Pentru a exprima o parte ca o fracțiune a întregului, trebuie să împărțiți partea la întreg.
Sarcina 1.În clasă sunt 30 de elevi, patru lipsesc. Ce proporție de elevi lipsește?
Soluţie:
Răspuns: nu sunt elevi în clasă.
Găsirea unei fracții dintr-un număr
Pentru a rezolva probleme în care este necesară găsirea unei părți dintr-un întreg, este adevărată următoarea regulă:
Dacă o parte a întregului este exprimată ca o fracție, atunci pentru a găsi această parte, puteți împărți întregul la numitorul fracției și înmulțiți rezultatul cu numărătorul acesteia.
Sarcina 1. Au fost 600 de ruble, această sumă a fost cheltuită. Câți bani ai cheltuit?
Soluţie: pentru a găsi de la 600 de ruble, trebuie să împărțiți această sumă în 4 părți, astfel vom afla câți bani este un sfert:
600: 4 = 150 (pag.)
Răspuns: a cheltuit 150 de ruble.
Sarcina 2. Era de 1000 de ruble, această sumă a fost cheltuită. Câți bani s-au cheltuit?
Soluţie: Din starea problemei, știm că 1000 de ruble sunt formate din cinci părți egale. Mai întâi aflăm câte ruble sunt o cincime din 1000, apoi aflăm câte ruble sunt două cincimi:
1) 1000: 5 = 200 (p.) - o cincime.
2) 200 2 \u003d 400 (p.) - două cincimi.
Aceste două acțiuni pot fi combinate: 1000: 5 2 = 400 (p.).
Răspuns: S-au cheltuit 400 de ruble.
A doua modalitate de a găsi o parte dintr-un întreg:
Pentru a găsi o parte dintr-un întreg, puteți înmulți întregul cu o fracție care exprimă acea parte a întregului.
Sarcina 3. Conform statutului cooperativei, pentru valabilitatea ședinței de raportare, la aceasta trebuie să fie prezenți cel puțin membrii organizației. Cooperativa are 120 de membri. Cu ce componență se poate ține ședința de raportare?
Soluţie: 
Răspuns:ședința de raportare poate fi ținută dacă sunt 80 de membri ai organizației.
Găsirea unui număr după fracția sa
Pentru a rezolva probleme în care este necesară găsirea întregului după partea sa, următoarea regulă este adevărată:
Dacă o parte a numărului întreg dorit este exprimată ca o fracție, atunci pentru a găsi acest număr întreg, puteți împărți această parte la numărătorul fracției și înmulțiți rezultatul cu numitorul său.
Sarcina 1. Am cheltuit 50 de ruble, aceasta se ridica la suma inițială. Găsiți suma inițială de bani.
Soluţie: Din descrierea problemei, vedem că 50 de ruble este de 6 ori mai mică decât suma inițială, adică suma inițială este de 6 ori mai mare decât 50 de ruble. Pentru a găsi această sumă, trebuie să înmulțiți 50 cu 6:
50 6 = 300 (r.)
Răspuns: suma inițială este de 300 de ruble.
Sarcina 2. Am cheltuit 600 de ruble, aceasta se ridica la suma inițială de bani. Găsiți suma inițială.
Soluţie: vom presupune că numărul dorit este format din trei treimi. După condiție, două treimi din număr sunt egale cu 600 de ruble. În primul rând, găsim o treime din suma inițială și apoi câte ruble sunt trei treimi (suma inițială):
1) 600: 2 3 = 900 (pag.)
Răspuns: suma inițială este de 900 de ruble.
A doua modalitate de a găsi întregul prin partea sa:
Pentru a găsi un întreg după valoarea părții sale, puteți împărți această valoare la o fracție care exprimă această parte.
Sarcina 3. Segment de linie AB, egală cu 42 cm, este lungimea segmentului CD. Aflați lungimea unui segment CD.
Soluţie: 
Răspuns: lungimea segmentului CD 70 cm
Sarcina 4. Pepeni verzi au fost adusi la magazin. Înainte de prânz, magazinul a vândut, după prânz - a adus pepeni verzi, și rămâne să vândă 80 de pepeni. Cati pepeni au fost adusi in magazin in total?
