Trinom pătrat și rădăcinile sale

Profesor cea mai înaltă categorie: Minaichenko N.S., gimnaziul nr. 24, Sevastopol

Lecția în clasa a VIII-a: „Trinomul pătrat și rădăcinile sale”

Tipul de lecție : lecție de cunoștințe noi.

Scopul lecției:

organizarea activităților elevilor pentru consolidarea și dezvoltarea cunoștințelor despre descompunerea unui trinom pătratic în factori liniari și reducerea fracțiilor;

dezvoltarea abilităților în aplicarea cunoștințelor tuturor metodelor de factorizare: bracketing, folosind formule de înmulțire abreviate și metode de grupare pentru a se pregăti pentru finalizarea cu succes examen de algebră;

creează condiţii pentru dezvoltare interes cognitiv la subiect, formare gandire logicași autocontrol atunci când se utilizează factorizarea.

Echipament: proiector multimedia, ecran, prezentare: „Rădăcinile trinomului pătrat”, cuvinte încrucișate, test, fișe.

Noțiuni de bază . Factorizarea unui trinom pătratic.

Activitatea independentă a elevilor. Aplicarea teoremei asupra factorizării unui trinom pătratic în rezolvarea problemelor.

Planul lecției

Rezolvarea problemelor.

Răspunsuri la întrebările elevilor

IV. Test primar de dobândire a cunoștințelor. Reflecţie

Mesajul profesorului.

Mesajul studentului

V. Teme pentru acasă

Scrierea pe tablă

Comentariu metodologic:

Acest subiect este fundamental în secțiunea „ Transformări de identitate expresii algebrice" Prin urmare, este important ca elevii să poată automat nu numai să vadă formulele de factorizare în exemple, ci și să le aplice în alte sarcini: cum ar fi rezolvarea ecuațiilor, transformarea expresiilor, demonstrarea identităților.

Acest subiect se concentrează pe factorizarea unui trinom pătratic:

topor+ bx + c = a(x – x)(x – x),

unde x și x – rădăcini ecuație pătratică ax + bx + c = 0.

Acest lucru vă permite să extindeți câmpul vizual al studentului, să-l învățați să gândească situatie anormala, folosind materialul studiat, i.e. folosind formula pentru factorizarea unui trinom pătratic:

capacitatea de a reduce fracțiile algebrice;

capacitatea de a simplifica expresii algebrice;

capacitatea de a rezolva ecuații;

capacitatea de a dovedi identitatea.

Conținutul principal al lecției:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Reduceți fracția:

№3. Simplificați expresia:

№4. Rezolvați ecuația:

În timpul orelor:

I. Etapa de actualizare a cunoştinţelor.

Motivația pentru activități de învățare.

a) din istorie:

b) cuvinte încrucișate:

Încălzire-antrenează mintea – cuvinte încrucișate:

Orizontal:

1) Rădăcina gradului al doilea se numește... (pătrat)

2) Valorile variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată (rădăcini)

3) O egalitate care conține o necunoscută se numește... (ecuație)

4) om de știință indian, care a conturat regula generala rezolvarea ecuațiilor pătratice (Brahmagupta)

5) Coeficienții ecuației pătratice sunt... (numere)

6) Om de știință grec antic care a inventat o metodă geometrică pentru rezolvarea ecuațiilor (Euclid)

7) Teorema care raportează coeficienții și rădăcinile unei ecuații pătratice (Vieta)

8) „discriminant”, determinarea rădăcinilor unei ecuații pătratice – aceasta este... (discriminant)

În plus:

Dacă D>0, câte rădăcini? (Două)

Dacă D=0, câte rădăcini? (unu)

Daca D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Pe orizontală și pe verticală tema lecției: „ Trinom pătrat»

b) motivatie:

Acest subiect este fundamental în secțiunea „Transformări identice ale expresiilor algebrice”. Prin urmare, este important să puteți automat nu numai să vedeți formulele de factorizare în exemple, ci și să le aplicați în alte sarcini: precum reducerea fracțiilor, rezolvarea ecuațiilor, transformarea expresiilor, demonstrarea identităților.

