Fie definită funcția y = f(x) în intervalul X. Derivat funcția y = f(x) în punctul x o se numește limită

= .

Dacă această limită finit, atunci se apelează funcția f(x). diferentiabil la punct X o; Mai mult, se dovedește a fi neapărat continuu în acest moment.

Dacă limita luată în considerare este egală cu  (sau - ), atunci cu condiția ca funcția la punctul X o este continuă, vom spune că funcția f(x) o are în punct X o derivat infinit.

Derivatul este notat prin simboluri

y , f (x o), , .

Găsirea derivatei se numește diferenţiere funcții. Sensul geometric al derivatului este că derivata este pantă tangentă la curba y=f(x) într-un punct dat X o ; sens fizic - este că derivata traseului în raport cu timpul este viteza instantanee a punctului de mișcare la mișcare dreaptă s = s(t) la momentul t o .

Dacă Cu - număr constant, și u = u(x), v = v(x) sunt câteva funcții diferențiabile, atunci urmând reguli diferenţiere:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) dacă y = f(u), u = (x), adică. y = f((x)) - functie complexa sau suprapunere, compus din funcții diferențiabile  și f, apoi , sau

6) dacă pentru o funcție y = f(x) există o funcție diferențiabilă inversă x = g(y), și  0, atunci .

Pe baza definiției derivatei și a regulilor de diferențiere, este posibil să se întocmească o listă de derivate tabelare ale principalelor funcții elementare.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Să calculăm derivata expresiei exponențiale putere y=u v , (u>0), unde uȘi v esenţa funcţiei din X, având derivate la un punct dat tu",v".

Luând logaritmi ai egalității y=u v , obținem ln y = v ln u.

Echivalarea derivatelor cu privire la X din ambele părți ale egalității rezultate folosind regulile 3, 5 și formula pentru derivata unei funcții logaritmice, vom avea:

y"/y = vu"/u +v" ln u, de unde y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

De exemplu, dacă y = x sin x, atunci y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punct X, adică are o derivată finită în acest punct y", atunci = y"+, unde 0 la х 0; deci  y = y" х +  x.

Partea principală a incrementului funcției, liniară în raport cu x, este numită diferenţial funcțiiși se notează cu dy: dy = y" х. Dacă punem y=x în această formulă, obținem dx = x"х = 1х =х, deci dy=y"dx, adică simbolul pentru Notația derivată poate fi gândită ca o fracție.

Creșterea funcției  y este incrementul ordonatei curbei și diferența d y este incrementul de ordonată a tangentei.

Să găsim pentru funcția y=f(x) derivata ei y = f (x). Derivata acestei derivate se numeste derivată de ordinul doi funcțiile f(x), sau derivata a doua, si este desemnat .

Următoarele sunt definite și desemnate în același mod:

derivată de ordinul trei - ,

derivată de ordinul al patrulea -

si in general vorbind derivată de ordinul al n-lea - .

Exemplul 3.15. Calculați derivata funcției y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Soluţie. După regula 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x.

Exemplu 3.16 . Găsiți y", y = tan x + .

Soluţie. Folosind regulile de diferențiere a sumei și a câtului, obținem: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Exemplul 3.17. Aflați derivata funcției complexe y= , u=x 4 +1.

Soluţie. Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, obținem: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Deoarece u=x 4 +1, atunci (2 x 4 + 2+ .

Data: 20.11.2014

Ce este un derivat?

Tabelul derivatelor.

Derivatul este unul dintre conceptele principale matematică superioară. În această lecție vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această cunoștință vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu derivate;

Rezolvarea cu succes chiar a acestor probleme sarcini dificile;

Pregătiți-vă pentru lecții mai serioase despre derivate.

În primul rând - o surpriză plăcută.)

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor și treaba este destul de complicată. Acest lucru este supărător. Dar aplicarea practică a derivatelor, de regulă, nu necesită cunoștințe atât de extinse și profunde!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Asta e tot. Asta ma face fericit.

