Scrierea condițiilor problemelor folosind notația acceptată în matematică duce la apariția așa-numitelor expresii matematice, care se numesc pur și simplu expresii. În acest articol, vom vorbi în detaliu despre numeric, expresii literaleși expresii cu variabile: vom da definiții și vom da exemple de expresii de fiecare tip.
Navigare în pagină.
Expresii numerice - ce este?
Cunoașterea expresiilor numerice începe aproape de la primele lecții de matematică. Dar numele lor - expresii numerice - le dobândesc oficial puțin mai târziu. De exemplu, dacă urmați cursul M. I. Moro, atunci acest lucru se întâmplă pe paginile unui manual de matematică pentru clasa a 2-a. Acolo, reprezentarea expresiilor numerice este dată astfel: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 etc. - asta este tot expresii numerice, iar dacă efectuăm acțiunile indicate în expresie, atunci vom găsi valoarea expresiei.
Se poate concluziona că în această etapă a studiului matematicii, expresiile numerice sunt numite înregistrări care au sens matematic, compuse din numere, paranteze și semne de adunare și scădere.
Puțin mai târziu, după ce s-a familiarizat cu înmulțirea și împărțirea, intrările expresiilor numerice încep să conțină semnele „·” și „:”. Iată câteva exemple: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 etc.
Și în liceu, varietatea de intrări pentru expresii numerice crește ca un bulgăre de zăpadă care se rostogolește pe un munte. Ele par obişnuite şi zecimale, numere mixte și numere negative, puteri, rădăcini, logaritmi, sinusuri, cosinus și așa mai departe.
Să rezumam toate informațiile din definiția unei expresii numerice:
Definiție.
Expresie numerică este o combinație de numere, caractere operatii aritmetice, linii fracționale, semne rădăcină (radicale), logaritmi, simboluri pentru funcții trigonometrice, trigonometrice inverse și alte funcții, precum și paranteze și alte simboluri matematice speciale, întocmite în conformitate cu regulile acceptate în matematică.
Să explicăm toate părțile constitutive ale definiției vocale.
Absolut orice numere poate participa la expresii numerice: de la natural la real și chiar complexe. Adică în expresii numerice se poate întâlni
Totul este clar cu semnele operațiilor aritmetice - acestea sunt semnele de adunare, scădere, înmulțire și, respectiv, împărțire, având forma „+”, „−”, „·” și „:”. În expresiile numerice, poate fi prezent unul dintre aceste caractere, unele dintre ele sau toate deodată și de mai multe ori. Iată exemple de expresii numerice cu ele: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.
În ceea ce privește parantezele, există atât expresii numerice în care există paranteze, cât și expresii fără ele. Dacă există paranteze într-o expresie numerică, atunci acestea sunt practic
Și uneori parantezele din expresiile numerice au un scop special specific, indicat separat. De exemplu, puteți găsi paranteze pătrate care indică partea întreagă a numărului, astfel încât expresia numerică +2 înseamnă că numărul 2 este adăugat la partea întreagă a numărului 1,75.
Din definiția unei expresii numerice, este, de asemenea, clar că expresia poate conține , , log , ln , lg , denumiri sau etc. Iată exemple de expresii numerice cu ele: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 și 
.
Împărțirea în expresii numerice poate fi notată cu . În acest caz, există expresii numerice cu fracții. Iată exemple de astfel de expresii: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 și 
.
Ca simboluri și notații matematice speciale care pot fi găsite în expresii numerice, dăm. De exemplu, să arătăm o expresie numerică cu un modul 
.
Ce sunt expresiile literale?
Conceptul de expresii literale este dat aproape imediat după familiarizarea cu expresiile numerice. Se introduce asa. Într-o anumită expresie numerică nu se notează unul dintre numere, ci se pune un cerc (sau un pătrat, sau ceva asemănător) și se spune că un anumit număr poate fi înlocuit cu cerc. Să luăm intrarea ca exemplu. Dacă puneți, de exemplu, numărul 2 în loc de pătrat, atunci obțineți o expresie numerică 3 + 2. Deci, în loc de cercuri, pătrate etc. a fost de acord să scrie scrisori și au fost numite astfel de expresii cu litere expresii literale. Să revenim la exemplul nostru, dacă în această intrare în loc de pătrat punem litera a, atunci obținem o expresie literală de forma 3+a.
