Pentru a rezolva diverse probleme de la cursurile de matematică și fizică, trebuie să împărțiți fracții. Este foarte ușor de făcut dacă știi anumite reguli efectuați această operație matematică.
Înainte de a trece la formularea regulii de împărțire a fracțiilor, să ne amintim câțiva termeni matematici:
- Partea superioară a fracției se numește numărător, iar partea de jos este numită numitor.
- La împărțire, numerele se numesc astfel: dividend: divizor = cât
Cum se împarte fracții: fracții simple
Pentru a împărți două fracții simple, înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului. Această fracție se mai numește și inversată deoarece se obține prin schimbarea numărătorului și numitorului. De exemplu:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cum se împarte fracțiile: fracții mixte
Dacă trebuie să împărțim fracții mixte, atunci totul aici este, de asemenea, destul de simplu și clar. În primul rând, convertim fracția mixtă într-o fracție improprie obișnuită. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numitorul unei astfel de fracții cu un număr întreg și adăugați numărătorul la produsul rezultat. Ca urmare, am primit un nou numărător al fracției mixte, dar numitorul acesteia va rămâne neschimbat. În plus, împărțirea fracțiilor se va efectua exact în același mod ca și împărțirea fracțiilor simple. De exemplu:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cum se împarte o fracție la un număr
Pentru a împărți o fracție simplă la un număr, acesta din urmă trebuie scris ca o fracție (neregulată). Acest lucru este foarte ușor de făcut: acest număr este scris în locul numărătorului, iar numitorul unei astfel de fracții este egal cu unu. Împărțirea ulterioară se efectuează în mod obișnuit. Să ne uităm la asta cu un exemplu:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cum să împărțim zecimale
Adesea, un adult are dificultăți în împărțirea unui număr întreg sau a unei fracțiuni zecimale la o fracție zecimală fără ajutorul unui calculator.
Deci, pentru a împărți zecimale, trebuie doar să tăiați virgula din divizor și să nu mai acordați atenție acesteia. În dividend, virgula trebuie mutată la dreapta exact în câte locuri a fost în partea fracționară a divizorului, adăugând zerouri dacă este necesar. Și continuă să producă diviziune regulată printr-un număr întreg. Pentru a face acest lucru mai clar, luați în considerare următorul exemplu.
Puteți face totul cu fracții, inclusiv diviziunea. Acest articol arată împărțirea fracțiilor obișnuite. Vor fi date definiții și vor fi discutate exemple. Să ne oprim în detaliu asupra împărțirii fracțiilor la numere naturale și invers. Se va discuta despre împărțirea unei fracții comune la un număr mixt.
Împărțirea fracțiilor
Împărțirea este inversul înmulțirii. La împărțire, factorul necunoscut se găsește cu produsul cunoscut al altui factor, unde sensul său dat este păstrat fracții obișnuite.
Dacă este necesar să împărțiți o fracție comună a b la c d, atunci pentru a determina un astfel de număr trebuie să îl înmulțiți cu divizorul c d, acest lucru va da în cele din urmă dividendul a b. Să obținem un număr și să-l scriem a b · d c , unde d c este inversul numărului c d. Egalitățile se pot scrie folosind proprietățile înmulțirii și anume: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, unde expresia a b · d c este câtul împărțirii a b la c d.
De aici obținem și formulăm regula de împărțire a fracțiilor ordinare:
Definiția 1
Pentru a împărți o fracție comună a b la c d, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.
Să scriem regula sub forma unei expresii: a b: c d = a b · d c
Regulile de împărțire se rezumă la înmulțire. Pentru a rămâne cu ea, trebuie să înțelegeți bine înmulțirea fracțiilor.
Să trecem la considerarea împărțirii fracțiilor ordinare.
Exemplul 1
Împărțiți 9 7 la 5 3. Scrieți rezultatul ca fracție.
Soluţie
Numărul 5 3 este fracția reciprocă 3 5. Este necesar să folosiți regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Scriem această expresie după cum urmează: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Răspuns: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Când reduceți fracțiile, separați întreaga parte dacă numărătorul este mai mare decât numitorul.
Exemplul 2
Împărțiți 8 15: 24 65. Scrieți răspunsul sub formă de fracție.
Soluţie
Pentru a rezolva, trebuie să treci de la împărțire la înmulțire. Să o scriem în această formă: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Este necesar să se facă o reducere, iar aceasta se face după cum urmează: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Selectați întreaga parte și obțineți 13 9 = 1 4 9.
Răspuns: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Împărțirea unei fracții extraordinare la un număr natural
Folosim regula împărțirii unei fracții la numar natural: pentru a împărți a b la un număr natural n, trebuie doar să înmulțiți numitorul cu n. De aici obținem expresia: a b: n = a b · n.
