În această lecție, vom continua să rezolvăm inegalitățile raționale folosind metoda intervalului pentru inegalități mai complexe. Luați în considerare soluția inegalităților liniar-fracționale și pătratice-fracționale și a problemelor conexe.
Acum revenim la inegalitate
Să luăm în considerare câteva sarcini conexe.
Găsiți cea mai mică soluție a inegalității.
Aflați numărul de soluții naturale ale inegalității
Aflați lungimea intervalelor care alcătuiesc mulțimea soluțiilor inegalității.
2. Portal Stiintele Naturii ().
3. Complex electronic educațional și metodologic pentru pregătirea claselor 10-11 pentru examenele de admitere la informatică, matematică, limba rusă ().
5. Centrul de Învățământ „Tehnologia Educației” ().
6. College.ru secțiunea de matematică ().
1. Mordkovich A.G. et al. Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38 litera (a).
În primul rând, câteva versuri pentru a înțelege problema pe care o rezolvă metoda intervalului. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea inegalitate:
(x − 5)(x + 3) > 0
Care sunt optiunile? Primul lucru care vine în minte pentru majoritatea studenților este regulile „plus ori plus face plus” și „minus ori minus face plus”. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul când ambele paranteze sunt pozitive: x − 5 > 0 și x + 3 > 0. Atunci luăm în considerare și cazul când ambele paranteze sunt negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Elevii mai avansați își vor aminti (poate) că în stânga este o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă. Mai mult, această parabolă intersectează axa OX în punctele x = 5 și x = −3. Pentru lucrări suplimentare, trebuie să deschideți parantezele. Avem:
x 2 − 2x − 15 > 0
Acum este clar că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul a = 1 > 0. Să încercăm să desenăm o diagramă a acestei parabole:
Funcția este mai mare decât zero acolo unde trece deasupra axei OX. În cazul nostru, acestea sunt intervalele (−∞ −3) și (5; +∞) - acesta este răspunsul.
Vă rugăm să rețineți că imaginea arată exact diagrama functionala, nu programul ei. Pentru că pentru un grafic real, trebuie să calculați coordonatele, să calculați compensații și alte prostii, de care nu avem deloc nevoie acum.
De ce sunt aceste metode ineficiente?
Deci, am luat în considerare două soluții la aceeași inegalitate. Ambele s-au dovedit a fi foarte greoaie. Apare prima decizie - doar gândește-te! este un set de sisteme de inegalități. A doua soluție nu este, de asemenea, foarte ușoară: trebuie să vă amintiți graficul parabolei și o grămadă de alte fapte mici.
Era o inegalitate foarte simplă. Are doar 2 multiplicatori. Acum imaginați-vă că nu vor fi 2 multiplicatori, ci cel puțin 4. De exemplu:
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0
Cum să rezolvi o astfel de inegalitate? Treci prin toate combinațiile posibile de argumente pro și contra? Da, vom adormi mai repede decât găsim o soluție. Desenarea unui grafic nu este, de asemenea, o opțiune, deoarece nu este clar cum se comportă o astfel de funcție pe planul de coordonate.
Pentru astfel de inegalități, este nevoie de un algoritm de soluție special, pe care îl vom lua în considerare astăzi.
Care este metoda intervalului
Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f (x) > 0 și f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Rezolvați ecuația f (x) \u003d 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai ușor de rezolvat;
- Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
- Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f (x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f (x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
- Marcați semnele la alte intervale. Pentru a face acest lucru, este suficient să ne amintim că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă.
Asta e tot! După aceea, rămâne doar să scriem intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu un semn „+” dacă inegalitatea a fost de forma f (x) > 0, sau cu un semn „-” dacă inegalitatea a fost de forma f (x)< 0.
La prima vedere, poate părea că metoda intervalului este un fel de tablă. Dar, în practică, totul va fi foarte simplu. Este nevoie de puțină practică - și totul va deveni clar. Aruncă o privire la exemple și vezi singur:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
(x − 2)(x + 7)< 0
Lucrăm la metoda intervalelor. Pasul 1: Înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:
(x − 2)(x + 7) = 0
Produsul este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Are două rădăcini. Treceți la pasul 2: marcați aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:
Acum pasul 3: găsim semnul funcției în intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, luați orice număr care mai mult număr x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luăm x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000). Primim:
f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;
Obținem că f (3) = 10 > 0, așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.
Trecem la ultimul punct - este necesar să notăm semnele pe intervalele rămase. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus în stânga.
Acest minus se extinde la întregul interval (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, există un plus la stânga rădăcinii x = -7. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate. Avem:
Să revenim la inegalitatea inițială, care arăta astfel:
(x − 2)(x + 7)< 0
Deci funcția trebuie să fie mai mică decât zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Pasul 1: Echivalează partea stângă cu zero:
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aceea avem dreptul de a echivala cu zero fiecare paranteză individuală.
Pasul 2: marcați toate rădăcinile pe linia de coordonate:
Pasul 3: aflați semnul decalajului cel mai din dreapta. Luăm orice număr care este mai mare decât x = 1. De exemplu, putem lua x = 10. Avem:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.
Pasul 4: Așezați restul semnelor. Amintiți-vă că atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă. Drept urmare, imaginea noastră va arăta astfel:
Asta e tot. Rămâne doar să scrieți răspunsul. Aruncă o altă privire la inegalitatea inițială:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Aceasta este o inegalitate de forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Acesta este răspunsul.
O notă despre semnele de funcție
Practica arată că cele mai mari dificultăți în metoda intervalului apar la ultimii doi pași, i.e. la amplasarea semnelor. Mulți elevi încep să se încurce: ce numere să ia și unde să pună semne.
Pentru a înțelege în sfârșit metoda intervalului, luați în considerare două observații pe care este construită:
- O funcție continuă își schimbă semnul numai în puncte unde este egal cu zero. Astfel de puncte rup axa de coordonate în bucăți, în interiorul cărora semnul funcției nu se schimbă niciodată. De aceea rezolvăm ecuația f (x) \u003d 0 și marchem rădăcinile găsite pe o linie dreaptă. Numerele găsite sunt punctele de „limită” care separă plusurile de minusurile.
