Lecția video „Periodicitatea funcțiilor y \u003d sin x, y \u003d cos x” dezvăluie conceptul de periodicitate a unei funcții, ia în considerare o descriere a exemplelor de rezolvare a problemelor care utilizează conceptul de periodicitate a unei funcții. Această lecție video este un ajutor vizual pentru explicarea subiectului studenților. De asemenea, acest manual poate deveni o parte independentă a lecției, eliberând profesorul pentru lucrul individual cu elevii.
Vizibilitatea în prezentarea acestui subiect este foarte importantă. Pentru a reprezenta comportamentul unei funcții, plotând, aceasta trebuie vizualizată. Nu este întotdeauna posibil să se facă construcții folosind o tablă și cretă, astfel încât să fie înțelese de toți elevii. În tutorialul video, este posibil, atunci când construiți, să evidențiați părți din imagine cu culoare, să efectuați transformări folosind animație. Astfel, construcțiile devin mai ușor de înțeles pentru majoritatea elevilor. De asemenea, posibilitățile lecției video contribuie la o mai bună memorare a materialului.
Demonstrația începe prin introducerea subiectului lecției, precum și reamintirea studenților de materialul învățat în lecțiile anterioare. În special, este rezumată lista proprietăților care au fost identificate în funcțiile y = sin x, precum și y = cos x. Printre proprietățile funcțiilor luate în considerare, se notează domeniul de definiție, intervalul de valori, uniformitatea (ciudățenia), alte caracteristici - limitare, monotonitate, continuitate, puncte de cea mai mică (mai mare) valoare. Elevii sunt informați că în această lecție este studiată încă o proprietate a unei funcții - periodicitatea.
Este prezentată definiția unei funcții periodice y=f(x), unde xϵX, în care condiția f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) este îndeplinită pentru unele Т≠0. În caz contrar, numărul T se numește perioada funcției.
Pentru funcțiile sinus și cosinus luate în considerare, se verifică îndeplinirea condiției folosind formulele de reducere. Este evident că forma identității sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) corespunde formei expresiei care definește condiția pentru periodicitatea funcției. Aceeași egalitate se poate observa și pentru cosinusul cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Prin urmare, aceste funcții trigonometrice sunt periodice.
Se remarcă în continuare modul în care proprietatea de periodicitate ajută la reprezentarea grafică a funcțiilor periodice. Este luată în considerare funcția y \u003d sin x. Pe ecran este construit un plan de coordonate, pe care abscisele de la -6π la 8π sunt marcate cu un pas de π. O parte a graficului sinusoidal este trasată pe plan, reprezentată de o undă pe segment. Figura arată cum se formează graficul funcției pe întregul domeniu de definiție prin deplasarea fragmentului construit și obținerea unui sinusoid lung.
Un grafic al funcției y \u003d cos x este construit folosind proprietatea periodicității sale. Pentru a face acest lucru, în figură este construit un plan de coordonate, pe care este reprezentat un fragment al graficului. Se observă că de obicei un astfel de fragment este construit pe intervalul [-π/2;3π/2]. Similar cu graficul funcției sinus, construcția graficului cosinus se realizează prin deplasarea fragmentului. Ca rezultat al construcției, se formează o sinusoidă lungă.
Trasarea unei funcții periodice are caracteristici care pot fi utilizate. Prin urmare, ele sunt date într-o formă generalizată. Se observă că pentru a construi un grafic al unei astfel de funcție, mai întâi se construiește o ramură a graficului pe un anumit interval de lungime T. Apoi este necesar să se deplaseze ramura construită la dreapta și la stânga cu T, 2T, 3T, etc. în același timp, este subliniată încă o caracteristică a perioadei - pentru orice număr întreg k≠0, numărul kT este și perioada funcției. Cu toate acestea, T se numește perioada principală, deoarece este cea mai mică dintre toate. Pentru funcțiile trigonometrice de sinus și cosinus, perioada principală este 2π. Totuși, 4π, 6π etc. sunt și perioade.
În plus, se propune să se ia în considerare găsirea perioadei principale a funcției y \u003d cos 5x. Soluția începe cu presupunerea că T este perioada funcției. Prin urmare, este necesar să se îndeplinească condiția f(x-T)= f(x)= f(x+T). În această identitate, f (x) \u003d cos 5x și f (x + T) \u003d cos 5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T). În acest caz, cos (5x + 5T) \u003d cos 5x, deci 5T \u003d 2πn. Acum putem găsi Т=2π/5. Problema rezolvata.