Să începem să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice diferite în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă mai adăugați o operație la aceste operații, matematica elementară devine mai mare. Acest noua operatiune numit diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Este important să înțelegem aici că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, conform anumite reguli, transforma-l. Rezultatul va fi optiune noua. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat- rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă- rezultatul adunării. Sau privat- rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formulările sunt următoarele: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivatași așa mai departe. Asta este tot la fel. Desigur, există și sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea problemei.

Derivata este indicată printr-o liniuță în partea dreaptă sus a funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf)și așa mai departe.

Citind igrek stroke, ef stroke din x, es stroke din te, pai ai inteles...)

Un prim poate indica, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivatele sunt notate folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Tot ce rămâne este să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli.În mod surprinzător, există foarte puține dintre aceste reguli.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știți doar trei lucruri. Trei piloni pe care stă toată diferențierea. Iată acești trei piloni:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție ne vom uita la tabelul derivatelor.

Tabelul derivatelor.

Există un număr infinit de funcții în lume. Printre această varietate, există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicație practică. Aceste funcții se găsesc în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. Pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor, acesta este un lucru destul de intensiv în muncă. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața lor (și nouă). Ei au calculat derivatele funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. În stânga este o funcție elementară, în dreapta este derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (valoare constantă)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
4	e X
5	Buturuga A X
5	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Înțelegi indiciu?) Da, este indicat să cunoști pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să rezolvați mai multe exemple, tabelul în sine va fi amintit!)

Găsirea valorii de tabel a derivatului, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a funcției putere în vedere generala(grupa a treia). În cazul nostru n=3. Deci înlocuim trei în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Asta este.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0în același derivat. Exact in ordinea asta! Altfel, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este o funcție nouă.

Folosind tableta găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sin x)" = cosx

Inlocuim zero in derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce, inspiră?) Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, căutarea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus cu unghi dublu, atunci totul devine mai bine imediat!

Da Da! Amintiți-vă că transformarea funcției inițiale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Folosind formula cosinusului cu unghi dublu:

Acestea. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cosx. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Aflați derivata funcției:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, operațiile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Scriem direct după formula:

Asta e tot. Acesta va fi răspunsul.

Sper că totul este clar cu primul pilon de diferențiere - tabelul derivatelor. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare vom învăța regulile de diferențiere.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea x) și a funcției exponențiale (a la puterea x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Derivata unui exponent este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea x este egală cu e la puterea x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei functii exponentiale cu o baza de gradul a este egala cu functia insasi inmultita cu logaritmul natural de la un:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata exponențialului, e la puterea x

Exponentul este functie exponentiala, a cărui bază este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.

Derivarea formulei derivate exponenţiale

Luați în considerare exponențialul, e la puterea x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toată lumea. Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru avem nevoie de următoarele fapte:
A) Proprietatea exponentului:
(4) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(5) ;
ÎN) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(7) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire. Apoi ; .
Datorită continuităţii exponenţialului,
.
Prin urmare, când , . Ca rezultat obținem:
.

Să facem o înlocuire. Apoi . La , . Și avem:
.

Să aplicăm proprietatea logaritmului (5):
. Apoi
.

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:
.
Aici am folosit și a doua limită remarcabilă (7). Apoi
.

Astfel, am obţinut formula (1) pentru derivata exponenţialului.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții exponențiale

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a. Noi credem că și . Apoi funcția exponențială
(8)
Definit pentru toată lumea.

Să transformăm formula (8). Pentru aceasta vom folosi proprietățile funcției exponențialeși logaritm.
;
.
Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
.

Derivate de ordin superior ale lui e la puterea x

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
(14) .
(1) .

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.

Derivate de ordin superior ale funcției exponențiale

Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(15) .

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu . Prin urmare, derivata de ordinul n-a are următoarea formă:
.

