Rezolvarea unei matrice extinse folosind metoda Gaussiană. Reversul metodei gaussiene

Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul ține de tehnică și voi încerca formă accesibilă vorbim despre algoritmul metodei.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică.
2) Au infinit de soluții.
3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este cel mai puternic și universal instrument pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! Pe această lecție Vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), articolul este dedicat situațiilor punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din clasa Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?
și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă:
. Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă :Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în în acest caz,: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt:

Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adaug pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor!

Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să o înlocuim deja valoare cunoscută„Y”:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției:

Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus:

Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:

Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, pentru că ce număr mai mic, acestea solutie mai simpla:

Pe stadiu final transformări elementare trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:

Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare:

Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, proba de finisare și răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta:
(1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluție completăși un model de design la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian.
Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu:

Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă:

Apropo, e frumos exemplu simplu, deoarece există deja un zero în prima coloană și sunt mai puține conversii elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, trebuie să te pricepi la ea și să rezolvi cel puțin 5-10 sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru oricine își dorește mai mult exemplu complex pentru soluție independentă:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecția Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.

Transformări elementare efectuate:
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l!
(2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă, că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5.
(4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns: .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate:
(1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus.
(2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
(4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1.
(4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri.
(5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor coincide.

Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:

Ștergerea ecuațiilor triviale din sistem, de ex. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;

Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;

Adăugând la orice ecuație i-a orice ecuație j-a înmulțită cu orice număr.

O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, dar este permis întregul sistem de ecuații.

Teorema. Transformările elementare transformă un sistem de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei gaussiene este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent rezolvat sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gaussiană constă din următorii pași:

Să ne uităm la prima ecuație. Să alegem primul coeficient diferit de zero și să împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei x i din ecuațiile rămase să fie zero. Obținem un sistem rezolvat față de variabila x i și echivalent cu cel inițial;
Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le eliminăm din sistem. Ca rezultat, există o ecuație mai puțin;
Repetăm pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații inconsistente (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași vom obține fie un sistem rezolvat (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Aceasta înseamnă că sistemul este definit;
Numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistem de ecuații liniare rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și pentru a-l stăpâni nu trebuie să contactați un profesor superior de matematică. Să ne uităm la un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Obținem variabila admisă x 2 ;
În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3;
Am primit un sistem aprobat, notează răspunsul.

Soluția generală a unui sistem simultan de ecuații liniare este un sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații există). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

După pasul al 1-lea, am obținut un sistem care nu conține o ecuație cu număr (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că... sistemul autorizat este încă obținut – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
După pasul a 1-a, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente folosind metoda Gaussiană este o bază suficientă pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului al 1-lea, nu pot rămâne ecuații triviale - toate sunt tăiate chiar în proces.

Descrierea etapelor:

Scădeți prima ecuație, înmulțită cu 4, din a doua. De asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
Scădeți a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent deoarece a fost descoperită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Explorați compatibilitatea și găsiți o soluție generală pentru sistem:

Descrierea etapelor:

Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație va deveni trivială. În același timp, înmulțiți a doua ecuație cu (−1);
Scădeți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este consistent și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).

1. Sistem liniar ecuații algebrice

1.1 Conceptul de sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații este o condiție constând în executarea simultană a mai multor ecuații în raport cu mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (denumit în continuare SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute se numește sistem de forma:

unde numerele a ij sunt numite coeficienți de sistem, numerele b i sunt numite termeni liberi, a ijȘi b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezintă câteva numere cunoscute, iar x 1,…, x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i desemnează numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Numerele x n trebuie găsite. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă de matrice compactă: AX=B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matrice principală;

– vector coloană de necunoscute xj.
este un vector coloană de termeni liberi bi.

Produsul matricelor A*X este definit, deoarece există tot atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).

Matricea extinsă a unui sistem este matricea A a sistemului, completată de o coloană de termeni liberi

1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare

Soluția unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), la înlocuirea acestora în loc de variabile, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

O soluție a unui sistem este n valori ale necunoscutelor x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, prin înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului devin egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o matrice coloane

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Se spune că un sistem consistent este determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale se numește o soluție particulară a sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau inconsecvent. Dacă sistemul este consistent, găsiți soluția generală.

