștiere) a rezultatelor observațiilor individuale în jurul așteptării matematice:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Cu cât variația este mai mică, cu atât este mai mică răspândirea rezultatelor individuale, cu atât măsurătorile sunt mai precise. Cu toate acestea, dispersia este exprimată în unități pe pătrat ale mărimii măsurate. Prin urmare, ca o caracteristică a acurateței unei serii de observații, deviația standard (RMS) este folosită cel mai adesea, egală cu rădăcina pătrată a varianței: .
Distribuția normală considerată a variabilelor aleatoare, inclusiv erorile aleatoare, este teoretică, prin urmare distribuția normală descrisă ar trebui considerată „ideală”, adică ca baza teoretica pentru a studia erorile aleatoare și influența lor asupra rezultatului măsurării.
În plus, sunt subliniate modalitățile de aplicare a acestei distribuții în practică cu diferite grade de aproximare. Se ia în considerare și o altă distribuție (distribuția Studentului), care este utilizată pentru un număr mic de observații.
Estimări ale erorilor în rezultatele măsurătorilor directe. Să se țină P măsurători directe ale aceleiași mărimi. În cazul general, în fiecare dintre actele de măsurare, eroarea va fi diferită:
Deu =ai-A,
unde Di este eroarea i-a măsurătoare; ai- rezultatul celei de-a i-a măsurători.
Deoarece valoarea adevărată a mărimii măsurate A este necunoscută, eroarea absolută aleatorie nu poate fi calculată direct. În calcule practice, în loc de A folosește-i scorul. De obicei se presupune că adevărata valoare este media aritmetică a unei serii de măsurători:
. (4.2)
Unde Aeu- rezultatele măsurătorilor individuale; P - numărul de măsurători.
Acum, similar expresiei (4.1), putem determina abaterea rezultatului fiecărei măsurători de la valoarea medie :
(4.3)
Unde v i- abaterea rezultatului unei singure măsurări de la valoarea medie. Trebuie amintit că suma abaterilor rezultatului măsurării de la valoarea medie este zero, iar suma pătratelor lor este minimă, adică.
și min.
Aceste proprietăți sunt utilizate la procesarea rezultatelor măsurătorilor pentru a controla corectitudinea calculelor.
Apoi calculați valoarea estimată eroare pătrată medie pentru o serie dată de măsurători

. (4.4)
Conform teoriei probabilităților, pentru un număr suficient de mare de măsurători cu erori aleatoare independente, estimarea S converge în probabilitate către s. Prin urmare,