În a doua sarcină, este necesar să găsim perioada principală a funcției y=sin(2x/7). Se presupune că perioada principală a funcției T. pentru această funcție f(x)= sin(2x/7), iar după perioada f(x+T)=sin(2x/7)(x+T)= sin(2x/7 +(2/7)T). după reducere obținem (2/7)Т=2πn. Totuși, trebuie să găsim perioada principală, așa că luăm cea mai mică valoare (2/7)T=2π, din care găsim T=7π. Problema rezolvata.
La sfârșitul demonstrației, rezultatele exemplelor sunt rezumate, formând o regulă pentru determinarea perioadei principale a funcției. Se observă că pentru funcțiile y=sinkx și y=coskx perioadele principale sunt 2π/k.
Lecția video „Periodicitatea funcțiilor y \u003d sin x, y \u003d cos x” poate fi folosită într-o lecție tradițională de matematică pentru a crește eficacitatea lecției. De asemenea, acest material este recomandat a fi folosit de către un profesor care oferă învățământ la distanță pentru a crește claritatea explicației. Videoclipul poate fi recomandat studentului întârziat pentru a aprofunda înțelegerea subiectului.
INTERPRETAREA TEXTULUI:
„Periodicitatea funcțiilor y = cos x, y = sin x”.
Pentru a reprezenta graficul funcțiilor y = sin x și y = cos x, s-au folosit proprietățile funcțiilor:
1 Domeniul de aplicare,
2 zone valorice,
3 par sau impar,
4 monotonie,
5 limitare,
6 continuitate,
7 cea mai mare și cea mai mică valoare.
Astăzi vom mai studia o proprietate: periodicitatea unei funcții.
DEFINIȚIE. Funcția y \u003d f (x), unde x ϵ X (y este egal cu eff din x, unde x aparține mulțimii x), se numește periodică dacă există un număr diferit de zero T astfel încât pentru orice x din mulțimea X, egalitatea dublă este adevărată: f (x - T) \u003d f (x) \u003d f (x + T) (ef din x minus te este egal cu ef din x și este egal cu ef din x plus te ). Numărul T care satisface această dublă egalitate se numește perioada funcției
Și întrucât sinusul și cosinusul sunt definite pe întreaga dreaptă numerică și pentru orice x sunt îndeplinite egalitățile sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π) (sinusul lui x minus doi pi este egal cu sinusul a lui x și este egală cu sinusul lui x plus doi pi ) Și
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (cosinusul lui x minus doi pi este egal cu cosinusul lui x și este egal cu cosinusul lui x plus doi pi), atunci sinus și cosinus sunt funcții periodice cu o perioadă de 2π.
Periodicitatea vă permite să reprezentați rapid un grafic al funcției. Într-adevăr, pentru a reprezenta funcția y \u003d sin x, este suficient să reprezentați o undă (cel mai adesea pe un segment (de la zero la doi pi), apoi deplasând partea construită a graficului de-a lungul axei absciselor la dreapta și stânga cu 2π, apoi cu 4π și așa mai departe pentru a obține o undă sinusoidală.
(arată deplasarea la stânga și la dreapta cu 2π, 4π)
În mod similar pentru graficul funcției
y \u003d cos x, doar construim un val cel mai des pe segmentul [; ] (de la minus pi cu doi la trei pi cu doi).
Să rezumăm cele spuse mai sus și să tragem o concluzie: pentru a reprezenta graficul unei funcții periodice cu o perioadă T, mai întâi trebuie să reprezentați o ramură (sau undă sau o parte) a graficului pe orice interval de lungime T (cel mai adesea acesta este un interval cu capete la punctele 0 și T sau - și (minus te cu doi și te cu doi), apoi deplasați această ramură de-a lungul axei x (x) la dreapta și la stânga cu T, 2T, 3T etc. .
Evident, dacă funcția este periodică cu perioada T, atunci pentru orice număr întreg k0 (ka nu este egal cu zero) numărul de forma kT(ka te) este și perioada acestei funcție. De obicei, ei încearcă să izoleze cea mai mică perioadă pozitivă, care se numește perioada principală.
Ca perioadă a funcțiilor y \u003d cos x, y \u003d sin x, se poate lua - 4π, 4π, - 6π, 6π etc. (minus patru pi, patru pi, minus șase pi, șase pi și așadar pe). Dar numărul 2π este perioada principală a ambelor funcții.
Luați în considerare exemple.
EXEMPLU 1. Găsiți perioada principală a funcției y \u003d cos5x (y este egal cu cosinusul lui cinci x).