Soluţie: mai întâi, aflăm ce parte a pepenilor importați este numărul 80. Pentru a face acest lucru, luăm numărul total de pepeni importați ca unitate și scădem din acesta numărul de pepeni pe care am reușit să-i vindem (să vindem):
Și așa, am aflat că 80 de pepeni sunt din numărul total de pepeni aduși. Acum vom afla câți pepeni verzi din cantitatea totală este și apoi câți pepeni sunt (numărul de pepeni aduși):
2) 80: 4 15 = 300 (pepeni verzi)
Răspuns: in total au fost adusi la magazin 300 de pepeni.
Conținutul lecțieiAdunarea fracțiilor cu aceiași numitori
Adunarea fracțiilor este de două tipuri:
- Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori;
- Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
În primul rând, vom studia adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.
De exemplu, să adăugăm fracții și . Adăugăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Adăugați fracții și .
Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, întreaga parte iese în evidență cu ușurință - doi împărțiți la doi vor fi unul:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:
Exemplul 3. Adăugați fracții și .
Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.
După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;
Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.
De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.
Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.
Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.
Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.
Exemplul 1. Adăugați fracții și
În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6
LCM (2 și 3) = 6
Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.
Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.
Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:
Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:
Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).
Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza intreaga si alta a sasea pizza).
Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM a ambelor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți de numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:
Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.
Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:
- Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
- Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
- Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
- Adaugă fracții care au aceiași numitori;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
.
Să folosim instrucțiunile de mai sus.
Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor
Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4
Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție
Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:
Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari
Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:
Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:
Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.
Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el
Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:
Am un răspuns
Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
Există două tipuri de scădere de fracții:
- Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
- Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.
Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.
Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.
Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.
Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12
LCM (3 și 4) = 12
Acum revenim la fracții și
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:
Acum suntem pregătiți pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Am un răspuns
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.
Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:
Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi, de asemenea, reprezentată folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):
Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Prin tăierea a trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.
Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:
Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.
Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.
Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.
Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:
Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10
Am un răspuns
Înmulțirea unei fracții cu un număr
Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat.
Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.
Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1
Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza
Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:
Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul fracției cu 4
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.
Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:
Un număr care se înmulțește cu o fracție și numitorul fracției se rezolvă dacă au un divizor comun mai mare decât unu.
De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.
Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:
A doua cale. Cvadruplul fiind înmulțit și cvadruplul din numitorul fracției pot fi reduse. Puteți reduce aceste patru patru cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:
Am obținut același rezultat 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu un triplu și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă mai scurt:
Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar în etapa de înmulțire a numărului 4 și a numărătorului 3, am decis să folosim reducerea:
Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:
Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, în consecință, nu sunt reduse.
Unii elevi prescurtează în mod greșit numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:
Reducerea fracţiei presupune că și numărătorul și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător, iar la numitor nu apare nicio împărțire.
Înmulțirea fracțiilor
Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.
Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.
Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:
Și ia două din aceste trei bucăți:
Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:
O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:
Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.
Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:
Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15
Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție
Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:
Numerele inversate
Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.
Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.
Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:
Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.
Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:
Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:
Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:
Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.
Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.
Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l întoarceți.
Împărțirea unei fracții cu un număr
Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?
Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.
Obiectivele lecției:
- Pentru a dezvolta abilități în compararea fracțiilor,
- Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți,
- Pentru a consolida cunoștințele privind găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor.
Astăzi la lecție continuăm să lucrăm la tema „Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți”.
Aceasta este deja a doua lecție a subiectului, cu care te vei confrunta ţintă:
Dacă în prima lecție am fost angajați în fracții, în care numitorii sunt coprimi sau multipli unul celuilalt, atunci astăzi sarcina noastră devine mai complicată, pentru unele cazuri va trebui să găsim un numitor comun extinzând numitorii în factori primi conform la regula de găsire a LCM.
La sfârșitul lecției, ar trebui să cunoașteți bine regula:
cum să adunăm fracții cu numitori diferiți și să poți aplica această regulă atunci când rezolvi probleme.
După 3 lecții, va avea loc un test, în care vor fi sarcini care verifică modul în care ai învățat tema. La test vor fi 2 sarcini pe tema noastră: a treia sarcină este de a efectua adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți și a patra sarcină: rezolvarea problemei de aplicare a regulii. Deci, astăzi lucrăm la sarcini pentru standard.
1. a) Să lucrăm oral.
| 42 | 48 | 6 |
| 36 | 54 | 12 |
| 30 | 24 | 18 |
Priviți cu atenție acest dreptunghi și încercați să vă amintiți locația numerelor, poate veți observa un model.
Acum încercați să restaurați aceste numere în schiță.
Cine își amintește numerele?
Cum îți poți aminti bine locația acestor numere?
(Numerele care sunt multipli de 6 sunt în ordine crescătoare în sensul acelor de ceasornic, începând din dreptunghiul din dreapta sus)
Să repetăm comparația fracțiilor cu numitori diferiți și cu numărători egali.