Deci, dacă permitem într-o expresie numerică prezența literelor care denotă unele numere, atunci obținem așa-numita expresie literală. Să dăm o definiție adecvată.
Definiție.
Se numește o expresie care conține litere care denotă unele numere expresie literală.
Din această definiție este clar că în mod fundamental o expresie literală diferă de o expresie numerică prin faptul că poate conține litere. De obicei, în expresiile literale, se folosesc litere mici ale alfabetului latin (a, b, c, ...), iar atunci când se desemnează unghiuri, litere mici ale alfabetului grecesc (α, β, γ, ...).
Deci, expresiile literale pot fi compuse din numere, litere și pot conține toate simboluri matematice, care poate apărea în expresii numerice, cum ar fi paranteze, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice și alte, etc. Separat, subliniem că o expresie literală conține cel puțin o literă. Dar poate conține și mai multe litere identice sau diferite.
Acum dăm câteva exemple de expresii literale. De exemplu, a+b este o expresie literală cu literele a și b . Iată un alt exemplu de expresie literală 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Și dăm un exemplu de expresie literală tip complex: 
.
Expresii cu variabile
Dacă într-o expresie literală, o literă denotă o valoare care nu capătă nicio valoare specifică, dar poate prelua diverse sensuri, atunci această scrisoare se numește variabil iar expresia se numește expresie variabilă.
Definiție.
Exprimarea cu variabile este o expresie literală în care literele (toate sau unele) denotă cantități care iau valori diferite.
De exemplu, lăsăm în expresia x 2 −1 litera x poate lua orice valoare naturală din intervalul de la 0 la 10, atunci x este o variabilă, iar expresia x 2 −1 este o expresie cu variabila x .
Este de remarcat faptul că într-o expresie pot exista mai multe variabile. De exemplu, dacă considerăm x și y ca variabile, atunci expresia 
este o expresie cu două variabile x și y .
În general, trecerea de la conceptul de expresie literală la o expresie cu variabile are loc în clasa a VII-a, când încep să studieze algebra. Până în acest punct, expresiile literale au modelat unele sarcini specifice. În algebră, ei încep să privească expresia în mod mai general, fără referire la sarcina specifica, cu înțelegerea că această expresie se potrivește unui număr mare de sarcini.
În încheierea acestui paragraf, să fim atenți la încă un punct: conform aspect expresie literală, este imposibil de știut dacă literele din ea sunt variabile sau nu. Prin urmare, nimic nu ne împiedică să considerăm aceste litere ca variabile. În acest caz, diferența dintre termenii „expresie literală” și „expresie cu variabile” dispare.
Bibliografie.
- Matematică. 2 celule Proc. pentru învăţământul general instituții cu adj. la un electron. purtător. La ora 2, partea 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova și alții] - ed. a III-a. - M.: Educație, 2012. - 96 p.: ill. - (Școala Rusiei). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Intrări 2 A + 8, 3A + 5b, A 4 – bс se numesc expresii cu variabile. Înlocuind numerele în loc de litere, obținem expresii numerice. Concept general Expresiile cu variabile sunt definite exact în același mod ca și conceptul de expresie numerică, doar că, pe lângă numere, expresiile cu variabile pot conține și litere.
Pentru expresiile cu variabilă se aplică și simplificări: nu puneți paranteze care conțin doar un număr sau o literă, nu puneți semn de înmulțire între litere, între cifre și litere etc.
Există expresii cu unu, doi, trei etc. variabile. desemna A(X), ÎN(X y) etc.