- Pentru a afla semnul unei funcții pe orice interval, este suficient să înlocuiți orice număr din acest interval în funcție. De exemplu, pentru intervalul (−5; 6) putem lua x = −4, x = 0, x = 4 și chiar x = 1,29374 dacă vrem. De ce este important? Da, pentru că mulți studenți încep să roadă îndoieli. Cum ar fi, ce se întâmplă dacă pentru x = −4 obținem un plus, iar pentru x = 0 obținem un minus? Nu se va întâmpla niciodată așa ceva. Toate punctele din același interval dau același semn. Tine minte asta.
Asta este tot ce trebuie să știi despre metoda intervalului. Desigur, l-am demontat cel mai mult versiune simplă. Există inegalități mai complexe - nestricte, fracționale și cu rădăcini repetate. Pentru ei, puteți aplica și metoda intervalului, dar acesta este un subiect pentru o lecție mare separată.
Acum aș dori să analizez un truc avansat care simplifică drastic metoda intervalului. Mai precis, simplificarea afectează doar al treilea pas - calculul semnului din partea din dreapta a liniei. Din anumite motive, această tehnică nu se desfășoară în școli (cel puțin nimeni nu mi-a explicat asta). Dar degeaba - de fapt, acest algoritm este foarte simplu.
Deci, semnul funcției este pe piesa dreaptă a axei numerice. Această piesă are forma (a; +∞), unde a este cea mai mare rădăcină a ecuației f (x) = 0. Pentru a nu ne sufla creierul, luați în considerare un exemplu specific:
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
Avem 3 rădăcini. Le enumerăm în ordine crescătoare: x = −2, x = 1 și x = 7. Evident, cea mai mare rădăcină este x = 7.
Pentru cei cărora le este mai ușor să raționeze grafic, voi marca aceste rădăcini pe linia de coordonate. Să vedem ce se întâmplă:
Este necesar să se găsească semnul funcției f (x) pe intervalul din dreapta, adică. pe (7; +∞). Dar, după cum am observat deja, pentru a determina semnul, puteți lua orice număr din acest interval. De exemplu, puteți lua x = 8, x = 150 etc. Și acum - aceeași tehnică care nu se predă în școli: să luăm infinitul ca număr. Mai precis, plus infinit, adică +∞.
"Esti drogat? Cum poți înlocui infinitul într-o funcție? poate, întrebi. Dar gândiți-vă: nu avem nevoie de valoarea funcției în sine, avem nevoie doar de semn. Prin urmare, de exemplu, valorile f (x) = −1 și f (x) = −938 740 576 215 înseamnă același lucru: funcția este negativă pe acest interval. Prin urmare, tot ceea ce ți se cere este să găsești semnul care apare la infinit, și nu valoarea funcției.
De fapt, înlocuirea infinitului este foarte simplă. Să revenim la funcția noastră:
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)
Imaginați-vă că x este foarte număr mare. Un miliard sau chiar un trilion. Acum să vedem ce se întâmplă în fiecare paranteză.
Prima paranteză: (x − 1). Ce se întâmplă dacă scazi unul dintr-un miliard? Rezultatul va fi un număr nu foarte diferit de un miliard, iar acest număr va fi pozitiv. Similar cu a doua paranteză: (2 + x). Dacă adăugăm un miliard la doi, obținem un miliard cu copeici - acesta este un număr pozitiv. În cele din urmă, a treia paranteză: (7 − x ). Aici va fi minus un miliard, din care o bucată mizerabilă în formă de șapte a fost „roșată”. Acestea. numărul rezultat nu va diferi mult de minus un miliard - va fi negativ.
Rămâne de găsit semnul întregii lucrări. Deoarece am avut un plus în primele paranteze și un minus în ultima paranteză, obținem următoarea construcție:
(+) · (+) · (−) = (−)
Semnul final este minus! Nu contează care este valoarea funcției în sine. Principalul lucru este că această valoare este negativă, adică. pe intervalul din dreapta există un semn minus. Rămâne să finalizați al patrulea pas al metodei intervalului: aranjați toate semnele. Avem:
Inegalitatea originală arăta astfel:
(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0
Prin urmare, ne interesează intervalele marcate cu semnul minus. Scriem răspunsul:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Acesta este tot trucul pe care am vrut să-l spun. În concluzie, mai există o inegalitate, care se rezolvă prin metoda intervalului folosind infinitul. Pentru a scurta vizual soluția, nu voi scrie numere de pași și comentarii detaliate. Voi scrie doar ceea ce trebuie scris cu adevărat atunci când rezolv probleme reale:
Sarcină. Rezolvați inegalitatea:
x (2x + 8)(x − 3) > 0
Înlocuim inegalitatea cu o ecuație și o rezolvăm:
x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Marcam toate cele trei rădăcini pe linia de coordonate (imediat cu semne):
Există un plus în partea dreaptă a axei de coordonate, deoarece functia arata asa:
f(x) = x(2x + 8)(x − 3)
Și dacă înlocuim infinitul (de exemplu, un miliard), obținem trei paranteze pozitive. Deoarece expresia originală trebuie să fie mai mare decât zero, ne interesează doar plusuri. Rămâne de scris răspunsul:
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)
Metoda de spațiere este o modalitate simplă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale. Acesta este numele inegalităților care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.
1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate
Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.
În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional, pentru că nu conține nici rădăcini, nici sinusuri, nici logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.
Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.
O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.
Amintiți-vă cum este factorizat un trinom pătrat, adică o expresie de forma .
Unde și sunt rădăcinile ecuație pătratică.
Desenăm o axă și aranjam punctele în care numărătorul și numitorul dispar.
Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite deoarece inegalitatea nu este strictă. Căci și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele părți ale sale sunt egale cu zero.
Aceste puncte despart axa în intervale.
Să determinăm semnul funcției fracționale-raționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există. Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul dispare, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus” fie „minus”.
Prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cea care ni se potrivește.
. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.
Următorul interval: . Să verificăm semnul pentru . Înțelegem că partea stângă s-a schimbat în semnul .
