În secțiunea anterioară despre parsare sens geometric o integrală definită, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe segmentul [ a ; b] .
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. De fapt, de multe ori trebuie să lucrăm cu forme mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune analizei algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor, care sunt limitate de funcții într-o formă explicită, de exemplu. ca y = f(x) sau x = g(y) .
TeoremaFie definite şi continue pe segmentul [ a ] funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x); b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b] . Apoi, formula pentru calcularea ariei unei figuri G delimitată de linii x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) și y \u003d f 2 (x) va arăta ca S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria figurii delimitată de liniile y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) și x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dovada
Vom analiza trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a zonei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2 . Înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x .
Punctele de intersecție le vom nota ca x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Aceste puncte rup segmentul [ a ; b ] în n părţi x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Și acum să trecem la analiza exemplelor de calcul a ariei figurilor care sunt limitate de liniile y \u003d f (x) și x \u003d g (y) .
Luând în considerare oricare dintre exemple, vom începe cu construcția unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca combinații de forme mai simple. Dacă trasarea graficelor și a formelor pe ele este dificilă pentru dvs., puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor funcțiilor, precum și trasarea în timpul studiului unei funcții.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Soluţie
Să trasăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pe intervalul [ 1 ; 4] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2 . În acest sens, pentru a obține un răspuns, folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a unei integrale definite folosind formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S (G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Soluţie
ÎN acest caz avem o singură linie dreaptă paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Acest lucru ne cere să găsim noi înșine a doua limită de integrare.
Să construim un grafic și să punem pe el liniile date în starea problemei.
Având un grafic în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție al graficului cu o linie dreaptă y \u003d x și o semi-parabolă y \u003d x + 2. Pentru a găsi abscisa, folosim egalitățile:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2 , y = x se intersectează în punctul (2 ; 2) , astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea redundante. Am dat aici o soluție atât de detaliată doar pentru că, într-un mod mai mult cazuri dificile soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.
Pe intervalul [ 2 ; 7 ] graficul funcţiei y = x este situat deasupra graficului funcţiei y = x + 2 . Aplicați formula pentru a calcula suprafața:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y \u003d 1 x și y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să desenăm linii pe grafic.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2 . Cu condiția ca x să nu fie egal cu zero, egalitatea 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul al treilea - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 cu coeficienți întregi . Puteți reîmprospăta memoria algoritmului de rezolvare a unor astfel de ecuații, referindu-vă la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Am găsit un interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , unde G este inclus deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm zona formei:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 și de axa x.
Soluţie
Să punem toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl plasăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x y \u003d 0.
Să notăm punctele de intersecție ale dreptelor.
După cum se poate vedea din figură, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d 0 se intersectează în punctul (0; 0) . Acest lucru se datorează faptului că x \u003d 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 \u003d 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0 , deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2 ; 0) .
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y \u003d x 3 și y \u003d - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1) . Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 \u003d - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y \u003d x 3 este strict în creștere, iar funcția y \u003d - log 2 x + 1 este strict în scădere.
Următorul pas implică mai multe opțiuni.
Opțiunea numărul 1
Putem reprezenta figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei absciselor, primul fiind situat sub linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1 , iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opțiunea numărul 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră de pe segmentul x ∈ 0; 2 , iar al doilea este între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1 ; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona astfel:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria, va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează forma pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Soluţie
Desenați o linie pe diagramă cu o linie roșie, dată de funcția y = x . Desenați linia y = - 1 2 x + 4 în albastru și marcați linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Observați punctele de intersecție.
Aflați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i este soluția ecuației x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4 ; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Aflați punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 este soluția ecuației ⇒ (9; 3) punctul și intersecția y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nu este o soluție a ecuației
Aflați punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda numărul 1
Reprezentăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda numărul 2
Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma celorlalte două figuri.
Apoi rezolvăm ecuația liniei pentru x și numai după aceea aplicăm formula pentru calcularea ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Deci zona este:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile se potrivesc.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri care este delimitată de linii date, trebuie să trasăm linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru găsirea ariei. În această secțiune, am analizat cele mai comune opțiuni pentru sarcini.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. calcularea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită. În sfârșit, toți cei care caută sens în matematică superioară- Lasă-i să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o cabană de vară cu funcții elementare și să-i găsiți zona folosind o anumită integrală.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) intelege integrală nedefinită cel putin la un nivel mediu. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definita. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen Prin urmare, cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi, de asemenea, o problemă urgentă. Cel puțin, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă.
Să începem cu un trapez curbiliniu. Un trapez curbiliniu este figură plată, mărginită de graficul unei funcții y = f(X), axa BOUși linii X = A; X = b.
Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lectie Integrala definita. Exemple de soluții am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA. Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. Luați în considerare integrala definită
Integrand
definește o curbă pe plan (poate fi desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este egală numeric cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
, , , .
Aceasta este o declarație tipică de sarcină. Cel mai important punct al deciziei este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiți un plan, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația y= 0 specifică axa BOU):
Nu vom ecloza trapezul curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:
Pe intervalul [-2; 1] graficul funcției y = X 2 + 2 localizate peste axăBOU, De aceea:
Răspuns: .