O expresie cu o variabilă nu poate fi numită nici declarație, nici predicat. De exemplu, despre expresia 2 A+ 5 este imposibil de spus dacă este adevărat sau fals, prin urmare, nu este o propoziție. Dacă în loc de o variabilă Aînlocuiți numerele, apoi obținem diverse expresii numerice, care, de asemenea, nu sunt declarații, prin urmare, această expresie nu este nici un predicat.
Fiecare expresie cu o variabilă corespunde unui set de numere, înlocuind care rezultă o expresie numerică care are sens. Această mulțime se numește domeniul expresiei.
Exemplu. 8: (4 – X) - domeniu R\(4), deoarece la X= 4 expresia 8: (4 - 4) nu are sens.
Dacă expresia conține mai multe variabile, de exemplu, XȘi la, atunci domeniul acestei expresii este mulțimea de perechi de numere ( A; b) astfel încât la înlocuire X pe AȘi la pe b rezultă o expresie numerică care are o valoare.
Exemplu. , domeniul definiției este mulțimea de perechi ( A; b) │A≥ b.
Definiție. Două expresii cu o variabilă sunt numite identic egale dacă pentru orice valoare. Variabilele din sfera expresiilor, valorile lor respective sunt egale.
Acea. două expresii A(X), ÎN(X) sunt identic egale pe set X, Dacă
1) seturi valori admise variabilele din aceste expresii se potrivesc;
2) pentru orice X 0 setul lor de valori admisibile, valorile expresiilor la X 0 meci, adică A(X 0) = ÎN(X 0) este egalitatea numerică corectă.
Exemplu. (2 X+ 5) 2 și 4 X 2 + 20X+ 25 – expresii identice egale.
desemna A(X) º ÎN(X). Rețineți că dacă două expresii sunt identic egale pe o mulțime E, atunci ele sunt identice egale pe orice submulțime E 1 M E. De asemenea, trebuie remarcat faptul că enunțul despre egalitatea identică a două expresii cu o variabilă este un enunț.
Dacă două expresii care sunt identic egale pe o anumită mulțime sunt unite printr-un semn egal, atunci obținem o propoziție, care se numește identitate pe această mulțime.
Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități. Identitățile sunt legile adunării și înmulțirii numerelor reale, regulile de scădere a unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr, regulile de împărțire a unei sume la un număr etc. Identitățile sunt și reguli pentru operațiile cu zero și unu. .
Înlocuirea unei expresii cu alta care este identică cu ea pe un anumit set se numește transformarea identităţii expresie dată.
Exemplu. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - transformare identică, nu transformare identică pe R.
§ 5. Clasificarea expresiilor cu o variabilă
1) O expresie compusă din variabile și numere folosind numai operațiile de adunare, scădere, înmulțire, exponențiere se numește expresie întreagă sau polinom.
Exemplu. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3la)
2) Rațional este o expresie construită din variabile și numere folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, exponențiere. O expresie rațională poate fi reprezentată ca un raport dintre două expresii întregi, adică polinomiale. Rețineți că expresiile întregi sunt un caz special de expresii raționale.
Exemplu. .
3) Irațional este o expresie construită din variabile și numere folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, exponențiere, precum și operația de extragere a rădăcinii P- gradul.
Rezolvarea problemelor și a unor expresii nu duce întotdeauna la răspunsuri numerice curate. Chiar și în cazul calculelor banale, se poate ajunge la o anumită construcție, numită expresie cu o variabilă.
De exemplu, luați în considerare două probleme practice. În primul caz, avem o fabrică care produce 5 tone de lapte în fiecare zi. Este necesar să se afle cât de mult lapte este produs de plantă în p zile.
În al doilea caz, există un dreptunghi a cărui lățime este de 5 cm și lungime p cm. Găsiți aria figurii.