Astăzi ne vom concentra pe factorizarea trinomului pătratic:

II. Învățarea de materiale noi.

Subiect: Trinom pătrat și rădăcinile acestuia.

Teoria generală a polinoamelor multor variabile depășește cu mult domeniul de aplicare al cursului școlar. Prin urmare, ne vom limita la a studia polinoamele unei variabile reale, și numai în cazurile cele mai simple. Să luăm în considerare polinoamele unei variabile, reduse la forma standard.

Rădăcina unui polinom este valoarea unei variabile la care valoarea polinomului este egală cu zero. Aceasta înseamnă că pentru a găsi rădăcinile unui polinom, trebuie să-l echivalați cu zero, adică. rezolva ecuatia.

Rădăcina unui polinom de gradul I
usor de gasit
. Examinare:
.

Rădăcinile unui trinom pătratic pot fi găsite prin rezolvarea ecuației:
.

Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice găsim:

;

Teorema (la factorizarea unui trinom pătratic ):

Dacă Și -rădăcinile unui trinom pătrat
, Unde ≠ 0,

Acea .

Dovada:

Să efectuăm următoarele transformări ale trinomului pătratic:

=
=
=

=
=

Din moment ce discriminantul
, primim:

=
=

Să aplicăm formula diferenței pătratelor între paranteze și obținem:

=
=
,

deoarece
;
. Teorema a fost demonstrată.

Formula rezultată se numește formulăfactorizarea unui trinom pătratic.

III. Formarea deprinderilor și abilităților.

№1. Factorizați trinomul pătratic:

a) 3x + 5x – 2;

Soluţie:

Răspuns: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Pe birou:

b) –5x + 6x – 1;

În plus:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reduceți fracția:

№4. Rezolvați ecuația:

IV. Test primar de dobândire a cunoștințelor.

A) Test.

Opțiunea 1.

1. Aflați rădăcinile trinomului pătratic:2x 2 -9x-5

Răspuns:

2. Care polinom trebuie înlocuit cu elipsa pentru ca egalitatea să fie adevărată:

b) Verificarea reciprocă a opțiunilor (răspunsuri iar parametrii de evaluare sunt ilustraţi).

c) Reflecția.

V. Tema pentru acasă.

Studiul multor modele fizice și geometrice duce adesea la rezolvarea problemelor cu parametri. Unele universități includ, de asemenea, ecuații, inegalități și sistemele lor în lucrările de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită o abordare non-standard a soluționării. La școală, aceasta dintre cele mai dificile secțiuni ale cursului de algebră școlară este luată în considerare doar în câteva cursuri opționale sau de materii.
În opinia mea, metoda grafică funcțională este o modalitate convenabilă și rapidă de a rezolva ecuații cu un parametru.
După cum se știe, în raport cu ecuațiile cu parametri există două formulări ale problemei.

Rezolvați ecuația (pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile ecuației).
Găsiți toate valorile parametrului pentru fiecare dintre care soluțiile ecuației îndeplinesc condițiile date.

În această lucrare, o problemă de al doilea tip este considerată și studiată în raport cu rădăcinile unui trinom pătrat, a cărui constatare se reduce la rezolvarea unei ecuații pătratice.
Autorul speră că această lucrare îi va ajuta pe profesori atunci când elaborează lecții și pregătesc elevii pentru examenul de stat unificat.

1. Ce este un parametru

Exprimarea formei Ah 2 + bx + c la cursul de algebră școlară ei numesc trinomul pătratic cu privire la X, Unde a, b, c sunt date numere reale și, A=/= 0. Valorile variabilei x la care expresia devine zero se numesc rădăcinile trinomului pătrat. Pentru a găsi rădăcinile unui trinom pătratic, trebuie să rezolvați ecuația pătratică Ah 2 + bх + c = 0.
Să ne amintim ecuațiile de bază de la cursul de algebră școlară ax + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Când căutați rădăcinile lor, valorile variabilelor a, b, c, incluse în ecuație sunt considerate fixe și date. Variabilele în sine sunt numite parametri. Deoarece nu există o definiție a parametrului în manualele școlare, îmi propun să iau ca bază următoarea versiune cea mai simplă.

