Factorizarea polinoamelor. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Combinație de metode. Polinomiale. Factorizarea unui polinom: metode, exemple

Factorizarea polinoamelor este transformarea identităţii, în urma căreia polinomul se transformă în produsul mai multor factori - polinoame sau monoame.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a izola factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate” dintre paranteze.

Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.

Soluţie.

1. Aflați elementele 28x 3 și 35x 4 divizor comun. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare abreviate din expresie.

Să factorizăm polinomul x 6 – 1.

Soluţie.

1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Asa de,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării este de a combina componentele unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra lor (adunare, scădere, scădere a unui factor comun).

Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluţie.

1. Să grupăm componentele astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Asa de,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Să asigurăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2 .

Soluţie.

1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Asa de,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea fi redus și mai mult. Expansiunea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic de doi. Un polinom cu gradul I se numește liniar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Articolul va acoperi toate conceptele de descompunere, baza teoreticași metode de factorizare a unui polinom.

Teorie

Teorema 1

Când orice polinom cu gradul n, având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad a n și n factori liniari (x - x i), i = 1, 2, ..., n, apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , unde x i, i = 1, 2, …, n sunt rădăcinile polinomului.

Teorema este pentru rădăcini tip complex x i, i = 1, 2, …, n și pentru coeficienți complecși a k, k = 0, 1, 2, …, n. Aceasta este baza oricărei descompunere.

Când coeficienții de forma a k, k = 0, 1, 2, …, n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, din care obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

cometariu

Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Să luăm în considerare demonstrarea teoremei algebrei, o consecință a teoremei lui Bezout.

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema 2

Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.

teorema lui Bezout

După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s), atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s, apoi obținem

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu gradul n - 1.

Corolar al teoremei lui Bezout

Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s, atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.

Factorizarea unui trinom pătratic

Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).

Aceasta arată că expansiunea în sine se reduce la rezolvarea ulterior a ecuației pătratice.

Exemplul 1

Efectuați descompunerea trinom pătratic prin multiplicatori.

Soluţie

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului folosind formula, apoi obținem D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De aici avem asta

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Din aceasta obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că descompunerea a fost efectuată corect.

Exemplul 2

Factorizați trinomul pătratic de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

Soluţie

Constatăm că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Din aceasta obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Exemplul 3

Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.

Soluţie

Acum trebuie să rezolvăm ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să îi găsim rădăcinile. Înțelegem asta

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că expansiunea în sine poate fi descrisă ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemplul 4

Descompuneți trinomul pătratic x 2 + 1 3 x + 1 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

După ce au obținut rădăcinile, scriem

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

cometariu

Dacă valoarea discriminantă este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom extinde în factori liniari.

Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare de doi

La descompunere, se presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să reduceți gradul acesteia prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1). Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2, iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.

Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect implică rezolvarea ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.

Scoaterea factorului comun din paranteze

Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 = 0, atunci polinomul poate fi reprezentat ca expresia P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.

Exemplul 5

Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Soluţie

Vedem că x 1 = 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem elimina x din parantezele întregii expresii. Primim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Apoi rezultă că

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, unde coeficientul de cel mai înalt grad este 1.

Când un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.

Exemplul 6

Descompuneți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Soluţie

Să ne gândim dacă există rădăcini complete. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica folosind schema lui Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:

Rezultă că x = 2 și x = - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca produs de forma:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Se trece la extinderea unui trinom pătratic de forma x 2 + 2 x + 3.

Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.

Răspuns: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

cometariu

Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare este egal cu unu.

Acest caz apare pentru fracțiile raționale.

Exemplul 7

Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Soluţie

Este necesar să înlocuiți variabila y = 2 x, ar trebui să treceți la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la cel mai înalt grad. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Când funcția rezultată de forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci locația lor este printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Să trecem la calcularea funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Constatăm că y = - 5 este rădăcina unei ecuații de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x = y 2 = - 5 2 este rădăcina funcției inițiale.

Exemplul 8

Este necesar să împărțiți cu o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.