Hai sa luam . Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la .
Pentru , partea stângă a inegalității este negativă.
Și în sfârșit class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne de scris răspunsul:
Răspuns: .
Vă rugăm să rețineți: semnele de pe intervale se alternează. Acest lucru s-a întâmplat pentru că la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, iar restul l-a păstrat neschimbat.
Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva o inegalitate fracționară-rațională prin metoda intervalelor, o aducem la forma:
Sau class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau sau .
(în partea stângă - o funcție fracțională-rațională, în partea dreaptă - zero).
Apoi - marcam pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul dispare.
Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre ele funcția fracționară-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul pe fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct din intervalul dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta e tot.
Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să avem grijă să nu amplasăm semne mecanic și fără gânduri.
2. Să ne uităm la o altă inegalitate.
Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}
Punem din nou puncte pe axa. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerourile numitorului. Punctul este, de asemenea, perforat, deoarece inegalitatea este strictă.
Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru este ușor de verificat luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:
Când numărătorul este pozitiv; primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:
Când situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:
În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Răspuns: .
De ce s-a întrerupt alternanța personajelor? Pentru că la trecerea prin punct, multiplicatorul „responsabil” de acesta nu a schimbat semnul. În consecință, nici toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.
Concluzie: dacă factorul liniar este într-o putere pară (de exemplu, într-un pătrat), atunci când trece printr-un punct, semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.
3. Luați în considerare mai mult caz dificil. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:
Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:
Poate răspunsul va fi același? Nu! Soluția este adăugată Acest lucru se datorează faptului că la , ambele părți din stânga și dreapta ale inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.
Răspuns: .
În problema de la examenul de matematică, această situație este des întâlnită. Aici, solicitanții cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!
4. Ce se întâmplă dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:
Trinomul pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei este același pentru toți și, în special, este pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile unei funcții pătratice.
Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Ajungem la o inegalitate echivalentă:
Ceea ce se rezolvă ușor prin metoda intervalului.
Atenție - am împărțit ambele părți ale inegalității la valoare, despre care știam sigur că este pozitivă. Desigur, în cazul general, nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.
5 . Luați în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:
Așa că vreau să o înmulțesc cu . Dar suntem deja deștepți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.
Vom acționa diferit - vom colecta totul într-o singură parte și vom aduce la un numitor comun. Zero va rămâne pe partea dreaptă:
Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Și după aceea - aplicabil metoda intervalului.
Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă Pentru
Trebuie doar să înțelegi această metodă și să o cunoști ca pe dosul mâinii! Fie doar pentru că este folosit pentru rezolvarea inegalităților raționale și pentru că, cunoscând corect această metodă, rezolvarea acestor inegalități este surprinzător de simplă. Puțin mai târziu, vă voi dezvălui câteva secrete despre cum să economisiți timp în rezolvarea acestor inegalități. Ei bine, ești intrigat? Atunci să mergem!
Esența metodei este factorizarea inegalității (repetarea subiectului) și determinarea ODZ și semnul factorilor, acum voi explica totul. Să luăm cel mai simplu exemplu: .
Zone valori admise() nu trebuie să fie scris aici, deoarece nu există o împărțire printr-o variabilă, iar radicalii (rădăcinile) nu sunt observați aici. Totul aici este deja multiplicat pentru noi. Dar nu vă relaxați, totul este pentru a reaminti elementele de bază și pentru a înțelege esența!
Să presupunem că nu cunoașteți metoda intervalelor, cum ați proceda pentru a rezolva această inegalitate? Fii logic și construiește pe ceea ce știi deja. În primul rând, partea stângă va fi mai mare decât zero dacă ambele expresii între paranteze sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât zero, deoarece „Plus” pe „plus” face „plus” și „minus” pe „minus” face „plus”, nu? Și dacă semnele expresiilor din paranteze sunt diferite, atunci în cele din urmă partea stângă va fi mai mică decât zero. Dar de ce avem nevoie pentru a afla acele valori pentru care expresiile dintre paranteze vor fi negative sau pozitive?
Trebuie să rezolvăm ecuația, este exact aceeași cu inegalitatea, doar că în loc de semn va fi un semn, rădăcinile acestei ecuații ne vor permite să determinăm acele valori la limită, abate de la care factorii și vor fi mai mari. sau mai puțin de zero.
Și acum intervalele în sine. Ce este un interval? Acesta este un anumit interval al dreptei numerice, adică toate numerele posibile cuprinse între două numere - capetele intervalului. Nu este atât de ușor să-ți imaginezi aceste goluri în capul tău, așa că se obișnuiește să desenezi intervale, acum te voi învăța.
Desenăm o axă, pe ea se află întreaga serie de numere de la și către. Punctele sunt trasate pe axă, așa-numitele zerouri ale funcției, valori la care expresia este egală cu zero. Aceste puncte sunt „înțepate”, ceea ce înseamnă că nu se numără printre acele valori pentru care inegalitatea este adevărată. ÎN acest caz, sunt perforate. semnul în inegalitate și nu, adică strict mai mare decât și nu mai mare decât sau egal cu.
Vreau să spun că nu este necesar să se marcheze zero, aici este fără cercuri, dar așa, pentru înțelegere și orientare de-a lungul axei. Bine, axa a fost desenată, punctele (sau mai degrabă cercurile) au fost setate, atunci ce, cum mă va ajuta asta să rezolv? - tu intrebi. Acum luați valoarea pentru x din intervale în ordine și înlocuiți-le în inegalitatea dvs. și vedeți care va fi semnul ca rezultat al înmulțirii.
Pe scurt, luăm doar un exemplu, înlocuim-l aici, se va dovedi, ceea ce înseamnă că pe întreg intervalul (pe întregul interval) de la până la, din care am luat, inegalitatea va fi adevărată. Cu alte cuvinte, dacă x este de la până, atunci inegalitatea este adevărată.