Comparați următoarele fracții: ; .
Aranjați-le în ordine crescătoare.
b) Privește cu atenție următorul rând de numere:
16, 10, 8, , 2007, 1961.
Câte numere sunt scrise?
Câte numere pare? Numiți-le.
Numiți al treilea număr.
Al doilea număr de la sfârșit.
Număr din trei cifre.
Un număr care este un multiplu al lui 5.
Multiplu de 10
Multiplu 3.
Multiplu de 9. De ce este faimos numărul 1961?
Ce număr este diferit de restul, adică nu se încadrează într-o serie de numere?
Este această fracție corectă sau incorectă?
Reductibil sau ireductibil?
Reduceți această fracție.
2. Verificarea temelor.
Cum compar două fracții cu numitori diferiți?
Cum se adună fracții cu numitori diferiți?
Cum scazi fracții cu numitori diferiți?
Ai întrebări despre teme? Verificare de linie de către profesor.
3. Lucrul cu regula conform manualului după răspunsuri inexacte ale elevilor.
La matematică, nu poți sări peste un singur cuvânt din unele reguli. Numitorul comun și cel mai mic numitor comun nu sunt întotdeauna la fel.
Ascultă pilda unui anume primar.
Când încă nu era curent electric, primarului unui oraș îi plăcea să se plimbe seara pe străzile orașului. Odată ce a dat peste un locuitor al orașului, un cucui i-a apărut pe frunte. a doua zi a dat un decret: „În întuneric, ieși în stradă cu un felinar”. Și seara același cetățean a dat peste el. Primarul i-a cerut un felinar.
Iată, spuse trecătorul.
Unde este lumânarea? întrebă primarul.
Și decretul nu spune că ar trebui să fie o lumânare în felinar, - a răspuns el.
Primarul a dat un al doilea decret: „În întuneric, ieșiți în stradă cu un felinar cu o lumânare”.
În a treia zi, istoria s-a repetat.
Primarul și-a pierdut deja cumpătul.
Crezi că trecătorul i-a răspuns primarului?
Ordinul nu spune că trebuie aprinsă lumânarea felinarului.
Primarul a fost nevoit să dea a treia oară un decret, abia după aceea un trecător l-a lăsat în pace.
Sarcina noastră este să cunoaștem bine regula și să o putem aplica. Încă o dată, lucrăm la un standard.
4. Exercițiu.
Rezolvați următoarele exemple pe tablă după cum doriți.
Ai rezolvat exemple în care numitorii sunt numere relativ prime și când numitorul mai mare este un multiplu al celui mai mic.
În această lecție, vom rezolva sarcini mai complexe pentru adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
Notează sarcina:
Dacă elevul decide modul în care am decis noi, atunci el știe bine cum să găsească LCM a două numere și știe să izoleze o parte întreagă dintr-o fracție improprie, știe că numitorii nu sunt numere coprime.
Și dacă elevul găsește un numitor comun prin înmulțirea numitorilor, el arată neștiință de a găsi LCM, adică regulile: cum se adună fracții cu numitori diferiți. Prin urmare, în primul rând, dacă numitorii nu sunt numere coprime și nu sunt multipli unul altuia, este necesar să găsim LCM al numitorilor.
Nr. Nr. sunt scrise pe tabla, care trebuie rezolvate la clasa: 309 d - si, 328, 340 (repetitie)
e) 
; performează pe tablă
e) 
; repetată reducerea fracției, această sarcină este pe test, se verifică asimilarea etalonului.
și) 
(pe cont propriu)
h) 
; găsim LCM(21,15) = 3*7*5 =105.
6. Rezolvați singur problema nr. 327.
7. Repetarea materialului studiat anterior. nr. 340.
Reducerea fracțiilor:
Există, de asemenea, o reducere a fracțiilor la test, aceasta este o sarcină pentru standard.
8. Rezultatul lecției.
a) Cum adunați și scădeți fracții cu numitori diferiți?
b) Marcare.
c) Tema pentru acasă: punctul 11,
Acțiuni cu fracții.
Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să abordăm întrebarea principală.
Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.
Toate aceste acțiuni cu zecimal operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere întregi. De fapt, pentru asta sunt bune, zecimală. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.
numere mixte, după cum am spus, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Ele mai trebuie convertite în fracții obișnuite.
Și aici sunt acțiunile cu fracții obișnuite va fi mai inteligent. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici toată această aritmetică în detaliu.
Adunarea și scăderea fracțiilor.
Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să vă reamintesc că sunt complet uituc: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:
Pe scurt, în termeni generali:
Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea principală a fracției (aici ne-a fost util din nou!), Facem numitorii la fel! De exemplu:
Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. Numai în scopul de a face numitorii la fel. Observ, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 este incomod pentru noi, iar 4/10 este chiar nimic.
Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror sarcini din matematică. Când suntem afară incomod expresiile fac la fel, dar mai convenabil de rezolvat.
Alt exemplu:
Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin înmulțire simplă cu 3. Toate acestea sunt clare. Dar aici întâlnim ceva de genul:
Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:
Cum! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil egal cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță împărțit la 7!
Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul care este comun tuturor fracțiilor și să aduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:
Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, este ușor să obțineți din aceste numere 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.
Apropo, dacă luăm 1024 ca numitor comun, totul va merge și el, până la urmă totul se va reduce. Numai că nu toată lumea va ajunge în acest scop, din cauza calculelor...
Rezolvați singur exemplul. Nu un logaritm... Ar trebui să fie 29/16.
Deci, cu adunarea (scăderea) fracțiilor este clar, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este disponibilă celor care au lucrat sincer în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.
Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Noi greble vor fi găsite aici, da...
Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:
Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Deci proprietatea principală a fracției spune. Prin urmare, nu pot adăuga unul la x în prima fracție din numitor. (Dar asta ar fi frumos!). Dar dacă înmulțiți numitorii, vedeți, totul va crește împreună! Așa că notăm, linia fracției, lăsăm un spațiu gol deasupra, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:
Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem paranteze! Și acum, privind numitorul comun al părții drepte, ne gândim: pentru a obține numitorul x (x + 1) în prima fracție, trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x + 1) . Și în a doua fracție - x. Primești asta:
Notă! Parantezele sunt aici! Aceasta este grebla pe care mulți o calcă. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim întregul numărător și întregul numitor! Și nu piesele lor individuale...
În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. inmulti totul si da like. Nu trebuie să deschideți parantezele din numitori, nu trebuie să înmulțiți ceva! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:
Aici avem răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Rezolvă exemple, obișnuiește-te, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile în timpul alocat, fac toate aceste operații cu o singură mână, pe aparat!
Și încă o notă. Mulți se ocupă de fracții, dar se așteaptă cu exemple întreg numere. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați un deuce? Nu este nevoie să fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune dintr-un doi. Nu este ușor, este foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.
Ei bine, la adunarea - scăderea fracțiilor, cunoștințele au fost reîmprospătate. Transformări ale fracțiilor de la un tip la altul - repetate. De asemenea, puteți verifica. Ne aliniem putin?)
Calculati:
Răspunsuri (în dezordine):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Înmulțirea / împărțirea fracțiilor - în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate acțiunile cu fracții.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Într-un proces educațional real, nu sunt necesare atât de multe sarcini pentru adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori - vor fi suficiente sarcini din manual. Vom acorda mai multă atenție problemelor în care întreaga cantitate este luată ca unitate. Mai mult, la început este mai bine să-l reprezentăm ca 2/2, 3/3 etc. cantități.
163 . Fata a citit 2/5, apoi încă 1/5 din carte. Ce parte din carte a citit?
164 . Turiștii au trecut 1/7, apoi încă 3/7 din tot traseul. Ce parte din traseu mai au de parcurs?
165 . Doi tractoristi au cosit 5/9 din poiană, iar primul tractorist a cosit 2/9 din poiană. Ce parte a pajiștii a fost cosită de al doilea tractorist?
166 . Primul tractorist a arat 2/7 din câmp, al doilea - 3/7 din câmp. Împreună au arat 10 Ha. Determinați aria câmpului.
167 . Rezolvați problemele 150 (a-c) folosind scăderea fracțiilor.
168 . Rezolvați problemele 154 (1-2) folosind scăderea fracțiilor.
169 . 1) Vrăbiile stăteau pe o creangă. Când a treia parte a vrăbiilor a zburat, au mai rămas 6. Câte vrăbii erau inițial pe ramură?
2) Cineva a cheltuit 3/4 din banii lui și mai avea 200 R. Câți bani avea?
3) În prima zi, turiştii au parcurs 2/5 din traseul planificat, iar în a doua zi, restul de 15 km. Care este lungimea traseului?
4) Vasya are 200 de timbre în colecția sa. Pe parcursul anului trecut, numărul de timbre din colecție a crescut cu 1/4. Câte timbre erau în colecție acum un an?
170 . Înainte de prânz, strungarul a finalizat 2/8 din sarcină, după prânz - 3/8 din sarcină, după care a avut 24 de părți de întors. Câte părți a trebuit să măcine?
171 . Din « Aritmetic » L.N. Tolstoi. Soțul și soția au luat bani din același cufăr și nu a mai rămas nimic. Soțul a luat 7/10 din toți banii, iar soția 690 R. Cât au fost toți banii?
172 . Rezolvați problemele din papirusurile egiptene în două moduri.
1) Cantitatea și a patra parte a acesteia dau împreună 15. Aflați
cantitate.
2) Numărul și jumătate din el este 9. Aflați numărul.
173 . Intocmește o problemă similară cu problemele egiptene și rezolvă-o în două moduri.
Pornind de la următoarea problemă, în soluții apar adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Dacă acest material nu a fost studiat în clasa a V-a, atunci sarcinile rămase legate de fracții ar trebui amânate până în clasa a VI-a.
174 . a) La fiecare oră, prima conductă umple 1/2 din bazin, iar a doua - 1/3 din bazin. Ce parte a piscinei este umplută de ambele țevi în 1 h colaborare?
b) Prima brigadă poate îndeplini 1/12 din sarcină pe zi, iar a doua - 1/8 din sarcină. Ce parte a sarcinii vor îndeplini două echipe într-o zi de lucru comun?
c) Un autoturism parcurge 1/10 din distanța dintre orașe pe oră, iar un camion - 1/12 din această distanță. Cât din această distanță converg în 1 h mașini care se deplasează una spre alta?
175 . a) Doi tractorişti au arat 2/3 din câmp în 1 zi de muncă în comun. Primul tractorist a arat 1/2 din câmp. Ce parte a câmpului a fost arată de al doilea tractorist?
b) Două mașini care călătoreau unul spre celălalt s-au apropiat în 1 h 1/3 din distanța dintre două orașe. Prima mașină a parcurs 1/8 din acea distanță. Ce fracțiune din distanța totală a parcurs-o a doua mașină?
c) Prin două conducte se umple 1/3 din bazin la fiecare oră. Prin prima țeavă pentru 1 h 1/10 din bazin este umplut. Ce parte a piscinei este umplută 1 h prin a doua teava?
176 . Mai întâi, 1/2 din apa din el a fost turnată din butoi, apoi 1/3, 1/15 și 1/10. Ce parte din apă a fost turnată?
177 .* Am băut o jumătate de ceașcă de cafea neagră și am completat-o cu lapte. Apoi am băut 1/3 cană și am completat cu lapte. Apoi am băut 1/6 cană și am completat cu lapte. În cele din urmă, am băut conținutul paharului până la capăt. Ce am băut mai mult: cafea sau lapte?
178 . Probleme de epocă. 1) Doi pietoni au ieșit în același timp unul spre celălalt din două sate. Primul poate parcurge distanța dintre două sate în 8 h, iar al doilea pentru 6 h. Ce parte a distanței se apropie în 1 h?
2) Trei dulgheri au fost angajați pentru a construi baia; primul a făcut în ziua 2/33 a tuturor lucrărilor, al doilea 1/11, al treilea 7/55. Ce parte din munca totală au făcut toți într-o zi?
3) au fost angajați 4 cărturari pentru a copia eseul; primul ar putea rescrie eseul singur în 24 de zile, al doilea în 36 de zile, al treilea în 20 și al patrulea în 18 zile. Ce parte a eseului vor rescrie într-o zi dacă lucrează împreună?
179 . 1) Dactilografa a tastat a treia parte a manuscrisului, apoi alte 10 pagini. Drept urmare, ea a redactilopat jumătate din întregul manuscris. Câte pagini sunt în manuscris?
2) Problema veche. Un trecător, ajungând din urmă pe altul, a întrebat: « Cât de departe este de satul pe care îl avem în față? » Un alt trecător a răspuns: « Distanta fata de satul din care mergi este egala cu o treime din intreaga distanta dintre sate, iar daca mai mergi 2 verste atunci vei fi exact la mijloc intre sate. » . Câte verste au mai rămas pentru ca primul trecător să meargă?
180 . Problema lui Adam Riese (sec. XVI). Trei au câștigat o sumă de bani. Primul a reprezentat 1/4 din această sumă, al doilea 1/7, iar al treilea 17 florini. Cât de mari sunt toate câștigurile?