Definiție.Un parametru este o variabilă independentă, a cărei valoare în problemă este considerată a fi un număr real fix sau arbitrar dat, sau un număr aparținând unei mulțimi predeterminate.

2. Tipuri și metode de bază pentru rezolvarea problemelor cu parametri

Printre sarcinile cu parametri, se pot distinge următoarele tipuri principale de sarcini.

Ecuații care trebuie rezolvate fie pentru orice valoare a unui(lor) parametru(i), fie pentru valorile parametrilor aparținând unui set prestabilit. De exemplu. Rezolvarea ecuațiilor: ax = 1, (A - 2)x = a 2 – 4.
Ecuații pentru care este necesar să se determine numărul de soluții în funcție de valoarea parametrului (parametrilor). De exemplu. La ce valori ale parametrilor A ecuația 4X 2 – 4ax + 1 = 0 are o singură rădăcină?
Ecuații pentru care, pentru valorile parametrilor cerute, setul de soluții îndeplinește condițiile specificate în domeniul definiției.

De exemplu, găsiți valorile parametrilor la care rădăcinile ecuației ( A - 2)X 2 – 2ax + a + 3 = 0 pozitiv.
Principalele moduri de rezolvare a problemelor cu un parametru: analitic și grafic.

Analitic- Aceasta este o metodă a așa-numitei soluții directe, repetând proceduri standard pentru găsirea răspunsului în probleme fără parametru. Să ne uităm la un exemplu de astfel de sarcină.

Sarcina nr. 1

La ce valori ale parametrului a face ecuația X 2 – 2topor + a 2 – 1 = 0 are două rădăcini diferite aparținând intervalului (1; 5)?

Soluţie

X 2 – 2topor + a 2 – 1 = 0.
În funcție de condițiile problemei, ecuația trebuie să aibă două rădăcini diferite, iar acest lucru este posibil numai cu condiția: D > 0.
Avem: D = 4 A 2 – 2(A 2 – 1) = 4. După cum putem vedea, discriminantul nu depinde de a, prin urmare, ecuația are două rădăcini diferite pentru orice valoare a parametrului a. Să găsim rădăcinile ecuației: X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Rădăcinile ecuației trebuie să aparțină intervalului (1; 5), adică.
Deci, la 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Raspuns: 2<A < 4.
Această abordare a rezolvării problemelor de tipul luat în considerare este posibilă și rațională în cazurile în care discriminantul ecuației pătratice este „bun”, adică. este pătratul exact al oricărui număr sau expresie, sau rădăcinile ecuației pot fi găsite folosind teorema inversă a lui Vieta. Atunci rădăcinile nu reprezintă expresii iraționale. În rest, rezolvarea problemelor de acest tip presupune proceduri destul de complexe din punct de vedere tehnic. Iar rezolvarea inegalităților iraționale necesită noi cunoștințe din partea elevului.

Grafic- aceasta este o metodă în care se folosesc grafice în planul de coordonate (x; y) sau (x; a). Claritatea și frumusețea acestei metode de soluție ajută la găsirea unei modalități rapide de rezolvare a problemei. Să rezolvăm problema nr. 1 grafic.
După cum știți dintr-un curs de algebră, rădăcinile unei ecuații pătratice (trinom pătratic) sunt zerourile corespunzătoare funcţie pătratică: U = X 2 – 2Oh + A 2 – 1. Graficul funcției este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus (primul coeficient este 1). Un model geometric care îndeplinește toate cerințele problemei arată astfel.

Acum tot ce rămâne este să „fixezi” parabola în poziția dorită folosind condițiile necesare.

Deoarece o parabolă are două puncte de intersecție cu axa X, apoi D > 0.
Vârful parabolei se află între liniile verticale X= 1 și X= 5, deci abscisa vârfului parabolei x o aparține intervalului (1; 5), adică.
1 <X O< 5.
Observăm că la(1) > 0, la(5) > 0.

Deci, trecând de la modelul geometric al problemei la cel analitic, obținem un sistem de inegalități.

Raspuns: 2<A < 4.