. (4.5)
Din moment ce media aritmetică este, de asemenea, o variabilă aleatorie, conceptul de medie are sens deviație standard medie aritmetică. Această valoare va fi indicată prin simbolul sav. Se poate arăta că pentru erori independente
. (4.6)
Valoarea sav caracterizează gradul de răspândire . După cum sa menționat mai sus, acționează ca o estimare a valorii adevărate a valorii măsurate, adică este rezultatul final al măsurătorilor efectuate. Prin urmare, sav se mai numește și eroarea pătratică medie a rezultatului măsurării.
În practică, valoarea lui s calculată prin formula (4.5) este utilizată dacă este necesar să se caracterizeze acuratețea metodei de măsurare utilizate: dacă metoda este exactă, atunci împrăștierea rezultatelor măsurătorilor individuale este mică, adică. valoare mică . Valoarea sp , calculat prin (4.6) este utilizat pentru a caracteriza acuratețea rezultatului măsurării unei anumite mărimi, adică. rezultatul obţinut prin prelucrarea matematică a rezultatelor unui număr de măsurători directe individuale.
Când se evaluează rezultatele măsurătorilor, conceptul este uneori folosit maxim sau eroare maxima admisa, a cărui valoare se determină în acțiuni de s sau S . În prezent, există diferite criterii pentru stabilirea erorii maxime, adică limitele câmpului de toleranță ±D, în care trebuie să se încadreze erori aleatorii. Definiția erorii maxime D = 3s (sau 3 S). ÎN În ultima vreme Pe baza teoriei informaționale a măsurătorilor, profesorul P. V. Novitsky recomandă utilizarea valorii D = 2s.
Introducem acum concepte importante nivel de încredereȘi interval de încredere. După cum am menționat mai sus, media aritmetică , obţinută în urma unor serii de măsurători, este o estimare a valorii adevărate Ași, de regulă, nu coincide cu acesta, ci diferă prin valoarea erorii. Lăsa Rd există posibilitatea ca difera de A cel mult D, i.e. R(-D< A< + D)=Rd. Probabilitate Rd numit probabilitatea de încredere,și intervalul de valori ale valorii măsurate de la - D la + D- interval de încredere.
Inegalitățile de mai sus înseamnă că cu probabilitate Rd interval de încredere de la - D la + D conține adevăratul sens A. Astfel, pentru a caracteriza eroarea aleatoare destul de complet, este necesar să existe două numere - probabilitatea de încredere și intervalul de încredere corespunzător acesteia. Dacă legea distribuției probabilităților de eroare este cunoscută, atunci un interval de încredere poate fi determinat dintr-o probabilitate de încredere dată. În special, pentru un număr suficient de mare de măsurători este adesea justificată utilizarea legii normale, în timp ce pentru un număr mic de măsurători (P< 20), ale căror rezultate aparțin distribuției normale, trebuie utilizată distribuția Studentului. Această distribuție are o densitate de probabilitate care practic coincide cu cea normală pentru mari P, dar semnificativ diferit de normal la mic P.
În tabel. 4.1 prezintă așa-numitele cuantile ale distribuției lui Student ½ t(n)½ Rd pentru numărul de măsurători P= 2 - 20 și probabilități de încredere R = 0,5 - 0,999.
Subliniem, totuși, că de obicei tabelele de distribuție ale Studentului nu sunt date pentru valori PȘi Rd, si pentru valori m =n-1Și a \u003d 1 - Rd, ce să iei în considerare atunci când le folosești. Pentru a determina intervalul de încredere, este necesar pentru date PȘi Rd găsiți cuantila ½ t(n)½Rd și calculați valorile Un = - sp× ½ t(n)½Rdi Av = + sp× ½ t(n)½Rd, care va fi cel mai mic și limite superioare interval de încredere.

După găsirea intervalelor de încredere pentru o probabilitate de încredere dată conform metodologiei de mai sus, rezultatul măsurării este înregistrat sub forma ; D=Dn¸ Dv; Rd,
Unde - evaluarea valorii reale a rezultatului măsurătorii în unităţi ale valorii măsurate; D - eroare de măsurare; Dv = + sp× ½ t(n)½Рд și Dн = - sp× ½ t(n)½Rd - limitele superioare și inferioare ale erorii de măsurare; Rd - probabilitatea de încredere.

Tabelul 4.1

	Valorile cuantilelor distribuției Student t(n) cu încrederea probabilități Rd

Estimarea erorilor în rezultatele măsurătorilor indirecte. Cu măsurători indirecte, valoarea dorită A legate funcțional de una sau mai multe mărimi măsurate direct: X,y,..., t. Luați în considerare cel mai simplu caz de determinare a erorii pentru o variabilă, când A= F(X). Indicând eroarea absolută de măsurare a mărimii X prin ±Dx , obținem A+ D A= F(x± D X).
Expandând partea dreaptă a acestei egalități într-o serie Taylor și neglijând termenii de expansiune care conțin Dx la o putere mai mare decât prima, obținem
A+DA » F(x) ± Dx sau DA » ± Dx.
Eroarea relativă de măsurare a funcției este determinată din expresie
.
Dacă valoarea măsurată A este o funcție a mai multor variabile: A=F(X,y,...,t), apoi eroarea absolută a rezultatului măsurătorilor indirecte
.
Erorile relative parțiale ale măsurării indirecte sunt determinate de formule ; etc. Eroarea relativă a rezultatului măsurării
.
Să ne oprim și asupra caracteristicilor estimării rezultatului unei măsurători indirecte în prezența unei erori aleatorii.
Pentru a estima eroarea aleatorie a rezultatelor măsurătorilor indirecte ale mărimii A vom presupune că erorile sistematice în măsurătorile mărimilor x, y,…, t sunt excluse, iar erorile aleatorii în măsurarea acelorași mărimi nu depind unele de altele.
La măsurători indirecte, valoarea mărimii măsurate se găsește prin formula ,
unde sunt valorile medii sau medii ponderate ale cantităților x, y,…, t .
Pentru a calcula abaterea standard a valorii măsurate A se recomanda folosirea abaterilor standard obtinute in timpul masuratorilor x, y,…, t .
ÎN vedere generala pentru a determina abaterea standard s de măsurare indirectă, se utilizează următoarea formulă:
, (4.7)
Unde Dx ;Dy ;…;Dt- așa-numitele erori parțiale de măsurare indirectă ; ; …; ; ; ; … ; — derivate parțiale A De x, y,…, t ;s x; sy,…,st, …— abaterile standard ale rezultatelor măsurătorilor x, y,…, t .
Să luăm în considerare câteva cazuri speciale de aplicare a ecuației (4.7), când dependența funcțională dintre mărimile măsurate indirect și direct este exprimată prin formula A=k× XA× yb× zg, Unde k- coeficient numeric (adimensional).
În acest caz, formula (4.7) ia următoarea formă:
.
Dacă a =b=g = 1Și A=k× X× y× z, atunci formula erorii relative este simplificată la forma .
Această formulă este aplicabilă, de exemplu, pentru a calcula abaterea standard a unei măsurători de volum de la măsurătorile de înălțime, lățime și adâncime ale unui rezervor cuboid.

