O consecință a ambelor teoreme principale - teorema adunării probabilităților și teorema înmulțirii probabilităților - este așa-numita formulă probabilitate deplină.
Să fie necesar să se determine probabilitatea unui eveniment care poate apărea împreună cu unul dintre evenimentele:
formând un grup complet de evenimente incompatibile. Vom numi aceste evenimente ipoteze.
Să demonstrăm că în acest caz
, (3.4.1)
aceste. probabilitatea unui eveniment se calculează ca suma produselor dintre probabilitatea fiecărei ipoteze și probabilitatea evenimentului conform acestei ipoteze.
Formula (3.4.1) se numește formula probabilității totale.
Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, un eveniment poate apărea numai în combinație cu oricare dintre aceste ipoteze:
Deoarece ipotezele sunt inconsistente, combinațiile 
de asemenea incompatibil; Aplicându-le teorema de adunare, obținem:
Aplicând teorema înmulțirii evenimentului, obținem:
,
Q.E.D.
Exemplul 1. Există trei urne cu aspect identic; prima urna contine doua bile albe si una neagra; în al doilea - trei albi și unul negru; în al treilea sunt două bile albe și două negre. Cineva alege una dintre urne la întâmplare și trage o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Să luăm în considerare trei ipoteze:
Alegerea primei urne
Selectarea celei de-a doua urne
Selectarea celei de-a treia urne
iar evenimentul este apariția unei mingi albe.
Întrucât ipotezele, în funcție de condițiile problemei, sunt la fel de posibile, atunci
.
Probabilitățile condiționate ale evenimentului conform acestor ipoteze sunt, respectiv, egale:
Conform formulei probabilității totale
.
Exemplul 2. Trei focuri simple sunt trase asupra aeronavei. Probabilitatea unei lovituri la prima lovitură este de 0,4, la a doua – 0,5, la a treia – 0,7. Trei lovituri sunt, evident, suficiente pentru a dezactiva o aeronavă; cu o lovitură, aeronava eșuează cu o probabilitate de 0,2, cu două lovituri - cu o probabilitate de 0,6. Găsiți probabilitatea ca avionul să fie dezactivat în urma a trei lovituri.
Soluţie. Să luăm în considerare patru ipoteze:
Nici un obuz nu a lovit avionul,
Un obuz a lovit avionul,
Avionul a fost lovit de două obuze,
Avionul a fost lovit de trei obuze.
Folosind teoremele adunării și înmulțirii, găsim probabilitățile acestor ipoteze:
Probabilitățile condiționate ale evenimentului (defecțiunea aeronavei) conform acestor ipoteze sunt egale cu:
Aplicând formula probabilității totale, obținem:
Rețineți că prima ipoteză nu a putut fi introdusă în considerare, deoarece termenul corespunzător din formula probabilității totale dispare. Aceasta este ceea ce se face de obicei la aplicarea formulei probabilității totale, luând în considerare nu grupul complet de ipoteze incompatibile, ci doar pe acelea dintre ele sub care un anumit eveniment este posibil.
Exemplul 3. Funcționarea motorului este controlată de două regulatoare. Se are în vedere o anumită perioadă de timp în care este de dorit să se asigure funcționarea fără probleme a motorului. Dacă ambele regulatoare sunt prezente, motorul se defectează cu probabilitate, dacă doar primul dintre ele funcționează - cu probabilitate, dacă funcționează doar al doilea -, dacă ambele regulatoare se defectează - cu probabilitate. Primul dintre reglementatori are fiabilitate, al doilea -. Toate elementele eșuează independent unele de altele. Găsiți fiabilitatea totală (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni) a motorului.
Să luăm în considerare eveniment dependent, care nu poate apărea decât ca urmare a implementării unuia dintre incompatibile ipoteze
, care formează grup complet. Fie cunoscute probabilitățile lor și probabilitățile condiționate corespunzătoare. Atunci probabilitatea producerii evenimentului este:
Această formulă se numește formule de probabilitate totală. În manuale este formulată ca o teoremă a cărei demonstrare este elementară: conform algebra evenimentelor, (a avut loc un eveniment Şi sau a avut loc un eveniment Şi după ce a venit un eveniment sau a avut loc un eveniment Şi după ce a venit un eveniment sau …. sau a avut loc un eveniment Şi după ce a venit un eveniment). Din moment ce ipoteze sunt incompatibile, iar evenimentul este dependent, apoi conform teorema adunării probabilităților de evenimente incompatibile (primul pas)Şi teorema înmulțirii probabilităților evenimente dependente
(al doilea pas):
Problema 1
Sunt trei urne identice. Prima urnă conține 4 bile albe și 7 negre, a doua conține doar bile albe, iar a treia conține doar bile negre. O urna este selectata la intamplare si o bila este extrasa din ea la intamplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie neagră?
