Unghiuri adiacente și verticale. Linii perpendiculare. Ce unghiuri se numesc adiacente? Care este suma a două unghiuri adiacente?

Intrebarea 1. Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns. Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Au latura b în comun, iar laturile a 1 și a 2 sunt semilinii suplimentare.

Intrebarea 2. Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Răspuns. Teorema 2.1. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
Dovada. Fie unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) date unghiuri adiacente(vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 ale unui unghi drept. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180°. Q.E.D.

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.
Răspuns.

Din teoremă 2.1 Rezultă că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt de asemenea egale.
Suma unghiurilor adiacente este de 180°. De aici rezultă că a 1 b + a 2 b = 180° și c 1 d + c 2 d = 180°. Prin urmare, a 2 b = 180° - a 1 b și c 2 d = 180° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Întrebarea 4. Ce unghi se numește drept (acut, obtuz)?
Răspuns. Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept.
Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit.
Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.
Răspuns. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Întrebarea 6. Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.

Întrebarea 7. Demonstrează asta unghiuri verticale sunt egale.
Răspuns. Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada. Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). De aici, folosind teorema privind suma unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) la 180°, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 8. Demonstrați că dacă, atunci când două drepte se intersectează, unul dintre unghiuri este drept, atunci și celelalte trei unghiuri sunt drepte.
Răspuns. Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Să presupunem că unghiul AOD este de 90°. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, obținem că AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Unghiul COB este vertical față de unghiul AOD, deci sunt egali. Adică unghiul COB = 90°. Unghiul COA este vertical la unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD = 90°. Astfel, toate unghiurile sunt egale cu 90°, adică toate sunt unghiuri drepte. Q.E.D.

Întrebarea 9. Ce drepte se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea dreptelor?
Răspuns. Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.
Perpendicularitatea dreptelor este indicată prin semnul \(\perp\). Intrarea \(a\perp b\) spune: „Linia a este perpendiculară pe dreapta b”.

Întrebarea 10. Demonstrați că prin orice punct de pe o dreaptă puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta și numai una.
Răspuns. Teorema 2.3. Prin fiecare linie puteți trage o linie perpendiculară pe ea și numai una.
Dovada. Fie a o dreaptă dată și A un punct dat pe ea. Să notăm cu a 1 una dintre semiliniile dreptei a cu punctul de plecare A (Fig. 38). Să scădem un unghi (a 1 b 1) egal cu 90° din semilinia a 1. Atunci linia dreaptă care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe dreapta a.

Să presupunem că există o altă dreaptă, care trece tot prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Să notăm cu c 1 semilinia acestei drepte situată în același semiplan cu raza b 1 .
Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), fiecare egal cu 90°, sunt așezate într-un semiplan de la semilinia a 1. Dar din semi-linie un 1 poate fi pus într-un semiplan dat doar un unghi egal cu 90°. Prin urmare, nu poate exista o altă dreaptă care trece prin punctul A și perpendiculară pe dreapta a. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 11. Ce este perpendicular pe o dreaptă?
Răspuns. O perpendiculară pe o dreaptă dată este un segment de dreaptă perpendicular pe o dreaptă dată, care are unul dintre capete în punctul de intersecție. Acest capăt al segmentului se numește bază perpendicular.

Întrebarea 12. Explicați în ce constă dovada prin contradicție.
Răspuns. Metoda de demonstrare pe care am folosit-o în teorema 2.3 se numește demonstrație prin contradicție. Această metodă de demonstrare constă în a face mai întâi o presupunere opusă a ceea ce afirmă teorema. Apoi, raționând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie condițiile teoremei, fie una dintre axiome, fie o teoremă demonstrată anterior. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă și, prin urmare, afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13. Care este bisectoarea unui unghi?
Răspuns. Bisectoarea unui unghi este o rază care emană din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul la jumătate.

În procesul de studiere a unui curs de geometrie, conceptele de „unghi”, „unghiuri verticale”, „unghiuri adiacente” apar destul de des. Înțelegerea fiecăruia dintre termeni vă va ajuta să înțelegeți problema și să o rezolvați corect. Ce sunt unghiurile adiacente și cum să le determinăm?

Unghiuri adiacente - definirea conceptului

Termenul „unghiuri adiacente” caracterizează două unghiuri formate dintr-o rază comună și două semilinii suplimentare situate pe aceeași linie dreaptă. Toate cele trei raze ies din același punct. O semilinie comună este simultan o latură a unuia și a celuilalt unghi.

Unghiuri adiacente - proprietăți de bază

1. Pe baza formulării unghiurilor adiacente, este ușor de observat că suma acestor unghiuri formează întotdeauna un unghi drept, măsura gradului care este egal cu 180°:

• Dacă μ și η sunt unghiuri adiacente, atunci μ + η = 180°.
• Cunoscând mărimea unuia dintre unghiurile adiacente (de exemplu, μ), puteți calcula cu ușurință măsura gradului celui de-al doilea unghi (η) folosind expresia η = 180° – μ.

