Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie geometrică |
||
Definiție |
Progresie aritmetică un n se numește o secvență, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior, adăugat cu același număr. d (d- diferenta de progresie) |
progresie geometrică b n se numește o succesiune de numere diferite de zero, fiecare termen al cărora, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr. q (q- numitorul progresiei) |
Formula recurentă |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
al n-lea termen formulă |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Exercitiul 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d
După condiție:
a 1= -6, deci un 22= -6 + 21d.
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima cale (folosind formula n termeni)
Conform formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua cale (folosind formula recursiva)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Găsiți al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Prin urmare:
.
Înlocuiți datele din formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
Care in acest caz mai comod de folosit?
Prin condiție, formula celui de-al n-lea membru al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Poate fi găsit imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d . Prin urmare, folosim prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d. Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Răspuns : un 22 = -48.
Sarcina 6
Se înregistrează mai mulți termeni consecutivi ai unei progresii geometrice:
Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x .
Când rezolvăm, folosim formula pentru al n-lea termen b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 Pentru progresii geometrice. Primul membru al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre acești termeni ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, puteți lua și împărți prin. Obținem că q \u003d 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Răspuns : .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, alegeți-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția specificată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n , pentru care inegalitatea un n > -6.
Sau aritmetică - acesta este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce este această progresie?
Înainte de a trece la examinarea întrebării (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți ceea ce va fi discutat.
Orice succesiune de numere reale care se obține prin adăugarea (scăderea) unei valori din fiecare număr anterior se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, tradusă în limbajul matematicii, ia forma:
Aici i este numărul ordinal al elementului din seria a i . Astfel, cunoscând un singur număr inițial, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că următoarea egalitate este valabilă pentru seria de numere luate în considerare:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită luat în considerare un caz special simplu. Dana progresie numere naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Merită să luați în considerare unul lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da acelasi rezultat. Într-adevăr:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente din serie. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor într-un rând, este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n și, de asemenea, numărul total termeni n.
Se crede că Gauss s-a gândit pentru prima dată la această egalitate când a căutat o soluție pentru o ecuație dată. profesor de școală sarcină: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (a primelor elemente), dar adesea în sarcini este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să o facă?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la al mi-lea la al-lea. Pentru a rezolva problema, un segment dat de la m la n al progresiei ar trebui reprezentat ca o nouă serie de numere. În așa reprezentare m-th termenul a m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este dat succesiune numerică, ar trebui să găsiți suma membrilor săi, începând cu data de 5 și terminând cu data de 12:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile celui de-al 5-lea și al 12-lea membru al progresiei. Se dovedește:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Cunoașterea valorilor numerelor de la sfârșitul celor luate în considerare progresie algebrică, și, de asemenea, știind ce numere din rând le ocupă, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Obține:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Este de remarcat faptul că această valoare poate fi obținută diferit: mai întâi, găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă și apoi scădeți pe al doilea din prima sumă. .
Suma unei progresii aritmetice.
Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.
Mai întâi, să ne ocupăm de sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca și joasă. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.
Formula sumei este simplă:
Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru se va clarifica foarte mult.
S n este suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toate membri, cu primul De ultimul. Este important. Adunați exact Toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și, exact, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci până la al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)
a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.
un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.
n este numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.
Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare de completare: ce fel de membru va ultimul, dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetica?
Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și... citiți cu atenție tema!)
În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finită, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează ce fel de progresie este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: printr-o serie de numere sau prin formula celui de-al n-lea membru.
Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primii membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)
Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.
În primul rând, informatii utile:
Principala dificultate a sarcinilor pentru suma unei progresii aritmetice este definiție corectă elemente de formulă.
Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu vă fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient doar să le descifrem. Să aruncăm o privire la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.
1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni.
Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea conform formulei, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numarul ultimului termen n.
De unde să obțineți ultimul număr de membru n? Da, acolo, în stare! Spune găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, dar în schimb n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul membrilor.
Rămâne de stabilit a 1Și un 10. Acest lucru este ușor de calculat prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără aceasta - nimic.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuim și să numărăm:
Cam despre asta e. Raspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:
2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 \u003d 2.3. Aflați suma primilor 15 termeni.
Scriem imediat formula sumei:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n doar înlocuiți formula celui de-al n-lea termen, obținem:
Dăm altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, nu este nevoie al-lea membru un n. În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Și îl puteți retrage pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen trebuie amintite în orice fel.)
Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):
3. Aflați suma tuturor celor pozitive numere din două cifre, multipli de trei.
Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nicio progresie... Cum să trăiești!?
Va trebui să gândești cu capul și să scoți din condiție toate elementele sumei unei progresii aritmetice. Ce sunt numerele din două cifre - știm. Ele constau din două numere.) Ce număr de două cifre va primul? 10, probabil.) ultimul lucru număr de două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...
Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile egal cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți deja să scrieți o serie în funcție de starea problemei:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent strict cu trei. Dacă la termen se adaugă 2 sau 4, să zicem rezultatul, adică. un număr nou nu va mai fi împărțit la 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice către grămada: d = 3. Util!)
Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:
Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele - merg mereu la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.
Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de termeni cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă formula se aplică problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea membru al progresiei. Acestea. n = 30.
Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos tot ce era necesar pentru calcularea sumei din starea problemei:
a 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Ceea ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuiți numerele din formulă și calculați:
Răspuns: 1665
Un alt tip de puzzle-uri populare:
4. Se dă o progresie aritmetică:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Găsiți suma termenilor de la al douăzecilea la al treizeci și patrulea.
Ne uităm la formula sumei și... suntem supărați.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.
Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să puneți membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva se dovedește prostesc și pentru mult timp, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - douăzeci până la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adăugăm la suma membrilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Aceasta arată că pentru a găsi suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Începem?
Extragem parametrii de progresie din condiția sarcinii:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le numărăm după formula celui de-al n-lea termen, ca în problema 2:
un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nu a mai ramas nimic. Scădeți suma a 19 termeni din suma a 34 de termeni:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Răspuns: 262,5
O notă importantă! Există o caracteristică foarte utilă în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. O astfel de „făcătură cu urechile” salvează adesea în puzzle-uri rele.)
În această lecție, am examinat probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)
Când rezolvați orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.
Formula celui de-al n-lea termen:
Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.
Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.
5. Aflați suma tuturor numerelor de două cifre care nu sunt divizibile cu trei.
Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.
Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora linkul, astfel de puzzle-uri se găsesc adesea în GIA.
7. Vasya a făcut economii pentru Sărbători. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer celei mai iubite persoane (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi și cheltuiește cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în ziua anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?
Este dificil?) O formulă suplimentară din sarcina 2 va ajuta.
Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