4.5. Reguli pentru însumarea erorilor aleatoare și sistematice
Eroarea instrumentelor complexe de măsurare depinde de erorile nodurilor (blocurilor) individuale. Erorile sunt rezumate conform anumitor reguli.
Să fie, de exemplu, dispozitivul de măsurare alcătuit din m blocuri, fiecare dintre ele având erori aleatoare independente. În același timp, valorile absolute ale rădăcinii-medii-pătrate sk sau maxime Mk eroare pentru fiecare bloc.
Însumarea aritmetică sau dă eroarea maximă a dispozitivului, care are o probabilitate neglijabilă și, prin urmare, este rareori utilizată pentru a evalua acuratețea dispozitivului în ansamblu. Conform teoriei erorilor, eroarea rezultată sres și Mrez determinată prin adunare pătratică sau .
Eroarea relativă de măsurare rezultată este determinată în mod similar: . (4.8)
Ecuația (4.8) poate fi utilizată pentru a determina erorile admisibile ale blocurilor individuale de dispozitive în curs de dezvoltare cu o eroare de măsurare totală dată. La proiectarea unui dispozitiv, li se dau de obicei erori egale pentru blocurile individuale incluse în acesta. Dacă există mai multe surse de eroare, asta rezultat final măsurătorile afectează diferit (sau dispozitivul este format din mai multe blocuri cu erori diferite), coeficienții de ponderare trebuie introduși în formula (4.8) ki :
, (4.9)
unde d1, d2, …, dm sunt erorile relative ale unităților (blocurilor) individuale ale instrumentului de măsurare; k1,k2, … ,km- coeficienți care țin cont de gradul de influență a erorii aleatoare a acestui bloc asupra rezultatului măsurării.
Dacă dispozitivul de măsurare (sau blocurile sale) prezintă și erori sistematice, eroarea totală este determinată de suma lor: Aceeași abordare este valabilă pentru Mai mult componente.
Atunci când se evaluează influența erorilor parțiale, trebuie luat în considerare faptul că acuratețea măsurătorilor depinde în principal de erorile care sunt mari în valoare absolută, iar unele dintre cele mai mici erori pot fi ignorate. Eroarea parțială este estimată pe baza așa-numitelor criteriul erorii neglijabile, care este după cum urmează. Să presupunem că eroarea totală dres este determinată de formula (4.8) luând în considerare toate m erori parțiale, printre care unele erori di au o valoare mică. Dacă eroarea totală d¢res, calculată fără a lua în considerare eroarea di, diferă de dres cu cel mult 5%, adică. drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезÎn practica calculelor tehnice, este adesea folosit un criteriu mai puțin strict - în aceste formule se introduce un coeficient de 0,4.

