Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. ÎN acest caz Graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a funcției la un anumit moment în timp. Tine minte reguli generale pentru care sunt luate derivate și abia apoi treceți la pasul următor.
- Citește articolul.
- Cum să luăm cele mai simple derivate, de exemplu, derivatul ecuație exponențială, descris . Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise acolo.
Învață să faci distincția între problemele în care panta trebuie calculată în termeni de derivată a unei funcții.În sarcini, nu este întotdeauna sugerat să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x, y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x, y). În ambele cazuri, este necesar să se ia derivata funcției.
Luați derivata funcției date. Nu trebuie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției . Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:
- Derivat:
Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata functiei este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f „(x) este panta funcției în orice punct (x, f (x)). În exemplul nostru:
- Aflați panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2).
- Derivata functiei:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Înlocuiți valoarea coordonatei x a punctului dat:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Găsiți panta:
- Panta funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) la punctul A(4,2) este 22.
Dacă este posibil, verificați răspunsul pe un grafic. Rețineți că factorul de pantă nu poate fi calculat în fiecare punct. Calculul diferenţial consideră funcții complexeși grafice complexe, în care panta nu poate fi calculată în fiecare punct și, în unele cazuri, punctele nu se află deloc pe grafice. Dacă este posibil, utilizați un calculator grafic pentru a verifica dacă panta funcției care vi se oferă este corectă. În caz contrar, trageți o tangentă la grafic în punctul dat și luați în considerare dacă valoarea pantei găsite corespunde cu ceea ce vedeți pe grafic.
- Tangenta va avea aceeași pantă ca și graficul funcției la un anumit punct. Pentru a desena o tangentă într-un anumit punct, deplasați-vă la dreapta/stânga pe axa x (în exemplul nostru, 22 de valori la dreapta) și apoi în sus una pe axa Y. Marcați punctul și apoi conectați-l la punctul pe care l-ai dat. În exemplul nostru, conectați punctele cu coordonatele (4,2) și (26,3).
În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima analitic proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel, obținem ecuația dreptei. În acest capitol vor fi luate în considerare ecuațiile dreptelor.
Pentru a formula ecuația unei linii drepte în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.
În primul rând, introducem conceptul de pantă a unei drepte, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei drepte pe un plan.
Să numim unghiul de înclinare al liniei față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să se dovedească a fi paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox cu un unghi de 180 ° o va combina din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă poate fi ales ambiguu (până la un multiplu de ).
Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului în nu schimbă tangenta acestuia).
Tangenta unghiului de înclinare a unei drepte la axa x se numește factor de pantă Drept.
Panta caracterizează direcția dreptei (aici nu facem distincție între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă panta dreptei este zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu o pantă pozitivă, unghiul de înclinare al dreptei față de axa x va fi acut (considerăm aici cel mai mic valoare pozitivă unghi de înclinare) (Fig. 39); în acest caz, cu cât panta este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acesteia față de axa Ox. Dacă panta este negativă, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa x va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa x nu are o pantă (tangenta unui unghi nu există).
Continuarea subiectului ecuației unei drepte pe un plan se bazează pe studiul unei drepte din lecțiile de algebră. Acest articol oferă informații generalizate pe tema ecuației unei linii drepte cu o pantă. Luați în considerare definițiile, obțineți ecuația în sine, dezvăluie legătura cu alte tipuri de ecuații. Totul va fi discutat pe exemple de rezolvare a problemelor.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Înainte de a scrie o astfel de ecuație, este necesar să definiți unghiul de înclinare al unei drepte față de axa O x cu panta lor. Să presupunem că un sistem de coordonate carteziene O x este dat pe plan.
Definiția 1
Unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x, situat în sistemul de coordonate carteziene O x y pe plan, acesta este unghiul care se măsoară de la direcția pozitivă O x la dreapta în sens invers acelor de ceasornic.
Când o linie este paralelă cu Ox sau apare o coincidență în ea, unghiul de înclinare este 0. Apoi unghiul de înclinare al dreptei date α este definit pe intervalul [ 0 , π) .
Definiția 2
Panta unei drepte este tangenta pantei dreptei date.
Notația standard este k. Din definiție obținem că k = t g α . Când linia este paralelă cu Ox, se spune că panta nu există, deoarece merge la infinit.
Panta este pozitivă atunci când graficul funcției este în creștere și invers. Figura prezintă diferite variații ale locației unghi drept raportat la sistemul de coordonate cu valoarea coeficientului.
Pentru a găsi acest unghi, este necesar să se aplice definiția coeficientului de pantă și să se calculeze tangentei unghiului de înclinare în plan.
Soluţie
Din condiția avem că α = 120 °. Prin definiție, trebuie să calculați panta. Să o găsim din formula k = t g α = 120 = - 3 .