Creați un raport și calculați limita.

De unde a venit? tabel de derivate și reguli de diferențiere? Datorită singurei limite. Pare a fi magie, dar în realitate este o ofilă și nicio fraudă. La lectie Ce este un derivat? Am început să mă uit exemple concrete, unde, folosind definiția, am găsit derivatele lui liniar și funcţie pătratică. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabelul derivatelor, perfecționând algoritmul și tehnică solutii:

Exemplul 1

În esență, trebuie să demonstrați un caz special al derivatei unei funcții de putere, care apare de obicei în tabel: .

Soluţie formalizat tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu derivata într-un punct.

Sa luam in considerare niste(specific) punct aparținând domeniul definirii funcţie în care există o derivată. Să setăm incrementul în acest moment (desigur, în sfera de aplicareo/o -I)și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard, considerată încă din secolul I î.Hr. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia conjugată :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece puteți alege ORICE punct al intervalului ca calitate, atunci, după ce am făcut înlocuirea, obținem:

Răspuns

Încă o dată să ne bucurăm de logaritmi:

Exemplul 2

Găsiți derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluţie: Să luăm în considerare o abordare diferită pentru promovarea aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de indicele de la începutul soluției și să folosești litera în loc de litera.

Sa luam in considerare arbitrar punct aparținând domeniul definirii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Dar aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Să găsim derivata:

Simplitatea designului este echilibrată de confuzia care poate apărea pentru începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vioi de-a lungul coridorului muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Folosim proprietatea logaritmului.

(2) În paranteze, împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x” pentru a profita de el limită remarcabilă , în timp ce ca infinitezimal iese în evidență.

Răspuns: prin definiția derivatului:

Sau pe scurt:

Vă propun să construiți singur încă două formule de tabel:

Exemplul 3

ÎN în acest caz, este convenabil să reduceți imediat incrementul compilat la un numitor comun. Probă aproximativă finalizarea sarcinii la sfârșitul lecției (prima metodă).

Exemplul 3:Soluţie : luați în considerare un punct , aparținând domeniului de definire a funcției . Să setăm incrementul în acest moment și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să găsim derivata la punct :

Din moment ce ca a puteți selecta orice punct domeniul functional , Acea Și
Răspuns : prin definiţia derivatului

Exemplul 4

Găsiți derivată prin definiție

Și aici totul trebuie redus la limita minunata. Soluția se formalizează în al doilea mod.

O serie de altele derivate tabulare. Lista plina poate fi găsit într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost să copiem dovezile regulilor de diferențiere din cărți - sunt generate și de formulă.

Exemplul 4:Soluţie , aparținând , și setați incrementul în acesta

Să găsim derivata:

Folosind o limită minunată

Răspuns : a-prioriu

Exemplul 5

Găsiți derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluţie: folosim primul stil de design. Să luăm în considerare un punct care aparține lui și să specificăm incrementul argumentului la acesta. Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care trebuie făcute creșteri. Luați un punct (număr) și găsiți valoarea funcției din el: , adică în funcție în loc de„X” trebuie înlocuit. Acum luăm și un număr foarte specific și, de asemenea, îl înlocuim în funcție în loc de"iksa": . Notăm diferența și este necesar pune complet între paranteze.

Increment de funcție compilat Poate fi benefic să simplificați imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția la o limită suplimentară.

Folosim formule, deschidem parantezele și reducem tot ce poate fi redus:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

Deoarece putem alege orice număr real ca valoare, facem înlocuirea și obținem .

Răspuns: a-prioriu.

În scopuri de verificare, să găsim derivatul folosind regulile și tabele de diferențiere:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi funcția propusă într-un mod „rapid”, fie mental, fie în schiță, chiar de la începutul soluției.