Desigur, dacă o plantă produce cinci tone pe zi, atunci în r zile, după cea mai simplă logică matematică, va produce 5r tone de lapte. Pe de altă parte, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - adică în acest caz, acesta este 5r. Cu alte cuvinte, în două probleme banale cu condiții diferite, răspunsul este o expresie întreagă - 5p. Astfel de monomii se numesc expresii cu o variabilă, deoarece în plus față de partea numerică conțin o literă, numită necunoscută, sau o variabilă. Un astfel de element este notat cu litere mici ale alfabetului latin, cel mai adesea, x sau y, deși acest lucru nu este important.
O caracteristică a unei variabile este că poate lua orice valoare în practică. Înlocuind numere diferite, vom obține soluția finală pentru sarcinile noastre, de exemplu, pentru prima:
p = 2 zile, uzina produce 5p = 10 tone de lapte;
p = 4 zile, uzina produce 5p = 20 tone lapte;
Sau pentru al doilea:
p \u003d 10 cm, aria figurii este 5p \u003d 50 cm2
p \u003d 20 cm, aria figurii este 5p \u003d 100 cm2
Este important de înțeles că p nu este o mulțime de valori individuale, ci întreaga mulțime care va corespunde matematic condiției problemei. Rolul principal al unei variabile este de a înlocui elementul lipsă într-o stare. Orice problemă de matematică trebuie să includă unele construcții și să afișeze relația dintre aceste construcții în stare. Dacă valoarea oricărui obiect nu este suficientă, atunci se introduce o variabilă. În același timp, este o înlocuire abstractă a însuși elementului condiției (cantitatea de ceva reprezentată printr-un număr sau expresie), și nu prin conexiuni funcționale.
Dacă considerăm o expresie de forma 5p ca un obiect neutru și independent, atunci valoarea lui p în ea poate lua orice valoare, de fapt, p aici este egală cu mulțimea tuturor numerelor reale.
Dar în problemele noastre se impun anumite restricții matematice răspunsului sub formă de 5p, care decurg din condiții. De exemplu, zilele și zilele nu pot fi negative, deci p în ambele probleme este întotdeauna egal sau mai mare decât zero. În plus, zilele nu pot fi fracționale - pentru prima sarcină, sunt valide doar acele valori p care sunt numere întregi pozitive.
În prima problemă: p este egal cu mulțimea finită a tuturor numerelor întregi pozitive;
În a doua problemă: p este egal cu mulțimea finită a tuturor numerelor pozitive.
Expresiile pot include două variabile simultan, de exemplu:
În acest caz, binomul este reprezentat de două monomii, fiecare având o variabilă în compoziția sa, iar aceste variabile sunt diferite, adică independente una de cealaltă. Valoarea acestei expresii poate fi calculată complet numai dacă este prezentă valoarea ambelor variabile. De exemplu, dacă x = 2 și y = 4, atunci:
2x + 3y \u003d 4 + 12 \u003d 16 (pentru x \u003d 2, y \u003d 4)
Este de remarcat faptul că în această expresie nu există restricții matematice sau logice asupra valorilor variabilei - atât x, cât și y aparțin întregului set de numere reale.
ÎN plan general, mulțimea tuturor numerelor, la înlocuirea căruia în loc de o variabilă, expresia păstrează sensul și valabilitatea, se numește domeniul de definiție (sau valoare) al variabilei.
În exemplele abstracte care nu sunt legate de probleme reale, domeniul de aplicare al unei variabile este cel mai adesea fie egal cu întregul set de numere reale, fie limitat la unele construcții, de exemplu, o fracție. După cum știți, atunci când divizorul este zero, întreaga fracție își pierde sensul. Prin urmare, o variabilă într-o expresie de forma:
nu poate fi egal cu cinci, pentru că atunci:
7x / (x - 5) \u003d 7x / 0 (pentru x \u003d 5)
Iar fracția își va pierde sensul. Prin urmare, pentru această expresie, variabila x are un domeniu de definiție - mulțimea tuturor numerelor cu excepția lui 5.
În tutorialul nostru video, se remarcă și un caz special de utilizare a variabilelor, când acestea denotă un număr de aceeași ordine. De exemplu, numerele 54, 30, 78 pot fi specificate prin variabila a, sau prin construcția ab (cu o bară orizontală deasupra, pentru a se distinge de produs), unde b specifică unitățile (4, 0, 8, respectiv). ), și zeci (respectiv, 5, 3, 7).
