Factorizarea polinoamelor este o transformare identică, în urma căreia un polinom este transformat într-un produs al mai multor factori - polinoame sau monomii.
Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.
Metoda 1. Bracketing factorul comun.
Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a evidenția factorul comun în cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate” dintre paranteze.
Să factorizăm polinomul 28x 3 - 35x 4.
Soluţie.
1. Găsim elementele 28x 3 și 35x 4 divizor comun. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 - x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x3.
2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Bracketing factorul comun
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).
Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maestria” stăpânirii acestei metode este de a observa în expresie una dintre formulele de înmulțire prescurtată.
Să factorizăm polinomul x 6 - 1.
Soluţie.
1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, reprezentăm x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. La expresia rezultată, putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Asa de,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării constă în combinarea componentelor unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra acestora (adunare, scădere, scoatere a unui factor comun).
Factorizăm polinomul x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Soluţie.
1. Grupați componentele astfel: prima cu a 2-a și a 3-a cu a 4-a
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Scoatem factorul comun x - 3 și obținem:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).
Asa de,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).
Să reparăm materialul.
Factorizați polinomul a 2 - 7ab + 12b 2 .
Soluţie.
1. Reprezentăm monomiul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 . 
Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .
2. Grupați componentele polinomului astfel: prima cu a 2-a și a 3-a cu a 4-a. Primim:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Să scoatem factorii comuni:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Să scoatem factorul comun (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Asa de,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Având în vedere înmulțirea polinoamelor, am memorat mai multe formule și anume: formule pentru (a + b)², pentru (a - b)², pentru (a + b) (a - b), pentru (a + b)³ și pentru (a – b)³.
Dacă un anumit polinom se dovedește a coincide cu una dintre aceste formule, atunci va fi posibil să-l factorizeze. De exemplu, polinomul a² - 2ab + b², știm, este egal cu (a - b)² [sau (a - b) (a - b), adică am reușit să factorăm a² - 2ab + b² în 2 factori]; De asemenea
Luați în considerare cel de-al doilea dintre aceste exemple. Vedem că polinomul dat aici se potrivește cu formula obținută prin pătrarea diferenței a două numere (pătratul primului număr, minus produsul a doi cu primul număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr): x 6 este pătratul primului număr și, prin urmare, primul număr însuși este x 3, pătratul celui de-al doilea număr este ultimul termen al polinomului dat, adică 1, al doilea număr însuși este, prin urmare, tot 1; produsul a doi cu primul număr și al doilea este termenul -2x 3, deoarece 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Prin urmare, polinomul nostru a fost obținut prin pătrarea diferenței dintre numerele x 3 și 1, adică este egal la (x 3 - 12 . Luați în considerare un al 4-lea exemplu. Vedem că acest polinom a 2 b 2 - 25 poate fi considerat ca diferența dintre pătratele a două numere, și anume, pătratul primului număr este a 2 b 2, prin urmare, primul număr în sine este ab, pătratul lui al doilea număr este 25, de ce al doilea număr în sine este 5. Prin urmare, polinomul nostru poate fi considerat ca fiind obținut prin înmulțirea sumei a două numere cu diferența lor, i.e.
(ab + 5) (ab - 5).
Uneori se întâmplă ca într-un anumit polinom termenii să nu fie în ordinea cu care suntem obișnuiți, de exemplu.
9a 2 + b 2 + 6ab - mental putem rearanja al doilea și al treilea termen și atunci ne va deveni clar că trinomul nostru = (3a + b) 2.
... (rearanjați mental primul și al doilea membru).
25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 etc.
Luați în considerare un alt polinom
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Vedem că primul său termen este pătratul numărului a și al treilea termen este pătratul numărului 2b, dar al doilea termen nu este produsul de două ori primul număr și al doilea, un astfel de produs ar fi egal cu 2 a 2b = 4ab. Prin urmare, este imposibil să se aplice formula pentru pătratul sumei a două numere la acest polinom. Dacă cineva a scris că a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, atunci ar fi greșit - trebuie să luați în considerare cu atenție toți termenii polinomului înainte de a-i aplica factorizarea prin formule.
40. Combinația ambelor metode. Uneori, atunci când descompuneți polinoame în factori, este necesar să combinați atât tehnica de a scoate factorul comun din paranteze, cât și tehnica de aplicare a formulelor. Aici sunt cateva exemple:
1. 2a 3 – 2ab 2 . În primul rând, scoatem factorul comun 2a din paranteze și obținem 2a (a 2 - b 2). Factorul a 2 - b 2, la rândul său, este descompus conform formulei în factori (a + b) și (a - b).