După cum se poate observa din exemplu, o metodă grafică pentru rezolvarea problemelor de tipul luat în considerare este posibilă în cazul în care rădăcinile sunt „rele”, adică. conțin un parametru sub semnul radical (în acest caz, discriminantul ecuației nu este un pătrat perfect).
În a doua metodă de rezolvare, am lucrat cu coeficienții ecuației și domeniul funcției la = X 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Această metodă de rezolvare nu poate fi numită doar grafică, deoarece aici trebuie să rezolvăm un sistem de inegalități. Mai degrabă, această metodă este combinată: funcțională și grafică. Dintre aceste două metode, cea din urmă nu este doar elegantă, ci și cea mai importantă, deoarece arată relația dintre toate tipurile de modele matematice: o descriere verbală a problemei, un model geometric - un grafic al unui trinom pătratic, un analitic. model - o descriere a unui model geometric printr-un sistem de inegalități.
Deci, am luat în considerare o problemă în care rădăcinile unui trinom pătratic satisfac condiții date în domeniul definiției pentru valorile parametrilor dorite.

Ce alte condiții posibile pot îndeplini rădăcinile unui trinom pătratic pentru valorile parametrilor dorite?

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic

Obiective: introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia; dezvolta capacitatea de a găsi rădăcinile unui trinom pătratic.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Lucru oral.

Care dintre numere: –2; -1; 1; 2 – sunt rădăcinile ecuațiilor?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicarea noului material.

Explicația noului material trebuie efectuată conform următoarei scheme:

1) Introduceți conceptul de rădăcină a unui polinom.

2) Introduceți conceptul de trinom pătratic și rădăcinile acestuia.

3) Analizați întrebarea numărului posibil de rădăcini ale unui trinom pătrat.

Problema izolării pătratului unui binom de un trinom pătrat este cel mai bine discutată în lecția următoare.

La fiecare etapă de explicare a noului material, este necesar să se ofere studenților o sarcină orală pentru a-și testa stăpânirea punctelor principale ale teoriei.

Sarcina 1. Care dintre numere: –1; 1; ; 0 – sunt rădăcinile polinomului X 4 + 2X 2 – 3?

Sarcina 2. Care dintre următoarele polinoame sunt trinoame pătratice?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Care trinoame pătratice au rădăcina 0?

Sarcina 3. Poate un trinom pătrat să aibă trei rădăcini? De ce? Câte rădăcini are un trinom pătrat? X 2 + X – 5?

IV. Formarea deprinderilor și abilităților.

Exerciții:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr. 59 (a, c, d), Nr. 60 (a, c).

În această sarcină nu trebuie să căutați rădăcinile trinoamelor pătratice. Este suficient să le găsiți discriminanții și să răspundeți la întrebarea pusă.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, ceea ce înseamnă că acest trinom pătratic are două rădăcini.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, ceea ce înseamnă că trinomul pătrat are o rădăcină.

la 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Dacă a mai rămas timp, poți face numărul 63.

Soluţie

Lăsa topor 2 + bx + c este un trinom pătratic dat. Deoarece A+ b +
+c= 0, atunci una dintre rădăcinile acestui trinom este egală cu 1. După teorema lui Vieta, a doua rădăcină este egală cu . Conform condiției, Cu = 4A, deci a doua rădăcină a acestui trinom pătratic este egală cu
.

RĂSPUNS: 1 și 4.

V. Rezumatul lecției.

Întrebări frecvente:

– Care este rădăcina unui polinom?

– Care polinom se numește trinom pătratic?

– Cum se află rădăcinile unui trinom pătratic?

– Care este discriminantul unui trinom pătratic?

– Câte rădăcini poate avea un trinom pătrat? De ce depinde asta?

Teme pentru acasă: Nr. 57, Nr. 59 (b, d, f), Nr. 60 (b, d), Nr. 62.

Subiectul lecției: „Trinom pătrat și rădăcinile sale”.

Scopul lecției: pentru a prezenta elevilor conceptul de trinom pătrat și rădăcinile acestuia, pentru a-și îmbunătăți abilitățile în rezolvarea sarcinilor de izolare a pătratului unui binom de un trinom pătrat.

Lecția include patru etape principale:

Controlul cunoștințelor

Explicarea noului material

Consolidarea reproducerii.

Întărirea antrenamentului.

Reflecţie.

Etapa 1. Controlul cunoștințelor.