Facem același lucru cu un interval de la până, luați sau, de exemplu, înlocuiți în, determinăm semnul, semnul va fi „minus”. Și facem același lucru cu ultimul, al treilea interval de la până, unde semnul se va dovedi a fi „plus”. A apărut o astfel de grămadă de texte, dar există puțină vizibilitate, nu?
Privește din nou la inegalitate.
Acum, pe aceeași axă, aplicăm și semnele care vor fi rezultatul. Linia întreruptă, în exemplul meu, denotă secțiunile pozitive și negative ale axei.
Privește inegalitatea - la imagine, iar la inegalitate - și din nou la imagine este ceva clar? Acum încercați să spuneți pe ce intervale de x, inegalitatea va fi adevărată. Așa este, de la până la inegalitatea va fi adevărată și de la până la, iar pe intervalul de la până la inegalitatea lui zero și acest interval ne interesează puțin, deoarece avem un semn în inegalitate.
Ei bine, din moment ce v-ați dat seama, atunci rămâne la latitudinea dvs. să scrieți răspunsul! Ca răspuns, scriem acele intervale la care partea stângă este mai mare decât zero, care se citește ca X aparține intervalului de la minus infinit la minus unu și de la doi la plus infinit. Merită clarificat faptul că parantezele înseamnă că valorile de care este delimitat intervalul nu sunt soluții la inegalitate, adică nu sunt incluse în răspuns, ci doar spun că înainte, de exemplu, dar nu există soluţie.
Acum un exemplu în care va trebui să desenați nu numai intervalul:
Ce crezi că ar trebui făcut înainte de a pune puncte pe axă? Da, luați în considerare:
Desenăm intervale și plasăm semne, observăm punctele pe care le-am perforat, deoarece semnul este strict mai mic decât zero:
Este timpul să vă dezvălui un secret pe care l-am promis la începutul acestui topic! Dar dacă vă spun că nu puteți înlocui valorile din fiecare interval pentru a determina semnul, ci puteți determina semnul într-unul dintre intervale, iar în rest doar alternați semnele!
Astfel, am economisit puțin timp la așezarea semnelor - cred că de data asta câștigată la examen nu va strica!
Scriem răspunsul:
Acum luați în considerare un exemplu de inegalitate rațională fracțională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).
Ce poți spune despre această inegalitate? Și o priviți ca pe o ecuație rațională fracțională, ce facem mai întâi? Vedem imediat că nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că este cu siguranță rațional, dar apoi există o fracție și chiar cu o necunoscută la numitor!
Așa este, ODZ este necesar!
Deci, să mergem mai departe, aici toți factorii, cu excepția unuia, au o variabilă de gradul întâi, dar există un factor în care x are un grad al doilea. De obicei, semnul nostru s-a schimbat după ce am trecut prin unul dintre punctele în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, pentru care am determinat ce ar trebui să fie x în fiecare factor. Și aici, așa că este întotdeauna pozitiv, pentru că. orice număr pătrat > zero și un termen pozitiv.
Cum credeți că va afecta valoarea inegalității? Așa este - nu contează! Putem împărți în siguranță inegalitatea în ambele părți și, prin urmare, putem elimina acest factor, astfel încât să nu ne rănească ochii.
este timpul să desenați intervale, pentru aceasta trebuie să determinați acele valori de limită, abate de la care multiplicatorii și vor fi mai mari și mai mici decât zero. Dar atenție că aici semnul înseamnă punctul în care partea stângă a inegalității ia valoare zero, nu o vom perfora, pentru că este inclus în numărul de soluții, avem un astfel de punct, acesta este punctul unde x este egal cu unu. Putem colora punctul în care numitorul este negativ? - Desigur că nu!
Numitorul nu trebuie să fie zero, deci intervalul va arăta astfel:
Conform acestei scheme, puteți deja să scrieți cu ușurință un răspuns, pot spune doar că acum aveți la dispoziție un nou tip de paranteză - pătrat! Aici este o paranteză [ spune că valoarea se află în intervalul de soluție, i.e. face parte din răspuns, această paranteză corespunde unui punct umplut (nu perforat) pe axă.
Deci, ai primit același răspuns?
Factorizăm și transferăm totul într-o singură direcție, deoarece trebuie să lăsăm doar zero pe dreapta pentru a compara cu el:
Vă atrag atenția că în ultima transformare, pentru a ajunge atât la numărător cât și la numitor, înmulțesc ambele părți ale inegalității cu. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți ambele părți ale inegalității cu, semnul inegalității este inversat!!!
Scriem ODZ:
În caz contrar, numitorul se va transforma la zero și, după cum vă amintiți, nu puteți împărți la zero!
De acord, în inegalitatea rezultată este tentant să reduceți în numărător și numitor! Nu poți face asta, poți pierde unele dintre decizii sau ODZ!
Acum încercați să puneți singur puncte pe axă. Voi observa doar că atunci când desenați puncte, trebuie să acordați atenție faptului că un punct cu o valoare, care, pe baza semnului, se pare, ar trebui să fie desenat pe axă așa cum este completat, nu va fi completat. , va fi scos! De ce să te întreb? Și îți amintești de ODZ, nu vei împărți la zero așa?
Amintiți-vă, ODZ este mai presus de toate! Dacă toate inegalitățile și semnele egale spun un lucru, iar ODZ spune altceva, ai încredere în ODZ, mare și puternic! Ei bine, ai construit intervalele, sunt sigur că mi-ai luat sfatul despre alternanță și ai prins așa (vezi poza de mai jos) Acum taie-l și nu mai repeta această greșeală! ce greseala? - tu intrebi.
Cert este că în această inegalitate factorul s-a repetat de două ori (mai ții minte cum ai încercat totuși să-l reducă?). Deci, dacă un factor se repetă în inegalitate de un număr par de ori, atunci când trece printr-un punct de pe axa care transformă acest factor la zero (în acest caz, un punct), semnul nu se va schimba, dacă este impar, atunci semnul se schimba!
Următoarea axă cu intervale și semne va fi corectă:
Și, rețineți că nu ne interesează semnul care era la început (când tocmai am văzut inegalitatea, semnul era), după transformări, semnul s-a schimbat în, ceea ce înseamnă că ne interesează golurile cu semnul. .
Răspuns:
Voi mai spune că sunt situații în care există rădăcini ale inegalității care nu sunt incluse în niciun decalaj, ca răspuns sunt scrise între paranteze, așa, de exemplu:. Despre astfel de situații puteți citi mai multe în articolul Nivel Intermediar.
Să rezumăm cum să rezolvăm inegalitățile folosind metoda intervalului:
- Transferam totul in stanga, in dreapta lasam doar zero;
- Găsim ODZ;
- Punem pe axa toate radacinile inegalitatii;
- Luăm unul arbitrar din unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate, depinde de numărul par sau impar de ori de repetare a acestora indiferent dacă semnul se schimbă la trecerea prin ele sau nu;
- Ca răspuns, scriem intervalele, observând punctele perforate și nu (vezi ODZ), punând tipurile necesare de paranteze între ele.
Și în sfârșit, secțiunea noastră preferată, „do it yourself”!
Exemple:
Raspunsuri:
METODA INTERVALULUI. NIVEL MEDIU
Funcție liniară
O funcție a formei se numește liniară. Să luăm ca exemplu o funcție. Este pozitiv la și negativ la. Punctul este zero al funcției (). Să arătăm semnele acestei funcții pe axa reală:
Spunem că „funcția își schimbă semnul la trecerea printr-un punct”.
Se poate observa că semnele funcției corespund poziției graficului funcției: dacă graficul este deasupra axei, semnul este „ ”, dacă este sub - „ ”.
Dacă generalizăm regula rezultată la un arbitrar funcție liniară, obținem următorul algoritm:
- Găsim zeroul funcției;
- O marcam pe axa numerica;
- Determinăm semnul funcției pe laturile opuse ale zeroului.
funcţie pătratică
Sper că vă amintiți cum se rezolvă inegalitățile pătratice? Daca nu, citeste threadul. Amintiți-vă de perspectiva generală funcţie pătratică: .
Acum să ne amintim ce semne are funcția pătratică. Graficul său este o parabolă, iar funcția ia semnul „ ” pentru cei în care parabola este deasupra axei și „ ” - dacă parabola este sub axa:
Dacă funcția are zerouri (valori la care), parabola intersectează axa în două puncte - rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoare. Astfel, axa este împărțită în trei intervale, iar semnele funcției se schimbă alternativ la trecerea prin fiecare rădăcină.
Este posibil să determinați cumva semnele fără să desenați o parabolă de fiecare dată?
Reamintim că trinomul pătrat poate fi factorizat:
De exemplu: .
Observați rădăcinile de pe axă:
Ne amintim că semnul unei funcții se poate schimba doar la trecerea prin rădăcină. Folosim acest fapt: pentru fiecare dintre cele trei intervale în care axa este împărțită prin rădăcini, este suficient să se determine semnul funcției doar într-un punct ales arbitrar: în celelalte puncte ale intervalului, semnul va fi la fel.
În exemplul nostru: pentru ambele expresii dintre paranteze sunt pozitive (înlocuim, de exemplu:). Punem semnul „” pe axă:
Ei bine, dacă (înlocuiți, de exemplu) ambele paranteze sunt negative, atunci produsul este pozitiv:
Asta e metoda intervalului: cunoscând semnele factorilor pe fiecare interval, determinăm semnul întregului produs.
Să luăm în considerare și cazurile în care funcția nu are zerouri sau este doar unul.
Dacă nu există, atunci nu există rădăcini. Aceasta înseamnă că nu va exista nicio „trecere prin rădăcină”. Aceasta înseamnă că funcția de pe întreaga axă a numerelor ia un singur semn. Este ușor de determinat prin înlocuirea acesteia într-o funcție.
Dacă există o singură rădăcină, parabola atinge axa, deci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin rădăcină. Care este regula pentru astfel de situatii?
Dacă eliminăm o astfel de funcție, obținem doi factori identici:
Și orice expresie la pătrat este nenegativă! Prin urmare, semnul funcției nu se schimbă. În astfel de cazuri, vom selecta rădăcina, când trecem prin care semnul nu se schimbă, încercuind-o cu un pătrat:
O astfel de rădăcină va fi numită multiplu.
Metoda intervalelor în inegalități
Acum orice inegalitate pătratică poate fi rezolvată fără a trasa o parabolă. Este suficient doar să plasați semnele funcției pătratice pe axă și să alegeți intervalele în funcție de semnul inegalității. De exemplu:
Măsurăm rădăcinile pe axă și aranjam semnele:
Avem nevoie de partea axei cu semnul „”; deoarece inegalitatea nu este strictă, rădăcinile în sine sunt incluse și în soluție:
Acum luați în considerare o inegalitate rațională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).
Exemplu:
Toți factorii, cu excepția unuia - - aici sunt „liniari”, adică conțin o variabilă doar în primul grad. Avem nevoie de astfel de factori liniari pentru a aplica metoda intervalului - semnul se schimbă la trecerea prin rădăcinile lor. Dar multiplicatorul nu are deloc rădăcini. Aceasta înseamnă că este întotdeauna pozitiv (verificați-l singur) și, prin urmare, nu afectează semnul întregii inegalități. Aceasta înseamnă că puteți împărți părțile stânga și dreaptă ale inegalității în ea și, astfel, scăpați de ea:
Acum totul este la fel cum era inegalități pătratice: determinăm în ce puncte dispar fiecare dintre factori, marchem aceste puncte pe axă și aranjam semnele. Vă atrag atenția asupra unui fapt foarte important:
Răspuns: . Exemplu: .
Pentru a aplica metoda intervalului, este necesar ca într-una dintre părțile inegalității să fie. Prin urmare, mutăm partea dreaptă spre stânga:
Numătorul și numitorul au același factor, dar nu ne grăbim să-l reducem! La urma urmei, atunci putem uita să scoatem în evidență acest punct. Este mai bine să marcați această rădăcină ca multiplu, adică atunci când treceți prin ea, semnul nu se va schimba: 
Răspuns: .