Uneori este necesar să se aplice în mod repetat metoda de extindere prin formule:
1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)
Vedem că primul factor a 2 + b 2 nu se potrivește cu niciuna dintre formulele familiare; mai mult, amintind cazurile speciale de împărțire (secțiunea 37), vom stabili că a 2 + b 2 (suma pătratelor a două numere) nu factorizează deloc. Al doilea dintre factorii obținuți a 2 - b 2 (diferența prin pătratul a două numere) se descompune în factori (a + b) și (a - b). Asa de,
41. Aplicarea cazurilor speciale de divizare. Pe baza articolului 37, putem scrie imediat că, de exemplu,
În cazul general, această sarcină implică o abordare creativă, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare. Cu toate acestea, să încercăm să dăm câteva indicii.
În marea majoritate a cazurilor, descompunerea unui polinom în factori se bazează pe consecința teoremei lui Bezout, adică se găsește sau se selectează rădăcina și se reduce gradul polinomului cu unu prin împărțirea la. Polinomul rezultat este căutat pentru o rădăcină și procesul se repetă până la extinderea completă.
Dacă rădăcina nu poate fi găsită, atunci se folosesc metode specifice de descompunere: de la grupare până la introducerea de termeni suplimentari care se exclud reciproc.
Prezentarea ulterioară se bazează pe abilitățile de a rezolva ecuații de grade superioare cu coeficienți întregi.
Bracketing factorul comun.
Să începem cu cel mai simplu caz, când termenul liber este egal cu zero, adică polinomul are forma .
Evident, rădăcina unui astfel de polinom este , adică polinomul poate fi reprezentat ca .
Această metodă nu este altceva decât scotând factorul comun din paranteze.
Exemplu.
Descompuneți un polinom de gradul al treilea în factori.
Soluţie.
Este evident că aceasta este rădăcina polinomului, adică X poate fi cuprins între paranteze:
Aflați rădăcinile unui trinom pătrat 
Prin urmare, 
Începutul paginii
Factorizarea unui polinom cu rădăcini raționale.
În primul rând, luați în considerare metoda de extindere a unui polinom cu coeficienți întregi de forma , coeficientul de cel mai înalt grad este egal cu unu.
În acest caz, dacă polinomul are rădăcini întregi, atunci acestea sunt divizori ai termenului liber.
Exemplu.
Soluţie.
Să verificăm dacă există rădăcini întregi. Pentru a face acest lucru, scriem divizorii numărului -18
: . Adică, dacă polinomul are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre numerele scrise. Să verificăm aceste numere secvenţial conform schemei lui Horner. Comoditatea sa constă și în faptul că în final vom obține și coeficienții de expansiune ai polinomului: 
Acesta este, x=2Și x=-3 sunt rădăcinile polinomului original și poate fi reprezentat ca produs:
Rămâne să se descompună trinom pătrat.
Discriminantul acestui trinom este negativ, prin urmare nu are rădăcini reale.
Răspuns:
Cometariu:
în loc de schema lui Horner, s-ar putea folosi selecția unei rădăcini și împărțirea ulterioară a unui polinom cu un polinom.
Acum luați în considerare expansiunea unui polinom cu coeficienți întregi de forma , iar coeficientul de cel mai înalt grad nu este egal cu unu.
În acest caz, polinomul poate avea rădăcini fracționale raționale.
Exemplu.
Factorizați expresia.
Soluţie.
Prin schimbarea variabilei y=2x, trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, înmulțim mai întâi expresia cu 4
.
Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre divizorii termenului liber. Să le scriem:
Calculați succesiv valorile funcției g(y)în aceste puncte până la atingerea zero. 
Ce s-a întâmplat factorizare? Este o modalitate de a transforma un exemplu ciudat și complicat într-unul simplu și drăguț.) recepție puternică! Ea apare la fiecare pas atât în matematica elementară, cât și în matematica superioară.
Astfel de transformări în limbajul matematic se numesc transformări identice ale expresiilor. Cine nu este în subiect - faceți o plimbare pe link. Există foarte puțin, simplu și util.) Sensul oricărei transformarea identităţii este o înregistrare a expresiei într-o formă diferită păstrându-i în același timp esența.
Sens factorizări extrem de simplu și de înțeles. Chiar din titlul în sine. Puteți uita (sau nu știți) ce este un multiplicator, dar vă puteți da seama că acest cuvânt provine de la cuvântul „înmulțire”?) Factorizarea înseamnă: reprezintă o expresie ca o multiplicare a ceva cu ceva. Iartă-mă matematica și limba rusă...) Și atât.
