Introdus de noi operații liniare pe vectori face posibilă crearea diferitelor expresii pentru cantități vectorialeși transformați-le folosind proprietățile setate pentru aceste operații.
Pe baza unui set dat de vectori a 1 , ... și n , puteți compune o expresie de forma
unde a 1 , ... și n sunt numere reale arbitrare. Această expresie se numește combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n . Numerele α i , i = 1, n , sunt coeficienți de combinație liniară. Se mai numește și mulțimea vectorilor sistem vectorial.
În legătură cu conceptul introdus de combinație liniară de vectori, se pune problema descrierii mulțimii de vectori care pot fi scrise ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori a 1 , ..., a n . În plus, întrebările despre condițiile în care există o reprezentare a unui vector sub forma unei combinații liniare și despre unicitatea unei astfel de reprezentări sunt naturale.
Definiție 2.1. Vectorii a 1 , ... și n sunt numiți dependent liniar, dacă există o astfel de mulţime de coeficienţi α 1 , ... , α n care
α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)
și cel puțin unul dintre acești coeficienți este diferit de zero. Dacă setul specificat de coeficienți nu există, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.
Dacă α 1 = ... = α n = 0, atunci, evident, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Având în vedere acest lucru, putem spune următoarele: vectori a 1 , ..., și n sunt liniar independenți dacă din egalitatea (2.2) rezultă că toți coeficienții α 1 , ... , α n sunt egali cu zero.
Următoarea teoremă explică de ce noul concept este numit termenul „dependență” (sau „independență”) și oferă un criteriu simplu pentru dependența liniară.
Teorema 2.1. Pentru ca vectorii a 1 , ..., și n , n > 1 să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca unul dintre ei să fie o combinație liniară a celorlalți.
◄ Necesitatea. Să presupunem că vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar. Conform definiției 2.1 a dependenței liniare, în egalitatea (2.2) există cel puțin un coeficient diferit de zero în stânga, de exemplu α 1 . Lăsând primul termen în partea stângă a egalității, mutăm restul în partea dreaptă, schimbându-le semnele ca de obicei. Împărțind egalitatea rezultată la α 1 , obținem
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n
acestea. reprezentarea vectorului a 1 ca o combinație liniară a vectorilor rămași a 2 , ... și n .
Adecvarea. Fie, de exemplu, primul vector a 1 poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Transferând toți termenii din partea dreaptă spre stânga, obținem un 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, adică. combinație liniară de vectori a 1 , ... și n cu coeficienți α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , egal cu vector zero.În această combinație liniară, nu toți coeficienții sunt egali cu zero. Conform definiției 2.1, vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar.
Definiția și criteriul dependenței liniare sunt formulate în așa fel încât să implice prezența a doi sau mai mulți vectori. Totuși, se poate vorbi și despre o dependență liniară a unui vector. Pentru a realiza această posibilitate, în loc de „vectorii sunt dependenți liniar” trebuie să spunem „sistemul de vectori este dependent liniar”. Este ușor de observat că expresia „un sistem de un vector este dependent liniar” înseamnă că acest singur vector este zero (există un singur coeficient într-o combinație liniară și nu trebuie să fie egal cu zero).
Conceptul de dependență liniară are o interpretare geometrică simplă. Această interpretare este clarificată de următoarele trei afirmații.
Teorema 2.2. Doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coliniare.
◄ Dacă vectorii a și b sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei, de exemplu a, este exprimat prin celălalt, adică. a = λb pentru un număr real λ. Conform definiției 1.7 lucrări vectori printr-un număr, vectorii a și b sunt coliniari.
Acum să fie vectorii a și b coliniari. Dacă ambele sunt zero, atunci este evident că sunt dependente liniar, deoarece orice combinație liniară a acestora este egală cu vectorul zero. Fie ca unul dintre acești vectori să nu fie egal cu 0, de exemplu vectorul b. Notăm cu λ raportul lungimilor vectorilor: λ = |а|/|b|. Vectorii coliniari pot fi unidirecțional sau directii opuse. În acest din urmă caz, schimbăm semnul lui λ. Apoi, verificând Definiția 1.7, vedem că a = λb. Conform teoremei 2.1, vectorii a și b sunt liniar dependenți.
Observație 2.1.În cazul a doi vectori, ținând cont de criteriul dependenței liniare, teorema demonstrată poate fi reformulată astfel: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei este reprezentat ca produs al celuilalt printr-un număr. Acesta este un criteriu convenabil pentru coliniaritatea a doi vectori.
Teorema 2.3. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coplanare.
