Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți viziona un tutorial video pentru același exemplu făcând clic. Acum să trecem la descrierea reală a tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.
Cum să găsiți sistemul fundamental de soluții la o ecuație liniară?
Să luăm ca exemplu acest sistem ecuații liniare:
Să găsim o soluție la asta sistem liniar ecuații Pentru început, noi trebuie să scrieți matricea de coeficienți a sistemului.
Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și să scrieți diferența pe a cincea linie. 
Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, trebuie să scădeți pe al doilea înmulțit cu 2 din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și să scrieți diferența în a cincea linie. 
Vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scădeți a treia din a patra și a cincea, acestea vor deveni zero. 
Conform acestei matrice notează sistem nou ecuații.
Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi trebuie să mutăm ultimele două necunoscute la dreapta.
Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul rezultat în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă. 
Apoi, în loc de $x_4$ și $x_5$, putem înlocui orice numere și găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare cinci dintre aceste numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.
Un sistem omogen este întotdeauna consistent și are o soluție banală 
. Pentru ca o soluție netrivială să existe, este necesar ca rangul matricei 
a fost număr mai mic necunoscut:
.
Sistem fundamental de soluții
sistem omogen 
numiți un sistem de soluții sub formă de vectori coloană 
, care corespund temeiului canonic, i.e. bază în care constantele arbitrare 
sunt setate alternativ egale cu unu, în timp ce restul sunt setate la zero.
Atunci soluția generală a sistemului omogen are forma:
Unde 
- constante arbitrare. Cu alte cuvinte, soluția globală este o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții.
Astfel, soluțiile de bază pot fi obținute din soluția generală dacă necunoscutelor libere li se dă pe rând valoarea unu, punând toate celelalte egale cu zero.
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
Să acceptăm, apoi obținem o soluție sub forma:
Să construim acum un sistem fundamental de soluții:
.
Soluția generală se va scrie astfel:
Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:
Cu alte cuvinte, orice combinație liniară de soluții la un sistem omogen este din nou o soluție.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare i-a interesat pe matematicieni de câteva secole. Primele rezultate au fost obținute în secolul al XVIII-lea. În 1750, G. Kramer (1704–1752) și-a publicat lucrările despre determinanții matricilor pătrate și a propus un algoritm pentru găsirea matricei inverse. În 1809, Gauss a schițat o nouă metodă de soluție cunoscută sub numele de metoda eliminării.
Metoda Gauss, sau metoda eliminării secvenţiale a necunoscutelor, constă în faptul că, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulară). Astfel de sisteme fac posibilă găsirea secvenţială a tuturor necunoscutelor într-o anumită ordine.
Să presupunem că în sistemul (1) 
(ceea ce este întotdeauna posibil).
(1)
Înmulțind prima ecuație una câte una cu așa-numita numere potrivite
și adunând rezultatul înmulțirii cu ecuațiile corespunzătoare ale sistemului, obținem un sistem echivalent în care în toate ecuațiile cu excepția primei nu va exista necunoscută. X 1
(2)
Să înmulțim acum a doua ecuație a sistemului (2) cu numere adecvate, presupunând că 
,
iar adăugând-o cu cele inferioare, eliminăm variabila 
din toate ecuațiile, începând cu a treia.
Continuând acest proces, după 
pas obtinem:
(3)
Dacă cel puţin unul dintre numere 
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) este inconsecvent. Dimpotrivă, pentru orice sistem de numere comun 
sunt egale cu zero. Număr 
nu este altceva decât rangul matricei sistemului (1).
Se numește trecerea de la sistemul (1) la (3). drept înainte Metoda Gauss și găsirea necunoscutelor din (3) – în sens invers .
Comentariu : Este mai convenabil să efectuați transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricea extinsă a sistemului (1).
Exemplu. Să găsim o soluție la sistem
.
Să scriem matricea extinsă a sistemului:
.