De exemplu, trebuie să descompuneți numărul 12. Puteți scrie în siguranță:
Așa că am prezentat numărul 12 ca o înmulțire a lui 3 cu 4. Vă rugăm să rețineți că numerele din dreapta (3 și 4) sunt complet diferite de cele din stânga (1 și 2). Dar știm bine că 12 și 3 4 la fel. Esența numărului 12 din transformare nu s-a schimbat.
Este posibil să descompun 12 în alt mod? Uşor!
12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=........
Opțiunile de descompunere sunt nesfârșite.
Descompunerea numerelor în factori este un lucru util. Ajută foarte mult, de exemplu, atunci când ai de-a face cu rădăcini. Dar factorizarea expresiilor algebrice nu este ceva util, este - necesar! Doar de exemplu:
Simplifica:
Cei care nu știu să factorizeze expresia, se odihnesc pe margine. Cine știe cum - simplifică și obține:
Efectul este uimitor, nu?) Apropo, soluția este destul de simplă. Veți vedea singur mai jos. Sau, de exemplu, o astfel de sarcină:
Rezolvați ecuația:
x 5 - x 4 = 0
Hotărât în minte, de altfel. Cu ajutorul factorizării. Mai jos vom rezolva acest exemplu. Răspuns: x 1 = 0; x2 = 1.
Sau, același lucru, dar pentru cei mai în vârstă):
Rezolvați ecuația:
În aceste exemple, am arătat scop principal factorizări: simplificarea expresiilor fracţionale şi rezolvarea unor tipuri de ecuaţii. Vă recomand să vă amintiți regula de bază:
Dacă avem în fața noastră o expresie fracțională groaznică, putem încerca să factorizăm numărătorul și numitorul. Foarte des, fracția este redusă și simplificată.
Dacă avem o ecuație în fața noastră, unde în dreapta este zero și în stânga - nu înțelegeți ce, puteți încerca să factorizați partea stângă. Uneori ajută.)
Metode de bază de factorizare.
Iată cele mai populare moduri:
4. Descompunerea unui trinom pătrat.
Aceste metode trebuie reținute. Este în ordinea aceea. Sunt verificate exemple complexe pentru toți moduri posibile descompunere.Și este mai bine să verificați în ordine, pentru a nu vă încurca ... Să începem în ordine.)
1. Scoaterea factorului comun din paranteze.
simplu și mod de încredere. Nu iese rău de la el! Se întâmplă fie bine, fie deloc.) Prin urmare, el este primul. Noi înțelegem.
Toată lumea știe (cred!) regula:
a(b+c) = ab+ac
Sau, în mai multe vedere generala:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Toate egalitățile funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și invers, de la dreapta la stânga. Poti sa scrii:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Acesta este scopul de a scoate factorul comun dintre paranteze.
Pe partea stângă a A - factor comun pentru toți termenii. Înmulțit cu tot.) Dreptul este cel mai mult A e deja în afara parantezelor.
Uz practic Să aruncăm o privire la exemple. La început, varianta este simplă, chiar primitivă.) Dar pe această variantă voi marca ( în verde) Foarte Puncte importante pentru orice factorizare.
Multiplica:
ah+9x
Care general este multiplicatorul în ambii termeni? X, desigur! O vom scoate din paranteze. Așa facem. Scriem imediat x în afara parantezei:
ax+9x=x(
Și în paranteze scriem rezultatul împărțirii fiecare termen chiar pe acest x. În ordine:
Asta e tot. Desigur, nu este necesar să pictezi atât de detaliat, acest lucru se face în minte. Dar pentru a înțelege ce este ce, este de dorit). Fixăm în memorie:
Scriem factorul comun în afara parantezei. În paranteze, scriem rezultatele împărțirii tuturor termenilor la acest factor foarte comun. În ordine.
Aici am extins expresia ah+9x pentru multiplicatori. L-am transformat în înmulțirea x cu (a + 9). Observ că în expresia originală era și o înmulțire, chiar două: a x și 9 x. Dar nu a fost factorizat! Pentru că pe lângă înmulțire, această expresie conținea și adunarea, semnul „+”! Și în expresie x(a+9) nimic altceva decât înmulțire!
Cum așa!? - Aud vocea indignată a oamenilor - Și între paranteze!?)
Da, există adăugare în interiorul parantezei. Dar trucul este că, deși parantezele nu sunt deschise, le luăm în considerare ca o singură literă.Și facem toate acțiunile cu paranteze în întregime, ca o singură literă.În acest sens, în expresia x(a+9) nimic altceva decât înmulțire. Acesta este scopul factorizării.