2. Această proprietate a unghiurilor ne permite să tragem următoarea concluzie: un unghi care este adiacent unghi drept, va fi, de asemenea, direct.

3. Considerând funcții trigonometrice(sin, cos, tg, ctg), pe baza formulelor de reducere pentru unghiurile adiacente μ și η, este adevărat:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Unghiuri adiacente - exemple

Exemplul 1

Dat un triunghi cu vârfurile M, P, Q – ΔMPQ. Aflați unghiurile adiacente unghiurilor ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Să extindem fiecare parte a triunghiului cu o linie dreaptă.
• Știind că unghiurile adiacente se completează până la un unghi inversat, aflăm că:

adiacent unghiului ∠QMP este ∠LMP,

adiacent unghiului ∠MPQ este ∠SPQ,

adiacent unghiului ∠PQM este ∠HQP.

Exemplul 2

Valoarea unui unghi adiacent este de 35°. Care este măsura gradului celui de-al doilea unghi adiacent?

• Două unghiuri adiacente se adaugă până la 180°.
• Dacă ∠μ = 35°, atunci adiacent acestuia ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemplul 3

Determinați valorile unghiurilor adiacente dacă se știe că gradul de măsură a unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât gradul de măsurare a celuilalt unghi.

• Să notăm mărimea unui unghi (mai mic) cu – ∠μ = λ.
• Apoi, conform condițiilor problemei, valoarea celui de-al doilea unghi va fi egală cu ∠η = 3λ.
• Pe baza proprietății de bază a unghiurilor adiacente, urmează μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Aceasta înseamnă că primul unghi este ∠μ = λ = 45°, iar al doilea unghi este ∠η = 3λ = 135°.

Abilitatea de a folosi terminologia, precum și cunoașterea proprietăților de bază ale unghiurilor adiacente, vă vor ajuta să rezolvați multe probleme geometrice.

CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. COLTURI ADJACENTE SI VERTICALE.

1. Unghiuri adiacente.

Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): / Și soarele și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două A și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - unghiuri adiacente (Fig. 73).

Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adună la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este egală 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.

Lăsa / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Figura 77).

Noi vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme din aceeași, și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare individual exemple numerice, deoarece concluziile trase pe baza unor exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrare.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ a+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ a+/ c = / b+/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este, de asemenea, egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi Cu.

Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică. definiție unghiuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat o definiție a unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietățile lor.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să întâlnim constant definiții și demonstrații de teoreme.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi complet, adică. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de unghiuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două unghiuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte un unghi este drept, atunci ce se poate spune despre mărimea celorlalte trei unghiuri?

Cum să găsești un unghi adiacent?

Matematica este cea mai veche știință exactă, care este studiată obligatoriu în școli, colegii, institute și universități. Cu toate acestea, cunoștințele de bază sunt întotdeauna stabilite la școală. Uneori un copil este cerut suficient sarcini dificile, iar părinții nu pot ajuta, pentru că pur și simplu au uitat unele lucruri de la matematică. De exemplu, cum să găsiți un unghi adiacent în funcție de dimensiunea unghiului principal etc. Problema este simplă, dar poate cauza dificultăți în rezolvare din cauza necunoașterii ce unghiuri sunt numite adiacente și cum să le găsiți.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției și proprietăților unghiurilor adiacente, precum și a modului de calculare a acestora din datele din problemă.

Definiția și proprietățile unghiurilor adiacente

Două raze care emană dintr-un punct formează o figură numită „unghi plan”. În acest caz, acest punct se numește vârful unghiului, iar razele sunt laturile sale. Dacă continuați una dintre raze dincolo de punctul de plecare într-o linie dreaptă, atunci se formează un alt unghi, care se numește adiacent. Fiecare unghi în acest caz are două unghiuri adiacente, deoarece laturile unghiului sunt echivalente. Adică există întotdeauna un unghi adiacent de 180 de grade.

Principalele proprietăți ale unghiurilor adiacente includ

• Unghiurile adiacente au un vârf comun și o latură;
• Suma unghiurilor adiacente este întotdeauna egală cu 180 de grade sau cu numărul Pi dacă calculul se efectuează în radiani;
• Sinusurile unghiurilor adiacente sunt întotdeauna egale;
• Cosinusurile și tangentele unghiurilor adiacente sunt egale, dar au semne opuse.

Cum să găsiți unghiuri adiacente

De obicei, sunt date trei variante de probleme pentru a găsi mărimea unghiurilor adiacente

• Se da valoarea unghiului principal;
• Este dat raportul dintre unghiul principal și unghiul adiacent;
• Se da valoarea unghiului vertical.

Fiecare versiune a problemei are propria soluție. Să ne uităm la ele.