Răspuns: k = - 3 .
Dacă se cunoaște coeficientul unghiular, dar este necesar să se găsească unghiul de înclinare față de axa x, atunci trebuie luată în considerare valoarea coeficientului unghiular. Dacă k > 0, atunci unghiul drept este ascuțit și se găsește prin formula α = a r c t g k . Dacă k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Exemplul 2
Determinați unghiul de înclinare al dreptei date față de O x cu o pantă egală cu 3.
Soluţie
Din condiția avem că panta este pozitivă, ceea ce înseamnă că unghiul de înclinare față de O x este mai mic de 90 de grade. Calculele se fac după formula α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Răspuns: α = a r c t g 3 .
Exemplul 3
Aflați unghiul de înclinare al dreptei față de axa O x, dacă panta = - 1 3 .
Soluţie
Dacă luăm litera k ca desemnare a pantei, atunci α este unghiul de înclinare față de linia dreaptă dată în direcția pozitivă O x. Prin urmare k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .
Răspuns: 5 pi 6 .
O ecuație de forma y \u003d k x + b, unde k este o pantă și b este un număr real, se numește ecuația unei drepte cu pantă. Ecuația este tipică pentru orice linie dreaptă care nu este paralelă cu axa O y.
Dacă luăm în considerare în detaliu o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate fix, care este dată de o ecuație cu o pantă care arată ca y \u003d k x + b. În acest caz, înseamnă că coordonatele oricărui punct de pe linie corespund ecuației. Dacă înlocuim coordonatele punctului M, M 1 (x 1, y 1), în ecuația y \u003d k x + b, atunci în acest caz linia va trece prin acest punct, altfel punctul nu aparține linia.
Exemplul 4
Dată o dreaptă cu panta y = 1 3 x - 1 . Calculați dacă punctele M 1 (3 , 0) și M 2 (2 , - 2) aparțin dreptei date.
Soluţie
Este necesar să înlocuim coordonatele punctului M 1 (3, 0) în ecuația dată, atunci obținem 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Egalitatea este adevărată, deci punctul aparține dreptei.
Dacă înlocuim coordonatele punctului M 2 (2, - 2), atunci obținem o egalitate incorectă de forma - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Putem concluziona că punctul M 2 nu aparține dreptei.
Răspuns: M 1 aparține dreptei, dar M 2 nu.
Se știe că linia dreaptă este definită de ecuația y = k · x + b care trece prin M 1 (0 , b) , la substituire, am obținut o egalitate de forma b = k · 0 + b ⇔ b = b . Din aceasta putem concluziona că ecuația unei drepte cu panta y = k · x + b pe plan definește o dreaptă care trece prin punctul 0, b. Formează un unghi α cu direcția pozitivă a axei O x, unde k = t g α .
Să considerăm, de exemplu, o dreaptă definită folosind o pantă dată de forma y = 3 · x - 1 . Obținem că linia dreaptă va trece prin punctul cu coordonata 0, - 1 cu o pantă de α = a r c t g 3 = π 3 radiani de-a lungul direcției pozitive a axei O x. Din aceasta se poate observa că coeficientul este 3.
Ecuația unei drepte cu o pantă care trece printr-un punct dat
Este necesar să se rezolve o problemă în care este necesar să se obțină ecuația unei drepte cu o pantă dată care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) .
Egalitatea y 1 = k · x + b poate fi considerată validă, întrucât dreapta trece prin punctul M 1 (x 1 , y 1) . Pentru a elimina numărul b, este necesar să scădem ecuația cu coeficientul de pantă din stânga și dreapta. De aici rezultă că y - y 1 = k · (x - x 1) . Această egalitate se numește ecuația unei drepte cu o pantă dată k, care trece prin coordonatele punctului M 1 (x 1, y 1) .
Exemplul 5
Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (4, - 1), cu panta egală cu - 2.
Soluţie
Prin condiție, avem că x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. De aici, ecuația dreptei se va scrie astfel y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Răspuns: y = - 2 x + 7 .
Exemplul 6
Scrieți ecuația unei drepte cu o pantă care trece prin punctul M 1 cu coordonatele (3, 5) paralele cu dreapta y \u003d 2 x - 2.
Soluţie
Prin condiție, avem că liniile paralele au unghiuri de înclinare coincidente, prin urmare coeficienții de pantă sunt egali. Pentru a găsi panta din această ecuație, trebuie să vă amintiți formula de bază y \u003d 2 x - 2, ceea ce implică faptul că k \u003d 2. Compunem o ecuație cu un coeficient de pantă și obținem:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Răspuns: y = 2 x - 1 .
