În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare analitic printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel obținem ecuația dreptei. Acest capitol va analiza ecuațiile în linie dreaptă.

Pentru a crea o ecuație pentru o linie dreaptă în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, vom introduce conceptul de coeficient unghiular al unei linii, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei linii pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al liniei drepte față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie să fie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să fie paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox printr-un unghi de 180° o va alinia din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă nu poate fi ales fără ambiguitate (în cadrul unui termen, un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axa Ox se numește coeficient unghiular al dreptei.

Coeficientul unghiular caracterizează direcția dreptei (nu distingem aici între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă pantă linia este egală cu zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu un coeficient unghiular pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi acut (aici se consideră cel mai mic valoare pozitivă unghi de înclinare) (Fig. 39); Mai mult, cu cât coeficientul unghiular este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acestuia față de axa Ox. Dacă coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa Ox nu are un coeficient unghiular (tangenta unghiului nu există).

Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal

O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, vă este familiar încă din școala elementară, iar astăzi vom învăța cum să o facem cu ajutorul metodelor geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin originea coordonatelor și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea despre funcție liniară S-a dovedit foarte reușit și detaliat. Prin urmare, dragi ceainice, încălziți-vă mai întâi acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre vectori, altfel înțelegerea materialului va fi incompletă.

Pe această lecție Vom analiza modalități prin care puteți crea o ecuație a unei linii drepte pe un plan. Recomand să nu neglijăm exemplele practice (chiar dacă vi se pare foarte simplu), deoarece le voi oferi elemente elementare și fapte importante, metode tehnice, care va fi solicitat în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.

• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?
• Cum ?
• Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?
• Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

si incepem:

Ecuația unei drepte cu panta

Cunoscuta formă „școală” a unei ecuații în linie dreaptă se numește ecuația unei drepte cu panta. De exemplu, dacă o dreaptă este dată de ecuație, atunci panta ei este: . Sa luam in considerare sens geometric a acestui coeficient și modul în care valoarea lui afectează locația liniei:

Într-un curs de geometrie se dovedeşte că panta dreptei este egală cu tangenta unghiuluiîntre direcția pozitivă a axeiși această linie: , iar unghiul „se deșuruba” în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Să luăm în considerare linia „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastră” cu coeficientul unghiului, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat printr-un arc maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul însuși prin utilizarea funcție inversă– arctangent. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un microcalculator în mâinile tale. Prin urmare, coeficientul unghiular caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa absciselor.

Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă panta este negativă: atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „zmeură” din desen.

2) Dacă panta este pozitivă: atunci linia merge de jos în sus. Exemple - linii drepte „negre” și „roșii” în desen.

3) Dacă panta este zero: , atunci ecuația ia forma , iar dreapta corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia dreaptă „galbenă”.

4) Pentru o familie de linii paralele cu o axă (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), coeficientul unghiular nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definită).

Cu cât coeficientul de pantă în valoare absolută este mai mare, cu atât graficul în linie dreaptă este mai abrupt..

De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, așadar, linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.

La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte .

Dimpotrivă: cu cât coeficientul de pantă este mai mic în valoare absolută, cu atât linia dreaptă este mai plată.

Pentru linii drepte inegalitatea este adevărată, astfel linia dreaptă este mai plată. Tobogan pentru copii, pentru a nu-ți da vânătăi și lovituri.

De ce este necesar acest lucru?

Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile atunci când construiți grafice - dacă desenul se dovedește a fi „evident ceva greșit”. Este recomandabil ca dvs pe loc era clar că, de exemplu, linia dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar linia dreaptă este foarte plată, apăsată aproape de axă și merge de sus în jos.

În problemele geometrice, apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le desemnați cumva.

Denumiri: liniile drepte sunt desemnate mici cu litere latine: . O opțiune populară este de a le desemna folosind aceeași literă cu indicele naturale. De exemplu, cele cinci linii la care tocmai ne-am uitat pot fi notate cu .

Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: etc. Denumirea implică în mod clar că punctele aparțin liniei.

E timpul sa ne incalzim putin:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?

Dacă se cunosc un punct aparținând unei anumite drepte și coeficientul unghiular al acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte se exprimă prin formula:

Exemplul 1

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă cu pantă dacă se știe că punctul aparține dreptei date.

Soluţie: Să compunem ecuația dreptei folosind formula . ÎN în acest caz,:

Răspuns:

Examinare se face simplu. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul său. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă această ecuație. Să le conectăm în ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.

Concluzie: Ecuația a fost găsită corect.