Profesorul efectuează un dictat matematic „ca o copie carbon” pe baza materialului din ciclul anterior. Pentru dictare se folosesc cărți de două culori: albastru pentru 1 opțiune, roșu pentru 2 opțiuni.

Din modelele analitice date ale funcțiilor, selectați numai pe cele pătratice.

Opțiunea 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Opțiunea 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Schițați funcții pătratice. Este posibil să se determine în mod unic poziția unei funcții pătratice pe planul de coordonate. Încercați să vă justificați răspunsul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Opțiunea 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Opțiunea 2. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Fără a rezolva ecuația, află dacă are rădăcini.

Opțiunea 1. A) x² + x +12=0

Opțiunea 2. A) x² + x - 12=0

Profesorul verifică răspunsurile primite de la primele două perechi. Răspunsurile incorecte primite sunt discutate cu întreaga clasă.

Opțiunea 1.	Opțiunea 2.
1. y=x²+4x-5	1. y= -x²+4x
2. Ramurile sunt în sus, dar poziția nu poate fi determinată fără ambiguitate deoarece nu există suficiente date.	se ramifică în jos, dar este imposibil să se determine fără ambiguitate poziția deoarece nu există suficiente date.
3. a) –12; 1 b) –11;0	3. a) 4;5 b) 9;0
	4. D0, sunt două rădăcini

Etapa 2. Să creăm un cluster. Ce asociații aveți când luați în considerare trinomul pătratic?

Crearea unui cluster.

Raspunsuri posibile:

trinomul pătratic este folosit pentru a considera pătratul. funcții;

puteți găsi zerourile pătratului. funcții

Folosind valoarea discriminantă, estimați numărul de rădăcini.

Descrie procese reale etc.

Explicarea noului material.

Alineatul 2. clauza 3 p. 19-22.

Sunt luate în considerare expresiile și este dată definiția unui trinom pătratic și a rădăcinii unui polinom (în timpul discuției despre expresiile discutate anterior)

Se formulează definiția rădăcinii unui polinom.

Se formulează definiția unui trinom pătratic.

Sunt analizate exemple de rezolvare a unui trinom:

Aflați rădăcinile unui trinom pătratic.

Să izolăm binomul pătrat de trinomul pătrat.

3x²-36x+140=0.

Se întocmește o diagramă a bazei aproximative a acțiunii.

Algoritm pentru separarea unui binom de un trinom pătrat.

1. Determinați valoarea numerică a coeficientului pătratului conducător trinom.

2. Efectuați identice și 2. Transformați expresia,

transformări echivalente folosind formule

(se scoate din paranteze factorul comun; pătratul sumei și diferența.

convertiți expresia în paranteze

construindu-l până la formula pentru pătratul sumei

sau diferențe)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Etapa 3. Rezolvarea sarcinilor tipice din manual (nr. 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Se fac la tablă și se comentează.

Etapa 4. Lucru independent pe 2 opțiuni (nr. 60a, b; 65 a, b). Elevii verifică soluțiile eșantion de pe tablă.

Tema pentru acasă: P.3 (învață teoria, nr. 56, 61g, 64g)

Reflecţie. Profesorul dă sarcina: evaluați-vă progresul în fiecare etapă a lecției folosind un desen și predați-l profesorului. (sarcina se realizează pe foi separate, se oferă o mostră).

Probă:

Folosind ordinea elementelor din imagine, determină în ce etapă a lecției a predominat ignoranța ta. Evidențiați această etapă cu roșu.

Practicarea examenelor de matematică arată că problemele cu parametrii sunt cele mai dificile, atât din punct de vedere logic, cât și din punct de vedere tehnic și, prin urmare, capacitatea de a le rezolva determină în mare măsură promovarea cu succes a unui examen la orice nivel.