4.6. Forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor

Rezultatul unei măsurători este valoros numai atunci când intervalul său de incertitudine poate fi estimat, adică gradul de fiabilitate. Prin urmare, rezultatul măsurării trebuie să conțină valoarea mărimii măsurate și caracteristicile preciziei acestei valori, care sunt erori sistematice și aleatorii. Indicatorii cantitativi ai erorilor, metodele de exprimare a acestora, precum și formele de prezentare a rezultatelor măsurătorilor sunt reglementate de GOST 8.011-72 „Indicatori de precizie a măsurătorilor și forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor”. Să luăm în considerare principalele forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor.
Eroarea rezultatului unei singure măsurări directe depinde de mulți factori, dar este determinată în primul rând de eroarea instrumentelor de măsurare utilizate. Prin urmare, în prima aproximare, eroarea rezultatului măsurării poate fi luată egală cu
eroare, care la un punct dat din domeniul de măsurare caracterizează instrumentul de măsurare utilizat.
Erorile instrumentelor de măsurare variază în intervalul de măsurători. Prin urmare, în fiecare caz, pentru fiecare măsurătoare, este necesar să se calculeze eroarea rezultatului măsurării folosind formulele (3.19) - (3.21) de normalizare a erorii instrumentului de măsurare corespunzător. Trebuie calculate atât erorile absolute, cât și erorile relative ale rezultatului măsurării, deoarece prima dintre ele este necesară pentru rotunjirea rezultatului și înregistrarea corectă a acestuia, iar a doua pentru o caracteristică comparativă neechivocă a preciziei sale.
Pentru diferite caracteristici ale normalizării erorii SI, aceste calcule sunt efectuate în moduri diferite, așa că vom lua în considerare trei cazuri tipice.
1. Clasa dispozitivului este indicată ca un singur număr q,închis într-un cerc. Apoi eroarea relativă a rezultatului (în procente) g = q,și eroarea sa absolută D x =q× X/ 100.
2. Clasa dispozitivului este indicată printr-un număr p(fără cerc). Apoi eroarea absolută a rezultatului măsurării D x =p× xk / 100 unde Xk- limita de măsurare la care a fost efectuată, iar eroarea relativă de măsurare (în procente) se găsește prin formulă ,
adică în acest caz, la măsurare, cu excepția citirii valorii măsurate X trebuie să fie fixată și limita măsurătorilor Xk,în caz contrar, nu se va putea calcula mai târziu eroarea rezultatului.
3. Clasa dispozitivului este indicată prin două numere în formular CD. În acest caz, este mai convenabil să se calculeze eroarea relativă d rezultă prin formula (3.21) și abia apoi găsiți eroarea absolută ca Dx=d× x/100.
După efectuarea calculelor erorii, una dintre formele de prezentare a rezultatului măsurării este utilizată în următoarea formă: X;± DȘi d, Unde X- valoare măsurată; D- eroare absolută de măsurare; d-eroare relativa de masurare. De exemplu, se face următoarea intrare: „Măsurarea a fost făcută cu o eroare relativă d= … %. valoare măsurată x = (A± D), Unde A- rezultatul măsurării.
Cu toate acestea, este mai clar să se indice limitele intervalului de incertitudine al valorii măsurate sub forma: x = (A-D)¸(A+D) sau (A-D)< х < (A+D) indicând unitățile de măsură.
O altă formă de prezentare a rezultatului măsurării este stabilită după cum urmează: X; D din Dn inainte de Dv; R, Unde X- rezultatul măsurării în unităţi ale valorii măsurate; D,Dн,Dv- respectiv, eroarea de măsurare cu limitele sale inferioare și superioare în aceleași unități; R- probabilitatea cu care eroarea de măsurare se află în aceste limite.
GOST 8.011-72 permite, de asemenea, alte forme de prezentare a rezultatelor măsurătorilor, care diferă de formele de mai sus prin faptul că indică separat caracteristicile componentelor sistematice și aleatorii ale erorii de măsurare. Totodată, pentru eroarea sistematică sunt indicate caracteristicile probabilistice ale acesteia. În acest caz, principalele caracteristici ale erorii sistematice sunt așteptarea matematică M [ Dxc], abateri standard[ Dxc] și intervalul său de încredere. Alocarea componentelor sistematice și aleatorii ale erorii este recomandabilă dacă rezultatul măsurării va fi utilizat în prelucrarea ulterioară a datelor, de exemplu, la determinarea rezultatului măsurătorilor indirecte și evaluarea acurateței acestuia, la însumarea erorilor etc.

Oricare dintre formele de prezentare a rezultatului măsurării, prevăzute de GOST 8.011-72, trebuie să conțină datele necesare, pe baza cărora poate fi determinat intervalul de încredere pentru eroarea rezultatului măsurării. În cazul general, se poate stabili un interval de încredere dacă se cunosc forma legii distribuției erorilor și principalele caracteristici numerice ale acestei legi.

