Munca absolventă în Formularul de examinare unificată de stat pentru elevii de clasa a XI-a conține în mod necesar sarcini de calcul a limitelor, intervale de derivate descrescătoare și crescătoare ale unei funcții, căutarea punctelor extreme și construirea de grafice. Buna cunoaștere a acestui subiect vă permite să răspundeți corect la mai multe întrebări de examen și să nu întâmpinați dificultăți în formarea profesională ulterioară.
Fundamentele calculului diferențial - una dintre principalele subiecte ale matematicii scoala moderna. Ea studiază utilizarea derivatei pentru a studia dependențele variabilelor - prin derivată se poate analiza creșterea și scăderea unei funcții fără a recurge la un desen.
Pregătirea cuprinzătoare a absolvenților pentru promovarea examenului de stat unificat pe portal educațional„Shkolkovo” vă va ajuta să înțelegeți profund principiile diferențierii - înțelegeți teoria în detaliu, studiați exemple de rezolvare a problemelor tipice și încercați-vă mâna la muncă independentă. Vă vom ajuta să eliminați golurile în cunoștințe - clarificați-vă înțelegerea conceptelor lexicale ale subiectului și dependențele cantităților. Elevii vor putea trece în revistă cum să găsească intervalele de monotonitate, ceea ce înseamnă că derivata unei funcții crește sau descrește pe un anumit segment atunci când punctele de limită sunt și nu sunt incluse în intervalele găsite.
Înainte de a începe rezolvarea directă a problemelor tematice, vă recomandăm să mergeți mai întâi la secțiunea „Teoretică” și să repetați definițiile conceptelor, regulilor și formulelor tabelare. Aici puteți citi cum să găsiți și să scrieți fiecare interval de funcție crescătoare și descrescătoare pe graficul derivat.
Toate informațiile oferite sunt prezentate în cea mai accesibilă formă pentru înțelegere, practic de la zero. Site-ul oferă materiale pentru percepție și asimilare în mai multe diverse forme– citire, vizionare video și instruire directă sub îndrumarea unor profesori cu experiență. Profesori profesionisti vă va spune în detaliu cum să găsiți intervalele de derivate crescătoare și descrescătoare ale unei funcții analitic și grafic. În cadrul webinar-urilor, veți putea adresa orice întrebare care vă interesează, atât despre teorie, cât și despre rezolvarea unor probleme specifice.
După ce v-ați amintit punctele principale ale subiectului, uitați-vă la exemple de creștere a derivatei unei funcții, similare sarcinilor din opțiunile de examen. Pentru a consolida ceea ce ați învățat, aruncați o privire la „Catalog” - aici veți găsi exerciții practice pentru munca independenta. Sarcinile din secțiune sunt selectate la diferite niveluri de dificultate, ținând cont de dezvoltarea abilităților. De exemplu, fiecare dintre ele este însoțit de algoritmi de soluție și răspunsuri corecte.
Alegând secțiunea „Constructor”, elevii vor putea exersa studiul creșterii și scăderii derivatei unei funcții pe real Opțiuni pentru examenul de stat unificat, actualizat constant ținând cont de cele mai recente schimbări și inovații.
Foarte informatii importante despre comportamentul funcției oferă intervale de creștere și scădere. Găsirea acestora face parte din procesul de examinare a funcției și de trasare a graficului. În plus, sunt date punctele extreme în care există o schimbare de la creștere la descreștere sau de la descreștere la creștere o atenție deosebită atunci când se găsesc cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un anumit interval.
În acest articol vom da definițiile necesare, vom formula un criteriu suficient pentru creșterea și scăderea unei funcții pe un interval și condiții suficiente pentru existența unui extremum și vom aplica toată această teorie la rezolvarea de exemple și probleme.
Navigare în pagină.
Funcția crescătoare și descrescătoare pe un interval.
Definiția unei funcții crescătoare.
Funcția y=f(x) crește pe intervalul X dacă pentru oricare și 
inegalitatea este valabilă. Cu alte cuvinte - valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari a funcției.
Definiția unei funcții descrescătoare.
Funcția y=f(x) scade pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă 
. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.
NOTĂ: dacă funcția este definită și continuă la capetele intervalului crescător sau descrescător (a;b), adică la x=a și x=b, atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul crescător sau descrescător. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe intervalul X.
De exemplu, din proprietățile funcțiilor elementare de bază știm că y=sinx este definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma că aceasta crește pe interval.
Puncte extreme, extreme ale unei funcții.
Punctul se numește punct maxim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maxima functieiși notează .
Punctul se numește punct minim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minimași notează .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval 
, unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.
Nu confundați extremele unei funcții cu cea mai mare și cea mai mică valoare funcții.
In prima poza cea mai mare valoare funcția pe segment se realizează în punctul maxim și este egală cu maximul funcției, iar în a doua figură - valoarea maximă a funcției se realizează în punctul x=b, care nu este punctul maxim.
Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.
Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea unei functii se gasesc intervale de crestere si scadere a functiei.
Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe un interval:
- dacă derivata funcției y=f(x) este pozitivă pentru orice x din intervalul X, atunci funcția crește cu X;
- dacă derivata funcției y=f(x) este negativă pentru orice x din intervalul X, atunci funcția scade pe X.
Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:
Să luăm în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a explica algoritmul.
Exemplu.
Aflați intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Soluţie.
Primul pas este găsirea domeniului de definire al funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să meargă la zero, prin urmare, .
Să trecem la găsirea derivatei funcției: 
Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții pe baza unui criteriu suficient, rezolvăm inegalități pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină reală a numărătorului este x = 2, iar numitorul ajunge la zero la x=0. Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. În mod convențional notăm cu plusuri și minus intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător. 
Astfel, 
Şi 
.
La punctul Funcția x=2 este definită și continuă, așa că ar trebui adăugată atât la intervalele crescătoare, cât și la cele descrescătoare. La punctul x=0 functia nu este definita, deci nu includem acest punct in intervalele cerute.
Prezentăm un grafic al funcției pentru a compara rezultatele obținute cu aceasta.
Răspuns:
Funcția crește cu 
, scade pe intervalul (0;2] .
Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.
Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, puteți folosi oricare dintre cele trei semne ale extremului, desigur, dacă funcția le îndeplinește condițiile. Cel mai comun și convenabil este primul dintre ele.
Prima condiție suficientă pentru un extremum.
Fie funcția y=f(x) diferențiabilă în vecinătatea punctului și continuă în punctul însuși.
Cu alte cuvinte:
Algoritm pentru găsirea punctelor extreme pe baza primului semn al extremului unei funcții.
- Găsim domeniul de definire al funcției.
- Găsim derivata funcției pe domeniul definiției.
- Determinăm zerourile numărătorului, zerourile numitorului derivatei și punctele domeniului de definiție în care derivata nu există (toate punctele enumerate se numesc puncte de extremum posibil, trecând prin aceste puncte, derivata își poate schimba doar semnul).
- Aceste puncte împart domeniul de definire al funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul. Determinăm semnele derivatei pe fiecare dintre intervale (de exemplu, calculând valoarea derivatei unei funcții în orice punct dintr-un anumit interval).
- Selectăm puncte în care funcția este continuă și, trecând prin care, derivata își schimbă semnul - acestea sunt punctele extreme.
Sunt prea multe cuvinte, să ne uităm mai bine la câteva exemple de găsire a punctelor extreme și a extremelor unei funcții folosind prima condiție suficientă pentru extremul unei funcții.
Exemplu.
Găsiți extremele funcției.
Soluţie.
Domeniul unei funcții este întregul set de numere reale, cu excepția x=2.
Găsirea derivatei: 
Zerourile numărătorului sunt punctele x=-1 și x=5, numitorul ajunge la zero la x=2. Marcați aceste puncte pe axa numerelor 
Determinăm semnele derivatei la fiecare interval, pentru a face acest lucru, calculăm valoarea derivatei în oricare dintre punctele fiecărui interval, de exemplu, în punctele x=-2, x=0, x=3 și; x=6.
Prin urmare, pe interval derivata este pozitivă (în figură punem semnul plus peste acest interval). De asemenea 
Prin urmare, punem un minus deasupra celui de-al doilea interval, un minus deasupra celui de-al treilea și un plus deasupra celui de-al patrulea.
Rămâne să selectați punctele în care funcția este continuă și derivata ei își schimbă semnul. Acestea sunt punctele extreme.
La punctul x=-1 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din plus în minus, prin urmare, conform primului semn de extremum, x=-1 este punctul maxim, maximul funcției îi corespunde 
.
La punctul x=5 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, x=-1 este punctul minim, minimul funcției îi corespunde 
.
Ilustrație grafică.
Răspuns:
Vă rugăm să rețineți: primul criteriu suficient pentru un extremum nu necesită diferențierea funcției în punctul însuși.
Exemplu.
Găsiți punctele extreme și extremele funcției 
.
Soluţie.
Domeniul unei funcții este întregul set de numere reale. Funcția în sine poate fi scrisă ca: 
Să găsim derivata funcției: 
La punctul x=0 derivata nu există, deoarece valorile limitelor unilaterale nu coincid atunci când argumentul tinde spre zero: 
În același timp, funcția inițială este continuă în punctul x=0 (vezi secțiunea privind studierea funcției pentru continuitate): 
Să găsim valoarea argumentului la care derivata ajunge la zero: 
Să notăm toate punctele obținute pe dreapta numerică și să determinăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Pentru a face acest lucru, calculăm valorile derivatei în puncte arbitrare ale fiecărui interval, de exemplu, la x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
adica 
Astfel, conform primului semn al unui extremum, punctele minime sunt 
, punctele maxime sunt 
.
Calculăm minimele corespunzătoare ale funcției 
Calculăm maximele corespunzătoare ale funcției 
Ilustrație grafică.
Răspuns:
.
Al doilea semn al unui extremum al unei funcții.
După cum puteți vedea, acest semn al unui extremum al unei funcții necesită existența unei derivate cel puțin de ordinul doi la punct.