În problemele cu parametrii, alături de mărimi necunoscute, apar mărimi ale căror valori numerice, deși nu sunt indicate în mod specific, sunt considerate cunoscute și specificate pe o anumită mulțime numerică. În acest caz, parametrii incluși în condiție influențează semnificativ cursul logic și tehnic al soluției și forma răspunsului. Astfel de probleme pot fi găsite în cartea „514 Probleme cu parametrii.” În literatura de matematică elementară există multe manuale, cărți de probleme și manuale metodologice care conțin probleme cu parametrii. Dar cele mai multe dintre ele acoperă o gamă restrânsă de probleme, punând accentul principal pe rețetă, mai degrabă decât pe logica rezolvării problemelor. În plus, cele mai de succes dintre cărți au devenit de mult o raritate bibliografică. La sfârșitul lucrării există o listă de cărți, articole din care au ajutat la întocmirea unei clasificări a declarațiilor pe tema lucrării. Cel mai semnificativ este manualul lui A. Kh. Schachmeister.Ecuaţii şi inegalităţi cu parametri.

Scopul principal al acestei lucrări este de a umple unele lacune substanțiale din cursul de algebră de bază și de a stabili faptele de utilizare a proprietăților unei funcții pătratice, care pot simplifica semnificativ rezolvarea problemelor legate de localizarea rădăcinilor unei ecuații pătratice cu respect pentru anumite puncte caracteristice.

Obiectivele postului:

Stabiliți cazuri posibile de localizare a rădăcinilor unui trinom pătrat pe dreapta numerică;

Identificați algoritmi care permit rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un parametru bazat pe amplasarea rădăcinilor unui trinom pătratic pe dreapta numerică;

Învață să rezolvi probleme de complexitate mai mare decât nivelul cerut; stăpânească o serie de abilități matematice tehnice și intelectuale la nivelul utilizării lor libere; îmbunătățirea culturii matematice ca parte a cursului școlar de matematică.

Obiect de studiu: amplasarea rădăcinilor unui trinom pătrat pe o dreaptă de coordonate.

Obiectul cercetării: ecuații pătratice cu un parametru.

Metode de cercetare. Principalele metode de studiere a problemelor cu un parametru: analitică, grafică și combinată (funcțională - grafică). Analitica este o metodă de așa-numită soluție directă, care repetă proceduri standard pentru găsirea răspunsului în probleme fără parametru. Graficul este o metodă care utilizează grafice în planul de coordonate (x; y). Claritatea metodei grafice ajută la găsirea unei modalități rapide de a rezolva o problemă. Dintre aceste două metode, cea din urmă nu este doar elegantă, ci și cea mai importantă, deoarece arată relația dintre toate tipurile de modele matematice: o descriere verbală a problemei, un model geometric - un grafic al unui trinom pătratic, un analitic. model - o descriere a unui model geometric printr-un sistem de inegalități compilat pe baza afirmațiilor matematice identificate din graficul unei funcții pătratice.

În multe cazuri, rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un parametru duce la transformări greoaie. Ipoteza: utilizarea proprietăților unei funcții pătratice va simplifica semnificativ soluția, reducând-o la rezolvarea inegalităților raționale.

Parte principală. Locația rădăcinilor unui trinom pătratic pe linia de coordonate

Să luăm în considerare câteva afirmații legate de locația rădăcinilor trinomului pătrat f(x)=ax2+bx+c pe dreapta numerică relativ la punctele m și n astfel încât m

x1 și x2 sunt rădăcinile trinomului pătratic,

D=b2-4ac- discriminant al unui trinom pătrat, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - numere date.

Toate argumentele sunt luate în considerare pentru a>0, cazul pentru a

Afirmația unu

Pentru ca numărul m să fie situat între rădăcinile trinomului pătrat (x1

Dovada.

furnizat x1

Interpretare geometrică

Fie x1 și x2 rădăcinile ecuației. Pentru a > 0 f(x)

Problema 1. Pentru ce valori ale lui k ecuația x2-(2k+1)x + 3k-4=0 are două rădăcini, dintre care una este mai mică decât 2, iar cealaltă este mai mare decât 2?

Soluţie. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Pentru k>-2, ecuația x2-(2k+1)x + 3k-4=0 are două rădăcini, dintre care una este mai mică de 2, iar cealaltă este mai mare de 2.

Răspuns: k>-2.

Problema 2. Pentru ce valori ale lui k ecuația kx2+(3k-2)x + k-3=0 are rădăcini de semne diferite?

Această problemă poate fi formulată după cum urmează: pentru ce valori ale lui k se află numărul 0 între rădăcinile acestei ecuații.