Soluţie

Să o scriem și să obținem:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabilă factorizarea trinomului pătratic rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero găsim discriminantul.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Rezultă că

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Tehnici artificiale pentru factorizarea unui polinom

Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi extinse sau reprezentate ca un produs.

Metoda de grupare

Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.

Exemplul 9

Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Soluţie

Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luați valorile 1, - 1, 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Acest lucru arată că nu există rădăcini; este necesar să se folosească o altă metodă de expansiune și soluție.

Este necesar să grupați:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

După gruparea polinomului inițial, trebuie să îl reprezentați ca produsul a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru trebuie să factorizăm. înţelegem asta

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

cometariu

Simplitatea grupării nu înseamnă că alegerea termenilor este destul de ușoară. Nu există o metodă specifică de rezolvare, deci este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.

Exemplul 10

Factorizați polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Soluţie

Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

După factorizare obținem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Folosind formule de înmulțire abreviate și binomul lui Newton pentru a factoriza un polinom

Aspectul adesea nu indică întotdeauna clar ce metodă trebuie utilizată în timpul descompunerii. După ce transformările au fost făcute, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.

Exemplul 11

Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Este necesar să convertiți expresia în formă

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Secvența de coeficienți ai sumei din paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .

Aceasta înseamnă că avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

După aplicarea diferenței de pătrate, obținem

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cavaleri acolo, așa că ar trebui să aplicăm din nou formula diferenței de pătrate. Obținem o expresie a formei

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exemplul 12

Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Soluţie

Să începem să transformăm expresia. Înțelegem asta

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom

La înlocuirea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.

Exemplul 13

Factorizați polinomul de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

Soluţie

Conform condiției, este clar că este necesar să se facă înlocuirea y = x 3. Primim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Adică am obținut descompunerea dorită.

Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în moduri diferite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs poate părea uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul descrie în detaliu cum se factorizează un trinom pătratic.

Mulți oameni nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea un exercițiu inutil. Dar în matematică nimic nu se face degeaba. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și ușurința de calcul.

Un polinom de forma – ax²+bx+c, numit trinom pătratic. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori o spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom se numește pătrat datorită gradului său cel mai mare, pătratul. Și un trinom - din cauza celor 3 componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• cvadrinom cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătratic

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Trebuie să-i cunoașteți formula pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile sunt de asemenea calculate folosind formula.

Dacă, la calcularea discriminantului, rezultatul este zero, puteți utiliza oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu scurtată: -b / 2a.

Formule pentru sensuri diferite discriminatorii diferă.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Pe Internet există calculator online. Poate fi folosit pentru a efectua factorizarea. Unele resurse oferă posibilitatea de a vizualiza soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să îl înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătratic

Exemple

Vă invităm să vizionați exemple simple, cum se factorizează o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Acest lucru arată clar că rezultatul este doi x deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile se dovedesc a fi negative, semnul din formulă se schimbă în opus.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătratic: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există un număr înaintea unui termen într-o putere. Asta înseamnă că există unul acolo, coboară.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Inlocuim valoarea rezultata:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, să calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce primiți rezultatul, ar trebui să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Solutie alternativa

Unii oameni nu au putut niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătratic. Pentru comoditate, metoda este prezentată cu un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să obținem 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x²+bx+c, la începutul fiecărei paranteze punem x: (x_)(x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică în acest caz -10. Singura modalitate de a afla ce numere sunt acestea este prin selecție. Numerele înlocuite trebuie să corespundă termenului rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Aceasta înseamnă că transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Extinderea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, mai întâi trebuie să vedeți dacă ceva poate fi factorizat.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este deja binecunoscutul trinom. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este în pătrat este negativ? ÎN în acest caz, Numărul -1 este scos din paranteze. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze care trebuie completate (_)(_). În a 2-a paranteză este scris x, iar în prima ce a mai rămas. Arată astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 este dat de numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea acestor numere. Ultima opțiune este potrivită. Aceasta înseamnă că transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibilă convertirea unei expresii. Cu a doua metodă, nu este necesară rezolvarea ecuației. Dar posibilitatea de a transforma termeni într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați pentru a decide ecuații pătratice astfel încât să nu apară dificultăți la utilizarea formulelor.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să le exersați pe ambele până când devin automate. De asemenea, să învețe cum să rezolvi bine ecuațiile pătratice și să factorii polinoame este necesară pentru cei care intenționează să-și conecteze viața cu matematica. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

Conceptele de „polinom” și „factorizare a unui polinom” în algebră sunt întâlnite foarte des, deoarece trebuie să le cunoașteți pentru a efectua cu ușurință calcule cu mari dimensiuni. numere din mai multe cifre. Acest articol va descrie mai multe metode de descompunere. Toate sunt destul de ușor de utilizat; trebuie doar să-l alegi pe cel potrivit pentru fiecare caz specific.

Conceptul de polinom

Un polinom este o sumă de monomii, adică expresii care conțin numai operația de înmulțire.

De exemplu, 2 * x * y este un monom, dar 2 * x * y + 25 este un polinom care constă din 2 monomii: 2 * x * y și 25. Astfel de polinoame se numesc binoame.

Uneori, pentru comoditatea rezolvării exemplelor cu valori multivalorice, o expresie trebuie transformată, de exemplu, descompusă într-un anumit număr de factori, adică numere sau expresii între care se realizează acțiunea de multiplicare. Există mai multe moduri de factorizare a unui polinom. Merită să le luați în considerare, începând cu cea mai primitivă, care este folosită în școala primară.

Grupare (înregistrare în formă generală)

Formula pentru factorizarea unui polinom folosind metoda grupării vedere generala arata asa:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Este necesar să grupăm monomiile astfel încât fiecare grup să aibă un factor comun. În prima paranteză acesta este factorul c, iar în a doua - d. Acest lucru trebuie făcut pentru a-l muta apoi din suport, simplificând astfel calculele.

Algoritm de descompunere folosind un exemplu specific

Cel mai simplu exemplu de factorizare a unui polinom folosind metoda grupării este dat mai jos:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

În prima paranteză trebuie să luați termenii cu factorul a, care va fi comun, iar în a doua - cu factorul b. Acordați atenție semnelor + și - din expresia finală. Punem în fața monomului semnul care se afla în expresia inițială. Adică, trebuie să lucrați nu cu expresia 25a, ci cu expresia -25. Semnul minus pare a fi „lipit” de expresia din spatele lui și întotdeauna luat în considerare la calcul.

În pasul următor, trebuie să scoateți multiplicatorul, care este obișnuit, din paranteze. Exact pentru asta este gruparea. A pune în afara parantezei înseamnă a scrie înaintea parantezei (omițând semnul înmulțirii) toți acei factori care se repetă exact în toți termenii care sunt în paranteză. Dacă nu sunt 2, ci 3 sau mai mulți termeni într-o paranteză, factorul comun trebuie să fie conținut în fiecare dintre ei, altfel nu poate fi scos din paranteză.

În cazul nostru, sunt doar 2 termeni între paranteze. Multiplicatorul general este imediat vizibil. În prima paranteză este a, în a doua este b. Aici trebuie să acordați atenție coeficienților digitali. În prima paranteză, ambii coeficienți (10 și 25) sunt multipli ai lui 5. Aceasta înseamnă că nu numai a, ci și 5a pot fi scoși din paranteză. Înainte de paranteză, scrieți 5a și apoi împărțiți fiecare dintre termenii dintre paranteze la factorul comun care a fost scos și, de asemenea, scrieți câtul între paranteze, fără a uita de semnele + și - Faceți același lucru cu a doua paranteză, luați din 7b, precum și 14 și 35 multiplu de 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Avem 2 termeni: 5a(2c - 5) și 7b(2c - 5). Fiecare dintre ele conține un factor comun (toată expresia dintre paranteze este aceeași aici, ceea ce înseamnă că este un factor comun): 2c - 5. De asemenea, trebuie scos din paranteză, adică termenii 5a și 7b rămân în a doua paranteză:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Deci expresia completă este:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Astfel, polinomul 10ac + 14bc - 25a - 35b se descompune în 2 factori: (2c - 5) și (5a + 7b). Semnul înmulțirii dintre ele poate fi omis la scriere

Uneori există expresii de acest tip: 5a 2 + 50a 3, aici puteți scoate din paranteze nu numai a sau 5a, ci chiar 5a 2. Ar trebui să încercați întotdeauna să scoateți cel mai mare factor comun din paranteză. În cazul nostru, dacă împărțim fiecare termen la un factor comun, obținem:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(la calcularea coeficientului mai multor puteri cu baze egale se pastreaza baza si se scade exponentul). Astfel, unitatea rămâne în paranteză (în niciun caz nu uitați să scrieți unul dacă scoateți unul dintre termeni din paranteză) și câtul de împărțire: 10a. Se pare că:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formule pătrate

Pentru ușurința calculului, au fost derivate mai multe formule. Acestea se numesc formule de înmulțire abreviate și sunt folosite destul de des. Aceste formule ajută la factorizarea polinoamelor care conțin puteri. Acesta este altul mod eficient factorizarea. Deci iată-le:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - o formulă numită „pătratul sumei”, deoarece, ca urmare a descompunerii într-un pătrat, se ia suma numerelor cuprinse între paranteze, adică valoarea acestei sume este înmulțită cu ea însăși de 2 ori și, prin urmare, este o multiplicator.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula pentru pătratul diferenței, este similară cu cea anterioară. Rezultă diferența, cuprinsă între paranteze, conținută în puterea pătrată.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- aceasta este o formulă pentru diferența de pătrate, deoarece inițial polinomul este format din 2 pătrate de numere sau expresii, între care se efectuează scăderea. Poate că, dintre cele trei menționate, este folosit cel mai des.

Exemple de calcule folosind formule pătrate

Calculele pentru ei sunt destul de simple. De exemplu:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - folosiți formula „pătratul sumei”.
2. 25x 2 este pătratul lui 5x. 20xy este produsul dublu al lui 2*(5x*2y), iar 4y 2 este pătratul lui 2y.
3. Astfel, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Acest polinom este descompus în 2 factori (factorii sunt aceiași, deci se scrie ca o expresie cu o putere pătrată).

Acțiunile care utilizează formula diferenței pătrate sunt efectuate în mod similar cu acestea. Formula rămasă este diferența de pătrate. Exemple ale acestei formule sunt foarte ușor de definit și de găsit printre alte expresii. De exemplu:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Deoarece 25a 2 = (5a) 2 și 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Deoarece 36x 2 = (6x) 2 și 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Deoarece 169b 2 = (13b) 2

Este important ca fiecare dintre termeni să fie un pătrat al unei expresii. Apoi acest polinom trebuie factorizat folosind formula diferenței de pătrate. Pentru aceasta, nu este necesar ca gradul doi să fie deasupra numărului. Există polinoame care conțin grade mari, dar încă se potrivesc acestor formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

În acest exemplu, un 8 poate fi reprezentat ca (a 4) 2, adică pătratul unei anumite expresii. 25 este 5 2, iar 10a este 4 - acesta este produsul dublu al termenilor 2 * a 4 * 5. Adică această expresie, în ciuda prezenței unor grade cu exponenți mari, poate fi descompusă în 2 factori pentru a putea lucra ulterior cu aceștia.

Formule cub

Aceleași formule există pentru factorizarea polinoamelor care conțin cuburi. Sunt puțin mai complicate decât cele cu pătrate:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- această formulă se numește suma cuburilor, deoarece în forma sa inițială polinomul este suma a două expresii sau numere închise într-un cub.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - o formulă identică cu cea anterioară este desemnată ca diferență de cuburi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cubul unei sume, ca rezultat al calculelor, suma numerelor sau expresiilor este cuprinsă între paranteze și înmulțită cu ea însăși de 3 ori, adică situată într-un cub
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, întocmită prin analogie cu cea anterioară, schimbând doar unele semne ale operațiilor matematice (plus și minus), se numește „cubul diferențelor”.

Ultimele două formule practic nu sunt folosite în scopul factorizării unui polinom, deoarece sunt complexe și este destul de rar să găsiți polinoame care corespund pe deplin exact acestei structuri, astfel încât să poată fi factorizate folosind aceste formule. Dar trebuie totuși să le cunoașteți, deoarece vor fi necesare atunci când se operează în direcția opusă - la deschiderea parantezelor.