Două sisteme sunt numite echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers.

Transformare, a cărei aplicare transformă sistemul în sistem nou, echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente includ următoarele transformări: schimbarea a două ecuații ale unui sistem, schimbarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a unui sistem cu un număr diferit de zero.

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece x1=x2=x3=…=xn=0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește zero sau trivială.

2. Metoda de eliminare gaussiană

2.1 Esența metodei gaussiene de eliminare

Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor - metoda gaussiana(se mai numeste si metoda de eliminare gaussiana). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treaptă (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

Procesul de rezolvare folosind metoda Gauss constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.

1. Lovitură directă.

În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus la o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, selectați unul diferit de zero, mutați-l în poziția de sus prin rearanjarea rândurilor și scădeți primul rând rezultat din rândurile rămase după rearanjare, înmulțindu-l cu o valoare. egal cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.

După ce transformările indicate au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când matricea rămâne dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.

În prima etapă (cursă directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Sistemul de mai jos are o formă în trepte:

Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (lider) ale sistemului.

(dacă a11=0, rearanjați rândurile matricei astfel încât A 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul ei este egal cu zero și sistemul este inconsecvent).

Să transformăm sistemul eliminând necunoscuta x1 în toate ecuațiile cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu

și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau din a doua ecuație scădeți termen cu termen cu prima, înmulțit cu ). Apoi înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adunăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia o scădem pe prima înmulțită cu ). Astfel, înmulțim secvenţial prima linie cu un număr și adăugăm la i a linia, pentru i= 2, 3, …,n.

Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:

– noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele m-1 ecuații ale sistemului, care sunt determinate de formulele:

Astfel, la prima etapă, toți coeficienții aflați sub primul element conducător a 11 sunt distruși.

0, în a doua etapă elementele aflate sub cel de-al doilea element conducător a 22 (1) sunt distruse (dacă a 22 (1) 0), etc. Continuând acest proces în continuare, în final, la pasul (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică. egalități de forma 0=0, acestea sunt aruncate. Dacă apare o ecuaţie a formei

atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

Aici se termină progresul direct al metodei lui Gauss.

2. Cursa inversă.

În a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și de a construi un sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază , apoi exprimă numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare.

Această procedură începe cu ultima ecuație, din care se exprimă variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și se substituie în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”.

Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.

Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației la a11).

2.2 Exemple de rezolvare a SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană

În această secțiune, folosind trei exemple diferite, vom arăta cum metoda Gaussiană poate rezolva SLAE-urile.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE de ordinul 3.

Să resetam coeficienții la

în rândurile a doua și a treia. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și, respectiv, 1 și adăugați-le la prima linie:

În acest articol, metoda este considerată o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție vedere generalași apoi înlocuiți valorile din exemple specifice de acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au un număr infinit de soluții. Sau nu o au deloc.

Ce înseamnă să rezolvi folosind metoda Gaussiană?

În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Luați sistemul:

Coeficienții se scriu sub formă de tabel, iar termenii liberi sunt înscriși într-o coloană separată din dreapta. Coloana cu termeni liberi este separată pentru comoditate.Matricea care include această coloană se numește extinsă.

În continuare, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la o formă triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal al rezolvării sistemului folosind metoda Gaussiană. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel încât partea sa din stânga jos să conțină doar zerouri:

Apoi, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultimul rând conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină și așa mai departe.

Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gaussiană în cea mai mare parte schiță generală. Ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau există infinit de multe dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe alte întrebări, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în rezolvarea metodei gaussiene.

Matrici, proprietățile lor

Nu există niciun sens ascuns în matrice. Acesta este pur și simplu o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiunile ulterioare cu acesta. Nici școlarilor nu trebuie să le fie frică de ei.

Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul se reduce la construirea unei matrice de formă triunghiulară, în intrare apare un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Este posibil ca zerourile să nu fie scrise, dar sunt subînțelese.

Matricea are o dimensiune. „Lățimea” este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (literele mari sunt de obicei folosite pentru a le desemna) scrisori) va fi notat cu A m×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numerele sale de rând și coloane: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.

B nu este punctul principal al deciziei. În principiu, toate operațiile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar notația va fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să vă confundați în ea.