Un exemplu mai complicat pentru decizie independentă:

Exemplul 2

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă dacă se știe că unghiul său de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.

Dacă aveți dificultăți, recitiți materialul teoretic. Mai precis, mai practic, sar peste multe dovezi.

A sunat ultimul apel, petrecerea de absolvire a trecut, iar în afara porților școlii noastre natale ne așteaptă însăși geometria analitică. Glumele s-au terminat... Sau poate abia incep =)

Ne fluturăm cu nostalgie stiloul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Pentru că în geometria analitică este exact ceea ce se folosește:

Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt câteva numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.

Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm ecuația cu coeficientul de pantă. Mai întâi, să mutăm toți termenii în partea stângă:

Termenul cu „X” trebuie pus pe primul loc:

În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:

Amintiți-vă această caracteristică tehnică! Facem primul coeficient (cel mai des) pozitiv!

În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată în formă generală. Ei bine, dacă este necesar, poate fi ușor redus la forma „școală” cu un coeficient unghiular (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa ordonatelor).

Să ne întrebăm ce suficientștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar mai multe despre acest incident din copilărie, acum se lipește cu regula săgeților. Fiecare linie dreaptă are o pantă foarte specifică, la care este ușor de „adaptat”. vector.

Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte. Este evident că orice linie dreaptă are un număr infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (codirecționali sau nu - nu contează).

Voi nota vectorul de direcție astfel: .

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă; vectorul este liber și nu este legat de niciun punct din plan. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție?

Dacă un anumit punct aparținând unei linii și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii poate fi compilată folosind formula:

Uneori se numește ecuația canonică a dreptei .

Ce să faci când una dintre coordonate este egal cu zero, vom înțelege în exemplele practice de mai jos. Apropo, vă rugăm să rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi egale cu zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Soluţie: Să compunem ecuația unei linii drepte folosind formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții:

Și aducem ecuația la forma ei generală:

Răspuns:

De regulă, nu este nevoie să faceți un desen în astfel de exemple, ci de dragul înțelegerii:

În desen vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi reprezentat din orice punct al planului) și linia dreaptă construită. Apropo, în multe cazuri este cel mai convenabil să construiți o linie dreaptă folosind o ecuație cu un coeficient unghiular. Este ușor să ne transformăm ecuația în formă și să selectăm cu ușurință un alt punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum s-a menționat la începutul paragrafului, o linie dreaptă are infiniti vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: . Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.

Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Rezolvarea proporției:

Împărțiți ambele părți la –2 și obțineți ecuația familiară:

Cei interesați pot testa vectori în același mod sau orice alt vector coliniar.

Acum să rezolvăm problema inversă:

Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?

Foarte simplu:

Dacă o linie este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei linii.

Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-un număr infinit, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:

Astfel, ecuația specifică o dreaptă care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la –2, obținându-se exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.

În mod similar, ecuația specifică o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem vectorul unitar ca vector de direcție.

Acum hai să o facem verificarea Exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am compilat ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție

in primul rand, folosind ecuația dreptei îi reconstruim vectorul de direcție: – totul este în regulă, am primit vectorul original (în unele cazuri rezultatul poate fi un vector coliniar cu cel original, iar acest lucru este de obicei ușor de observat prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).

În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația. Le substituim în ecuația:

S-a obținut egalitatea corectă, ceea ce ne bucură foarte mult.

Concluzie: Sarcina a fost finalizată corect.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Este foarte recomandabil să verificați folosind algoritmul discutat. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.

În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, procedați foarte simplu:

Exemplul 5

Soluţie: Formula nu este potrivită deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula în formă, iar restul s-a rostogolit de-a lungul unui șanț adânc:

Răspuns:

Examinare:

1) Restabiliți vectorul de direcție al liniei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.

2) Înlocuiți coordonatele punctului în ecuație:

Se obține egalitatea corectă

Concluzie: sarcina finalizată corect

Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa în orice caz? Există două motive. În primul rând, formula este sub forma unei fracții mult mai bine amintit. Și în al doilea rând, dezavantajul formulei universale este că riscul de confuzie crește semnificativ la înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Să revenim la cele două puncte omniprezente:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind două puncte?

Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:

De fapt, acesta este un tip de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al dreptei date. La lectie Vectori pentru manechine am considerat cea mai simplă problemă - cum să găsim coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție sunt:

Notă : punctele pot fi „schimbate” și poate fi folosită formula . O astfel de soluție va fi echivalentă.

Exemplul 7

Scrieți o ecuație a unei drepte folosind două puncte .