◄ Dacă trei vectori a, b, c sunt dependenți liniar, atunci, conform teoremei 2.1, unul dintre ei, de exemplu a, este o combinație liniară a celorlalți: a = βb + γс. Să combinăm originile vectorilor b și c în punctul A. Atunci vectorii βb, γc vor avea o origine comună în punctul A și paralelogramul își reglează suma, acestea. vector a, va fi un vector cu începutul A și Sfârşit, care este vârful unui paralelogram construit pe vectori sumand. Astfel, toți vectorii se află în același plan, adică sunt coplanari.
Fie vectorii a, b, c coplanari. Dacă unul dintre acești vectori este zero, atunci este evident că va fi o combinație liniară a celorlalți. Este suficient să luăm toți coeficienții combinației liniare egale cu zero. Prin urmare, putem presupune că toți cei trei vectori nu sunt zero. Compatibil start aceşti vectori într-un punct comun O. Fie capetele lor, respectiv, punctele A, B, C (Fig. 2.1). Desenați drepte prin punctul C paralele cu liniile care trec prin perechi de puncte O, A și O, B. Notând punctele de intersecție A" și B", obținem un paralelogram OA"CB", prin urmare, OC" = OA" + OB " . Vector OA" și vectorul diferit de zero a= OA sunt coliniare și, prin urmare, primul dintre ele poate fi obținut prin înmulțirea celui de-al doilea cu un număr real α:OA" = αOA. În mod similar, OB" = βOB , β ∈ R. Ca rezultat, obținem că OC" = α OA + βOB , adică vectorul c este o combinație liniară a vectorilor a și b. Conform teoremei 2.1, vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.
Teorema 2.4. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.
◄ Demonstrarea urmează aceeași schemă ca în teorema 2.3. Luați în considerare patru vectori arbitrari a, b, c și d. Dacă unul dintre cei patru vectori este zero, sau există doi vectori coliniari printre ei sau trei dintre cei patru vectori sunt coplanari, atunci acești patru vectori sunt dependenți liniar. De exemplu, dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci putem compune combinația lor liniară αa + βb = 0 cu coeficienți nenuli, apoi adăugați cei doi vectori rămași la această combinație, luând zerouri ca coeficienți. Obținem o combinație liniară de patru vectori egali cu 0, în care există coeficienți nenuli.
Astfel, putem presupune că dintre cei patru vectori aleși nu există nuli, nici doi nu sunt coliniari și nici trei nu sunt coplanari. Alegem ca început comun punctul O. Atunci capetele vectorilor a, b, c, d vor fi niște puncte A, B, C, D (Fig. 2.2). Desenați trei planuri prin punctul D, paralel cu planele OBC, OCA, OAB și fie A", B", C" punctele de intersecție ale acestor plane cu dreptele OA, OB, OS, respectiv. Obținem un paralelipiped OA"C"B"C"B"DA ", iar vectorii a, b, с se află pe marginile sale care ies din vârful O. Deoarece patrulaterul OC"DC" este un paralelogram, atunci OD = OC" + OC" . La rândul său, segmentul OS" este diagonala a paralelogramului OA"C"B", astfel încât OC" = OA" + OB" și OD = OA" + OB" + OC" .
Rămâne de observat că perechile de vectori OA ≠ 0 și OA" , OB ≠ 0 și OB" , OC ≠ 0 și OC" sunt coliniari și, prin urmare, putem alege coeficienții α, β, γ astfel încât OA" = αOA, OB" = βOB și OC" = yOC. În cele din urmă, obținem OD = αOA + βOB + γOC . În consecință, vectorul OD este exprimat în termenii celor trei vectori rămași, iar toți cei patru vectori, conform teoremei 2.1, sunt liniar dependenți.
Definiție. Combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n cu coeficienți x 1 , ..., x n se numește vector
x 1 a 1 + ... + x n a n .
banal, dacă toți coeficienții x 1 , ..., x n sunt egali cu zero.
Definiție. Se numește combinația liniară x 1 a 1 + ... + x n a n nebanală, dacă cel puțin unul dintre coeficienții x 1 , ..., x n nu este egal cu zero.
liniar independent, dacă nu există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero .
Adică, vectorii a 1 , ..., a n sunt independenți liniar dacă x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 dacă și numai dacă x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definiție. Se numesc vectorii a 1 , ..., a n dependent liniar, dacă există o combinație netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero .
Proprietățile vectorilor dependenți liniar:
Pentru vectorii n -dimensionali.
n + 1 vectori sunt întotdeauna dependenți liniar.
Pentru vectori cu 2 și 3 dimensiuni.
Doi vectori dependenți liniar sunt coliniari. (Vectorii coliniari sunt dependenți liniar.) .
Pentru vectori tridimensionali.
Trei vectori dependenți liniar sunt coplanari. (Cei trei vectori coplanari sunt dependenți liniar.)
Exemple de sarcini pentru dependența liniară și independența liniară a vectorilor:
Exemplul 1. Verificați dacă vectorii a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sunt liniar independenți .