Soluţie: luați în considerare evenimentul - o bilă neagră va fi extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu. Acest eveniment poate apărea ca urmare a uneia dintre următoarele ipoteze:
– se va selecta prima urna;
– se va selecta a 2-a urna;
– va fi selectată a 3-a urnă.
Deoarece urna este aleasă la întâmplare, alegerea oricăreia dintre cele trei urne la fel de posibil, prin urmare: 
Vă rugăm să rețineți că ipotezele de mai sus formează grup complet de evenimente, adică după condiție, o minge neagră poate apărea doar din aceste urne și, de exemplu, nu poate proveni de la o masă de biliard. Să facem o verificare intermediară simplă: 
, OK, să trecem mai departe:
Prima urna contine 4 albe + 7 negre = 11 bile, fiecare definiție clasică:
– probabilitatea de a extrage o minge neagră dat fiind, că va fi selectată prima urnă.
A doua urnă conține doar bile albe, deci dacă este ales aspectul bilei negre devine imposibil: .
Și în sfârșit, a treia urnă conține doar bile negre, ceea ce înseamnă corespunzătoare probabilitate condiționată extragerea bilei negre va fi (evenimentul este de încredere).
Conform formulei probabilității totale:
– probabilitatea ca o bilă neagră să fie extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu.
Răspuns:
Problema 2
Poligonul de tragere are 5 puști cu precizie diferită. Probabilitățile de a lovi ținta pentru un anumit trăgător sunt, respectiv, egale 
și 0,4. Care este probabilitatea de a lovi ținta dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă aleasă aleatoriu?
Problema 3
Există 5 puști în piramidă, dintre care trei sunt echipate cu o vizor optic. Probabilitatea ca un trăgător să lovească o țintă atunci când trage o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru pușcă fără vizor optic această probabilitate este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă luată la întâmplare.
Soluţie: în această problemă numărul puștilor este exact același ca în cea precedentă, dar există doar două ipoteze:
– trăgătorul va selecta o pușcă cu vizor optic;
– trăgătorul va alege o pușcă fără vizor optic.
De definiția clasică a probabilității: 
.
Controla:
Problema 4
Motorul funcționează în trei moduri: normal, forțat și ralanti. În modul inactiv, probabilitatea defecțiunii acestuia este de 0,05, în modul de funcționare normal – 0,1, iar în modul forțat – 0,7. 70% din timp motorul funcționează în modul normal și 20% în modul forțat. Care este probabilitatea defecțiunii motorului în timpul funcționării?
Exemplul 1. În prima urnă: trei bile roșii, una albă. În a doua urnă: una roșie, trei bile albe. Se aruncă la întâmplare o monedă: dacă este stemă, se alege din prima urnă, în caz contrar, din a doua.
Soluţie:
a) probabilitatea ca o minge roșie să fi fost extrasă
A – am o minge roșie
P 1 – a căzut stema, P 2 – în caz contrar
b) Bila roșie este selectată. Aflați probabilitatea ca acesta să fie luat din prima urna din a doua urna.
B 1 – din prima urnă, B 2 – din a doua urnă
,
Exemplul 2. Într-o cutie sunt 4 bile. Poate fi: numai alb, numai negru sau alb și negru. (Compoziție necunoscută).
Soluţie:
A – probabilitatea apariției unei mingi albe
a) Tot alb:
(probabilitatea ca ai obtinut una dintre cele trei optiuni unde sunt albe)
(probabilitatea ca o minge albă să apară acolo unde toată lumea este albă)
b) Scos acolo unde toată lumea este neagră
c) a scos opțiunea în care toată lumea este albă și/sau neagră
- cel putin unul dintre ele este alb
Pa +P b +P c =
Exemplul 3. Într-o urnă sunt 5 bile albe și 4 negre. Se scot din el 2 bile la rând. Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.
Soluţie:
5 bile albe, 4 negre
P(A 1) – mingea albă a fost scoasă
P(A 2) – probabilitatea ca a doua bilă să fie și ea albă
P(A) – bile albe alese pe rând
Exemplul 3a. Pachetul contine 2 bancnote false si 8 bancnote reale. 2 bancnote au fost scoase din pachet la rând. Găsiți probabilitatea ca ambele să fie false.
Soluţie:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Exemplul 4. Există 10 coșuri. Sunt 9 urne cu 2 bile negre si 2 albe. Există 5 albi și 1 negru într-o urnă. Dintr-o urnă a fost extrasă o minge luată la întâmplare.