Determinant

Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Nu este nevoie să-i aflați acum semnificația; puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă spre dreapta - cu semn plus, cu pantă spre stânga - cu semn minus.

Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma un nou matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr diferit de zero, se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.

Înainte de a începe să rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss, nu strica să calculați determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.

Clasificarea sistemului

Există așa ceva ca rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său diferit de zero (dacă ne amintim despre baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).

Pe baza situației cu rang, SLAE poate fi împărțit în:

Comun. UÎn sistemele comune, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul matricei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
- anumit- având o singură soluție. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
- nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
Incompatibil. UÎn astfel de sisteme, rândurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.

Metoda Gauss este bună deoarece în timpul rezolvării permite obținerea fie unei dovezi clare a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție în formă generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.

Transformări elementare

Înainte de a trece direct la rezolvarea sistemului, îl puteți face mai puțin greoi și mai convenabil pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare date sunt valabile numai pentru matrice, a căror sursă a fost SLAE. Iată o listă cu aceste transformări:

Rearanjarea liniilor. Evident, dacă modificați ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, acest lucru nu va afecta în niciun fel soluția. În consecință, și rândurile din matricea acestui sistem pot fi schimbate, fără a uita, bineînțeles, coloana de termeni liberi.
Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit coeficient. De mare ajutor! Poate fi folosit pentru a scurta numere mariîn matrice sau eliminați zerourile. Multe decizii, ca de obicei, nu se vor schimba, dar operațiunile ulterioare vor deveni mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
Eliminarea rândurilor cu factori proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri dintr-o matrice au coeficienți proporționali, atunci când unul dintre rânduri este înmulțit/împarte la coeficientul de proporționalitate, se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice, iar cele suplimentare pot fi eliminate, lăsând unul singur.
Eliminarea unei linii nule. Dacă, în timpul transformării, se obține undeva un rând în care toate elementele, inclusiv membrul liber, sunt zero, atunci un astfel de rând poate fi numit zero și aruncat din matrice.
Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cel mai neevident și cel mai transformare importantă dintre toate. Merită să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor

Pentru ușurință de înțelegere, merită defalcat acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Apoi, al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Trebuie remarcat faptul că coeficientul de înmulțire poate fi selectat în așa fel încât, ca urmare a adunării a două rânduri, unul dintre elementele noului rând să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație într-un sistem în care va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține două necunoscute mai puține. Și dacă de fiecare dată când transformați un coeficient din toate rândurile care sunt sub cel inițial la zero, atunci puteți, ca pe scări, să coborâți chiar în partea de jos a matricei și să obțineți o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numește rezolvarea sistemului folosind metoda Gaussiană.

În general

Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți scrie după cum urmează:

Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de termeni liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru comoditate, separați printr-o linie.

primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 /a 11);
se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Acum se realizează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar primul și al treilea rând. În consecință, la fiecare pas al algoritmului, elementul a 21 este înlocuit cu un 31. Apoi totul se repetă pentru un 41, ... un m1. Rezultatul este o matrice în care primul element din rânduri este zero. Acum trebuie să uitați de linia numărul unu și să efectuați același algoritm, începând de la linia a doua:

coeficientul k = (-a 32 /a 22);
a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
în rândurile matricei primele două elemente sunt deja egale cu zero.

Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k = (-a m,m-1 /a mm). Aceasta înseamnă că ultima dată când algoritmul a fost executat a fost doar pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. În linia de jos există egalitatea a mn × x n = b m. Se cunosc coeficientul si termenul liber, iar prin ele se exprima radacina: x n = b m /a mn. Rădăcina rezultată este înlocuită în linia superioară pentru a găsi x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Și așa mai departe prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce ați ajuns în „vârful” sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.

Când nu există soluții

Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0 = b. Nu are solutie. Și deoarece o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci setul de soluții al întregului sistem este gol, adică este degenerat.

Când există un număr infinit de soluții

Se poate întâmpla ca în matricea triunghiulară dată să nu existe rânduri cu un element coeficient al ecuației și un termen liber. Există doar linii care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are un număr infinit de soluții. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum să o facă?

Toate variabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. Cele de bază sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea pașilor. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise prin intermediul unor libere.

Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde exact mai rămâne o singură variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte și totul este transferat pe cealaltă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în ecuațiile rămase, acolo unde este posibil, expresia obținută pentru aceasta este înlocuită în locul variabilei de bază. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este din nou exprimată de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Aceasta este soluția generală a SLAE.

Puteți găsi, de asemenea, soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi, pentru acest caz specific, calculați valorile variabilelor de bază. Există un număr infinit de soluții particulare care pot fi date.

Rezolvare cu exemple concrete

Iată un sistem de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea

Se știe că atunci când se rezolvă prin metoda Gaussiană, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale rândurilor rămase după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi avantajos să punem al doilea rând în locul primului.

a doua linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Acum, pentru a nu vă confunda, trebuie să scrieți o matrice cu rezultatele intermediare ale transformărilor.

Evident, o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție folosind anumite operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.

De asemenea, este de remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți scurta linia cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp, pentru a elimina valori negative).

Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm prima linie în pace și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este de a adăuga a doua linie la a treia linie, înmulțită cu un astfel de coeficient încât elementul a 32 să devină egal cu zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (dacă în timpul unor transformări răspunsul nu se dovedește a fi un întreg, se recomandă menținerea preciziei calculelor pentru a lăsa este „ca atare”, sub forma fracție comună, și numai atunci, când răspunsurile sunt primite, decideți dacă rotunjiți și convertiți la o altă formă de înregistrare)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matricea este scrisă din nou cu valori noi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului folosind metoda Gaussiană. Ceea ce puteți face aici este să eliminați coeficientul general „-1/7” de pe a treia linie.

Acum totul este frumos. Tot ce rămâne de făcut este să scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și să calculați rădăcinile

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gaussiană. Ecuația (3) conține valoarea z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Și prima ecuație ne permite să găsim x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemplu de sistem incert

S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss; acum este necesar să luăm în considerare cazul în care sistemul este incert, adică se pot găsi infinite soluții pentru acesta.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Însuși aspectul sistemului este deja alarmant, deoarece numărul de necunoscute este n = 5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m = 4, adică cea mai mare ordine a patratului-determinant este 4. Aceasta înseamnă că există un număr infinit de soluții și trebuie să cauți aspectul general al acestuia. Metoda Gauss pentru ecuații liniare vă permite să faceți acest lucru.

Mai întâi, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.

A doua linie: coeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adunându-le la rândurile necesare, obținem o matrice de următoarea formă:

După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând constau din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general identice, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar cel rămas poate fi înmulțit cu coeficientul „-1” și obține linia numărul 3. Și din nou, din două linii identice, lăsați una.

Rezultatul este o matrice ca aceasta. Deși sistemul nu a fost încă notat, este necesar să se determine aici variabilele de bază - cele care stau la coeficienții a 11 = 1 și a 22 = 1, iar cele libere - toate celelalte.

În a doua ecuație există o singură variabilă de bază - x 2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimat de acolo prin scrierea lui prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.

Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.

Rezultatul este o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1 . Să facem la fel cu ea ca și cu x 2.

Toate variabilele de bază, dintre care există două, sunt exprimate în termeni de trei variabile libere; acum putem scrie răspunsul în formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, zerourile sunt de obicei alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem non-cooperativ

Rezolvarea sistemelor de ecuații incompatibile folosind metoda Gauss este cea mai rapidă. Se termină imediat ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa de calcul a rădăcinilor, care este destul de lungă și plictisitoare, este eliminată. Se are în vedere următorul sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Și se reduce la o formă în trepte:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de formă

fara o solutie. În consecință, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul va fi setul gol.

Avantajele și dezavantajele metodei

Dacă alegeți ce metodă să rezolvați SLAE-urile pe hârtie cu un pix, atunci metoda despre care a fost discutată în acest articol arată cea mai atractivă. Este mult mai dificil să fii confuz în transformările elementare decât dacă trebuie să cauți manual un determinant sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru lucrul cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinant, minori, invers și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că mașina va calcula singură aceste valori și nu va face greșeli, este mai indicat să folosiți metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece aplicarea lor începe și se termină cu calcularea determinanților și matrici inverse.

