Rădăcina unui pătrat. Ce este rădăcina pătrată aritmetică

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la examenul de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acțiune rădăcină pătrată inversă acțiunii de pătrare.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luați rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obțineți același număr.

Din nu numere mari, care sunt pătrate exacte numere naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 de rădăcini pătrate pot fi extrase oral. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcini pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400 le poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm să privim această metodă cu un exemplu.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 = 400 și 30 2 = 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2.
Aceasta înseamnă că, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 = 6400 și 90 2 = 8100, atunci 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este egal fie cu 83, fie cu 87.

Să verificăm: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vă este dificil de rezolvat folosind metoda de selecție, puteți factoriza expresia radicală.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizez numărul 893025, amintiți-vă, ați făcut asta în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factorizarea necesită cunoașterea semnelor de divizibilitate și abilități de factorizare.

Și, în sfârșit, există regula pentru extragerea rădăcinilor pătrate. Să ne familiarizăm cu această regulă cu exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin 2 cifre (marginea din stânga poate conține o cifră). O scriem astfel: 27’98’41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), luăm rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat perfect conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) se adaugă la diferență (scăzută).
În stânga numărului rezultat 298, scrieți cifra dublă a rădăcinii (10), împărțiți la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), testați câtul (102 ∙ 2 = 204). nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298 și următoarea muchie (41) este adăugată la diferența (94).
În stânga numărului rezultat 9441, scrieți produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙2 = 104), împărțiți numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9) la acest produs, testați câtul (1049 ∙9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și notează-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

Extrageți în mod similar rădăcinile fracțiilor zecimale. Numai numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Nu uitați că, dacă o fracție zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu poate fi luată din ea.

Deci acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Deoarece, conform condiției, această suprafață este egală cu 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea unei laturi a unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei a fost necesar să se găsească numărul x al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 = - 9, deoarece 9² = 81 și (- 9)² = 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate de la numărul 81.

Rețineți că una dintre rădăcinile pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu A.

De exemplu, numerele 6 și - 6 sunt rădăcini pătrate ale numărului 36. Cu toate acestea, numărul 6 este o rădăcină pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² = 36. Numărul - 6 nu este un număr rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A notată după cum urmează: √ A.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; A- numită expresie radicală. Expresia √ A citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre o rădăcină aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a A«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește înrădăcinare pătrată. Această acțiune este inversul pătratului.

Puteți pătra orice număr, dar nu puteți extrage rădăcini pătrate din orice număr. De exemplu, este imposibil să extragi rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține egalitatea incorectă x² = - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și un număr negativ în dreapta.

Expresia √ A are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Egalitatea (√ A)² = A valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a se asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ A egală b, adică în faptul că √ A =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = A.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și să verificăm dacă egalitatea este valabilă.

Deoarece și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema: Dacă A≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției este egală cu rădăcina numărătorului împărțită la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ A≥0 și √ b> 0, atunci.

Despre proprietatea ridicării unei fracții la o putere și definiția rădăcinii pătrate teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați folosind teorema dovedită .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , Dacă A ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Conversie rădăcină pătrată

Eliminarea multiplicatorului de sub semnul rădăcină. Să fie dată expresia. Dacă A≥ 0 și b≥ 0, atunci folosind teorema rădăcinii produsului putem scrie:

Această transformare se numește eliminarea factorului din semnul rădăcină. Să ne uităm la un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 în expresia radicală duce la calcule complexe. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminați factorii de sub semnul rădăcină: . Înlocuind acum x = 2, obținem:.

Deci, la eliminarea factorului de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată sub forma unui produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătrate de numere nenegative. Apoi aplicați teorema rădăcinii produsului și luați rădăcina fiecărui factor. Să luăm un exemplu: Simplificăm expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii din primii doi termeni de sub semnul rădăcinii, obținem:. Subliniem această egalitate valabil numai atunci când A≥ 0 și b≥ 0. dacă A < 0, то .