Soluţie:
P(A) - ? se ia o minge alba dintr-o urna care contine 5 albe
B – probabilitatea de a fi extras dintr-o urna care contine 5 albi
, - scos de la alții
C 1 – probabilitatea ca o minge albă să apară la nivelul 9.
C 2 – probabilitatea apariției unei mingi albe, unde sunt 5
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Exemplul 5. 20 de role cilindrice și 15 conice. Culegătorul ia 1 rolă, apoi încă una.
Soluţie:
a) ambele role sunt cilindrice
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – primul cilindru, C 2 – al doilea cilindru
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Cel puțin un cilindru
R 1 – primul în formă de con.
K 2 - al doilea în formă de con.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) primul cilindru, dar nu al doilea
P(C)=P(C1)P(K2)
e) Nici un singur cilindru.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Exact 1 cilindru
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Exemplul 6. Există 10 piese standard și 5 piese defecte într-o cutie.
Trei părți sunt desenate la întâmplare
a) Una dintre ele este defectă
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – probabilitatea produselor defecte
q – probabilitatea pieselor standard
n=3, trei părți
b) două din trei părți sunt defecte P(2)
c) cel puţin un standard
P(0) - nu este defect
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - probabilitatea ca cel puțin o parte să fie standard
Exemplul 7. Prima urna contine 3 bile albe si negre, iar a 2-a urna contine 3 bile albe si 4 negre. Se transferă 2 bile din prima urnă în a 2-a fără să se uite, apoi se extrag 2 bile din a 2-a. Care este probabilitatea ca ei culori diferite?
Soluţie:
La mutarea bilelor din prima urna sunt posibile urmatoarele optiuni:
a) a scos 2 bile albe la rând
P BB 1 =
În a doua etapă va fi întotdeauna o minge mai puțin, deoarece la prima etapă o minge a fost deja scoasă.
b) a scos o bilă albă și una neagră
Situația în care este extrasă prima bila albă, apoi cea neagră
P focos =
Situația când a fost extrasă prima bila neagră, apoi cea albă
P BW =
Total: P focos 1 =
c) a scos 2 bile negre la rând
P HH 1 =
Deoarece 2 bile au fost transferate din prima urna in a doua urna, numarul total de bile din a doua urna va fi de 9 (7 + 2). În consecință, vom căuta toate opțiunile posibile:
a) mai întâi s-a luat o bilă albă și apoi o bilă neagră din a doua urnă
P BB 2 P BB 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca 2 bile albe să fie extrase din prima urnă la rând. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca din prima urnă să fie extrase bile albe și negre. De aceea, numărul de bile albe în acest caz este 4 (3+1), iar numărul de bile negre este de cinci (4+1).
P BC 2 P BC 1 - înseamnă probabilitatea ca mai întâi să fi fost extrasă o bilă albă, apoi o bilă neagră, cu condiția ca ambele bile negre să fie extrase din prima urnă la rând. De aceea, numărul de bile negre în acest caz este 6 (4+2).
Probabilitatea ca 2 bile extrase să fie de culori diferite este egală cu:
Răspuns: P = 0,54
Exemplul 7a. Din prima urna care contine 5 bile albe si 3 negre, 2 bile au fost transferate aleatoriu in a 2-a urna care contine 2 bile albe si 6 negre. Apoi a fost extrasă la întâmplare 1 minge din a 2-a urnă.
1) Care este probabilitatea ca mingea extrasă din a 2-a urnă să se dovedească albă?
2) Mingea luată din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă. Calculați probabilitatea ca bilele să fi fost transferate din prima urnă în a doua culori diferite.
Soluţie.
1) Evenimentul A - mingea extrasă din a 2-a urnă se dovedește a fi albă. Să luăm în considerare următoarele opțiuni pentru apariția acestui eveniment.
a) Două bile albe au fost plasate din prima urnă în a doua: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
În a doua urnă sunt în total 4 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Bilele albe și negre au fost plasate din prima urnă în a doua: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
În a doua urnă sunt în total 3 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Două bile negre au fost plasate din prima urnă în a doua: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
În a doua urnă sunt în total 2 bile albe. Atunci probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă este P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Atunci probabilitatea ca mingea extrasă din a 2-a urna să se dovedească a fi albă este:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Mingea luată din a 2-a urnă s-a dovedit a fi albă, adică. probabilitatea totală este P(A)=13/32.