Apropo, există vreo modalitate de a verifica dacă am făcut totul bine? Uşor! Este suficient să înmulți înapoi ceea ce a fost scos (x) prin paranteze și să vezi dacă a ieșit original expresie? Dacă a ieșit, totul este la vârf!)
x(a+9)=ax+9x
S-a întâmplat.)
Nu există nicio problemă în acest exemplu primitiv. Dar dacă există mai mulți termeni, și chiar cu semne diferite... Pe scurt, fiecare al treilea student da peste cap). Prin urmare:
Dacă este necesar, verificați factorizarea prin înmulțire inversă.
Multiplica:
3x+9x
Căutăm un factor comun. Ei bine, totul este clar cu X, poate fi suportat. Mai este ceva general factor? Da! Acesta este un trio. De asemenea, puteți scrie expresia astfel:
3x+3 3x
Aici este imediat clar că factorul comun va fi 3x. Iată-l scoatem:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Împrăștiat.
Și ce se întâmplă dacă iei doar x? Nimic special:
3ax+9x=x(3a+9)
Aceasta va fi, de asemenea, o factorizare. Dar în acest proces fascinant, se obișnuiește să așezați totul până când se oprește, în timp ce există o oportunitate. Aici, între paranteze, există o oportunitate de a scoate un triplu. Obține:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Același lucru, doar cu o acțiune suplimentară.) Rețineți:
Când scoatem factorul comun din paranteze, încercăm să scoatem maxim multiplicator comun.
Să continuăm distracția?
Factorizarea expresiei:
3ax+9x-8a-24
Ce vom scoate? Trei, X? Nu-ee... Nu poți. Vă reamintesc că nu puteți decât să luați general multiplicator adică in toate termenii expresiei. De aceea el general. Nu există un astfel de multiplicator aici... Ce, nu poți așeza!? Ei bine, da, am fost încântați, cum... Faceți cunoștință cu:
2. Gruparea.
De fapt, gruparea este greu de numit într-un mod independent factorizări. Este mai mult o modalitate de a ieși exemplu complex.) Este necesar să grupați termenii, astfel încât totul să funcționeze. Acest lucru poate fi arătat doar cu un exemplu. Deci avem o expresie:
3ax+9x-8a-24
Se poate observa că există câteva litere și numere comune. Dar... General nu există un multiplicator care să fie în toți termenii. Nu vă pierdeți inima și rupem expresia în bucăți. Ne grupăm. Așa că în fiecare piesă era un factor comun, era ceva de scos. Cum rupem? Da, doar paranteze.
Permiteți-mi să vă reamintesc că parantezele pot fi plasate oriunde și în orice fel. Dacă numai esenţa exemplului nu s-a schimbat. De exemplu, puteți face acest lucru:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
Vă rugăm să fiți atenți la a doua paranteză! Sunt precedate de semnul minus și 8aȘi 24 devii pozitiv! Dacă, pentru verificare, deschidem parantezele înapoi, semnele se vor schimba și obținem original expresie. Acestea. esența expresiei dintre paranteze nu s-a schimbat.
Dar dacă puneți doar în paranteze, fără a ține cont de schimbarea semnului, de exemplu, așa:
3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8a-24 )
va fi o greșeală. Corect - deja alte expresie. Extindeți parantezele și totul va deveni clar. Nu poți decide mai departe, da...)
Dar să revenim la factorizare. Uită-te la primele paranteze (3x + 9x) si gandeste-te, este posibil sa suporti ceva? Ei bine, am rezolvat acest exemplu de mai sus, îl putem scoate 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Studiem a doua paranteză, acolo le puteți scoate pe cele opt:
(8a+24)=8(a+3)
Întreaga noastră expresie va fi:
(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)
Înmulțit? Nu. Descompunerea ar trebui să aibă ca rezultat doar inmultire,și avem un semn minus strică totul. Dar... Ambii termeni au un factor comun! Acest (a+3). Nu degeaba am spus că parantezele în ansamblu sunt, parcă, o singură literă. Deci, aceste paranteze pot fi scoase din paranteze. Da, exact așa sună.)
Facem așa cum este descris mai sus. Scrieți factorul comun (a+3), în a doua paranteză scriem rezultatele împărțirii termenilor la (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Toate! În dreapta, nu există decât înmulțire! Deci factorizarea este finalizată cu succes!) Iată:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Să recapitulăm esența grupului.
Dacă expresia nu general multiplicator pentru toate termeni, împărțim expresia cu paranteze astfel încât în interiorul parantezei factorul comun a fost. Hai să-l scoatem și să vedem ce se întâmplă. Dacă avem noroc și exact aceleași expresii rămân în paranteze, scoatem aceste paranteze din paranteze.