Soluţie. Fie T perioada principală a funcției y = cos5x. Sa punem
f (x) \u003d cos5x, apoi f (x + T) \u003d cos5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T) (ef de la x plus te este egal cu cosinusul de cinci ori suma lui x și te este egal cu cosinusul sumei a cinci x și cinci te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Prin urmare, 5Т= 2πn (cinci te este egal cu doi pi en), dar în funcție de condiție, trebuie să găsiți perioada principală, ceea ce înseamnă 5Т= 2π. Obținem T=
(perioada acestei funcții este doi pi împărțit la cinci).
Răspuns: T=.
EXEMPLU 2. Găsiți perioada principală a funcției y \u003d sin (y este egal cu sinusul coeficientului de doi x cu șapte).
Soluţie. Fie T perioada principală a funcției y \u003d sin. Sa punem
f (x) \u003d sin, apoi f (x + T) \u003d sin (x + T) \u003d sin (x + T) (ef de la x plus te este egal cu sinusul produsului a două șaptimi și suma lui x și te este egală cu sinusul sumei a două șapte x și două șapte te).
Pentru ca numărul T să fie perioada funcției, identitatea trebuie să fie satisfăcută
sin (x + T) \u003d păcat. Prin urmare, T= 2πn (două șapte te este egal cu doi pi en), dar în funcție de condiție, trebuie să găsiți perioada principală, ceea ce înseamnă T= 2π. Obtinem T=7
(perioada acestei funcții este de șapte pi).
Răspuns: T=7.
Rezumând rezultatele obținute în exemple, putem concluziona: perioada principală a funcțiilor y \u003d sin kx sau y \u003d cos kx (y este egal cu sinus ka x sau y este egal cu cosinus ka x) este egal cu ( doi pi împărțiți la ka).
Argumentul x, atunci se numește periodic dacă există un număr T astfel încât pentru orice x F(x + T) = F(x). Acest număr T se numește perioada funcției.
Pot exista mai multe perioade. De exemplu, funcția F = const ia aceeași valoare pentru orice valoare a argumentului și, prin urmare, orice număr poate fi considerat perioada sa.
De obicei, este interesat de cea mai mică perioadă diferită de zero a funcției. Pentru concizie, se numește pur și simplu punct.
Un exemplu clasic de funcții periodice este trigonometric: sinus, cosinus și tangentă. Perioada lor este aceeași și egală cu 2π, adică sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) și așa mai departe. Cu toate acestea, desigur, funcțiile trigonometrice nu sunt singurele periodice.
În ceea ce privește funcțiile simple, de bază, singura modalitate de a stabili periodicitatea sau neperiodicitatea acestora este prin calcule. Dar pentru funcții complexe, există deja câteva reguli simple.
Dacă F(x) are perioada T și o derivată este definită pentru aceasta, atunci această derivată f(x) = F′(x) este, de asemenea, o funcție periodică cu perioada T. La urma urmei, valoarea derivatei la punctul x este egal cu tangentei tangentei graficului antiderivatei sale în acest punct la axa x și, deoarece antiderivata se repetă periodic, derivata trebuie de asemenea repetată. De exemplu, derivata funcției sin(x) este cos(x) și este periodică. Luând derivata lui cos(x) se obține -sin(x). Periodicitatea rămâne neschimbată.
Cu toate acestea, inversul nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f(x) = const este periodică, dar antiderivata sa F(x) = const*x + C nu este.
Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci G(x) = a*F(kx + b), unde a, b și k sunt constante și k nu este egal cu zero - de asemenea, o funcție periodică, iar perioada sa este egală cu T/k. De exemplu sin(2x) este o funcție periodică și perioada sa este π. Vizual, acest lucru poate fi reprezentat astfel: prin înmulțirea x cu un număr, se pare că comprimați graficul funcției pe orizontală exact de câte ori
Dacă F1(x) și F2(x) sunt funcții periodice, iar perioadele lor sunt egale cu T1 și, respectiv, T2, atunci suma acestor funcții poate fi și periodică. Cu toate acestea, perioada sa nu va fi o simplă sumă a perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul împărțirii T1/T2 este un număr rațional, atunci suma funcțiilor este periodică, iar perioada sa este egală cu cel mai mic multiplu comun (MCM) al perioadelor T1 și T2. De exemplu, dacă perioada primei funcții este 12 și perioada celei de-a doua este 15, atunci perioada sumei lor va fi LCM (12, 15) = 60.