Soluţie: Folosim formula:

Pieptănarea numitorilor:

Și amestecați puntea:

Acum este momentul să scapi de numerele fracționale. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6:

Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația:

Răspuns:

Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:

1) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Concluzie: Ecuația dreptei este scrisă corect.

Dacă cel puțin unul dintre puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este demn de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece construiți o linie dreaptă și vedeți dacă punctele îi aparțin , nu chiar atât de simplu.

Voi mai nota câteva aspecte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai profitabil să folosiți formula oglindă și, în aceleași puncte faceți o ecuație:

Mai puține fracții. Dacă doriți, puteți duce soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.

Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vă dați seama dacă poate fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă obțineți ecuația , atunci este recomandabil să o reduceți cu două: – ecuația va defini aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație poziţia relativă a liniilor.

După ce a primit răspunsul în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.

Exemplul 8

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite să înțelegeți și să exersați mai bine tehnicile de calcul.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) devine zero, apoi îl rescriem sub forma . Din nou, observați cât de stânjenită și confuză arată. Nu văd prea mult rost să dau exemple practice, deoarece am rezolvat deja această problemă (vezi nr. 5, 6).

Vector normal direct (vector normal)

Ce este normal? Cu cuvinte simple, normalul este perpendicular. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe o dreaptă dată. Evident, orice linie dreaptă are un număr infinit de ele (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu, nu face nicio diferență).

Tratarea cu ele va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii ghid:

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei linii.

Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.

Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Să verificăm ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție:

Este posibil să construim o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal? O simt în intestine, este posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția dreptei în sine este clar definită - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.

Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

Dacă se cunosc un anumit punct aparținând unei linii și vectorul normal al acestei drepte, atunci ecuația acestei linii se exprimă prin formula:

Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Iubeste-l. Si respect =)

Exemplul 9

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Soluţie: Folosim formula:

S-a obținut ecuația generală a dreptei, să verificăm:

1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: – da, într-adevăr, vectorul original a fost obținut din condiție (sau ar trebui să se obțină un vector coliniar).

2) Să verificăm dacă punctul satisface ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce suntem convinși că ecuația este compusă corect, o vom efectua pe a doua, mai mult parte usoara sarcini. Scoatem vectorul de direcție al dreptei:

Răspuns:

În desen situația arată astfel:

În scopuri de instruire, o sarcină similară pentru rezolvarea independentă:

Exemplul 10

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Secțiunea finală a lecției va fi dedicată unor tipuri de ecuații mai puțin comune, dar și importante ale unei drepte pe un plan

Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este egal cu zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).

Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. O sarcină comună este să ecuație generală reprezentați o dreaptă sub forma unei ecuații a unei linii în segmente. Cum este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei linii cu axe de coordonate, ceea ce poate fi foarte important în unele probleme de matematică superioară.

Să găsim punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y” la zero, iar ecuația ia forma . Punctul dorit rezultă automat: .

La fel si cu axa – punctul în care dreapta intersectează axa ordonatelor.

În matematică, unul dintre parametrii care descrie poziția unei linii pe planul de coordonate carteziene este coeficientul unghiular al acestei drepte. Acest parametru caracterizează panta dreptei față de axa absciselor. Pentru a înțelege cum să găsiți panta, mai întâi amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte în sistemul de coordonate XY.

ÎN vedere generala orice linie dreaptă poate fi reprezentată prin expresia ax+by=c, unde a, b și c sunt numere reale arbitrare, dar întotdeauna a 2 + b 2 ≠ 0.

Folosind transformări simple, o astfel de ecuație poate fi adusă la forma y=kx+d, în care k și d sunt numere reale. Numărul k este panta, iar ecuația unei drepte de acest tip se numește ecuație cu pantă. Se pare că pentru a găsi panta, trebuie pur și simplu să reduceți ecuația inițială la forma indicată mai sus. Pentru o înțelegere mai completă, luați în considerare un exemplu specific:

Problemă: Aflați panta dreptei dată de ecuația 36x - 18y = 108

Soluție: Să transformăm ecuația inițială.

Răspuns: Panta necesară a acestei drepte este 2.

Dacă în timpul transformării ecuației am primit o expresie de genul x = const și ca urmare nu putem reprezenta y în funcție de x, atunci avem de-a face cu o dreaptă paralelă cu axa X. Coeficientul unghiular al unui astfel de o linie dreaptă este egală cu infinitul.