Probabilitatea ca în a doua urnă să fie plasate bile de diferite culori (alb-negru) și să fie ales alb: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Exemplul 7b. Prima urna contine 8 bile albe si 3 negre, a doua urna contine 5 bile albe si 3 negre. O minge este aleasă la întâmplare din prima și două bile din a doua. După aceasta, o minge este luată la întâmplare din cele trei bile selectate. Această ultimă minge s-a dovedit a fi neagră. Găsiți probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din prima urnă.
Soluţie.
Să luăm în considerare toate variantele evenimentului A - din trei bile, bila extrasă se dovedește a fi neagră. Cum s-a putut întâmpla ca printre cele trei bile să fie una neagră?
a) Din prima urna s-a luat o bila neagra, iar din a doua urna s-au luat doua bile albe.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) S-a luat o bilă neagră din prima urnă, s-au luat două bile negre din a doua urnă.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) S-a luat o bilă neagră din prima urnă, s-a luat o bilă albă și una neagră din a doua urnă.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Din prima urna s-a luat o bila alba, iar din a doua urna au fost luate doua bile negre.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Din prima urna s-a luat o bila alba, din a doua urna s-a luat o bila alba si una neagra.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Probabilitatea totală este: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Probabilitatea ca dintr-o urnă albă să fie extrasă o bilă albă este:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Atunci probabilitatea ca o bilă albă să fi fost aleasă din prima urna, având în vedere că o bilă neagră a fost aleasă din trei bile, este egală cu:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Exemplul 7c. Prima urnă conține 12 bile albe și 16 negre, a doua urnă conține 8 bile albe și 10 bile negre. În același timp, se extrage câte o minge din urna 1 și 2, se amestecă și se returnează câte una în fiecare urnă. Apoi se extrage o minge din fiecare urna. S-au dovedit a fi de aceeași culoare. Determinați probabilitatea ca în prima urnă să rămână tot atâtea bile albe câte erau la început.
Soluţie.
Evenimentul A - o minge este extrasă simultan din prima și a doua urnă.
Probabilitatea extragerii unei bile albe din prima urna: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Probabilitatea extragerii unei bile negre din prima urna: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua urnă: P2(B) = 8/18 = 4/9
Probabilitatea de a extrage o minge neagră din a doua urnă: P2(H) = 10/18 = 5/9
S-a întâmplat evenimentul A. Evenimentul B - se extrage o minge din fiecare urna. După amestecare, probabilitatea ca o minge albă sau neagră să revină în urnă este de ½.
Să luăm în considerare opțiunile pentru evenimentul B - s-au dovedit a fi de aceeași culoare.
Pentru prima urnă
1) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) în prima urnă a fost plasată o bilă neagră, iar una neagră a fost scoasă, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51 /392
8) s-a plasat o bilă neagră în prima urnă și s-a scos una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Pentru a doua urnă
1) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) s-a pus o bilă albă în prima urnă și s-a scos una neagră, cu condiția ca o bilă albă să fie scoasă mai devreme, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) a fost plasată o bilă albă în prima urnă și a fost scoasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă o bilă albă, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost scoasă o bilă albă, cu condiția ca o bilă neagră să fi fost scoasă mai devreme, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca în prealabil să fi fost extrasă o bilă albă, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) a fost plasată o bilă neagră în prima urnă și a fost extrasă una neagră, cu condiția ca o bilă neagră să fie extrasă mai devreme, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Bilele s-au dovedit a fi de aceeași culoare:
a) alb
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) negru
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Exemplul 7d. Prima cutie conține 5 bile albe și 4 albastre, a doua conține 3 și 1, iar a treia conține 4 și, respectiv, 5. O cutie a fost aleasă la întâmplare și o minge scoasă din ea s-a dovedit a fi albastră. Care este probabilitatea ca această minge să fie din a doua cutie?
Soluţie.
A - eveniment de extragere a unei mingi albastre. Să luăm în considerare toate rezultatele posibile ale unui astfel de eveniment.
H1 - mingea extrasă din prima casetă,
H2 - mingea scoasă din a doua cutie,
H3 - o minge extrasă din a treia casetă.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Conform condițiilor problemei, probabilitățile condiționate ale evenimentului A sunt egale cu:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Probabilitatea ca această minge să fie din a doua casetă este:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Exemplul 8. Cinci cutii cu câte 30 de bile conțin fiecare 5 bile roșii (aceasta este o cutie din compoziția H1), alte șase cutii cu câte 20 de bile fiecare conțin 4 bile roșii (aceasta este o cutie din compoziția H2). Găsiți probabilitatea ca o minge roșie luată la întâmplare să fie conținută într-una dintre primele cinci casete.
Soluție: Problema este aplicarea formulei probabilității totale.