Exemplul 6

Găsiți derivata unei funcții prin definiția derivatei

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Rezultatul este evident:

Exemplul 6:Soluţie : luați în considerare un punct , aparținând , și setați incrementul argumentului din acesta . Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Să calculăm derivata:

Prin urmare:
Pentru că ca atunci poți alege orice număr real Și
Răspuns : a-prioriu.

Să revenim la stilul #2:

Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferentiere a functiilor complexe:

Soluţie: luați în considerare un punct arbitrar aparținând lui , setați incrementul argumentului la el și compuneți incrementul funcției:

Să găsim derivata:

(1) Utilizare formula trigonometrică .

(2) Sub sinus deschidem parantezele, sub cosinus prezentăm termeni similari.

(3) Sub sinus reducem termenii, sub cosinus împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus indicăm că termenul .

(5) Efectuăm înmulțirea artificială la numitor pentru a folosi prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, haideți să curățăm rezultatul.

Răspuns: a-prioriu

După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe complexitatea limitei în sine + o ușoară unicitate a ambalajului. În practică, apar ambele metode de proiectare, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai recomandabil ca manechinilor să rămână la opțiunea 1 cu „X-zero”.

Exemplul 8

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Exemplul 8:Soluţie : luați în considerare un punct arbitrar , aparținând , să setăm incrementul în el și compuneți incrementul funcției:

Să găsim derivata:

Folosim formula trigonometrică și prima limită remarcabilă:

Răspuns : a-prioriu

Să ne uităm la o versiune mai rară a problemei:

Exemplul 9

Găsiți derivata funcției în punctul folosind definiția derivatei.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr

Să calculăm răspunsul în modul standard:

Soluţie: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece formula ia în considerare în schimb o anumită valoare.

Să setăm incrementul la punctul și să compunem incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm derivata într-un punct:

Folosim o formulă de diferență tangentă foarte rară si inca o data reducem solutia la prima limită minunată:

Răspuns: prin definiția derivatei la un punct.

Problema nu este atât de dificil de rezolvat „în general” - este suficient să o înlocuiești cu sau pur și simplu în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, este clar că rezultatul nu va fi un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10

Folosind definiția, găsiți derivata funcției la un punct (dintre care unul se poate dovedi infinit), despre care vorbesc schiță generală deja spus lecție teoretică despre derivată.

Unele funcții date pe bucăți sunt, de asemenea, diferențiabile în punctele de „joncțiune” ale graficului, de exemplu, catdog are o derivată comună și o tangentă comună (axa x) la punctul respectiv. Curbă, dar diferențiabilă prin ! Cei interesați pot verifica singuri acest lucru folosind exemplul tocmai rezolvat.

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-06-11

Problema găsirii derivatei unei funcții date este una dintre principalele unui curs de matematică liceu iar în sus institutii de invatamant. Este imposibil să explorezi pe deplin o funcție și să-i construiești graficul fără a-i lua derivata. Derivata unei funcții poate fi găsită cu ușurință dacă cunoașteți regulile de bază de diferențiere, precum și tabelul de derivate ale funcțiilor de bază. Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei funcții.

Derivata unei funcții este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului atunci când incrementul argumentului tinde spre zero.

Înțelegerea acestei definiții este destul de dificilă, deoarece conceptul de limită în la maxim nu a studiat la scoala. Dar pentru a găsi derivate diverse funcții, nu este necesar să înțelegem definiția, să lăsăm pe seama matematicienilor și să trecem direct la găsirea derivatei.

Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. Când diferențiem o funcție, vom obține o nouă funcție.

Pentru a le desemna vom folosi scrisori f, g etc.

Există multe notații diferite pentru derivate. Vom folosi un accident vascular cerebral. De exemplu, scrierea g” înseamnă că vom găsi derivata funcției g.

Tabelul derivatelor

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți derivata, este necesar să furnizați un tabel cu derivatele principalelor funcții. Pentru a calcula derivatele funcțiilor elementare, nu este necesar să se efectueze calcule complexe. Este suficient doar să ne uităm la valoarea sa în tabelul cu derivate.