Să-l adăugăm pe primul la liniile 2,3,4, înmulțit cu (-2), (-3), respectiv (-2):
.
Să schimbăm rândurile 2 și 3, apoi în matricea rezultată adăugați rândul 2 la rândul 4, înmulțit cu 
:
.
Adaugă la linia 4 linia 3 înmulțită cu 
:
.
Este evident că 
, prin urmare, sistemul este consistent. Din sistemul de ecuații rezultat
găsim soluția prin substituție inversă:
,
,
,
.
Exemplul 2. Găsiți o soluție pentru sistem:
.
Este evident că sistemul este inconsecvent, pentru că 
, A 
.
Avantajele metodei Gauss :
Mai puțin intensivă de muncă decât metoda lui Cramer.
Stabilește fără ambiguitate compatibilitatea sistemului și vă permite să găsiți o soluție.
Face posibilă determinarea rangului oricăror matrici.
Sistem omogen de ecuații liniare pe un câmp
DEFINIŢIE. Sistemul fundamental de soluții ale sistemului de ecuații (1) se numește liniar nevid sistem independent soluțiile sale, al căror interval liniar coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).
Rețineți că un sistem omogen de ecuații liniare care are doar o soluție zero nu are un sistem fundamental de soluții.
PROPUNEREA 3.11. Oricare două sisteme fundamentale de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare constau din același număr de soluții.
Dovada. De fapt, oricare două sisteme fundamentale de soluții ale sistemului omogen de ecuații (1) sunt echivalente și liniar independente. Prin urmare, prin Propunerea 1.12, rangurile lor sunt egale. În consecință, numărul de soluții incluse într-un sistem fundamental este egal cu numărul de soluții incluse în orice alt sistem fundamental de soluții.
Dacă matricea principală A a sistemului omogen de ecuații (1) este zero, atunci orice vector din este o soluție a sistemului (1); în acest caz, orice colecție este liniară vectori independenți este un sistem fundamental de soluții. Dacă rangul coloanei matricei A este egal cu , atunci sistemul (1) are o singură soluție - zero; prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații (1) nu are un sistem fundamental de soluții.
TEOREMA 3.12. Dacă rangul matricei principale a unui sistem omogen de ecuații liniare (1) este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul (1) are un sistem de soluții fundamentale format din soluții.
Dovada. Dacă rangul matricei principale A a sistemului omogen (1) este egal cu zero sau , atunci s-a arătat mai sus că teorema este adevărată. Prin urmare, mai jos se presupune că Presupunând , vom presupune că primele coloane ale matricei A sunt liniar independente. În acest caz, matricea A este echivalentă pe rând cu o matrice redusă în trepte, iar sistemul (1) este echivalent cu următorul sistem redus de ecuații în trepte:
Este ușor de verificat dacă orice sistem de valori libere variabile de sistem(2) corespunde unei singure soluții sistemului (2) și, prin urmare, sistemului (1). În special, numai soluția zero a sistemului (2) și a sistemului (1) corespunde unui sistem de valori zero.
În sistemul (2) vom atribui uneia dintre variabilele libere o valoare egală cu 1, iar variabilelor rămase - valori zero. Ca rezultat, obținem soluții ale sistemului de ecuații (2), pe care le scriem sub formă de rânduri ale următoarei matrice C:
Sistemul de rânduri al acestei matrice este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari din egalitate
urmează egalitatea
și, prin urmare, egalitate
Să demonstrăm că intervalul liniar al sistemului de rânduri al matricei C coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).
Soluție arbitrară a sistemului (1). Apoi vectorul
este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1) și
Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cel mai probabil, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe moduri de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem liniar ecuații algebrice, care constau din mai mult de două egalități.
Poveste
Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor familiară au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Și este adevărat cel mai bun exemplu egalitatea nu poate fi inventată.