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz
,
consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții. După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii X y = 4, X = 2, X= 4 și axa BOU.
Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub axăBOU?
Exemplul 3
Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = e-x, X= 1 și axele de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă un trapez curbiliniu complet sub ax BOU , atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:
.
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y = 2X – X 2 , y = -X.
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. Când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Aflați punctele de intersecție ale parabolei y = 2X – X 2 și drept y = -X. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:
Deci limita inferioară a integrării A= 0, limita superioară a integrării b= 3. Este adesea mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen:
Repetăm că în construcția punctuală, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru:
Dacă pe segmentul [ A; b] oarecare funcție continuă f(X) mai mare sau egal niste functie continua g(X), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită prin formula:
Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), si care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, de la 2 X – X 2 trebuie scazut - X.
Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă y = 2X – X 2 de sus și drepte y = -X de desubt.
Pe segmentul 2 X – X 2 ≥ -X. Conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: .
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul nr. 3) este un caz special al formulei
.
Din moment ce axa BOU este dat de ecuație y= 0 și graficul funcției g(X) este situat sub axă BOU, Acea
.
Și acum câteva exemple pentru o soluție independentă
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria unei figuri delimitate de linii
În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar, din cauza neatenției, ... a găsit zona figurii greșite.
Exemplul 7
Să desenăm mai întâi:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, ei decid adesea că trebuie să găsească zona figurii care este umbrită. în verde!
Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul [-1; 1] deasupra axei BOU graficul este drept y = X+1;
2) Pe segmentul de deasupra axei BOU se localizează graficul hiperbolei y = (2/X).
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Să prezentăm ecuațiile sub forma „școală”.
și faceți desenul:
Din desen se poate observa că limita noastră superioară este „bună”: b = 1.
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce?
Pot fi, A=(-1/3)? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că A=(-1/4). Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?
În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.
Găsiți punctele de intersecție ale graficelor
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:
.
Prin urmare, A=(-1/3).
Soluția ulterioară este banală. Principalul lucru este să nu vă confundați în înlocuiri și semne. Calculele de aici nu sunt cele mai simple. Pe segment
, 
,
după formula corespunzătoare:
Răspuns: 
În încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Soluție: Desenați această figură în desen.
Pentru a desena un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul sinusoidei. În general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare, precum și unele valori ale sinusului. Ele pot fi găsite în tabelul de valori funcții trigonometrice . În unele cazuri (de exemplu, în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția:
- „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției y= păcatul 3 X situat deasupra axei BOU, De aceea:
(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică de bază în formă
(3) Să schimbăm variabila t= cos X, atunci: situat deasupra axei , deci:
.
.
Notă: observați cum este luată integrala tangentei în cub, aici consecința principalei identitate trigonometrică
.
Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri
Ne întoarcem acum la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție, vom analiza o sarcină tipică și cea mai comună. Cum să folosiți o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o cabană de vară cu funcții elementare și să-i găsiți zona folosind o anumită integrală.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții.
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atât de multe cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai relevantă. În acest sens, este utilă reîmprospătarea memoriei graficelor principalelor funcții elementare și, cel puțin, să se poată construi o dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (mulți au nevoie) cu ajutorul material metodologicși articole despre transformările geometrice ale graficelor.
De fapt, toată lumea este familiarizată cu problema găsirii zonei folosind o integrală definită încă de la școală și vom merge puțin înaintea curiculumul scolar. Acest articol s-ar putea să nu existe deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev este chinuit de un turn urât cu entuziasm stăpânind un curs de matematică superioară.
Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.
Să începem cu un trapez curbiliniu.
Trapez curbiliniu numită figură plată mărginită de axa , linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin abscisă:
Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lectie Integrala definita. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită . Integrandul definește o curbă pe planul care se află deasupra axei (cei care doresc pot finaliza desenul), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de sarcină. În primul rând și punct crucial soluții – desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.
Când construiți un plan, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile (dacă există) și numai Apoi- parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Graficele de funcții sunt mai profitabile de construit punct cu punct, cu tehnica construcției punctuale pot fi găsite în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material care este foarte util în legătură cu lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem un desen (rețineți că ecuația definește axa):
Nu voi ecloza un trapez curbiliniu, este evident despre ce zonă vorbim aici. Solutia continua asa:
Pe segment se află graficul funcției peste axă, De aceea:
Răspuns:
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz 
, consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „cu ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, aproximativ 9 vor fi tastate, se pare că este adevărat. Este destul de clar că dacă am avea, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci, evident, s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria figurii delimitată de liniile , și axa
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie făcut dacă este localizat trapezul curbiliniu sub ax?
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluţie: Hai să facem un desen: 
Dacă se află trapezul curbiliniu sub axă(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz: 
Atenţie! Nu confunda cele două tipuri de sarcini:
1) Dacă vi se cere să rezolvați doar o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea, în formula luată în considerare apare minusul.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare, trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii , .
Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima modalitate este analitică. Rezolvam ecuatia:
Prin urmare, limita inferioară a integrării, limita superioară a integrării.