Trecerea de la ecuația unei linii drepte cu pantă la alte tipuri de ecuații ale unei linii drepte și invers
O astfel de ecuație nu este întotdeauna aplicabilă pentru rezolvarea problemelor, deoarece are o notație nu foarte convenabilă. Pentru a face acest lucru, trebuie să fie prezentat într-o formă diferită. De exemplu, o ecuație de forma y = k · x + b nu vă permite să scrieți coordonatele vectorului de direcție al dreptei sau coordonatele vectorului normal. Pentru a face acest lucru, trebuie să învățați cum să reprezentați ecuații de alt tip.
Putem obține ecuația canonică a unei drepte într-un plan folosind ecuația unei drepte cu pantă. Se obține x - x 1 a x = y - y 1 a y . Este necesar să mutați termenul b în partea stângă și să împărțiți la expresia inegalității obținute. Atunci obținem o ecuație de forma y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .
Ecuația unei drepte cu o pantă a devenit ecuația canonică a unei drepte date.
Exemplul 7
Aduceți ecuația unei drepte cu panta y = - 3 x + 12 la forma canonică.
Soluţie
Calculăm și reprezentăm sub forma unei ecuații canonice a unei drepte. Obtinem o ecuatie de forma:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Răspuns: x 1 = y - 12 - 3.
Ecuația generală a unei drepte este cel mai ușor de obținut din y = k x + b, dar aceasta necesită transformări: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Tranziția se face din ecuație generală direct la ecuații de alt fel.
Exemplul 8
Este dată o ecuație a unei drepte de forma y = 1 7 x - 2. Aflați dacă vectorul cu coordonatele a → = (- 1 , 7) este un vector drept normal?
Soluţie
Pentru a o rezolva, este necesar să trecem la o altă formă a acestei ecuații, pentru aceasta scriem:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Coeficienții din fața variabilelor sunt coordonatele vectorului normal al dreptei. Să-l scriem astfel n → = 1 7 , - 1 , deci 1 7 x - y - 2 = 0 . Este clar că vectorul a → = (- 1 , 7) este coliniar cu vectorul n → = 1 7 , - 1 , deoarece avem o relație justă a → = - 7 · n → . Rezultă că vectorul original a → = - 1 , 7 este un vector normal al dreptei 1 7 x - y - 2 = 0 , ceea ce înseamnă că este considerat un vector normal pentru dreapta y = 1 7 x - 2 .
Răspuns: Este
Să rezolvăm problema invers cu aceasta.
Trebuie să te muți de la vedere generala ecuația A x + B y + C = 0 , unde B ≠ 0 , la ecuația pantei. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația pentru y. Se obține A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Rezultatul este o ecuație cu o pantă egală cu - A B .
Exemplul 9
Este dată o ecuație a unei drepte de forma 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Obțineți ecuația unei drepte date cu o pantă.
Soluţie
Pe baza condiției, este necesar să rezolvăm pentru y, apoi obținem o ecuație de forma:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Răspuns: y = 1 6 x + 1 4 .
În mod similar, este rezolvată o ecuație de forma x a + y b \u003d 1, care se numește ecuația unei linii drepte în segmente sau forma canonică x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Este necesar să o rezolvăm în raport cu y, numai atunci obținem o ecuație cu pantă:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .
Ecuația canonică poate fi redusă la o formă cu pantă. Pentru aceasta:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1
Exemplul 10
Există o dreaptă dată de ecuația x 2 + y - 3 = 1 . Aduceți la forma unei ecuații cu o pantă.
Soluţie.
Pe baza condiției, este necesară transformarea, apoi obținem o ecuație de forma _formula_. Ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu -3 pentru a obține ecuația necesară a pantei. Transformând, obținem:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Răspuns: y = 3 2 x - 3 .
Exemplul 11
Ecuația dreaptă a formei x - 2 2 \u003d y + 1 5 este adusă la forma cu o pantă.
Soluţie
Este necesar să se calculeze expresia x - 2 2 = y + 1 5 ca proporție. Obținem că 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Acum trebuie să-l activați complet, pentru aceasta:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Răspuns: y = 5 2 x - 6 .
Pentru a rezolva astfel de sarcini, ecuațiile parametrice ale liniei drepte de forma x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ar trebui reduse la ecuația canonică a liniei drepte, numai după aceea puteți trece la ecuația cu panta.
Exemplul 12
Aflați panta dreptei dacă este dată de ecuații parametrice x = λ y = - 1 + 2 · λ .
Soluţie
Trebuie să treceți de la vizualizarea parametrică la panta. Pentru a face acest lucru, găsim ecuația canonică din cea parametrică dată:
x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Acum este necesar să rezolvăm această egalitate față de y pentru a obține ecuația unei drepte cu pantă. Pentru a face acest lucru, scriem astfel:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Rezultă că panta dreptei este egală cu 2. Aceasta se scrie ca k = 2 .
Răspuns: k = 2 .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