Fondatorul desemnărilor moderne de litere pentru necunoscute și semne de grade este un matematician francez. Cu toate acestea, desemnările sale au fost semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, el a notat un pătrat al unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”) și un cub cu litera C (lat. „cubus”). Această notație pare incomod acum, dar la acea vreme era cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Cu toate acestea, un dezavantaj al metodelor de soluție din acea vreme a fost că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valori negative nu avea niciunul aplicare practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Raphael Bombelli au fost primii care au numărat rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. O aspect modern, metoda principală a soluției (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.
La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit mod nou pentru a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim și astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată să discutăm despre ecuațiile liniare și metodele de rezolvare a acestora separat de sistem.
Ecuații liniare
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (variabile). Ele sunt clasificate drept algebrice. scrie la vedere generală deci: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Va trebui să le reprezentăm în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice mai târziu.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, la școală toată lumea a rezolvat sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le scriem, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui aduse la forma canonică: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim soluții la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.
Matrici
O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a indica elemente, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei. Pe matrice se pot efectua diverse operații, ca pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:
2) Înmulțiți o matrice cu orice număr sau vector.
3) Transpune: transformă rândurile matricei în coloane, iar coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.
Să discutăm mai detaliat toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel se corelează cu fiecare element al celuilalt. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (este important ca ele să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, pur și simplu înmulți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. E foarte interesant să-l vezi uneori viata reala, de exemplu, la schimbarea orientării unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop reprezintă o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.
Să ne uităm la un alt proces de genul: Deși nu vom avea nevoie de el, va fi totuși util să îl cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Să le înmulțim unul cu celălalt și apoi să le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare folosind o metodă similară.
Acum putem începe să luăm în considerare modul în care este rezolvat un sistem de ecuații liniare.
metoda Gauss
Acest subiect începe să fie tratat în școală. Cunoaștem bine conceptul de „un sistem de două ecuații liniare” și știm cum să le rezolvăm. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu trebuie să o transformi și să o rezolvi în forma sa pură.
Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în vremuri străvechi. Gauss propune urmatoarele: sa efectueze operatii cu ecuatii pentru a reduce in final intregul multime la o forma treptata. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este aranjat corect) de la prima ecuație la ultima necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima sunt trei necunoscute, în a doua sunt două, în a treia există una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.
Metoda Cramer
Pentru a stăpâni această metodă, este vital să ai abilitățile de a adăuga și scădea matrice și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le aranjam într-un tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă în fața numărului există un semn „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice de coeficienți pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt pe stânga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice pe rând cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.
După ce am găsit determinanții, este o chestiune mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluții ale sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Alte metode
Există câteva alte metode de obținere a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la sistem ecuații pătraticeși este, de asemenea, asociat cu utilizarea matricelor. Există și metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.
Cazuri complexe
Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.
Concluzie
Aici ajungem la final. Să rezumam: ne-am dat seama ce sunt un sistem și o matrice și am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am luat în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum să rezolvăm un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și am vorbit cazuri dificileși alte modalități de a găsi soluții.
De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, îți recomandăm să citești literatură de specialitate.
Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară tehnici Vor fi o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o expoziție. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să scriem matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero de termeni liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, aplică cursa inversă Metoda lui Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns: 
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(V în acest caz, 3) egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).
Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:
Exemplul 7
Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială. 
Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat: 
(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată, atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.
(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.
(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.
Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:
– variabile de bază;
– variabile libere.
Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:
– înlocuiți în prima ecuație:
Deci solutia generala este:
Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.
Să înlocuim un triplu de valori 
în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.
Pentru un triplu de valori 
găsi vectorul
Și în sfârșit pentru cei trei 
obținem al treilea vector:
Răspuns: , Unde
Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți 
și obțineți un răspuns în formă echivalentă:
Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă 
și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? La urma urmei, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.
A doua soluție:
Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci, de ce să nu ai un zero în vârf? Să realizăm încă o transformare elementară:
