Găsirea celui mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea secvenţială a mcd a două numere. Am menționat acest lucru când am studiat proprietățile GCD. Acolo am formulat și am demonstrat teorema: cea mai mare divizor comun mai multe numere a 1 , a 2 , …, a k egală cu numărul dk, care se găsește prin calcul secvenţial GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d2, a3)=d3, GCD(d3, a4)=d4, …,GCD(dk-1, ak)=dk.
Să vedem cum arată procesul de găsire a mcd-ului mai multor numere uitându-ne la soluția exemplului.
Exemplu.
Găsiți cel mai mare divizor comun al patru numere 78 , 294 , 570 Și 36 .
Soluţie.
În acest exemplu a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
În primul rând, folosind algoritmul euclidian, determinăm cel mai mare divizor comun d 2 primele două numere 78 Și 294 . Când împărțim obținem egalitățile 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6Și 18=6·3. Prin urmare, d2 =GCD(78, 294)=6.
Acum hai să calculăm d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Să folosim din nou algoritmul euclidian: 570=6·95, prin urmare, d 3 =GCD(6, 570)=6.
Rămâne de calculat d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Deoarece 36 impartit de 6 , Acea d 4 =GCD(6, 36)=6.
Astfel, cel mai mare divizor comun al celor patru numere date este egal cu d 4 =6, acesta este, GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Răspuns:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Descompunerea numerelor în factori primi de asemenea, vă permite să calculați mcd-ul a trei sau mai multe numere. În acest caz, cel mai mare divizor comun se găsește ca produsul tuturor factorilor primi comuni ai numerelor date.
Exemplu.
Calculați mcd-ul numerelor din exemplul anterior utilizând factorizările lor prime.
Soluţie.
Să defalcăm cifrele 78 , 294 , 570 Și 36 prin factori primi, obținem 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Factorii primi comuni ai tuturor celor patru numere date sunt numerele 2 Și 3 . Prin urmare, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Răspuns:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Începutul paginii
Găsirea mcd de numere negative
Dacă unul, mai multe sau toate numerele al căror divizor cel mai mare se află sunt numere negative, atunci mcd-ul lor este egal cu cel mai mare divizor comun al modulelor acestor numere. Acest lucru se datorează faptului că numerele opuse AȘi −a au aceiași divizori, așa cum am discutat când am studiat proprietățile divizibilității.
Exemplu.
Găsiți mcd-ul numerelor întregi negative −231 Și −140 .
Soluţie.
Valoarea absolută a unui număr −231 egală 231 , și modulul numărului −140 egală 140 , Și GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Algoritmul euclidian ne oferă următoarele egalități: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7Și 42=7 6. Prin urmare, GCD(231, 140)=7. Atunci cel mai mare divizor comun dorit al numerelor negative este −231 Și −140 egală 7 .
Răspuns:
GCD(−231, −140)=7.
Exemplu.
Determinați mcd-ul a trei numere −585 , 81 Și −189 .
Soluţie.
La găsirea celui mai mare divizor comun, numerele negative pot fi înlocuite cu valorile lor absolute, adică GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Extinderea numărului 585 , 81 Și 189 în factori primi au forma 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3Și 189=3·3·3·7. Factorii primi comuni ai acestor trei numere sunt 3 Și 3 . Apoi GCD(585, 81, 189)=3·3=9, prin urmare, GCD(−585, 81, −189)=9.
Răspuns:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Rădăcinile unui polinom. teorema lui Bezout. (33 și mai sus)
36. Rădăcini multiple, criteriu pentru multiplicitatea rădăcinilor.
Pentru a înțelege cum să calculați LCM, trebuie mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.
Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, numerele care sunt multipli ai lui 5 pot fi considerate 15, 20, 25 și așa mai departe.
Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.
Multiplu comun numere naturale- un număr care este divizibil cu ele fără rest.
Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor
Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil cu toate aceste numere.
Pentru a găsi LOC, puteți folosi mai multe metode.