Rezolvare (1 cale) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

Metoda 2 (folosind teorema lui Vieta). Dacă o ecuație pătratică are rădăcini (D>0) și c/a

Problema 3. Pentru ce valori ale lui k ecuația (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 are două rădăcini, dintre care una este mai mică decât k, iar cealaltă este mai mare decât k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Înlocuind valorile lui k din mulțimea găsită, ne asigurăm că pentru aceste valori ale lui k D>0.

Declarația doi(a)

Pentru ca rădăcinile unui trinom pătratic să fie număr mai mic m(x1

Dovada: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Problema 4. La ce valori ale parametrului sunt rădăcinile ecuației x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 mai mici decât -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- orice; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Declarația a doua (b)

Pentru ca rădăcinile unui trinom pătratic să fie mai mult număr m(m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Dacă condiția m m. Deoarece m nu aparține intervalului (x1; x2), atunci f(m) > O pentru a > 0 și f(m)

În schimb, să fie satisfăcut sistemul de inegalități. Condiția D > 0 implică existența rădăcinilor x1 și x2 (x1 m.

Rămâne de arătat că x1 > m. Dacă D = 0, atunci x1 = x2 > m. Dacă D > 0, atunci f(x0) = -D/4a și af(x0) 0, prin urmare, în punctele x0 și m funcția ia valori de semne opuse și x1 aparține intervalului (m; x0).

Problema 5. Pentru ce valori ale parametrului m sunt rădăcinile ecuației x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) mai mari decât 1? b) mai mic de -1?

Soluția a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; m - orice m>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Raspuns: m>3/2.

b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - orice x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Problema 6. La ce valori ale parametrului sunt rădăcinile ecuației kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 mai mari decât 1?

Soluţie. Evident, problema este echivalentă cu următoarea: pentru ce valori ale parametrului m sunt rădăcinile unui trinom pătratic mai mari decât 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

După ce am rezolvat acest sistem, constatăm că

Afirmația trei

Pentru ca rădăcinile unui trinom pătrat să fie mai mari decât numărul m și mai mici decât n (m

D ≥0; m 0 af(n)>0.

Notă trăsături de caracter Arte grafice.

1) Ecuația are rădăcini, ceea ce înseamnă D > 0.

2) Axa de simetrie este situată între dreptele x = m și x = n, ceea ce înseamnă m

3) În punctele x = m și x = n, graficul este situat deasupra axei OX, deci f(m) > 0 și f(n) > 0 (la m

Condițiile enumerate mai sus (1; 2; 3) sunt necesare și suficiente pentru valorile parametrilor dorite.

Problema 7. Pentru ce m x2-2mx+m2-2m+5=0 numerele nu depășesc 4 în valoare absolută?

Soluţie. Condiţia problemei poate fi formulată astfel: pentru ce m face relaţia -4

Găsim valorile lui m din sistem

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; a cărui soluţie este segmentul . Raspuns: m.

Problema 8. Pentru ce valori ale lui m sunt rădăcinile trinomului pătratic

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 este mai mare decât -1, dar mai mic decât 0?

Soluţie. Valorile lui m pot fi găsite din sistem

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Răspuns: m > 2.

Declarația patru(e)

Pentru ca rădăcina mai mică a trinomului pătrat să aparțină intervalului (m;n), iar cea mai mare să nu aparțină (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

Graficul unui trinom pătratic intersectează axa OX exact o dată pe intervalul (m; n). Aceasta înseamnă că în punctele x=m și x=n trinomul pătrat ia valori de diferite semne.

Problema 10. Pentru ce valori ale parametrului a aparține intervalului X(0;3) doar rădăcina mai mică a ecuației pătratice x2+2ax+a=0.

Soluţie. Se consideră trinomul pătratic y(x) = x2-2ax+a. Graficul este o parabolă. Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Fie x1 rădăcina mai mică a trinomului pătrat. Conform condițiilor problemei, x1 aparține intervalului (0;3). Să descriem un model geometric al problemei care îndeplinește condițiile problemei.

Să trecem la sistemul inegalităților.

1) Observăm că y(0)>0 și y(3) 0. Prin urmare, această condiție nu trebuie să fie scrisă în sistemul de inegalități.