P(H1) = 5/11
Probabilitatea ca orice mingea luată este conținută într-una dintre cele șase cutii:
P(H2) = 6/11
S-a întâmplat evenimentul - mingea roșie a fost scoasă. Prin urmare, acest lucru se poate întâmpla în două cazuri:
a) scoase din primele cinci cutii.
P 5 = 5 bile roșii * 5 cutii / (30 bile * 5 cutii) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) scos din alte șase cutii.
P 6 = 4 bile roșii * 6 cutii / (20 bile * 6 cutii) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Total: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Prin urmare, probabilitatea ca o bilă roșie extrasă la întâmplare să fie conținută într-una dintre primele cinci casete este:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Exemplul 9. Urna conține 2 bile albe, 3 negre și 4 roșii. Trei bile sunt extrase la întâmplare. Care este probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare?
Soluţie. Există trei rezultate posibile:
a) dintre cele trei bile extrase au fost cel puțin două albe.
P b (2) = P 2b
Numărul total de rezultate elementare posibile pentru aceste teste este egal cu numărul de moduri în care pot fi extrase 3 bile din 9:
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie albe.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 2 bile albe:
Numărul de opțiuni de a alege din alte 7 bile a treia bilă:
b) dintre cele trei bile extrase au fost cel puțin două negre (adică fie 2 negre, fie 3 negre).
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie negre.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 3 bile negre:
Numărul de opțiuni de a alege din alte 6 bile dintr-o singură minge:
P2h = 0,214
Să aflăm probabilitatea ca toate bilele selectate să fie negre.
P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) dintre cele trei bile extrase au fost cel puțin două roșii (adică fie 2 roșii, fie 3 roșii).
Să aflăm probabilitatea ca dintre cele 3 bile selectate, 2 să fie roșii.
Numărul de opțiuni de a alege dintre 4 bile negre:
Număr de opțiuni din care să alegeți: 5 bile albe, rămase 1 albă:
Să aflăm probabilitatea ca toate bilele selectate să fie roșii.
P la (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Atunci probabilitatea ca cel puțin două bile să fie de aceeași culoare este egală cu: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Exemplul 10. Prima urna contine 10 bile, 7 dintre ele albe; A doua urnă conține 20 de bile, dintre care 5 sunt albe. Din fiecare urnă se extrage o minge la întâmplare, apoi se extrage o minge la întâmplare din aceste două bile. Aflați probabilitatea ca bila albă să fie extrasă.
Soluţie. Probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din prima urnă este P(b)1 = 7/10. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)1 = 3/10.
Probabilitatea ca o minge albă să fie extrasă din a doua urnă este P(b)2 = 5/20 = 1/4. În consecință, probabilitatea de a extrage o bilă neagră este P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Evenimentul A - o minge albă este luată din două bile
Să luăm în considerare rezultatul posibil al evenimentului A.
- Din prima urna a fost extrasa o bila alba, iar din a doua urna a fost extrasa o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Din prima urna a fost extrasa o bila alba si din a doua urna a fost extrasa o bila neagra. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Din prima urna a fost extrasa o bila neagra, iar din a doua urna a fost extrasa o bila alba. Apoi a fost extrasă o minge albă din aceste două bile. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Exemplul 11. Sunt n mingi de tenis în cutie. Dintre acestea, m au fost jucate. Pentru primul joc, două mingi au fost luate la întâmplare și puse înapoi după joc. Pentru al doilea joc am luat și două mingi la întâmplare. Care este probabilitatea ca al doilea joc să fie jucat cu mingi noi?
Soluţie. Luați în considerare evenimentul A - jocul a fost jucat pentru a doua oară cu mingi noi. Să vedem ce evenimente pot duce la asta.
Să notăm cu g = n-m numărul de bile noi înainte de a fi scoase.
a) pentru primul joc au fost scoase două mingi noi.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) pentru primul joc, au scos o minge nouă și una a jucat deja una.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) pentru primul joc au fost scoase două mingi jucate.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Să ne uităm la evenimentele celui de-al doilea joc.
a) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P1: deoarece bile noi au fost deja extrase pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P2: deoarece o nouă minge fusese deja extrasă pentru primul joc, apoi pentru al doilea joc numărul lor a scăzut cu 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Au fost extrase două bile noi, cu condiția P3: deoarece anterior nu erau folosite bile noi pentru primul joc, numărul acestora nu s-a schimbat pentru al doilea joc g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Probabilitate totală P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Răspuns: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Exemplul 12. Prima, a doua și a treia cutie conțin 2 bile albe și 3 negre, a patra și a cincea cutie conțin 1 bilă albă și 1 neagră. O cutie este aleasă aleatoriu și din ea se extrage o minge. Care este probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie selectată dacă mingea extrasă este albă?