Soluţie:
Vectorii vor fi dependenți liniar, deoarece dimensiunea vectorilor este mai mică decât numărul de vectori.
Exemplul 2. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sunt liniar independenți.
Soluţie:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
scade pe al doilea din prima linie; adăugați a doua linie la a treia linie:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Această soluție arată că sistemul are multe soluții, adică există o combinație diferită de zero de valori ale numerelor x 1 , x 2 , x 3 astfel încât combinația liniară a vectorilor a , b , c este egală. la vectorul zero, de exemplu:
A + b + c = 0
ceea ce înseamnă că vectorii a , b , c sunt liniar dependenți.
Răspuns: vectorii a , b , c sunt liniar dependenți.
Exemplul 3. Verificați dacă vectorii a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sunt liniar independenți.
Soluţie: Să găsim valorile coeficienților la care combinația liniară a acestor vectori va fi egală cu vectorul zero.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Această ecuație vectorială poate fi scrisă ca un sistem ecuatii lineare
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Rezolvăm acest sistem folosind metoda Gauss
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
scade primul din a doua linie; scade primul din al treilea rând:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
scade pe al doilea din primul rând; adăugați a doua linie la a treia linie.
Lăsa L- spațiu liniar arbitrar, a i Î L sunt elementele sale (vectorii).
Definiție 3.3.1. Expresie , Unde , - numere reale arbitrare, numite combinație liniară vectori a 1, a 2,…, a n.
Dacă vectorul R = , atunci ei spun asta R descompuse în vectori a 1, a 2,…, a n.
Definiție 3.3.2. O combinație liniară de vectori se numește nebanală, dacă printre numere există cel puțin unul altul decât zero. În caz contrar, se numește combinația liniară banal.
Definiția 3.3.3 . Vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora astfel încât
= 0 .
Definiția 3.3.4. Vectorii a 1 ,a 2 ,…, a n sunt numite liniar independente dacă egalitatea = 0 posibil numai dacă toate numerele l 1, l 2,…, l n sunt simultan zero.
Rețineți că orice element diferit de zero a 1 poate fi considerat ca un sistem liniar independent, deoarece egalitatea l a 1 = 0 posibil doar cu condiția l= 0.
Teorema 3.3.1. O condiție necesară și suficientă pentru o dependență liniară a 1 , a 2 ,…, a n este posibilitatea de a descompune cel puțin unul dintre aceste elemente în restul.
Dovada. Necesitate. Fie elementele a 1 , a 2 ,…, a n dependent liniar. Înseamnă că = 0 , și cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, l n diferit de zero. Lăsați pentru certitudine l 1 ¹ 0. Apoi
adică elementul a 1 este descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n.
Adecvarea. Fie elementul a 1 descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n, adică a 1 = . Apoi 
= 0
, prin urmare, există o combinație liniară netrivială de vectori a 1 , a 2 ,…, a n egal cu 0
, deci sunt dependente liniar .
Teorema 3.3.2. Dacă cel puțin unul dintre elementele a 1 , a 2 ,…, a n zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.
Dovada . Lăsa A n= 0 , apoi = 0 , ceea ce înseamnă dependența liniară a elementelor indicate.
Teorema 3.3.3. Dacă dintre n vectori orice p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Dovada. Fie, pentru certitudine, elementele a 1 , a 2 ,…, a p dependent liniar. Aceasta înseamnă că există o combinație liniară non-trivială astfel încât = 0 . Egalitatea indicată va fi păstrată dacă adăugăm elementul la ambele părți ale acestuia. Apoi + = 0 , în timp ce cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, lp diferit de zero. Prin urmare, vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt dependente liniar.
Corolarul 3.3.1. Dacă n elemente sunt liniar independente, atunci orice k dintre ele sunt liniar independente (k< n).
Teorema 3.3.4. Dacă vectorii a 1, a 2,…, a n- 1 sunt liniar independente, iar elementele a 1, a 2,…, a n- 1, a n sunt dependente liniar, apoi vectorul A n poate fi descompus în vectori a 1, a 2,…, a n- 1 .
Dovada. Deoarece prin condiția a 1 , a 2 ,…, A n- 1, a n sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora = 0 , și (în caz contrar, se dovedesc a fi liniar vectori dependenți a 1, a 2,…, a n- 1). Dar apoi vectorul
,
Q.E.D.
Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , printre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.
Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.
Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.
Exemplul 1 Polinom 
este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.
Soluţie.
Compuneți o combinație liniară a acestor vectori https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" înălțime =" 22">.
Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
În sfârșit, obținem
Și
Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. Prin urmare, acest sistem de vectori este liniar independent.
Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori
A).
;
b).
?
Soluţie.
A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero
Folosind proprietățile operațiilor cu vectori într-un spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă
Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">
Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică 
.