Voi adăuga că gruparea este un proces creativ). Nu funcționează întotdeauna prima dată. E bine. Uneori trebuie să schimbați termeni, să luați în considerare diferite opțiuni de grupare până când găsiți unul bun. Principalul lucru aici este să nu vă pierdeți inima!)
Exemple.
Acum, după ce v-ați îmbogățit cu cunoștințe, puteți rezolva și exemple dificile.) La începutul lecției, au fost trei dintre acestea ...
Simplifica:
De fapt, am rezolvat deja acest exemplu. Insesizabil pentru mine însumi.) Vă reamintesc: dacă ni se dă o fracție groaznică, încercăm să descompunem numărătorul și numitorul în factori. Alte variante de simplificare pur si simplu nu.
Ei bine, aici nu se descompune numitorul, ci numărătorul... Am descompus deja numărătorul în cursul lecției! Ca aceasta:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Scriem rezultatul expansiunii în numărătorul fracției:
Conform regulii de reducere a fracțiilor (proprietatea principală a unei fracții), putem împărți (simultan!) numărătorul și numitorul la același număr, sau expresie. Fracțiune din asta nu se schimba. Deci împărțim numărătorul și numitorul la expresie (3x-8). Și aici și acolo obținem unități. Rezultatul final al simplificării:
Subliniez în special: reducerea unei fracții este posibilă dacă și numai dacă în numărător și numitor, pe lângă înmulțirea expresiilor nu este nimic. De aceea transformarea sumei (diferenței) în multiplicare atât de important de simplificat. Desigur, dacă expresiile diferit, atunci nimic nu va fi redus. Byvet. Dar factorizarea dă o șansă. Această șansă fără descompunere - pur și simplu nu există.
Exemplu de ecuație:
Rezolvați ecuația:
x 5 - x 4 = 0
Eliminarea factorului comun x 4 pentru paranteze. Primim:
x 4 (x-1)=0
Presupunem că produsul factorilor este egal cu zero atunci și numai atunci când oricare dintre ele este egal cu zero. Dacă aveți îndoieli, găsiți-mi câteva numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero.) Așa că scriem, mai întâi, primul factor:
Cu această egalitate, al doilea factor nu ne deranjează. Oricine poate fi, oricum, până la urmă, zero se va dovedi. Care este numărul la puterea a patra a lui zero? Numai zero! Și nimic altceva... Prin urmare:
Ne-am dat seama de primul factor, am găsit o rădăcină. Să ne ocupăm de al doilea factor. Acum nu ne pasă de primul multiplicator.):
Aici am gasit o solutie: x 1 = 0; x2 = 1. Oricare dintre aceste rădăcini se potrivește ecuației noastre.
O notă foarte importantă. Rețineți că am rezolvat ecuația puțin cu puțin! Fiecare factor a fost setat la zero. indiferent de alți factori. Apropo, dacă într-o astfel de ecuație nu există doi factori, așa cum avem noi, ci trei, cinci, câte doriți, vom decide asemănătoare. Bucată cu bucată. De exemplu:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Cel care deschide parantezele, înmulțește totul, se va atârna pentru totdeauna de această ecuație.) Elevul corect va vedea imediat că în stânga nu este nimic decât înmulțirea, în dreapta - zero. Și va începe (în mintea lui!) Să echivaleze cu zero toate parantezele în ordine. Și obțineți (în 10 secunde!) decizia corectă: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.
Grozav, nu?) O astfel de soluție elegantă este posibilă dacă partea stângă a ecuației împărțit în multipli. Aluzia este clară?)
Ei bine, ultimul exemplu, pentru cei mai mari):
Rezolvați ecuația:
Seamănă oarecum cu precedentul, nu crezi?) Desigur. Este timpul să ne amintim că în algebra de clasa a șaptea, sinusurile, logaritmii și orice altceva pot fi ascunse sub litere! Factorizarea funcționează în toate matematicile.
Eliminarea factorului comun lg4x pentru paranteze. Primim:
lg 4x=0
Aceasta este o singură rădăcină. Să ne ocupăm de al doilea factor.
Iată răspunsul final: x 1 = 1; x2 = 10.
Sper că v-ați dat seama de puterea factorizării în simplificarea fracțiilor și rezolvarea ecuațiilor.)
În această lecție, ne-am familiarizat cu eliminarea factorului comun și a grupării. Rămâne să ne ocupăm de formulele de înmulțire prescurtată și de trinomul pătrat.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