Regula împărțirii este o consecință a regulii înmulțirii. Prin urmare, reprezentarea unui număr natural ca fracție va da o egalitate de acest tip: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Luați în considerare această împărțire a unei fracții la un număr.
Exemplul 3
Împărțiți fracția 16 45 la numărul 12.
Soluţie
Să aplicăm regula împărțirii unei fracții la un număr. Obținem o expresie de forma 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Să reducem fracția. Se obține 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Răspuns: 16 45: 12 = 4 135 .
Împărțirea unui număr natural la o fracție
Regula împărțirii este similară O regula împărțirii unui număr natural la o fracție obișnuită: pentru a împărți un număr natural n la o fracție obișnuită a b, este necesar să se înmulțească numărul n cu reciproca fracției a b.
Pe baza regulii, avem n: a b = n · b a, iar datorită regulii înmulțirii unui număr natural cu o fracție obișnuită, obținem expresia noastră sub forma n: a b = n · b a. Este necesar să luăm în considerare această împărțire cu un exemplu.
Exemplul 4
Împărțiți 25 la 15 28.
Soluţie
Trebuie să trecem de la împărțire la înmulțire. Să o scriem sub forma expresiei 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Să reducem fracția și să obținem rezultatul sub forma fracției 46 2 3.
Răspuns: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Împărțirea unei fracții la un număr mixt
Când împărțiți o fracție comună la un număr mixt, puteți începe cu ușurință să împărțiți fracțiile comune. Trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.
Exemplul 5
Împărțiți fracția 35 16 la 3 1 8.
Soluţie
Deoarece 3 1 8 este un număr mixt, să-l reprezentăm ca o fracție improprie. Atunci obținem 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Acum să împărțim fracțiile. Se obține 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Răspuns: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Împărțirea unui număr mixt se face în același mod ca și numerele obișnuite.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare deoarece la adunare, numărătorul unei fracții produce o sumă, nu un produs de numere. În consecință, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci solutie corecta sarcina anterioară arată astfel:
Solutia corecta:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg; trebuie luate în considerare părți sau fracțiuni ale unei anumite măsuri. Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.
Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.
Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cu ce se înmulțesc fracțiile mixte numitori diferiti.
Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți
Inițial merită determinat tipuri de fracții:
- corect;
- incorect;
- amestecat.
În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces nu este dificil de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu numitori identici este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.
La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:
A/b * c/d = a*c/ b*d.
Singura diferență este că numărul rezultat sub linia fracțională va fi produsul unor numere diferite și, în mod natural, pătratul lui unu. expresie numerică este imposibil să-l numești.
Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numerele numărătorului doar cu numerele numitorului; factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduceți.
Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Cum funcționează înmulțirea?
Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:
A* b/c = a*b/c.
De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:
d* e/f = e/f:d.
Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.
Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie, poate fi reprezentată și ca formula generala:
A bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.
Acest proces funcționează și în reversul. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.
Multiplicare fracții improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.
Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diverse variante de programe. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferiteîn numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el; completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.
Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme se aplică în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă cel mai mult încredere deplină într-o soluție de succes sarcini complexe.
În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea unei persoane să-și mărească numărătorul - meritele - dar oricine își poate reduce numitorul - părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea sa.
O fracție este una sau mai multe părți ale unui întreg, de obicei considerată una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiile aritmetice de bază (adunare, scădere, împărțire, înmulțire) cu fracții; pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți între tipurile acestora. Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracție are propriile sale specificități, dar odată ce înțelegeți bine cum să le gestionați, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg folosind tipuri diferite fractii.
Cum se împarte o fracție simplă la un număr natural?Fracțiile ordinare sau simple sunt fracții care sunt scrise sub forma unui raport de numere în care dividendul (numărătorul) este indicat în partea de sus a fracției, iar în partea de jos este indicat divizorul (numitorul) fracției. Cum se împarte o astfel de fracție la un număr întreg? Să ne uităm la un exemplu! Să presupunem că trebuie să împărțim 8/12 la 2.
Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuăm o serie de acțiuni:
Astfel, dacă ne confruntăm cu sarcina de a împărți o fracție la un număr întreg, diagrama soluției va arăta cam așa: 
Într-un mod similar, puteți împărți orice fracție obișnuită (simple) la un număr întreg.
Cum se împarte o zecimală la un număr întreg?
O zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unei unități în zece, o mie și așa mai departe. Operatii aritmetice cu fracții zecimale sunt destul de simple.
Să ne uităm la un exemplu despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.
Pentru a rezuma, să ne oprim asupra a două puncte principale care sunt importante atunci când se efectuează operația de împărțire a fracțiilor zecimale la un număr întreg: - pentru separare zecimalÎmpărțirea pe coloane este folosită pentru un număr natural;
- O virgulă este plasată într-un coeficient atunci când împărțirea întregii părți a dividendului este finalizată.