La lecțiile de algebră de la școală, întâlnim expresii alt fel. Pe măsură ce înveți material nou, expresiile devin mai diverse și mai complexe. De exemplu, ne-am familiarizat cu grade - au apărut grade în alcătuirea expresiilor, am studiat fracțiile - au apărut expresii fracționale etc.
Pentru comoditatea descrierii materialului, expresiilor formate din elemente similare li s-au dat anumite nume pentru a le distinge de întreaga varietate de expresii. În acest articol, ne vom familiariza cu ele, adică vom oferi o privire de ansamblu asupra expresiilor de bază studiate în lecțiile de algebră de la școală.
Navigare în pagină.
Monoame și polinoame
Să începem cu expresiile numite monoame și polinoame. La momentul scrierii acestui articol, conversația despre monoame și polinoame începe la lecțiile de algebră din clasa a VII-a. Următoarele definiții sunt date acolo.
Definiție.
monomii numere, variabile, gradele lor cu indicator natural, precum și orice lucrări compuse din acestea.
Definiție.
Polinomiale este suma monomiilor.
De exemplu, numărul 5 , variabila x , gradul z 7 , produsele 5 x și 7 x 2 7 z 7 sunt toate monomii. Dacă luăm suma monomiilor, de exemplu, 5+x sau z 7 +7+7 x 2 7 z 7 , atunci obținem un polinom.
A lucra cu monomii și polinoame înseamnă adesea să faci lucruri cu ele. Deci, pe multimea monomiilor se definesc inmultirea monomiilor si ridicarea unui monom la putere, in sensul ca in urma executarii lor se obtine un monom.
Pe multimea polinoamelor se definesc adunare, scadere, inmultire, exponentiare. Cum sunt definite aceste acțiuni și după ce reguli sunt efectuate, vom vorbi în articolul despre acțiuni cu polinoame.
Dacă vorbim despre polinoame cu o singură variabilă, atunci când lucrăm cu ele, împărțirea unui polinom cu un polinom are o importanță practică considerabilă și adesea astfel de polinoame trebuie să fie reprezentate ca un produs, această acțiune se numește factorizarea unui polinom. .
Fracții raționale (algebrice).
În clasa a 8-a începe studiul expresiilor care conțin împărțirea printr-o expresie cu variabile. Și primele astfel de expresii sunt fracții raționale, pe care unii autori o numesc fracții algebrice.
Definiție.
Fracție rațională (algebrică). este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame, în special monomii și numere.
Iată câteva exemple de fracții raționale: și 
. Apropo, orice fracție obișnuită este o fracție rațională (algebrică).
Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea și exponențiarea sunt introduse pe mulțimea fracțiilor algebrice. Cum se face acest lucru este explicat în articolul Operații cu fracții algebrice.
Adesea trebuie să efectuați transformări ale fracțiilor algebrice, dintre care cele mai frecvente sunt reducerea și reducerea la un nou numitor.
Expresii raționale
Definiție.
Expresii de putere (expresii de putere) sunt expresii care conțin grade în notația lor.
Iată câteva exemple de expresii cu puteri. Ele nu pot conține variabile, cum ar fi 2 3 , 
. Există, de asemenea, expresii de putere cu variabile: 
și așa mai departe.
Nu strica sa te familiarizezi cu cum transformarea expresiilor cu puteri.
Expresii iraționale, expresii cu rădăcini
Definiție.
Sunt numite expresii care conțin logaritmi expresii logaritmice.
Exemple de expresii logaritmice sunt log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , 
.
Foarte des în expresii apar atât grade, cât și logaritmi în același timp, ceea ce este de înțeles, deoarece, prin definiție, un logaritm este un exponent. Drept urmare, expresiile de acest fel par naturale: .
Continuând subiectul, consultați materialul transformarea expresiilor logaritmice.