Înainte de calculatoare, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul radical în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul radical, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. În primul rând, încercați să factorizați numărul radical în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factorii pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă pentru a lua rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul radical nu se împarte în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului radical într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului comun.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, estimați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul radical. Veți obține valoarea rădăcinii ca zecimal, care trebuie înmulțit cu numărul din spatele semnului rădăcină.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical este 3. Numerele pătrate cele mai apropiate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este situată între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faci calculul pe un calculator, vei obține 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul radical este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 este situată între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (pentru că 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6 Verificați pe calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este factorizarea numărului radical în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Noteaza factori primiîntr-un rând și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Factorăm numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 poate fi scos ca semn rădăcină: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Să ne uităm la un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai primit trei multiplicatori de 2; luați câteva dintre ele și mutați-le dincolo de semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind diviziunea lungă

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radical în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul dat sub forma „7 80, 14” în stânga sus. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspuns (rădăcina lui număr dat) veți nota în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un singur număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n-ul pe care l-ați găsit în dreapta sus și scrieți pătratul lui n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 și obțineți 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" în dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va fi suficient. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 în dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub subtraend.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere care se transferă este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți un separator (virgulă) între părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată necesară în dreapta sus. În stânga, aduceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi eliminată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că plasați separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți-l în stânga jos. Numărul dublu din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsește una cel mai mare numărîn locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia răspunsului (numărul de zecimale) nevoie.

      Înțelegerea procesului

      1. Pentru asimilare aceasta metoda gândiți-vă la numărul a cărui rădăcină pătrată doriți să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L astfel încât L² = S.

         Dați câte o literă pentru fiecare număr din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

         Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

         Înțelegeți legătura dintre această metodă și împărțirea lungă. La fel ca în diviziune, unde ne interesează doar următoarea cifră a numărului pe care îl împărțim de fiecare dată, atunci când calculăm o rădăcină pătrată, lucrăm secvențial printr-o pereche de cifre (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

      2. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii rădăcinii pătrate dorite va fi o cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imaginează-ți mental un pătrat a cărui zonă trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este S. A, B, C sunt numerele din numărul L. Îl poți scrie altfel: 10A + B = L (pentru număr cu două cifre) sau 100A + 10V + C = L (pentru număr din trei cifre) și așa mai departe.

         • Lăsa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr în care cifra B reprezintă unități, iar cifra A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A²- zona pătratului interior mare, B²- zona pătratului interior mic, 10A×B- aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adunând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.

Destul de des, atunci când rezolvăm probleme, ne confruntăm cu numere mari din care trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Mulți elevi decid că aceasta este o greșeală și încep să rezolve întregul exemplu. Sub nicio formă nu trebuie să faci asta! Există două motive pentru aceasta:

1. Rădăcinile unui număr mare apar în probleme. Mai ales în cele de text;
2. Există un algoritm prin care aceste rădăcini sunt calculate aproape oral.

Vom lua în considerare acest algoritm astăzi. Poate că unele lucruri ți se vor părea de neînțeles. Dar dacă acordați atenție acestei lecții, veți primi o armă puternică împotriva rădăcini pătrate.

Deci, algoritmul:

1. Limitați rădăcina necesară deasupra și dedesubt la numerele care sunt multipli ai lui 10. Astfel, vom reduce intervalul de căutare la 10 numere;
2. Din aceste 10 numere, îndepărtați-le pe cele care cu siguranță nu pot fi rădăcini. Ca urmare, vor rămâne 1-2 numere;
3. Patratează aceste 1-2 numere. Cel al cărui pătrat este egal cu numărul inițial va fi rădăcina.

Înainte de a pune acest algoritm în practică, să ne uităm la fiecare pas individual.

Limitare la rădăcină

În primul rând, trebuie să aflăm între ce numere se află rădăcina noastră. Este foarte de dorit ca numerele să fie multipli de zece:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obținem o serie de numere:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ce ne spun aceste numere? Este simplu: primim limite. Luați, de exemplu, numărul 1296. Se află între 900 și 1600. Prin urmare, rădăcina sa nu poate fi mai mică de 30 și mai mare de 40:

[Letină pentru imagine]

Același lucru este valabil și pentru orice alt număr din care puteți găsi rădăcina pătrată. De exemplu, 3364:

[Letină pentru imagine]

Astfel, în loc de un număr de neînțeles, obținem un interval foarte specific în care se află rădăcina originală. Pentru a restrânge și mai mult zona de căutare, treceți la pasul al doilea.