Soluţie.
Probabilitatea de a alege fiecare casetă este P(H) = 1/5.
Să luăm în considerare probabilitățile condiționate ale evenimentului A - extragerea bilei albe.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Probabilitatea totală de a extrage o minge albă:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Probabilitatea condiționată ca a patra casetă să fie selectată
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Probabilitate condiționată ca a cincea casetă să fie selectată
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
În total, probabilitatea condiționată ca a patra sau a cincea casetă să fie selectată este
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Exemplul 13. În urnă erau 7 bile albe și 4 roșii. Apoi o altă minge de culoare albă sau roșie sau neagră a fost pusă în urnă și după amestecare a fost scoasă o minge. S-a dovedit a fi roșu. Care este probabilitatea ca a) să fi fost plasată o minge roșie? b) bila neagra?
Soluţie.
a) bila rosie
Evenimentul A - se extrage mingea roșie. Evenimentul H - este plasată mingea roșie. Probabilitatea ca o minge roșie să fi fost plasată în urnă P(H=K) = 1 / 3
Atunci P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) bila neagră
Evenimentul A - se extrage mingea roșie. Evenimentul H - este plasată o minge neagră.
Probabilitatea ca o bilă neagră să fi fost plasată în urnă P(H=H) = 1/3
Atunci P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Exemplul 14. Sunt două urne cu bile. Unul are 10 bile roșii și 5 albastre, al doilea are 5 bile roșii și 7 albastre. Care este probabilitatea ca o bila rosie sa fie extrasa la intamplare din prima urna si o bila albastra din a doua?
Soluţie. Fie evenimentul A1 o bila rosie extrasa din prima urna; A2 - se extrage o bila albastra din a doua urna:
,
Evenimentele A1 și A2 sunt independente. Probabilitatea apariției comune a evenimentelor A1 și A2 este egală cu
Exemplul 15. Există un pachet de cărți (36 piese). Două cărți sunt extrase la întâmplare pe rând. Care este probabilitatea ca ambele cărți extrase să fie roșii?
Soluţie. Fie evenimentul A 1 primul cartonaș roșu extras. Evenimentul A 2 - al doilea cartonaș roșu extras. B - ambele cărți scoase sunt roșii. Deoarece atât evenimentul A 1 cât și evenimentul A 2 trebuie să aibă loc, atunci B = A 1 · A 2 . Evenimentele A1 și A2 sunt dependente, prin urmare, P(B):
,
De aici
Exemplul 16. Două urne conțin bile care diferă doar prin culoare, iar în prima urnă sunt 5 bile albe, 11 bile negre și 8 roșii, iar în a doua sunt 10, 8, respectiv 6 bile. Din ambele urne se extrage o minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca ambele bile să aibă aceeași culoare?
Soluţie. Fie ca indicele 1 să însemne alb, indice 2 - negru; 3 - culoare roșie. Fie evenimentul A i ca din prima urna se extrage o bila de culoarea i-a; evenimentul B j - din a doua urnă se extrage o minge de culoare j; evenimentul A - ambele bile au aceeași culoare.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Evenimentele A i și B j sunt independente, iar A i · B i și A j · B j sunt incompatibile pentru i ≠ j. Prin urmare,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Exemplul 17. Dintr-o urna cu 3 bile albe si 2 negre se extrag bilele pe rand pana apare negru. Găsiți probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă? 5 bile?
Soluţie.
1) probabilitatea ca 3 bile să fie extrase din urnă (adică a treia bilă va fi neagră, iar primele două vor fi albe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) probabilitatea ca 5 bile să fie extrase din urnă
Această situație nu este posibilă, deoarece doar 3 bile albe.
P=0
4) Există trei urne cu aspect identic: prima conține 5 bile albe și 10 negre; al doilea contine 9 bile albe si 6 negre; în al treilea sunt doar bile negre. Se extrage o minge dintr-o urna aleasa aleatoriu. Care este probabilitatea ca această minge să fie neagră.
Soluţie
Eveniment O- a scos o minge neagră. Eveniment O
H
H
H
Deoarece urnele de vot arată identice, atunci:
O pentru fiecare ipoteză.
Bila neagră a fost luată din prima urnă:
De asemenea:
Răspuns:
5) Sunt două urne: prima conține 5 bile albe și 10 negre; a doua urna contine 9 bile albe si 6 negre. O minge este transferată din prima urnă în a doua fără să se uite. După aceasta, se extrage o minge din a doua urnă. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie neagră.