În epoca noastră, omul a inventat și folosește o mare varietate de diverse instrumente de măsură. Dar oricât de perfectă ar fi tehnologia fabricării lor, toate au o eroare mai mare sau mai mică. Acest parametru, de regulă, este indicat pe instrumentul însuși, iar pentru a evalua acuratețea valorii care se determină, trebuie să se poată înțelege ce înseamnă numerele indicate pe marcaj. În plus, erorile relative și absolute apar inevitabil în calculele matematice complexe. Este utilizat pe scară largă în statistică, industrie (controlul calității) și într-o serie de alte domenii. Cum se calculează această valoare și cum să-i interpretăm valoarea - asta este exact ceea ce va fi discutat în acest articol.

Eroare absolută

Să notăm cu x valoarea aproximativă a unei mărimi, obținută, de exemplu, prin intermediul unei singure măsurări, iar cu x 0 valoarea ei exactă. Acum să calculăm modulul diferenței dintre aceste două numere. Eroarea absolută este exact valoarea pe care am obținut-o în urma acestei operații simple. Exprimată în limbajul formulelor, această definiție poate fi scrisă astfel: Δ x = | x - x0 |.

Eroare relativă

Abaterea absolută are un dezavantaj important - nu ne permite să evaluăm gradul de importanță al erorii. De exemplu, cumpărăm 5 kg de cartofi din piață, iar un vânzător fără scrupule, la măsurarea greutății, a greșit cu 50 de grame în favoarea lui. Adică eroarea absolută a fost de 50 de grame. Pentru noi, o astfel de neglijare va fi un simplu fleac și nici măcar nu îi vom acorda atenție. Imaginați-vă ce s-ar întâmpla dacă apare o eroare similară la prepararea unui medicament? Aici totul va fi mult mai serios. Și la încărcarea unui vagon de marfă, este probabil să apară abateri mult mai mari decât această valoare. Prin urmare, eroarea absolută în sine nu este foarte informativă. Pe lângă aceasta, foarte adesea, se calculează suplimentar o abatere relativă, egală cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea exactă a numărului. Aceasta se scrie în următoarea formulă: δ = Δ x / x 0 .

Proprietăți de eroare

Să presupunem că avem două mărimi independente: x și y. Trebuie să calculăm abaterea valorii aproximative a sumei lor. În acest caz, putem calcula eroarea absolută ca sumă a abaterilor absolute precalculate ale fiecăruia dintre ele. În unele măsurători, se poate întâmpla ca erorile de determinare a valorilor x și y să se anuleze reciproc. Și se poate întâmpla, de asemenea, ca, ca urmare a adunării, abaterile să crească cât mai mult posibil. Prin urmare, atunci când se calculează eroarea absolută totală, ar trebui să se țină seama de cel mai rău caz. Același lucru este valabil și pentru diferența de eroare a mai multor valori. Această proprietate este caracteristică numai pentru eroarea absolută și nu poate fi aplicată deviației relative, deoarece aceasta va duce inevitabil la un rezultat incorect. Să luăm în considerare această situație în exemplul următor.

Să presupunem că măsurătorile din interiorul cilindrului au arătat că raza interioară (R 1) este de 97 mm, iar cea exterioară (R 2) este de 100 mm. Este necesar să se determine grosimea peretelui său. Mai întâi, găsiți diferența: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Dacă sarcina nu indică cu ce este egală eroarea absolută, atunci este considerată jumătate din diviziunea la scară a instrumentului de măsurare. Astfel, Δ (R 2) \u003d Δ (R 1) \u003d 0,5 mm. Eroarea absolută totală este: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Acum calculăm abaterea relativă a tuturor cantităților:

δ(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ(R 1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

5(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> 5(R1).

După cum puteți vedea, eroarea în măsurarea ambelor raze nu depășește 5,2%, iar eroarea în calcularea diferenței lor - grosimea peretelui cilindrului - a fost de până la 33,(3)%!

Următoarea proprietate spune: abaterea relativă a produsului mai multor numere este aproximativ egală cu suma abaterilor relative ale factorilor individuali:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Mai mult, această regulă este adevărată indiferent de numărul de valori estimate. A treia și ultima proprietate a erorii relative este că estimarea relativă numerele k-th grad aproximativ în | k | ori mai mare decât eroarea relativă a numărului inițial.