Și încă un exemplu foarte ilustrativ:
Din nou, nu reducem aceiași factori ai numărătorului și numitorului, deoarece dacă reducem, va trebui să ne amintim în mod special că trebuie să punem un punct.
- : ori repetate;
- : ori;
- : ori (la numărător și unul la numitor).
În cazul unui număr par, procedăm în același mod ca și înainte: încercuim punctul cu un pătrat și nu schimbăm semnul la trecerea prin rădăcină. Dar în cazul unui număr impar, această regulă nu este îndeplinită: semnul se va schimba în continuare la trecerea prin rădăcină. Prin urmare, nu facem nimic suplimentar cu o astfel de rădăcină, de parcă nu este un multiplu al nostru. Regulile de mai sus se aplică tuturor puterilor pare și impare. 
Ce scriem in raspuns?
Dacă alternarea semnelor este încălcată, trebuie să fiți foarte atenți, deoarece în cazul inegalității nestricte, răspunsul ar trebui să includă toate punctele umplute. Dar unii dintre ei stau adesea singuri, adică nu intră în zona umbrită. În acest caz, le adăugăm la răspuns ca puncte izolate (în acolade):
Exemple (decideți singur):
Raspunsuri:
- Dacă printre factori este simplu - aceasta este rădăcina, deoarece poate fi reprezentată ca.
.
METODA INTERVALULUI. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Metoda intervalului este utilizată pentru a rezolva inegalitățile raționale. Constă în determinarea semnului produsului din semnele factorilor pe diferite intervale.
Algoritm de rezolvare a inegalităților raționale prin metoda intervalului.
- Transferam totul in stanga, in dreapta lasam doar zero;
- Găsim ODZ;
- Punem pe axa toate radacinile inegalitatii;
- Luăm unul arbitrar din unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate, depinde de numărul par sau impar de ori de repetare a acestora indiferent dacă semnul se schimbă la trecerea prin ele sau nu;
- Ca răspuns, scriem intervalele, observând punctele perforate și nu (vezi ODZ), punând tipurile necesare de paranteze între ele.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru livrare cu succes Examenul Unificat de Stat, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen, nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neapărat cu soluții analiză detaliată si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Metoda intervalului este considerată universală pentru rezolvarea inegalităților. Uneori, această metodă este numită și metoda gap. Poate fi folosit atât pentru rezolvarea inegalităților raționale cu o variabilă, cât și pentru inegalitățile de alte tipuri. În materialul nostru, am încercat să acordăm atenție tuturor aspectelor problemei.
Ce te așteaptă în această secțiune? Vom analiza metoda gap și vom lua în considerare algoritmi de rezolvare a inegalităților folosind ea. Să atingem aspecte teoretice pe care se bazează aplicarea metodei.
Acordăm o atenție deosebită nuanțelor subiectului, care de obicei nu sunt acoperite în curiculumul scolar. De exemplu, luați în considerare regulile de plasare a semnelor pe intervale și metoda intervalelor în vedere generala fără a-l lega de inegalităţile raţionale.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritm
Cine își amintește cum este introdusă metoda gap în cursul de algebră școlară? De obicei totul începe cu rezolvarea inegalităților de forma f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >sau ≥). Aici f(x) poate fi un polinom sau un raport de polinoame. Polinomul, la rândul său, poate fi reprezentat astfel:
- produsul binoamelor liniare cu coeficientul 1 pentru variabila x;
- muncă trinoame pătrate cu coeficientul conducător 1 şi cu discriminantul negativ al rădăcinilor lor.
Iată câteva exemple de astfel de inegalități:
(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,
(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,
(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,
(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .
Scriem un algoritm de rezolvare a inegalităților de acest fel, așa cum am dat în exemple, folosind metoda intervalului:
- găsim zerourile numărătorului și numitorului, pentru aceasta echivalăm numărătorul și numitorul expresiei din partea stângă a inegalității cu zero și rezolvăm ecuațiile rezultate;
- determinați punctele care corespund zerourilor găsite și marcați-le cu liniuțe pe axa de coordonate;
- definiți semnele de expresie f(x) din partea stângă a inegalității rezolvate pe fiecare interval și puneți-le pe grafic;
- aplicați hașura peste secțiunile dorite ale graficului, ghidat de următoarea regulă: în cazul în care inegalitatea are semne< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >sau ≥ , apoi selectăm cu umbrire zonele marcate cu semnul „+”.
Desenul cu care vom lucra poate avea o vedere schematică. Detaliile excesive pot supraîncărca desenul și pot face dificilă decizia. Vom fi puțin interesați de amploare. Va fi suficient să se lipească locația corectă puncte pe măsură ce valorile coordonatelor lor cresc.
Când lucrăm cu inegalități stricte, vom folosi notația unui punct sub forma unui cerc cu un centru neumplut (gol). În cazul inegalităților nestricte, punctele care corespund zerourilor numitorului vor fi afișate ca goale, iar restul ca negre obișnuite.
Punctele marcate împart linia de coordonate în mai multe intervale numerice. Acest lucru ne permite să obținem o reprezentare geometrică a mulțimii de numere, care este de fapt soluția inegalității date.
Baza științifică a metodei decalajului
Abordarea care stă la baza metodei decalajului se bazează pe următoarea proprietate functie continua: funcția rămâne constantă pe intervalul (a , b) pe care această funcție este continuă și nu dispare. Aceeași proprietate este tipică pentru razele numerice (− ∞ , a) și (a , +∞).
Proprietatea de mai sus a funcției este confirmată de teorema Bolzano-Cauchy, care este dată în multe manuale pentru pregătirea examenelor de admitere.
De asemenea, este posibil să se justifice constanța semnului pe intervale pe baza proprietăților inegalităților numerice. De exemplu, luăm inegalitatea x - 5 x + 1 > 0 . Dacă găsim zerourile numărătorului și numitorului și le punem pe linia numerică, obținem o serie de goluri: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) și (5 , + ∞) .
Să luăm oricare dintre intervale și să arătăm pe el că pe întregul interval expresia din partea stângă a inegalității va avea un semn constant. Fie acesta intervalul (− ∞ , − 1) . Să luăm orice număr t din acest interval. Va îndeplini condițiile t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Folosind atât inegalitățile obținute, cât și proprietatea inegalităților numerice, putem presupune că t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t pe intervalul (− ∞ , − 1) .