Soluţie
Eveniment O– a fost luată o minge neagră din a doua urnă. Eveniment O se poate întâmpla cu unul dintre evenimentele incompatibile (ipoteze):
H 1 – s-a transferat o minge albă din prima urnă în a doua;
H 2 – o minge neagră a fost transferată din prima urnă în a doua.
Probabilități de ipoteze:
Să găsim probabilitățile condiționate ale evenimentului O. Dacă o bilă albă este transferată din prima urnă în a doua, atunci a doua urna conține 10 bile albe și 6 negre. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a obține o minge neagră din ea este egală cu:
De asemenea:
Conform formulei probabilității totale:
Răspuns:
6) Sunt trei urne: prima contine 5 bile albe si 10 negre; al doilea contine 9 bile albe si 6 negre; a treia urnă conține 15 bile negre (fără bile albe). O minge a fost luată dintr-o urnă aleasă aleatoriu. Această minge s-a dovedit a fi neagră. Găsiți probabilitatea ca mingea să fi fost extrasă din a doua urnă.
Soluţie
Eveniment O– o minge a fost luată dintr-o urna aleasă aleatoriu.
Eveniment O se poate întâmpla cu unul dintre evenimentele incompatibile (ipoteze):
H 1 – mingea a fost luată din prima urnă;
H 2 – mingea a fost luată din a doua urnă;
H 3 – mingea a fost luată din a treia urnă.
Probabilitățile anterioare ale ipotezelor sunt:
În problema 4 se găsesc probabilitățile condiționate ale evenimentului Oși probabilitatea sa totală:
Să găsim probabilitatea posterioară a ipotezei folosind formula lui Bayes H 2 .
Bila neagră este luată din a doua urnă:
Să comparăm și:
Astfel, dacă se știe că a fost extrasă o bilă neagră, atunci probabilitatea ca aceasta să fi fost extrasă din a doua urnă scade (aceasta corespunde condiției ca a doua urna să conțină cel mai mic număr de bile negre).
Răspuns: .
formula lui Bernoulli
7) În familie sunt șase copii. Probabilitatea de a avea o fată este de 0,49. Găsiți probabilitatea ca printre acești copii unul să fie o fată.
Soluţie
Eveniment O- s-a născut o fată.
P= P(O) = 0,49;
q= 1 – p= 1 – 0,49 = 0,51.
Formula Bernoulli:
Doar șase copii, adică n=6.
Trebuie să găsim probabilitatea ca printre ei să fie exact o fată, ceea ce înseamnă m= 1.
Răspuns:
8) Segment ABîmpărțit la exact Cîntr-un raport de 2:1. 6 puncte sunt aruncate la întâmplare pe acest segment. Se presupune că probabilitatea ca un punct să cadă pe un segment este proporțională cu lungimea segmentului și nu depinde de locația acestuia. Găsiți probabilitatea ca mai mult de un punct să fie la dreapta punctului C.
Soluţie
Eveniment O– un punct aleatoriu cade pe segment C.B.(în dreapta punctului C).
Deoarece C desparte ABîntr-un raport de 2:1, atunci:
2C.B.=A.C.;
2C.B.+C.B.=A.C.+C.B.;
3C.B.=AB;
Pe baza definiției geometrice a probabilității, obținem:
formula lui Bernoulli.
Formula probabilității totale vă permite să găsiți probabilitatea unui eveniment O, care poate apărea numai cu fiecare dintre n evenimente care se exclud reciproc care formează un sistem complet, dacă probabilitățile lor sunt cunoscute și probabilități condiționate evenimente O raportat la fiecare dintre evenimentele sistemului sunt egale.
Evenimentele sunt numite și ipoteze; Prin urmare, în literatură puteți găsi și desemnarea lor nu după literă B, și scrisoarea H(ipoteză).
Pentru a rezolva problemele cu astfel de condiții, este necesar să luați în considerare 3, 4, 5 sau în cazul general n posibilitatea producerii unui eveniment O- cu fiecare eveniment.
Folosind teoremele adunării și înmulțirii probabilităților, obținem suma produselor probabilității fiecăruia dintre evenimentele sistemului prin probabilitate condiționată evenimente O cu privire la fiecare dintre evenimentele sistemului. Adică probabilitatea unui eveniment O poate fi calculat folosind formula
sau în general
,
care se numeste formula probabilității totale .