De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;
b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Aplicând un raționament similar, obținem
Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem
sau
Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**)
. Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.
Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.
Din relatie (***)
primim 
sau 
Denota 
.
obține 
Sarcini pentru decizie independentă(în public)
1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.
2. Sistem vectorial unic A, este dependentă liniar dacă și numai dacă, a=0.
3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).
4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.
5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.
6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.
c). Sistemul de matrici , , în spațiul matricelor de ordinul doi.
10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Demonstrați independența liniară a următoarelor sisteme de vectori:
A).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar
c).a+b, a+c, b+c.
11. Lăsa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?
12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .
Sarcina 1. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent. Sistemul de vectori va fi definit de matricea sistemului, ale cărei coloane constau din coordonatele vectorilor.
.
Soluţie. Lasă combinația liniară 
este egal cu zero. După ce am scris această egalitate în coordonate, obținem următorul sistem de ecuații:
.
Un astfel de sistem de ecuații se numește triunghiular. Ea are singura soluție. 
. De aici vectorii 
sunt liniar independente.
Sarcina 2. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent.
.
Soluţie. Vectori 
sunt liniar independente (vezi problema 1). Să demonstrăm că vectorul este o combinație liniară de vectori 
. Coeficienții de expansiune vectorială 
sunt determinate din sistemul de ecuații
.
Acest sistem, ca și unul triunghiular, are o soluție unică.
Prin urmare, sistemul de vectori 
dependent liniar.
cometariu. Se numesc matrici precum în problema 1 triunghiular , iar în problema 2 – triunghiular treptat . Problema dependenței liniare a unui sistem de vectori este ușor de rezolvat dacă matricea compusă din coordonatele acestor vectori este triunghiulară în trepte. Dacă matricea nu un fel deosebit, apoi folosind transformări elementare de șiruri , păstrând relațiile liniare între stâlpi, poate fi redusă la o formă triunghiulară în trepte.
Transformări elementare de șiruri matricele (EPS) se numesc următoarele operații pe matrice:
1) permutarea liniilor;
2) înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
3) adăugarea la șir a unui alt șir, înmulțit cu un număr arbitrar.
Sarcina 3. Găsiți subsistemul maxim liniar independent și calculați rangul sistemului de vectori
.
Soluţie. Să reducem matricea sistemului cu ajutorul EPS la o formă triunghiulară în trepte. Pentru a explica procedura, linia cu numărul matricei de transformat va fi notată cu simbolul . Coloana de după săgeată arată acțiunile care trebuie efectuate pe rândurile matricei convertite pentru a obține rândurile noii matrice.
.
Evident, primele două coloane ale matricei rezultate sunt liniar independente, a treia coloană este combinația lor liniară, iar a patra nu depinde de primele două. Vectori 
sunt numite de bază. Ele formează subsistemul maxim liniar independent al sistemului , iar rangul sistemului este trei.
Baza, coordonatele
Sarcina 4. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea de vectori geometrici ale căror coordonate îndeplinesc condiția 
.
Soluţie. Mulțimea este un plan care trece prin origine. O bază arbitrară pe plan constă din doi vectori necoliniari. Coordonatele vectorilor din baza selectată sunt determinate prin rezolvarea sistemului corespunzător de ecuații liniare.
Există o altă modalitate de a rezolva această problemă, când puteți găsi baza după coordonate.
Coordonatele 
spațiile nu sunt coordonate pe plan, deoarece sunt legate prin relație 
, adică nu sunt independenți. Variabilele independente și (se numesc libere) determină în mod unic vectorul pe plan și, prin urmare, pot fi alese ca coordonate în . Apoi baza 
constă din vectori aflați în și corespunzători unor seturi de variabile libere 
Și 
, acesta este .
Sarcina 5. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor vectorilor din spațiu, ale căror coordonate impare sunt egale între ele.
Soluţie. Alegem, ca și în problema anterioară, coordonatele în spațiu.
Deoarece 
, apoi variabilele libere 
definiți în mod unic un vector din și, prin urmare, sunt coordonate. Baza corespunzătoare este formată din vectori.
Sarcina 6. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor matricelor de formă 
, Unde 
sunt numere arbitrare.
Soluţie. Fiecare matrice din poate fi reprezentată în mod unic ca:
Această relație este expansiunea vectorului din termeni de bază 
cu coordonate 
.
Sarcina 7. Aflați dimensiunea și baza intervalului liniar al unui sistem de vectori
.
Soluţie. Folosind EPS, transformăm matricea din coordonatele vectorilor sistemului într-o formă triunghiulară în trepte.
.
coloane 
din ultima matrice sunt liniar independente, iar coloanele 
sunt exprimate liniar prin ele. De aici vectorii 
formează baza 
, Și 
.
cometariu. Baza in ales ambiguu. De exemplu, vectori 
formează și baza 
.