Vizual, acest lucru poate fi reprezentat astfel: funcțiile vin cu „lățimi de trepte” diferite, dar dacă raportul dintre lățimile lor este rațional, atunci mai devreme sau mai târziu (sau mai degrabă, tocmai prin LCM-ul pașilor), ele vor deveni din nou egale. , iar suma lor va începe o nouă perioadă.
Cu toate acestea, dacă raportul dintre perioade este irațional, atunci funcția totală nu va fi periodică deloc. De exemplu, fie F1(x) = x mod 2 (restul lui x împărțit la 2) și F2(x) = sin(x). T1 aici va fi egal cu 2, iar T2 este egal cu 2π. Raportul perioadelor este egal cu π - un număr irațional. Prin urmare, funcția sin(x) + x mod 2 nu este periodică.
>> Periodicitatea funcţiilor y = sin x, y = cos x
§ 11. Periodicitatea funcțiilor y \u003d sin x, y \u003d cos x
În paragrafele anterioare, am folosit șapte proprietăți funcții: domeniu, par sau impar, monotonitate, mărginire, valori maxime și minime, continuitate, gama de funcții. Am folosit aceste proprietăți fie pentru a construi un graf de funcție (cum era, de exemplu, în § 9), fie pentru a citi graficul construit (cum era, de exemplu, în § 10). Acum a venit un moment favorabil pentru a introduce încă o (a opta) proprietate a funcțiilor, care este perfect vizibilă pe cele mai sus construite. grafice funcțiile y \u003d sin x (a se vedea Fig. 37), y \u003d cos x (a se vedea Fig. 41).
Definiție. O funcție se numește periodică dacă există un număr diferit de zero T astfel încât pentru orice x din mulțimi, dublu egalitate:
Numărul T care satisface condiția indicată se numește perioada funcției y \u003d f (x).
Rezultă că, deoarece pentru orice x, egalitățile sunt adevărate:
atunci funcțiile y \u003d sin x, y \u003d cos x sunt periodice și numărul 2 P servește ca perioadă a ambelor funcții.
Periodicitatea unei funcții este a opta proprietate promisă a funcțiilor.
Acum uitați-vă la graficul funcției y \u003d sin x (Fig. 37). Pentru a construi o sinusoidă, este suficient să construiți una dintre undele sale (pe un segment și apoi să mutați această undă de-a lungul axei x prin urmare, folosind o singură undă, vom construi întregul grafic.
Să privim din același punct de vedere graficul funcției y \u003d cos x (Fig. 41). Vedem că și aici, pentru a reprezenta un grafic, este suficient să reprezentați mai întâi un val (de exemplu, pe segment
Și apoi mutați-l de-a lungul axei x cu
Rezumând, facem următoarea concluzie.
Dacă funcția y \u003d f (x) are o perioadă T, atunci pentru a reprezenta graficul funcției, trebuie mai întâi să reprezentați o ramură (undă, parte) a graficului pe orice interval de lungime T (cel mai adesea, acestea iau un interval cu capete în puncte și apoi deplasați această ramură de-a lungul axei x la dreapta și la stânga la T, 2T, ZT etc.
O funcție periodică are infinit de perioade: dacă T este o perioadă, atunci 2T este o perioadă, iar 3T este o perioadă și -T este o perioadă; în general, o perioadă este orice număr de forma KT, unde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... De obicei, dacă este posibil, încearcă să evidențieze cea mai mică perioadă pozitivă, se numește perioada principală.
Deci, orice număr de forma 2pc, unde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, este perioada funcțiilor y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p este perioada principală a ambelor funcții.
Exemplu. Aflați perioada principală a unei funcții:
A) Fie T perioada principală a funcției y \u003d sin x. Sa punem
Pentru ca numărul T să fie perioada funcției, trebuie să o aibă identitatea Ho, deoarece vorbim despre găsirea perioadei principale, obținem
b) Fie T perioada principală a funcției y = cos 0,5x. Fie f(x)=cos 0,5x. Apoi f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).
Pentru ca numărul T să fie perioada funcției, trebuie satisfăcută identitatea cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
Deci, 0,5t = 2pp. Dar, din moment ce vorbim despre găsirea perioadei principale, obținem 0,5T = 2 l, T = 4l.
Generalizarea rezultatelor obținute în exemplu este următoarea afirmație: perioada principală a funcției 
A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a
Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, traininguri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrateÎn iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.
Înregistrarea participanților este deschisă. Ia-ți biletul către Marte la acest link.
Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.
Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete
Și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare de mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.
Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici vom lua în considerare exemple mai complexe de fractali tridimensionali.
Un fractal poate fi reprezentat (descris) vizual ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta din nou și din nou.
Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.