Formula probabilității totale: exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. Există trei urne cu aspect identic: prima are 2 bile albe și 3 negre, a doua are 4 albe și una neagră, a treia are trei bile albe. Cineva se apropie de una dintre urne la întâmplare și scoate o minge din ea. Profitând formula probabilității totale, aflați probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Eveniment O- aspectul unei mingi albe. Propunem trei ipoteze:
Se selectează prima urnă;
Este selectată a doua urnă;
Este selectată a treia urnă.
Probabilități condiționate ale unui eveniment O referitor la fiecare dintre ipoteze:
,
,
.
Aplicăm formula probabilității totale, rezultând probabilitatea necesară:
.
Exemplul 2. La prima fabrică, din 100 de becuri, se produc în medie 90 de becuri standard, la a doua - 95, la a treia - 85, iar produsele acestor fabrici constituie, respectiv, 50%, 30% și 20% din toate becurile livrate magazinelor dintr-o anumită zonă. Găsiți probabilitatea de a cumpăra un bec standard.
Soluţie. Să notăm probabilitatea de a cumpăra un bec standard cu O, și evenimentele că becul achiziționat a fost fabricat la prima, a doua și, respectiv, a treia fabrică prin . După condiție, se cunosc probabilitățile acestor evenimente: , , și probabilitățile condiționate ale evenimentului O referitor la fiecare dintre ele: 
,
,
. Acestea sunt probabilitățile de achiziție a unui bec standard, cu condiția ca acesta să fie fabricat la prima, a doua și, respectiv, a treia fabrică.
Eveniment O va avea loc dacă are loc un eveniment K- becul este fabricat la prima fabrica si este standard, sau eveniment L- becul este fabricat intr-o a doua fabrica si este standard, sau eveniment M- becul a fost fabricat la a treia uzina si este standard. Alte posibilități ca evenimentul să aibă loc O Nu. Prin urmare, evenimentul O este suma evenimentelor K, LŞi M, care sunt incompatibile. Folosind teorema de adunare a probabilității, ne imaginăm probabilitatea unui eveniment Oîn formă
iar prin teorema înmulțirii probabilităților obținem
adică caz special al formulei probabilității totale.
Înlocuind valorile probabilității în partea stângă a formulei, obținem probabilitatea evenimentului O :
Exemplul 3. Avionul aterizează pe aerodrom. Dacă vremea o permite, pilotul aterizează avionul, folosind, pe lângă instrumente, și observația vizuală. În acest caz, probabilitatea unei aterizări în siguranță este egală cu . Dacă aerodromul este acoperit cu nori joase, atunci pilotul aterizează avionul, ghidat doar de instrumente. În acest caz, probabilitatea unei aterizări sigure este egală cu; . Dispozitivele care asigură aterizare oarbă sunt fiabile (probabilitate de funcționare fără defecțiuni) P. În prezența norilor joase și a instrumentelor de aterizare orb nereușite, probabilitatea unei aterizări reușite este egală cu; . Statisticile arată că în k% din aterizări aerodromul este acoperit cu nori joase. Găsi probabilitatea totală a unui eveniment O- aterizarea în siguranță a avionului.
Soluţie. Ipoteze:
Nu există nori joase;
Sunt nori joase.
Probabilitățile acestor ipoteze (evenimente):
;
Probabilitate condiționată.
Vom găsi din nou probabilitatea condiționată folosind formula probabilității totale cu ipoteze
Dispozitivele de aterizare oarbă sunt operaționale;
Instrumentele de aterizare oarbă au eșuat.
Probabilitățile acestor ipoteze:
Conform formulei probabilității totale
Exemplul 4. Dispozitivul poate funcționa în două moduri: normal și anormal. Modul normal este observat în 80% din toate cazurile de funcționare a dispozitivului, iar modul anormal - în 20% din cazuri. Probabilitatea defecțiunii dispozitivului într-un anumit timp t egal cu 0,1; în anormal 0,7. Găsi probabilitate deplină defectarea dispozitivului în timp t.
Soluţie. Notăm din nou probabilitatea defecțiunii dispozitivului O. Deci, în ceea ce privește funcționarea dispozitivului în fiecare mod (eveniment), probabilitățile sunt cunoscute în funcție de condiție: pentru modul normal este de 80% (), pentru modul anormal - 20% (). Probabilitatea evenimentului O(adică defecțiunea dispozitivului) în funcție de primul eveniment (modul normal) este egal cu 0,1 (); în funcție de al doilea eveniment (mod anormal) - 0,7 ( 
). Înlocuim aceste valori în formula probabilității totale (adică suma produselor probabilității fiecăruia dintre evenimentele sistemului cu probabilitatea condiționată a evenimentului O cu privire la fiecare dintre evenimentele sistemului) iar în faţa noastră este rezultatul cerut.