Exemple de formule cub

Să ne uităm la un exemplu: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Aici sunt luate numere destul de simple, așa că puteți vedea imediat că 64a 3 este (4a) 3, iar 8b 3 este (2b) 3. Astfel, acest polinom este extins conform formulei diferenței cuburilor în 2 factori. Acțiunile care utilizează formula pentru suma cuburilor sunt efectuate prin analogie.

Este important de înțeles că nu toate polinoamele pot fi extinse în cel puțin un fel. Există însă expresii care conțin puteri mai mari decât un pătrat sau un cub, dar pot fi extinse și în forme de înmulțire abreviate. De exemplu: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Acest exemplu conține până la gradul al 12-lea. Dar chiar și poate fi factorizat folosind formula sumei cuburilor. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă imaginați x 12 ca (x 4) 3, adică ca un cub al unei expresii. Acum, în loc de a, trebuie să îl înlocuiți în formulă. Ei bine, expresia 125y 3 este un cub de 5y. Apoi, trebuie să compuneți produsul folosind formula și să efectuați calcule.

La început, sau în caz de îndoială, puteți verifica oricând prin înmulțire inversă. Trebuie doar să deschideți parantezele în expresia rezultată și să efectuați acțiuni cu termeni similari. Această metodă se aplică tuturor metodelor de reducere enumerate: atât pentru lucrul cu un factor comun și grupare, cât și pentru lucrul cu formule de cuburi și puteri pătratice.

Factorizarea unei ecuații este procesul de găsire a acelor termeni sau expresii care, atunci când sunt înmulțite, conduc la ecuația inițială. Factorizarea este o abilitate utilă pentru rezolvarea problemelor de algebră de bază și devine aproape esențială atunci când lucrați cu ecuații pătratice și alte polinoame. Factorizarea este utilizată pentru a simplifica ecuațiile algebrice pentru a le face mai ușor de rezolvat. Factorizarea vă poate ajuta să eliminați anumite răspunsuri posibile mai repede decât ați face-o prin rezolvarea manuală a unei ecuații.

Pași

Factorizarea numerelor și a expresiilor algebrice de bază

1. Factorizarea numerelor. Conceptul de factorizare este simplu, dar în practică factorizarea poate fi nu este o sarcină ușoară(dacă este dată o ecuație complexă). Deci, mai întâi, să ne uităm la conceptul de factorizare folosind numere ca exemplu, să continuăm cu ecuații simple și apoi să trecem la ecuații complexe. Multiplicatori număr dat- Acestea sunt numere care, înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 12 sunt numerele: 1, 12, 2, 6, 3, 4, deoarece 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De asemenea, vă puteți gândi la factorii unui număr ca fiind divizorii săi, adică numerele cu care numărul este divizibil.
   • Găsiți toți factorii numărului 60. Folosim adesea numărul 60 (de exemplu, 60 de minute într-o oră, 60 de secunde într-un minut etc.) și acest număr are destul de un numar mare de multiplicatori.
     • 60 de multiplicatori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

2. Tine minte: termenii unei expresii care conțin un coeficient (număr) și o variabilă pot fi de asemenea factorizați. Pentru a face acest lucru, găsiți factorii coeficienți pentru variabilă. Știind cum să factorizați termenii ecuațiilor, puteți simplifica cu ușurință această ecuație.

   • De exemplu, termenul 12x poate fi scris ca produsul dintre 12 și x. De asemenea, puteți scrie 12x ca 3(4x), 2(6x), etc., împărțind 12 în factorii care funcționează cel mai bine pentru dvs.
     • Puteți trata de 12 ori de mai multe ori la rând. Cu alte cuvinte, nu ar trebui să vă opriți la 3(4x) sau 2(6x); continuați expansiunea: 3(2(2x)) sau 2(3(2x)) (evident 3(4x)=3(2(2x)), etc.)