Astfel, obținem următorul sistem de inegalități:

Răspuns: a>1,8.

Declarația patru (b)

Pentru ca rădăcina mai mare a trinomului pătrat să aparțină intervalului (m; n), iar cea mai mică să nu aparțină (x1

D ≥0; af(m) 0.

Declarația patru (combinată)

Cometariu. Să fie formulată problema după cum urmează: pentru ce valori ale parametrului o rădăcină a ecuației aparține intervalului (b;m), iar cealaltă nu? Pentru a rezolva această problemă, nu este nevoie să facem distincția între două subcazuri; găsim răspunsul din inegalitatea f(m) f(n)

D ≥0; f(m) f(n)

Problema 11. Pentru ce m doar o rădăcină a ecuației x2-mх+6=0 satisface condiția 2

Soluţie. Pe baza afirmației 4(b), găsim valoarea lui m din condiția f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, adică pentru m = ±2√6, Pentru m = -2√6 x = - √6, care nu aparține intervalului (2; 5), cu m = 2√6 x =√6, aparținând intervalului (2; 5).

Răspuns: m (2√6) U (5; 31/5).

Declarația cinci

Pentru ca rădăcinile unui trinom pătratic să satisfacă relația (x1

D ≥0; af(m)Problema 12. Aflați toate valorile lui m pentru care inegalitatea x2+2(m-3)x + m2-6m

Soluţie. Prin condiție, intervalul (0; 2) trebuie să fie conținut în mulțimea de soluții la inegalitatea x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Pe baza afirmației 5, găsim valorile lui m din sistem. a inegalităților f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], de unde m.

Raspuns: m.

Declarația șase

Pentru ca rădăcina mai mică a trinomului pătrat să aparțină intervalului (m1; m2), iar rădăcina mai mare să aparțină intervalului (n1; n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Această afirmație este o combinație de afirmații 4a și 4b. Primele două inegalități garantează că x1(m1, n1), iar ultimele două inegalități garantează că x2(m2, n2),

Problema 13. La ce m se află una dintre rădăcinile ecuației x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 situată între numerele 1 și 3, iar a doua - între numerele 4 și 6?

Soluţie. 1 cale. Având în vedere că a = 1, valorile lui m pot fi găsite din sistemul f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), de unde m(2; 4).

Răspuns: m(2; 4).

Astfel, am stabilit afirmații referitoare la locația rădăcinilor trinomului pătrat f(x)=ax2+bx+ pe dreapta numerică în raport cu anumite puncte.

Concluzie

Pe parcursul activității mele, am însușit o serie de abilități tehnice și matematice la nivel de utilizare liberă și mi-am îmbunătățit cultura matematică ca parte a cursului de matematică școlar.

În urma lucrării, s-a atins scopul stabilit: au fost stabilite proprietățile funcției pătratice, care fac posibilă simplificarea semnificativă a soluționării problemelor legate de localizarea rădăcinilor unei ecuații pătratice în raport cu anumite puncte caracteristice. Sunt stabilite cazuri posibile de localizare a rădăcinilor unui trinom pătrat pe dreapta numerică. Au fost identificați algoritmi care permit rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un parametru bazat pe localizarea rădăcinilor unui trinom pătrat pe dreapta numerică; au fost rezolvate sarcini de complexitate mai mare decât nivelul cerut. Lucrarea prezintă o soluție la doar 12 probleme din cauza numărului limitat de pagini ale lucrării. Desigur, problemele discutate în lucrare pot fi rezolvate în alte moduri: folosind formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, folosind proprietatea rădăcinilor (teorema lui Vieta).

De fapt, un număr semnificativ de probleme au fost rezolvate. Prin urmare, s-a decis crearea unei colecții de probleme pe tema lucrării de proiectare și cercetare „Rezolvator de probleme privind aplicarea proprietăților unui trinom pătrat legat de locația rădăcinilor sale pe linia de coordonate”. În plus, rezultatul lucrării (produsul lucrărilor de proiectare și cercetare) este o prezentare pe computer care poate fi utilizată în clasele disciplinei opționale „Rezolvarea problemelor cu parametrii”.