Cel mai bine este să nu utilizați această metodă dacă este posibil..
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiți liniile punct cu punct, în timp ce limitele integrării sunt descoperite ca „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite diagrame este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția filetată nu a evidențiat limitele integrării (acestea pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Ne întoarcem la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Hai sa facem un desen: 
Repet că, la construcția punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe interval mai mare sau egal o funcție continuă, apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și linii drepte, poate fi găsită prin formula: 
Aici nu mai este necesar să ne gândim unde se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează ce diagramă este SUS(față de alt grafic), si care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Finalizarea soluției ar putea arăta astfel:
Figura dorită este limitată de o parabolă de sus și de o linie dreaptă de jos.
Pe segmentul , conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei 
. Deoarece axa este dată de ecuația , iar graficul funcției este situat nu mai sus topoare, atunci 
Și acum câteva exemple pentru o soluție independentă
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria figurii încadrată de liniile , .
În cursul rezolvării problemelor pentru calcularea ariei folosind o anumită integrală, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din cauza neatenției... a găsit zona figurii greșite, așa s-a încurcat servitorul tău ascultător de mai multe ori. Aici caz real din viata:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Soluţie: Să facem mai întâi un desen: 
… Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare să fie lizibil.
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru.(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch”, că trebuie să găsiți zona figurii care este umbrită în verde!
Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că în el aria figurii este calculată folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic în linie dreaptă;
2) Pe segmentul de deasupra axei este un grafic de hiperbolă.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Să trecem la o sarcină mai semnificativă.
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile într-o formă „școală” și să realizăm un desen punct cu punct: 
Din desen se vede că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară? Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că. Sau rădăcină. Dacă nu am înțeles deloc graficul corect?
În astfel de cazuri, trebuie să petrecem timp suplimentar și să rafinați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale dreptei și ale parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația: 
,
Într-adevăr, .
Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai ușoare.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare: 
Răspuns: 
Ei bine, în încheierea lecției, vom considera două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria figurii delimitată de drepte , ,
Soluţie: Desenați această figură în desen. 
La naiba, am uitat să semnez programul și refac poza, scuze, nu hotz. Nu un desen, pe scurt, azi este ziua =)
Pentru construcția punct cu punct, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidei (și în general este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este permisă construirea unui desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare trebuie să fie afișate în principiu corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea decurg direct din condiția: - „x” se schimbă de la zero la „pi”. Luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
În acest articol, veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Pentru prima dată, întâlnim formularea unei astfel de probleme în liceu, când studiul anumitor integrale tocmai a fost finalizat și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor acumulate în practică.
Deci, ceea ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:
- Abilitatea de a desena corect desene;
- Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
- Capacitatea de a „vedea” o soluție mai profitabilă - de ex. pentru a înțelege cum în acest sau acel caz va fi mai convenabil să se realizeze integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
- Ei bine, unde fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvi acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:
1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o bucată de hârtie în cușcă, la scară mare. Semnăm cu un creion deasupra fiecărui grafic numele acestei funcții. Semnătura graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit graficul cifrei dorite, în cele mai multe cazuri va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.
2. Dacă limitele de integrare nu sunt stabilite în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor unul cu celălalt și vedem dacă solutie grafica cu analitice.
3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt localizate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi zona figurii. Luați în considerare diverse exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.
3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți aria unui trapez curbiliniu. Ce este un trapez curbiliniu? Aceasta este o figură plată delimitată de axa x (y=0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la A inainte de b. În același timp, această cifră este nenegativă și este situată nu mai jos decât axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită calculată folosind formula Newton-Leibniz:
Exemplul 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Ce linii definesc figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. Apoi, date drepte x = 1Și x = 3 care merg paralel cu axa OU, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, ea este axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se vede în figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbiliniu, pe care apoi îl rezolvăm folosind formula Newton-Leibniz.
3.2. În paragraful anterior 3.1 a fost analizat cazul când trapezul curbiliniu este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Cum să rezolvăm o astfel de problemă, vom analiza în continuare.
Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
În acest exemplu, avem o parabolă y=x2+6x+2, care provine de sub ax OH, Drept x=-4, x=-1, y=0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Și x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei de găsire a zonei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe interval. [-4; -1] . Ce nu înseamnă pozitiv? După cum se poate vedea din figură, figura care se află în x-ul dat are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.
Articolul nu este completat.
Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii
Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate
Calculul suprafeței
Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y \u003d f (x), axa O x și liniile drepte x \u003d a și x \u003d b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:
Luați în considerare câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.
Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Soluţie. Să construim o figură, aria căreia va trebui să o calculăm.
y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).
Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1
Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.
 |
Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).
Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1
Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii
y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.
Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă de vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.
Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:
Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.
Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde 
.
Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).
Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4
Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.
Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = 4.
Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.
A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită folosind formula 
.
Aplicat această condiție, obținem integrala: 
2 Calculul volumului unui corp de revoluție
Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:
Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:
Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.
Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).
Figura 4. Graficul funcției y =
Volumul dorit este egal cu 
Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .
Soluţie. Avem:
Întrebări de revizuire