(sin x)"=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Exemplul 1. Aflați derivata funcției y=500.

Vedem că aceasta este o constantă. Din tabelul derivatelor se știe că derivata unei constante este egală cu zero (formula 1).

Exemplul 2. Aflați derivata funcției y=x 100.

Acest functie de putere al cărui exponent este 100 și pentru a-i găsi derivata trebuie să înmulțiți funcția cu exponent și să o reduceți cu 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Exemplul 3. Aflați derivata funcției y=5 x

Aceasta este o funcție exponențială, să calculăm derivata ei folosind formula 4.

Exemplul 4. Aflați derivata funcției y= log 4 x

Găsim derivata logaritmului folosind formula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Reguli de diferențiere

Să ne dăm seama acum cum să găsim derivata unei funcții dacă aceasta nu este în tabel. Majoritatea funcțiilor studiate nu sunt elementare, ci sunt combinații de funcții elementare folosind operații simple (adunare, scădere, înmulțire, împărțire și înmulțire cu un număr). Pentru a le găsi derivatele, trebuie să cunoașteți regulile de diferențiere. Mai jos, literele f și g indică funcții, iar C este o constantă.

1. Coeficientul constant poate fi scos din semnul derivatei

Exemplul 5. Aflați derivata funcției y= 6*x 8

Scoatem un factor constant de 6 și diferențiam doar x 4. Aceasta este o funcție de putere, a cărei derivată se găsește folosind formula 3 din tabelul derivatelor.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivata unei sume este egala cu suma derivatelor

(f + g)"=f" + g"

Exemplul 6. Aflați derivata funcției y= x 100 +sin x

O funcție este suma a două funcții ale căror derivate le putem găsi din tabel. Deoarece (x 100)"=100 x 99 și (sin x)"=cos x. Derivata sumei va fi egala cu suma acestor derivate:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Derivata diferentei este egala cu diferenta derivatelor

(f – g)"=f" – g"

Exemplul 7. Aflați derivata funcției y= x 100 – cos x

Această funcție este diferența dintre două funcții, ale căror derivate le putem găsi și în tabel. Atunci derivata diferenței este egală cu diferența derivatelor și nu uitați să schimbați semnul, deoarece (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Exemplul 8. Aflați derivata funcției y=e x +tg x– x 2.

Această funcție are atât o sumă, cât și o diferență; să găsim derivatele fiecărui termen:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Atunci derivata funcției inițiale este egală cu:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat al produsului

(f * g)"=f" * g + f * g"

Exemplul 9. Aflați derivata funcției y= cos x *e x

Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivata fiecărui factor (cos x)"=–sin x și (e x)"=e x. Acum să înlocuim totul în formula produsului. Înmulțim derivata primei funcție cu a doua și adunăm produsul primei funcție cu derivata celei de-a doua.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivată a coeficientului

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Exemplul 10. Aflați derivata funcției y= x 50 /sin x

Pentru a găsi derivata unui cot, găsim mai întâi derivata numărătorului și numitorului separat: (x 50)"=50 x 49 și (sin x)"= cos x. Înlocuind derivata coeficientului în formulă, obținem:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivată a unei funcții complexe

O funcție complexă este o funcție reprezentată de o compoziție de mai multe funcții. Există, de asemenea, o regulă pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

(u (v))"=u"(v)*v"

Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei astfel de funcții. Fie y= u(v(x)) - functie complexa. Să numim funcția u extern și v - intern.

De exemplu:

y=sin (x 3) este o funcție complexă.

Atunci y=sin(t) este o funcție externă

t=x 3 - intern.

Să încercăm să calculăm derivata acestei funcții. Conform formulei, trebuie să înmulțiți derivatele funcțiilor interne și externe.

(sin t)"=cos (t) - derivată a funcției externe (unde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivată a funcției interne

Atunci (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 este derivata unei funcții complexe.