Fracții
În această secțiune, vom lua în considerare expresiile un fel deosebit- fracții.
Fracția extinde conceptul. Fracțiile au, de asemenea, un numărător și un numitor situat deasupra și sub bara fracțională orizontală (stânga și respectiv dreapta barei oblice). Numai în contrast cu fracții obișnuite, numărătorul și numitorul pot conține nu numai numere întregi, dar și orice alte numere, precum și orice expresii.
Deci, să definim o fracție.
Definiție.
Fracțiune este o expresie formată dintr-un numărător și un numitor, separate printr-o bară fracțională, care reprezintă o expresie sau un număr numeric sau alfabetic.
Această definiție ne permite să dăm exemple de fracții.
Să începem cu exemple de fracții ai căror numărători și numitori sunt numere: 1/4, 
, (−15)/(−2) . Numătorul și numitorul unei fracții pot conține expresii, atât numerice, cât și alfabetice. Iată exemple de astfel de fracții: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , 
.
Dar expresiile 2/5−3/7 nu sunt fracții, deși conțin fracții în intrările lor.
Expresii generale
În liceu, în special în sarcinile de dificultate crescută și sarcinile grupei C în USE în matematică, vor întâlni expresii de formă complexă, care conțin în evidența lor atât rădăcini, cât și grade, și logaritmi, și funcții trigonometrice, și așa mai departe. De exemplu, 
sau 
. Ele par să se potrivească mai multor tipuri de expresii enumerate mai sus. Dar de obicei nu sunt clasificați ca unul dintre ei. Ele sunt considerate expresii vedere generala
, iar când descriu, ei spun doar o expresie, fără a adăuga clarificări suplimentare.
În încheierea articolului, aș dori să spun că, dacă această expresie este greoaie și dacă nu sunteți foarte sigur de ce fel aparține, atunci este mai bine să o numiți doar o expresie decât să o numiți o astfel de expresie, deoarece nu este. .
Bibliografie.
- Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
ALGEBRĂ
Lecții pentru clasa a VII-a
Lecția #14
Subiect. Expresii cu variabile
Scop: îmbunătățirea capacității elevilor de a lucra cu expresii care conțin variabile (calcularea valorilor expresiilor, găsirea ODZ a expresiilor cu variabile).
Tip de lecție: aplicarea deprinderilor.
În timpul orelor
I. Verificare teme pentru acasă
@ Ar trebui să verificați cu atenție execuția sarcinilor nr. 2 (pentru compilarea unei expresii cu variabile) și nr. 3 (pentru găsirea variabilei ODZ în expresie).
Nr 2. Expresia arată astfel: 6n - 50m. Dacă m = 2, n = 30, atunci
6 30 - 2 50 \u003d 180 - 100 \u003d 80 (k).
Răspuns. Pentru 80 de copeici.
@ Nr. 3. Pentru elevi, momentul trecerii de la condiția în care expresia nu are sens (divizorul sau numitorul este egal cu zero) la condițiile când expresia are sens (adică din mulțimea oricărei numerele excludem acele valori ale variabilei sub care expresia nu are sens):
1) 2x - 5 are sens pentru orice valoare a lui x, deoarece este o expresie întreagă;
2) are sens pentru tot x, cu excepția lui 0;
3) are sens pentru tot x, cu excepția x = -3, cu x = -3 x + 3 = 0;
4) are sens pentru orice valoare a lui x, deoarece este o expresie întreagă.
II. Actualizarea cunoștințelor de bază
@ În locul unui sondaj frontal de rutină (și nu foarte eficient), puteți organiza munca în perechi (sau grupuri) cu o astfel de sarcină.
Sunt date expresii: ; 25: (3,5 + a); (3,5 + a): 25.