Este dată valoarea unghiului principal

Dacă problema specifică valoarea unghiului principal, atunci găsirea unghiului adiacent este foarte simplă. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să scădeți valoarea unghiului principal de la 180 de grade și veți obține valoarea unghiului adiacent. Această soluție se bazează pe proprietatea unui unghi adiacent - suma unghiurilor adiacente este întotdeauna egală cu 180 de grade.

Dacă valoarea unghiului principal este dată în radiani și problema necesită găsirea unghiului adiacent în radiani, atunci este necesar să se scadă valoarea unghiului principal din numărul Pi, deoarece valoarea unghiului complet desfășurat de 180 de grade este egal cu numărul Pi.

Este dat raportul dintre unghiul principal și cel alăturat

Problema poate da raportul dintre unghiurile principale și adiacente în loc de grade și radiani ai unghiului principal. În acest caz, soluția va arăta ca o ecuație de proporție:

1. Notăm proporția unghiului principal ca variabilă „Y”.
2. Fracția legată de unghiul adiacent este notată ca variabila „X”.
3. Numărul de grade care se încadrează pe fiecare proporție va fi notat, de exemplu, cu „a”.
4. Formula generala va arăta astfel - a*X+a*Y=180 sau a*(X+Y)=180.
5. Găsim factorul comun al ecuației „a” folosind formula a=180/(X+Y).
6. Apoi înmulțim valoarea rezultată a factorului comun „a” cu fracția unghiului care trebuie determinată.

Astfel putem găsi valoarea unghiului adiacent în grade. Cu toate acestea, dacă trebuie să găsiți o valoare în radiani, atunci trebuie pur și simplu să convertiți gradele în radiani. Pentru a face acest lucru, înmulțiți unghiul în grade cu Pi și împărțiți totul la 180 de grade. Valoarea rezultată va fi în radiani.

Se da valoarea unghiului vertical

Dacă problema nu dă valoarea unghiului principal, dar este dată valoarea unghiului vertical, atunci unghiul adiacent poate fi calculat folosind aceeași formulă ca în primul paragraf, unde este dată valoarea unghiului principal.

Un unghi vertical este un unghi care provine din același punct cu cel principal, dar este îndreptat exact în direcția opusă. Rezultă o imagine în oglindă. Aceasta înseamnă că unghiul vertical este egal ca mărime cu cel principal. La rândul său, unghiul adiacent al unghiului vertical este egal cu unghiul adiacent al unghiului principal. Datorită acestui fapt, unghiul adiacent al unghiului principal poate fi calculat. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scădeți valoarea verticală de la 180 de grade și obțineți valoarea unghiului adiacent al unghiului principal în grade.

Dacă valoarea este dată în radiani, atunci este necesar să se scadă valoarea unghiului vertical din numărul Pi, deoarece valoarea unghiului complet desfășurat de 180 de grade este egală cu numărul Pi.

De asemenea, puteți citi articolele noastre utile și.

colţ celui desfășurat, adică egal cu 180°, deci pentru a le găsi, scădeți din aceasta valoarea cunoscută a unghiului principal α₁ = α₂ = 180°-α.

Din aceasta sunt . Dacă două unghiuri sunt ambele adiacente și egale, atunci sunt unghiuri drepte. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, adică 90 de grade, atunci și celălalt unghi este drept. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este acut, atunci celălalt va fi obtuz. În mod similar, dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci al doilea, în consecință, va fi acut.

Colt ascutit- acesta este unul a cărui măsură de grad este mai mică de 90 de grade, dar mai mare de 0. Un unghi obtuz are o măsură de grad mai mare de 90 de grade, dar mai mică de 180.

O altă proprietate a unghiurilor adiacente este formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt și ele egale. Aceasta înseamnă că dacă există două unghiuri pentru care măsura gradului este aceeași (de exemplu, este de 50 de grade) și, în același timp, unul dintre ele are un unghi adiacent, atunci și valorile acestor unghiuri adiacente coincid ( în exemplu, măsura gradului lor va fi egală cu 130 de grade).

Surse:

• Mare Dicţionar enciclopedic- Colțuri adiacente
• unghi de 180 de grade

Cuvântul „” are interpretări diferite. În geometrie, un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze care emană dintr-un punct - vârful. Când vorbim despre unghiuri drepte, acute și desfăcute, ne referim la unghiuri geometrice.

Ca orice figuri din geometrie, unghiurile pot fi comparate. Egalitatea unghiurilor se determină folosind mișcarea. Este ușor să împărțiți unghiul în două părți egale. Împărțirea în trei părți este puțin mai dificilă, dar se poate face totuși folosind o riglă și o busolă. Apropo, această sarcină părea destul de dificilă. A descrie că un unghi este mai mare sau mai mic decât altul este simplu din punct de vedere geometric.

Unitatea de măsură pentru unghiuri este 1/180