Folosind regula de împărțire a numerelor negative, putem afirma că valoarea expresiei t - 5 t + 1 va fi pozitivă. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei x - 5 x + 1 va fi pozitivă pentru orice valoare X din gol (− ∞ , − 1) . Toate acestea ne permit să afirmăm că pe intervalul luat ca exemplu, expresia are semn constant. În cazul nostru, acesta este semnul „+”.
Găsirea zerourilor numărătorului și numitorului
Algoritmul pentru găsirea zerourilor este simplu: echivalăm expresiile de la numărător și numitor la zero și rezolvăm ecuațiile rezultate. Dacă aveți dificultăți, vă puteți referi la subiectul „Rezolvarea ecuațiilor prin factorizare”. În această secțiune, ne limităm la un exemplu.
Se consideră fracția x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Pentru a găsi zerourile numărătorului și numitorului, le echivalăm cu zero pentru a obține și rezolva ecuațiile: x (x − 0, 6) = 0 și x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.
În primul caz, putem merge la mulțimea a două ecuații x = 0 și x − 0 , 6 = 0 , care ne dă două rădăcini 0 și 0 , 6 . Acestea sunt zerourile numărătorului.
A doua ecuație este echivalentă cu setul de trei ecuații x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Efectuăm o serie de transformări și obținem x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Rădăcina primei ecuații este 0, a doua ecuație nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ, rădăcina celei de-a treia ecuații este 5. Acestea sunt zerourile numitorului.
0 în acest caz este atât zero al numărătorului, cât și zero al numitorului.
În cazul general, când există o fracție în partea stângă a inegalității, care nu este neapărat rațională, numărătorul și numitorul sunt de asemenea egalați cu zero pentru a obține ecuații. Rezolvarea ecuațiilor vă permite să găsiți zerourile numărătorului și numitorului.
Determinarea semnului intervalului este simplă. Pentru a face acest lucru, puteți găsi valoarea expresiei din partea stângă a inegalității pentru orice punct ales arbitrar din intervalul dat. Semnul rezultat al valorii expresiei într-un punct al intervalului ales arbitrar va coincide cu semnul întregului interval.
Să ne uităm la această afirmație cu un exemplu.
Luați inegalitatea x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Expresia situată în partea stângă a inegalității nu are zerouri în numărător. Numitorul zero va fi numărul - 3 . Avem două lacune pe linia numerică (− ∞ , − 3) și (− 3 , + ∞) .
Pentru a determina semnele intervalelor, se calculează valoarea expresiei x 2 - x + 4 x + 3 pentru punctele luate arbitrar pe fiecare dintre intervale.
Din primul interval (− ∞ , − 3) ia - 4 . La x = -4 avem (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Avem sens negativ, deci întregul interval va fi cu semnul „-”.
Pentru span (− 3 , + ∞) să facem calcule cu un punct având coordonată zero. Pentru x = 0 avem 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . A primit valoare pozitivă, ceea ce înseamnă că întregul interval va avea semnul „+”.
Puteți folosi o altă modalitate de a defini semnele. Pentru a face acest lucru, putem găsi semnul pe unul dintre intervale și îl salvam sau îl putem schimba la trecerea prin zero. Pentru a face totul corect, este necesar să respectați regula: la trecerea prin zero al numitorului, dar nu al numărătorului, sau al numărătorului, dar nu al numitorului, putem schimba semnul la opus dacă gradul expresia care dă acest zero este impară și nu putem schimba semnul dacă gradul este par. Dacă obținem un punct care este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului, atunci este posibil să schimbăm semnul în opus doar dacă suma puterilor expresiilor care dau acest zero este impară.
Dacă ne amintim de inegalitatea pe care am considerat-o la începutul primului paragraf al acestui material, atunci în intervalul din dreapta putem pune semnul „+”.
Acum să ne întoarcem la exemple.
Luați inegalitatea (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 și rezolvați-o folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsim zerourile numărătorului și numitorului și să le marcam pe linia de coordonate. Zerourile numărătorului vor fi puncte 2 , 3 , 4 , numitorul punctului 1 , 3 , 4 . Le marcam pe axa de coordonate cu liniuțe.
Zerourile numitorului sunt marcate cu puncte goale.
Deoarece avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, înlocuim liniuțele rămase cu puncte obișnuite.
Acum să plasăm punctele pe intervale. Spațiul din dreapta (4, +∞) va fi semnul +.
Deplasându-ne de la dreapta la stânga, vom marca golurile rămase. Trecem prin punctul cu coordonata 4 . Este atât zero al numărătorului, cât și al numitorului. În concluzie, aceste zerouri dau expresiile (x − 4) 2Și x − 4. Adunăm puterile lor 2 + 1 = 3 și obținem un număr impar. Aceasta înseamnă că semnul în tranziție în acest caz se schimbă la opus. Pe intervalul (3, 4) va fi semnul minus.
Trecem la intervalul (2, 3) prin punctul cu coordonata 3. Acesta este, de asemenea, zero atât pentru numărător, cât și pentru numitor. L-am obținut datorită a două expresii (x − 3) 3 și (x − 3) 5, a cărui sumă de puteri este 3 + 5 = 8 . Obținerea unui număr par ne permite să lăsăm semnul intervalului neschimbat.
Punctul cu coordonata 2 este zero al numărătorului. Gradul de expresie x - 2 este egal cu 1 (impar). Aceasta înseamnă că la trecerea prin acest punct, semnul trebuie inversat.
Rămânem cu ultimul interval (− ∞ , 1) . Punctul cu coordonata 1 este numitorul zero. A fost derivat din expresia (x − 1) 4, cu grad egal 4 . Prin urmare, semnul rămâne același. Desenul final va arăta astfel:
Utilizarea metodei intervalului este deosebit de eficientă în cazurile în care calculul valorii unei expresii este asociat cu o cantitate mare de muncă. Un exemplu ar fi necesitatea de a evalua valoarea unei expresii
x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)
în orice punct al intervalului 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .
Acum să aplicăm în practică cunoștințele și abilitățile dobândite.
Exemplul 1
Rezolvați inegalitatea (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .
Soluţie
Este recomandabil să aplicați metoda intervalelor pentru a rezolva inegalitatea. Aflați zerourile numărătorului și numitorului. Zerourile numeratorului sunt 1 și - 5 , zerourile numitorului sunt 7 și 1 . Să le notăm pe linia numerică. Avem de-a face cu o inegalitate nestrictă, așa că vom marca zerourile numitorului cu puncte goale, zeroul numărătorului - 5 va fi marcat cu un punct umplut obișnuit.
Punem jos semnele golurilor folosind regulile de schimbare a semnului la trecerea prin zero. Să începem cu intervalul din dreapta, pentru care calculăm valoarea expresiei din partea stângă a inegalității într-un punct luat în mod arbitrar din interval. Primim semnul „+”. Să trecem secvențial prin toate punctele de pe linia de coordonate, plasând semne și obținem:
Lucrăm cu o inegalitate nestrictă având semnul ≤ . Aceasta înseamnă că trebuie să marchem golurile marcate cu semnul „-” cu umbrire.
Răspuns: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
Rezolvarea inegalităților raționale necesită în majoritatea cazurilor transformarea lor preliminară în genul potrivit. Abia atunci devine posibilă utilizarea metodei intervalului. Algoritmii pentru realizarea unor astfel de transformări sunt considerați în materialul „Rezolvarea inegalităților raționale”.
Luați în considerare un exemplu de conversie a trinoamelor pătrate în inegalități.
Exemplul 2
Găsiți o soluție la inegalitatea (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .
Soluţie
Să vedem dacă discriminanții trinoamelor pătrate din înregistrarea inegalității sunt cu adevărat negativi. Acest lucru ne va permite să determinăm dacă forma acestei inegalități ne permite să aplicăm metoda intervalului la soluție.
Calculați discriminantul pentru trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Acum să calculăm discriminantul pentru trinomul x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . După cum puteți vedea, inegalitatea necesită o transformare preliminară. Pentru a face acest lucru, reprezentăm trinomul x 2 + 2 x − 8 ca (x + 4) (x − 2), iar apoi aplicați metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .
Răspuns: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
Metoda decalajului generalizat este utilizată pentru a rezolva inegalitățile de forma f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , unde f (x) este o expresie arbitrară cu o variabilă X.
Toate acțiunile sunt efectuate conform unui anumit algoritm. În acest caz, algoritmul de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului generalizat va diferi oarecum de ceea ce am analizat mai devreme:
- găsiți domeniul funcției f și zerourile acestei funcție;
- marcați punctele de limită pe axa de coordonate;
- reprezentați zerourile funcției pe linia numerică;
- determinați semnele intervalelor;
- aplicăm hașurare;
- notează răspunsul.
Pe linia numerică, este, de asemenea, necesar să se marcheze puncte individuale ale domeniului de definiție. De exemplu, domeniul unei funcții este mulțimea (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Aceasta înseamnă că trebuie să marchem punctele cu coordonatele − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 Și 10 . puncte − 5 și 7 sunt afișate ca goale, restul pot fi evidențiate cu un creion colorat pentru a le distinge de zerourile funcției.
Zerourile funcției în cazul inegalităților nestricte sunt marcate cu puncte obișnuite (umbrite), iar pentru inegalitățile stricte, cu puncte goale. Dacă zerourile coincid cu punctele de limită sau cu punctele individuale ale domeniului de definiție, atunci ele pot fi recolorate în negru, făcându-le goale sau umplute, în funcție de tipul de inegalitate.
Înregistrarea răspunsului este set de numere care include:
- goluri hașurate;
- puncte separate ale domeniului cu semnul plus dacă avem de-a face cu o inegalitate al cărei semn este > sau ≥ sau cu semnul minus dacă există semne în inegalitate< или ≤ .
Acum a devenit clar că algoritmul pe care l-am prezentat chiar la începutul subiectului este un caz special al algoritmului de aplicare a metodei intervalului generalizat.
Luați în considerare un exemplu de aplicare a metodei intervalului generalizat.
Exemplul 3
Rezolvați inegalitatea x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .
Soluţie
Introducem o funcție f astfel încât f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Găsiți domeniul funcției f:
x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .
Acum să găsim zerourile funcției. Pentru a face acest lucru, vom rezolva ecuația irațională:
x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0
Obținem rădăcina x = 12 .
Pentru a desemna puncte de limită pe axa de coordonate, folosim culoare portocalie. Punctele - 6, 4 vor fi completate, iar 7 vor fi lăsate goale. Primim:
Marcam zeroul funcției cu un punct negru gol, deoarece lucrăm cu inegalități stricte.
Determinăm semnele pe intervale separate. Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 Și − 8 , și calculați valoarea funcției din ele f:
f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Așezăm semnele pe care tocmai le-am definit și aplicăm hașura peste goluri cu semnul minus:
Răspunsul va fi unirea a două intervale cu semnul „-”: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Ca răspuns, am inclus un punct cu coordonata - 6 . Acesta nu este zeroul funcției, pe care nu l-am include în răspuns atunci când rezolvăm o inegalitate strictă, ci punctul limită al domeniului de definiție, care este inclus în domeniul definiției. Valoarea funcției în acest moment este negativă, ceea ce înseamnă că satisface inegalitatea.
Nu am inclus punctul 4 în răspuns, la fel cum nu am inclus întreg intervalul [4, 7) . În acest moment, la fel ca pe întregul interval specificat, valoarea funcției este pozitivă, ceea ce nu satisface inegalitatea care se rezolvă.
Să-l scriem din nou pentru mai multe înţelegere clară: punctele colorate trebuie incluse în răspuns în următoarele cazuri:
- aceste puncte fac parte dintr-un gol hașurat,
- aceste puncte sunt puncte separate ale domeniului funcției, fiind rezolvate valorile funcției în care satisfac inegalitatea.
Răspuns: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