Pentru numerele mici, este convenabil să notați toți multiplii acestor numere pe o linie până când găsiți ceva comun între ei. Multiplii sunt notați cu majusculă K.
De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această notație se face după cum urmează:
LCM(4, 6) = 24
Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă metodă de calculare a LCM.
Pentru a finaliza sarcina, trebuie să factorizați numerele date în factori primi.
Mai întâi trebuie să notați descompunerea celui mai mare număr pe o linie, iar sub ea - restul.
Descompunerea fiecărui număr poate conține un număr diferit de factori.
De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.
În extinderea numărului mai mic, este necesar să se sublinieze factorii care lipsesc în extinderea primului. un numar mare, apoi adăugați-le la acesta. În exemplul prezentat, un doi lipsește.
Acum puteți calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Deci, produsul factorilor primi Mai mult iar factorii celui de-al doilea număr care nu au fost incluși în extinderea numărului mai mare vor fi cel mai mic multiplu comun.
Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, ar trebui să le factorizați pe toate în factori primi, ca în cazul precedent.
De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Astfel, doar doi doi din expansiunea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în extinderea celor douăzeci și patru).
Astfel, ele trebuie adăugate la extinderea unui număr mai mare.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.
De exemplu, LCM de doisprezece și douăzeci și patru este de douăzeci și patru.
Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au divizori identici, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.
De exemplu, LCM (10, 11) = 110.
Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.
Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra obiecte întregi.
Dacă un număr natural poate fi împărțit doar în el însuși și unul, atunci se numește prim.
Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte pot fi împărțite la doi. Prin urmare, numai numerele impare pot fi prime.
Există o mulțime de numere prime lista plina ele nu există. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.
Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la alți 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.
Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi factori naturali, se numește compus.
Numărul 30 poate avea divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Veți observa că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.
Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care acestea pot fi împărțite în întregime. Cel mai mare poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.
Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:
GCD (A; B).
De exemplu, mcd (15; 30) = 30.
Pentru a nota toți divizorii unui număr natural, utilizați notația:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Ele sunt numite relativ prime, deci unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.
Cum să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor
Pentru a găsi mcd-ul mai multor numere, aveți nevoie de:
Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică factorizați-i în factori (numere prime);
Selectați toți factorii identici ai numerelor date;
Înmulțiți-le împreună.
De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 56, ați scrie următoarele:
Pentru a evita confuzia, este convenabil să scrieți factorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei trebuie să plasați dividendul, iar în partea dreaptă - divizorul. Sub dividend ar trebui să indicați coeficientul rezultat.
Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.
Divizorii identici (factori găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite și cel mai mare divizor comun notat.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Acesta este cât de ușor este să găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor. Dacă exersați puțin, puteți face acest lucru aproape automat.
Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun pentru două sau orice alt număr de numere.
Calculator pentru găsirea GCD și LCM
Găsiți GCD și LOC
GCD și LOC găsite: 5806
Cum se folosește calculatorul
- Introduceți numere în câmpul de introducere
- Dacă introduceți caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
- faceți clic pe butonul „Găsiți GCD și LCM”.
Cum se introduc numerele
- Numerele sunt introduse separate de un spațiu, punct sau virgulă
- Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea GCD și LCM de numere lungi nu este dificilă
Ce sunt GCD și NOC?
Cel mai mare divizor comun mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr, care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.
Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?
Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, puteți verifica divizibilitatea unora dintre ele și combinațiile lor.
Câteva semne de divizibilitate a numerelor
1. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: Ne uităm la ultima cifră: 8 - asta înseamnă că numărul este divizibil cu doi.
2. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu trei. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor este foarte mare, puteți repeta din nou același proces.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.
3. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.
4. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.
Cum să găsiți MCD și LCM a două numere
Cum să găsiți mcd-ul a două numere
Cel mai într-un mod simplu Calcularea celui mai mare divizor comun a două numere înseamnă a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și a-l selecta pe cel mai mare dintre ei.
Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):
- Factorăm ambele numere: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
- Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 = 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.