3. Aplicați proprietatea distributivă a înmulțirii la factorizarea ecuațiilor algebrice.Știind cum să factorizați numerele și termenii expresiilor (coeficienți cu variabile), puteți simplifica ecuații algebrice, găsirea factorului comun al numărului și termenului expresiei. De obicei, pentru a simplifica o ecuație, trebuie să găsiți cel mai mare factor comun (GCD). Această simplificare este posibilă datorită proprietate distributivăînmulțire: pentru orice numere a, b, c, egalitatea a(b+c) = ab+ac este adevărată.

   • Exemplu. Factorizați ecuația 12x + 6. Mai întâi, găsiți mcd-ul lui 12x și 6. 6 este cel mai mare număr, care împarte atât 12x, cât și 6, astfel încât să puteți factoriza această ecuație în: 6(2x+1).
   • Acest proces este valabil și pentru ecuațiile care au termeni negativi și fracționari. De exemplu, x/2+4 poate fi factorizat în 1/2(x+8); de exemplu, -7x+(-21) poate fi factorizat în -7(x+3).

   Factorizarea ecuațiilor cuadratice

   1. Asigurați-vă că ecuația este dată în formă pătratică (ax 2 + bx + c = 0). Ecuațiile pătratice au forma: ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt coeficienți numerici alții decât 0. Dacă vi se oferă o ecuație cu o variabilă (x) și în această ecuație există unul sau mai mulți termeni cu o variabilă de ordinul doi, puteți muta toți termenii ecuației într-o parte a ecuației și o puteți seta egală cu zero.

      • De exemplu, având în vedere ecuația: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Aceasta poate fi convertită în ecuația x 2 + 6x + 9 = 0, care este o ecuație pătratică.
      • Ecuații cu variabila x de ordine mare, de exemplu, x 3, x 4 etc. nu sunt ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații cubice, ecuații de ordinul al patrulea și așa mai departe (cu excepția cazului în care astfel de ecuații pot fi simplificate în ecuații pătratice cu variabila x ridicată la puterea lui 2).

   2. Ecuațiile cuadratice, unde a = 1, sunt extinse în (x+d)(x+e), unde d*e=c și d+e=b. Dacă ecuația pătratică care ți-a fost dată are forma: x 2 + bx + c = 0 (adică coeficientul lui x 2 este 1), atunci o astfel de ecuație poate (dar nu este garantată) să fie extinsă în factorii de mai sus. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite, dau „c”, iar când sunt adăugate, „b”. Odată ce găsiți aceste două numere (d și e), înlocuiți-le în următoarea expresie: (x+d)(x+e), care, la deschiderea parantezelor, duce la ecuația inițială.

      • De exemplu, având în vedere o ecuație pătratică x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 și 3+2=5, deci puteți factoriza această ecuație în (x+3)(x+2).
      • Pentru termeni negativi, faceți următoarele modificări minore în procesul de factorizare:
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx+c, atunci se extinde în: (x-_)(x-_).
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx-c, atunci se extinde în: (x+_)(x-_).
      • Notă: spațiile pot fi înlocuite cu fracții sau zecimale. De exemplu, ecuația x 2 + (21/2)x + 5 = 0 este extinsă în (x+10)(x+1/2).

   3. Factorizarea prin încercare și eroare. Ecuațiile pătratice simple pot fi factorizate prin simpla înlocuire a numerelor în solutii posibile pana gasesti decizia corectă. Dacă ecuația are forma ax 2 +bx+c, unde a>1, soluțiile posibile se scriu sub forma (dx +/- _)(ex +/- _), unde d și e sunt coeficienți numerici nenuli , care la înmulțire dau a. Fie d sau e (sau ambii coeficienți) pot fi egali cu 1. Dacă ambii coeficienți sunt egali cu 1, atunci utilizați metoda descrisă mai sus.

      • De exemplu, având în vedere ecuația 3x 2 - 8x + 4. Aici 3 are doar doi factori (3 și 1), deci soluțiile posibile sunt scrise ca (3x +/- _)(x +/- _). În acest caz, înlocuind spațiile cu -2, veți găsi răspunsul corect: -2*3x=-6x și -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x și -2*-2=4, adică o astfel de extindere la deschiderea parantezelor va duce la termenii ecuației inițiale.