Comparați-le și găsiți cât mai multe diferențe. În timpul prezentării rezultatelor lucrării, elevii reproduc conținutul conceptelor principale ale temei:
1. Expresii numerice și expresii cu variabile.
2. Semnificația expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile.
3. Expresii care nu au sens
III. Îmbunătățirea aptitudinilor
@ În această lecție, continuăm să îmbunătățim abilitățile elevilor:
a) calculați valorile expresiilor cu variabile;
b) găsiți valorile variabilelor pentru care expresia are sens;
c) compune expresii cu anumite condiţii.
Selectăm un nivel superior de sarcini.
Efectuarea exercițiilor scrise
1. Găsiți valoarea expresiei dacă:
1) x = 4; c = 1,5;
2) x = -1; y = ;
3) x = 1,4; y = 0;
4) x = 1,3; y = -2,6.
2. Se știe că a - b = 6; c = 5. Aflați valoarea expresiei:
1) a - b + 3 c;
3. 2) c (b - a);
4.
3)
;
5. 4) .
6. Pentru ce valori ale variabilei are sens expresia:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
;
7)
?
@ Deoarece elevii nu au încă capacitatea de a rezolva ecuații prin factorizarea polinoamelor, de a rezolva ecuații fracționale, sisteme de ecuații, rezolvăm probleme folosind raționament despre următorul conținut: întrucât variabila din numitorul expresiei (expresie fracțională), atunci pt. expresia să aibă sens, este necesar ca numitorul să nu fie 0. Dar, deoarece x2 nu poate fi negativ, suma lui x 2 + 1 nu poate fi egală cu 0 pentru orice valoare a lui x, deci x2 + 1 nu este egală cu 0 pentru orice valoare a lui x.
Prin urmare, expresia are sens pentru orice x (și așa mai departe).
7. Scrie o expresie pentru a rezolva problema.
a) Perimetrul unui dreptunghi este de 16 cm, una dintre laturile lui este t cm. Care este aria dreptunghiului?
b) Din două orașe, distanța dintre care este de S km, două mașini au plecat unul spre celălalt. Viteza unuia dintre ele este v 1 km/h, iar viteza celui de-al doilea este v 2 km/h. În câte ore se vor întâlni?
8. Scrie ca expresie:
1) suma produsului numerelor a și b și a numărului c;
2) diferența dintre numărul c și fracția numerelor a și b;
3) produsul diferenței dintre numerele x și y și suma lor;
4) ponderea sumei lui a și b și diferența lor.
IV. Diagnosticul de asimilare
Muncă independentă (pe mai multe niveluri)
1. Găsiți valoarea expresiei:
A. 3 x - 5 dacă x = -1. (2 p.)
B., dacă a = 3,5. (36.)
b. 
, dacă m + n = 8, r = 3. (4 6.)
2. Scrieți o expresie care se potrivește cu condiția:
A. Diferența dintre numerele 5 și 7b. (2 p.)
B. Pivrіznitsya la produsul numerelor -0,2 și a și numărul 0,8. (Conform b.)
B. Viteza bărcii în apă plată este v km/h. Viteza râului în km/h. Cât va dura barca să parcurgă S km peste râu? (4 p.)
3. Aflați la ce valori ale masei variabile semnificația expresiei:
A. 2a + 5. (2 b.)
B. . (3 p.)
IN. . (4 p.)
@ În timpul efectuării lucrării, elevii ar trebui să aleagă o singură sarcină (A, B, C) dintre cele trei oferite. Evaluăm corespunzător: A - 2 puncte, B - 3 puncte; B - 4 puncte. (Elevul are dreptul de a alege sarcini de diferite niveluri, de exemplu, Nr. 1 - A, Nr. 2 - C, Nr. 3 - B.)
V. Reflecţie
Verificăm corectitudinea sarcinilor. (Elevii primesc un tabel cu soluții și răspunsuri și își verifică munca.)
numărul sarcinii |
Condiție (expresie) |
Valoare variabilă |
Expresie numerică |
Valoarea expresiei |
Numărul de puncte |
|
|
||||||
|
m + n = 8 |
|||||
5a - 7b |
||||||
(-0,2 și -0,8) |
||||||
= -16