Cum se găsește LCM a două numere
Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima metodă este că poți nota primii multipli ai două numere, iar apoi să alegi dintre ei un număr care va fi comun ambelor numere și în același timp și cel mai mic. Și al doilea este să găsiți mcd-ul acestor numere. Să luăm în considerare doar asta.
Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:
- Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), așa cum se știe deja, este egal cu 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere
Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere, nu doar pentru două. Pentru a face acest lucru, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, puteți utiliza următoarea relație pentru a găsi mcd-ul mai multor numere: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
O relație similară se aplică celui mai mic multiplu comun: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.
- Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Să găsim factorii comuni: 1, 2 și 2.
- Produsul lor va da GCD: 1·2·2 = 4
- Acum să găsim LCM: pentru a face acest lucru, să găsim mai întâi LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Să scriem factorii incluși în expansiunea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorul 5 care lipsește din expansiunea celui de-al doilea număr. Obținem: 2*2*3*5*5=300. Am găsit NOC, adică. această sumă = 300. Nu uitați dimensiunea și scrieți răspunsul:
Răspuns: Mama dă 300 de ruble.
Definiția GCD: Cel mai mare divizor comun (GCD) numere naturale AȘi V numiți cel mai mare număr natural c, la care A, Și bîmpărțit fără rest. Acestea. c este cel mai mic număr natural pentru care și AȘi b sunt multipli.
Notificare: Există două abordări pentru definirea numerelor naturale
- numere utilizate în: enumerarea (numerotarea) obiectelor (primul, al doilea, al treilea, ...); - în școli este de obicei așa.
- desemnarea numărului de articole (niciun Pokemon - zero, un Pokemon, doi Pokemon, ...).
Numerele negative și neîntregi (raționale, reale, ...) nu sunt numere naturale. Unii autori includ zero în mulțimea numerelor naturale, alții nu. Setul tuturor numerelor naturale este de obicei notat cu simbolul N
Notificare:Împărțitor al unui număr natural A numește numărul b, la care Aîmpărțit fără rest. Multiplii unui număr natural b apelați un număr natural A, care este divizibil cu b fără urmă. Dacă numărul b- divizor de numere A, Acea A multiplu al numărului b. Exemplu: 2 este un divizor al lui 4, iar 4 este un multiplu al lui doi. 3 este un divizor al lui 12, iar 12 este un multiplu al lui 3.
Notificare: Numerele naturale se numesc prime dacă sunt divizibile fără rest numai prin ele însele și 1. Numerele coprime sunt cele care au un singur divizor comun egal cu 1.
Definiția modului de a găsi un GCD în cazul general: Pentru a găsi GCD (cel mai mare divizor comun) sunt necesare mai multe numere naturale:
1) Împărțiți-i în factori primi. (Tabelul numerelor prime poate fi foarte util pentru aceasta.)
2) Notați factorii incluși în extinderea unuia dintre ei.
3) Trimiteți-le pe cele care nu sunt incluse în extinderea numerelor rămase.
4) Înmulțiți factorii obținuți la pasul 3).
Problema 2 pe (NOK): De Anul Nou, Kolya Puzatov a cumpărat în oraș 48 de hamsteri și 36 de vase de cafea. Fekla Dormidontova, ca cea mai sinceră fată din clasă, a primit sarcina de a împărți această proprietate în cel mai mare număr posibil de seturi de cadouri pentru profesori. Cate seturi ai luat? Care este conținutul seturilor?
Exemplul 2.1. rezolvarea problemei găsirii GCD. Găsirea GCD prin selecție.
Soluţie: Fiecare dintre numerele 48 și 36 trebuie să fie divizibil cu numărul de cadouri.
1) Notează divizorii 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Scrieți divizorii lui 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Alegeți cel mai mare divizor comun. Whoa-la-la! Am constatat că numărul de seturi este de 12 bucăți.
3) Împărțiți 48 la 12 pentru a obține 4, împărțiți 36 la 12 pentru a obține 3. Nu uitați dimensiunea și scrieți răspunsul:
Răspuns: Veți primi 12 seturi de 4 hamsteri și 3 vase de cafea în fiecare set.