Pentru drepte exprimate printr-o ecuație precum y = const, panta este zero. Acest lucru este tipic pentru liniile drepte paralele cu axa absciselor. De exemplu:

Problemă: Aflați panta dreptei dată de ecuația 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Soluție: Să aducem ecuația inițială la forma sa generală

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Este imposibil de exprimat y din expresia rezultată, prin urmare coeficientul unghiular al acestei linii este egal cu infinit, iar linia în sine va fi paralelă cu axa Y.

Sensul geometric

Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la imagine:

În figură vedem un grafic al unei funcții precum y = kx. Pentru a simplifica, să luăm coeficientul c = 0. În triunghiul OAB, raportul dintre latura BA și AO va fi egal cu coeficientul unghiular k. În același timp, raportul BA/AO este tangenta unghiului ascuțit α în triunghiul dreptunghic OAB. Rezultă că coeficientul unghiular al dreptei este egal cu tangenta unghiului pe care această dreaptă o face cu axa absciselor grilei de coordonate.

Rezolvând problema modului de a găsi coeficientul unghiular al unei linii drepte, găsim tangenta unghiului dintre acesta și axa X a grilei de coordonate. Cazurile limită, când linia în cauză este paralelă cu axele de coordonate, confirmați cele de mai sus. Într-adevăr, pentru o dreaptă descrisă de ecuația y=const, unghiul dintre ea și axa absciselor este zero. Tangenta unghiului zero este, de asemenea, zero și panta este, de asemenea, zero.

Pentru liniile drepte perpendiculare pe axa x și descrise de ecuația x=const, unghiul dintre ele și axa X este de 90 de grade. Tangentă unghi drept este egal cu infinit, iar coeficientul unghiular al dreptelor similare este, de asemenea, egal cu infinit, ceea ce confirmă ceea ce s-a scris mai sus.

Pantă tangentă

O sarcină frecvent întâlnită în practică este, de asemenea, găsirea pantei unei tangente la graficul unei funcții la un anumit punct. O tangentă este o linie dreaptă, prin urmare și conceptul de pantă este aplicabil acesteia.

Pentru a ne da seama cum să găsim panta unei tangente, va trebui să ne amintim conceptul de derivată. Derivata oricărei funcții într-un anumit punct este o constantă egală numeric cu tangentei unghiului care se formează între tangenta în punctul specificat la graficul acestei funcții și axa absciselor. Se pare că pentru a determina coeficientul unghiular al tangentei în punctul x 0, trebuie să calculăm valoarea derivatei funcției inițiale în acest punct k = f"(x 0). Să ne uităm la exemplul:

Problemă: Aflați panta dreptei tangente la funcția y = 12x 2 + 2xe x la x = 0,1.

Rezolvare: Aflați derivata funcției originale în formă generală

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Răspuns: Panta necesară în punctul x = 0,1 este 4,831

Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. În acest caz, graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit moment în timp. Tine minte reguli generale, prin care sunt luate derivate și abia apoi treceți la pasul următor.

• Citește articolul.
• Cum să luăm cele mai simple derivate, de exemplu, derivate ecuație exponențială, descris. Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise în acestea.

Învață să deosebești probleme în care panta trebuie calculată prin derivata unei funcții. Problemele nu vă cer întotdeauna să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x,y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x,y). În ambele cazuri este necesar să se ia derivata funcției.

Luați derivata funcției care vi se oferă. Nu este nevoie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției. Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:

• Derivat:

Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata unei functii este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f"(x) este panta funcției în orice punct (x,f(x)). În exemplul nostru:

• Aflați panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2).
• Derivata unei functii:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Înlocuiți valoarea coordonatei „x” a acestui punct:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Găsiți panta:
• Funcția de pantă f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2) este egal cu 22.

Dacă este posibil, verificați răspunsul pe un grafic. Amintiți-vă că panta nu poate fi calculată în fiecare punct. Examinează calculul diferențial funcții complexeși grafice complexe, unde panta nu poate fi calculată în fiecare punct și, în unele cazuri, punctele nu se află deloc pe grafice. Dacă este posibil, utilizați un calculator grafic pentru a verifica dacă panta funcției care vi se oferă este corectă. În caz contrar, trageți o tangentă la grafic în punctul dat și gândiți-vă dacă valoarea pantei găsite se potrivește cu ceea ce vedeți pe grafic.

• Tangenta va avea aceeași pantă ca și graficul funcției la un anumit punct. Pentru a desena o tangentă într-un punct dat, deplasați-vă la stânga/dreapta pe axa X (în exemplul nostru, 22 de valori la dreapta), apoi în sus una pe axa Y. Marcați punctul și apoi conectați-l la punct care vi se acordă. În exemplul nostru, conectați punctele cu coordonatele (4,2) și (26,3).