Aplicație

Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este de fapt o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, deoarece articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, ar trebui spus că cel mai ușor loc în care să pui metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operații cu ele există multe comenzi drăguțe: adunare (poți doar să adaugi matrice de aceeași dimensiune!), înmulțire cu un număr, înmulțire de matrice (tot cu anumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important , calculând determinantul. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este posibil să se determine rangul matricei mult mai rapid și, prin urmare, să se stabilească compatibilitatea sau incompatibilitatea acesteia.

În acest articol, metoda este considerată o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție într-o formă generală și apoi să înlocuiți valori din exemple specifice acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au un număr infinit de soluții. Sau nu o au deloc.

Ce înseamnă să rezolvi folosind metoda Gaussiană?

În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Luați sistemul:

Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gaussiană în termenii cei mai generali. Ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau există infinit de multe dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe alte întrebări, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în rezolvarea metodei gaussiene.

Matrici, proprietățile lor

Matricea are o dimensiune. „Lățimea” este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru a le desemna) va fi notată ca A m×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numerele sale de rând și coloane: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.

Determinant

Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele de la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma o nouă matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr diferit de zero, se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.

Clasificarea sistemului

Pe baza situației cu rang, SLAE poate fi împărțit în:

Comun. UÎn sistemele comune, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul matricei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
- anumit- având o singură soluție. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
- nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
Incompatibil. UÎn astfel de sisteme, rândurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.

Transformări elementare

Rearanjarea liniilor. Evident, dacă modificați ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, acest lucru nu va afecta în niciun fel soluția. În consecință, și rândurile din matricea acestui sistem pot fi schimbate, fără a uita, bineînțeles, coloana de termeni liberi.
Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit coeficient. De mare ajutor! Poate fi folosit pentru a reduce numere mari dintr-o matrice sau pentru a elimina zerouri. Multe decizii, ca de obicei, nu se vor schimba, dar operațiunile ulterioare vor deveni mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
Eliminarea rândurilor cu factori proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri dintr-o matrice au coeficienți proporționali, atunci când unul dintre rânduri este înmulțit/împarte la coeficientul de proporționalitate, se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice, iar cele suplimentare pot fi eliminate, lăsând unul singur.
Eliminarea unei linii nule. Dacă, în timpul transformării, se obține undeva un rând în care toate elementele, inclusiv membrul liber, sunt zero, atunci un astfel de rând poate fi numit zero și aruncat din matrice.
Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai neevidentă și mai importantă transformare dintre toate. Merită să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor

Pentru ușurință de înțelegere, merită defalcat acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Apoi, al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

În general

Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți scrie după cum urmează:

Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de termeni liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru comoditate, separați printr-o linie.

primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 /a 11);
se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

coeficientul k = (-a 32 /a 22);
a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
în rândurile matricei primele două elemente sunt deja egale cu zero.

Când nu există soluții

Când există un număr infinit de soluții

Rezolvare cu exemple concrete

Iată un sistem de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea

a doua linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Acum, pentru a nu vă confunda, trebuie să scrieți o matrice cu rezultatele intermediare ale transformărilor.

De asemenea, este de remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți scurta șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp, pentru a elimina valorile negative).

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (dacă în timpul unor transformări răspunsul nu se dovedește a fi un întreg, se recomandă menținerea preciziei calculelor pentru a lăsa este „ca atare”, sub forma unei fracții obișnuite și numai atunci, când răspunsurile sunt primite, decideți dacă să rotunjiți și să convertiți la o altă formă de înregistrare)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matricea este scrisă din nou cu valori noi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Acum totul este frumos. Tot ce rămâne de făcut este să scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și să calculați rădăcinile

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gaussiană. Ecuația (3) conține valoarea z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Și prima ecuație ne permite să găsim x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemplu de sistem incert

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Mai întâi, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.

Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adunându-le la rândurile necesare, obținem o matrice de următoarea formă:

În a doua ecuație există o singură variabilă de bază - x 2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimat de acolo prin scrierea lui prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.

Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.

Rezultatul este o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1 . Să facem la fel cu ea ca și cu x 2.

Toate variabilele de bază, dintre care există două, sunt exprimate în termeni de trei variabile libere; acum putem scrie răspunsul în formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, zerourile sunt de obicei alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem non-cooperativ

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Și se reduce la o formă în trepte:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de formă

fara o solutie. În consecință, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul va fi setul gol.