Eliminarea numerelor în mod evident inutile

Deci, avem 10 numere - candidați pentru rădăcină. Le-am luat foarte repede, fără gândire complexă și înmulțire într-o coloană. E timpul să mergem mai departe.

Credeți sau nu, acum vom reduce numărul de candidați la doi - și din nou fără niciunul calcule complexe! Este suficient să cunoașteți regula specială. Iată-l:

Ultima cifră a pătratului depinde doar de ultima cifră numărul original.

Cu alte cuvinte, priviți doar ultima cifră a pătratului și vom înțelege imediat unde se termină numărul inițial.

Sunt doar 10 cifre care pot fi pe ultimul loc. Să încercăm să aflăm în ce se transformă la pătrat. Aruncă o privire la tabel:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Acest tabel este un alt pas către calcularea rădăcinii. După cum puteți vedea, numerele din a doua linie s-au dovedit a fi simetrice față de cele cinci. De exemplu:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

După cum puteți vedea, ultima cifră este aceeași în ambele cazuri. Aceasta înseamnă că, de exemplu, rădăcina lui 3364 trebuie să se termine în 2 sau 8. Pe de altă parte, ne amintim restricția din paragraful anterior. Primim:

[Letină pentru imagine]

Pătratele roșii indică faptul că nu cunoaștem încă această cifră. Dar rădăcina se află în intervalul de la 50 la 60, pe care există doar două numere care se termină în 2 și 8:

[Letină pentru imagine]

Asta e tot! Dintre toate rădăcinile posibile, am lăsat doar două opțiuni! Și acesta este în cel mai dificil caz, deoarece ultima cifră poate fi 5 sau 0. Și atunci va fi un singur candidat pentru rădăcini!

Calcule finale

Deci, mai avem 2 numere de candidat. De unde știi care este rădăcina? Răspunsul este evident: pătratează ambele numere. Cel care la pătrat dă numărul inițial va fi rădăcina.

De exemplu, pentru numărul 3364 am găsit două numere candidate: 52 și 58. Să le pătram:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Asta e tot! S-a dovedit că rădăcina este 58! În același timp, pentru a simplifica calculele, am folosit formula pentru pătratele sumei și diferenței. Datorită acestui lucru, nici nu a trebuit să înmulțesc numerele într-o coloană! Acesta este un alt nivel de optimizare a calculelor, dar, desigur, este complet opțional :)

Exemple de calculare a rădăcinilor

Teoria este, desigur, bună. Dar să verificăm în practică.

[Letină pentru imagine]

Mai întâi, să aflăm între ce numere se află numărul 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Acum să ne uităm la ultimul număr. Este egal cu 6. Când se întâmplă acest lucru? Doar dacă rădăcina se termină cu 4 sau 6. Obținem două numere:

Tot ce rămâne este să pătrați fiecare număr și să-l comparați cu originalul:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Grozav! Primul pătrat s-a dovedit a fi egal cu numărul inițial. Deci aceasta este rădăcina.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

1369 → 9;
33; 37.

Square it:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Iată răspunsul: 37.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

Limităm numărul:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

2704 → 4;
52; 58.

Square it:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Am primit răspunsul: 52. Al doilea număr nu va mai fi nevoie să fie pătrat.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

Limităm numărul:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

4225 → 5;
65.

După cum puteți vedea, după al doilea pas mai rămâne o singură opțiune: 65. Aceasta este rădăcina dorită. Dar haideți să facem în continuare pătrare și să verificăm:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Totul este corect. Scriem răspunsul.

Concluzie

Vai, nu mai bine. Să ne uităm la motive. Sunt două dintre ele:

• În orice examen normal de matematică, fie că este vorba de examenul de stat sau de examenul de stat unificat, utilizarea calculatoarelor este interzisă. Și dacă aduci un calculator în clasă, poți fi cu ușurință dat afară de la examen.
• Nu fi ca americanii proști. Care nu sunt ca rădăcinile - nu pot adăuga două numere prime. Și când văd fracții, în general devin isteric.