Extreme ale funcției
Definiția 2
Un punct $x_0$ se numește punct maxim al unei funcții $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\le f(x_0) $ deține.
Definiția 3
Un punct $x_0$ se numește punct maxim al unei funcții $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\ge f(x_0) $ deține.
Conceptul de extremum al unei funcții este strâns legat de conceptul de punct critic al unei funcții. Să introducem definiția lui.
Definiția 4
$x_0$ se numește punct critic al funcției $f(x)$ dacă:
1) $x_0$ - punct intern al domeniului de definire;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ sau nu există.
Pentru conceptul de extremum, putem formula teoreme pe suficient și conditiile necesare existența lui.
Teorema 2
Condiție suficientă pentru un extremum
Fie punctul $x_0$ critic pentru funcția $y=f(x)$ și se află în intervalul $(a,b)$. Fie pe fiecare interval $\left(a,x_0\right)\ și\ (x_0,b)$ derivata $f"(x)$ există și menține un semn constant. Atunci:
1) Dacă pe intervalul $(a,x_0)$ derivata este $f"\left(x\right)>0$, iar pe intervalul $(x_0,b)$ derivata este $f"\left( x\dreapta)
2) Dacă pe intervalul $(a,x_0)$ derivata $f"\left(x\right)0$, atunci punctul $x_0$ este punctul minim pentru această funcție.
3) Dacă atât pe intervalul $(a,x_0)$ cât și pe intervalul $(x_0,b)$ derivata $f"\left(x\right) >0$ sau derivata $f"\left(x \corect)
Această teoremă este ilustrată în figura 1.
Figura 1. Condiție suficientă pentru existența extremei
Exemple de extreme (Fig. 2).
Figura 2. Exemple de puncte extreme
Regula pentru studierea unei funcții pentru extremum
2) Aflați derivata $f"(x)$;
7) Trageți concluzii despre prezența maximelor și minimelor pe fiecare interval, folosind teorema 2.
Funcții de creștere și scădere
Să introducem mai întâi definițiile funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Definiția 5
Se spune că o funcție $y=f(x)$ definită pe intervalul $X$ este în creștere dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\in X$ la $x_1
Definiția 6
Se spune că o funcție $y=f(x)$ definită pe intervalul $X$ este descrescătoare dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\in X$ pentru $x_1f(x_2)$.
Studierea unei funcții pentru creștere și scădere
Puteți studia funcțiile crescătoare și descrescătoare folosind derivata.
Pentru a examina o funcție pentru intervale de creștere și descreștere, trebuie să faceți următoarele:
1) Aflați domeniul de definire al funcției $f(x)$;
2) Aflați derivata $f"(x)$;
3) Găsiți punctele în care este valabilă egalitatea $f"\left(x\right)=0$;
4) Aflați punctele în care $f"(x)$ nu există;
5) Marcați pe linia de coordonate toate punctele găsite și domeniul de definire a acestei funcții;
6) Să se determine semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval rezultat;
7) Trageți o concluzie: la intervalele în care $f"\left(x\right)0$ funcția crește.
Exemple de probleme pentru studierea funcțiilor de creștere, scădere și prezența punctelor extreme
Exemplul 1
Examinați funcția de creștere și scădere și prezența punctelor maxime și minime: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Deoarece primele 6 puncte sunt aceleași, să le executăm mai întâi.
1) Domeniul definiției - toate numerele reale;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ există în toate punctele domeniului de definiție;
5) Linia de coordonate:
Figura 3.
6) Determinați semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval:
\ \; .
Să determinăm semnul valorilor funcției la capetele segmentului.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
Deoarece funcția scade pe segment și semnul valorilor funcției se schimbă, atunci există un zero al funcției pe acest segment.
Răspuns: funcția f(x) crește pe intervalele: (-∞; 0]; ;
pe interval funcția are o funcție zero.
2. Puncte extreme ale funcției: puncte maxime și puncte minime. Condiții necesare și suficiente pentru existența unui extremum al unei funcții. Regula pentru studierea unei funcții pentru extremum .
Definiția 1:Punctele în care derivata este zero se numesc critice sau staționare.
Definiția 2. Un punct se numește punct minim (maxim) al unei funcții dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică (mai mare decât) cele mai apropiate valori ale funcției.
Trebuie reținut că maximul și minimul în în acest caz, sunt locale.
În fig. 1. Sunt afișate maximele și minimele locale.
Funcțiile maxime și minime sunt combinate nume comun: extremul funcției.Teorema 1.(un semn necesar al existenței unui extremum al unei funcții). Dacă o funcție diferențiabilă într-un punct are un maxim sau un minim în acest punct, atunci derivata ei la dispare, .
Teorema 2.(un semn suficient al existenței unui extremum al funcției). Dacă functie continua are o derivată în toate punctele unui interval care conține punct critic(cu excepția poate acestui punct în sine) și dacă derivata, când argumentul trece de la stânga la dreapta prin punctul critic, își schimbă semnul din plus în minus, atunci funcția în acest punct are un maxim, iar când semnul se schimbă din minus în plus, are un minim.
