Dacă copilul tău nu poate să-și dea seama cum să împartă zecimale, acesta nu este un motiv să crezi că este incapabil de matematică.
Cel mai probabil, pur și simplu nu i-au explicat clar cum s-a făcut acest lucru. Trebuie să ajutăm copilul și să-i spunem despre fracții și operații cu ele în cel mai simplu mod posibil, aproape jucăuș. Și pentru asta trebuie să ne amintim ceva noi înșine.
Expresiile fracționale sunt folosite când se vorbește despre numere non-întregi. Dacă o fracțiune este mai mică decât unu, atunci descrie o parte a ceva; dacă este mai mult, descrie mai multe părți întregi și o altă bucată. Fracțiile sunt descrise prin două valori: un numitor, care explică în câte părți egale este împărțit numărul și un numărător, care ne spune la câte astfel de părți ne referim.
Să presupunem că ai tăiat plăcinta în 4 părți egale și ai dat una dintre ele vecinilor tăi. Numitorul va fi egal cu 4. Iar numărătorul depinde de ceea ce vrem să descriem. Dacă vorbim despre cât s-a dat vecinilor, atunci numărătorul este 1, iar dacă vorbim despre cât a rămas, atunci 3.
În exemplul plăcintei, numitorul este 4, iar în expresia „1 zi este 1/7 dintr-o săptămână” este 7. O expresie fracțională cu orice numitor este fracție comună.
Matematicienii, ca toți ceilalți, încearcă să-și facă viața mai ușoară. Și de aceea au fost inventate fracțiile zecimale. În ele, numitorul este egal cu 10 sau numerele care sunt multipli ai lui 10 (100, 1000, 10.000 etc.) și sunt scrise astfel: componenta întreagă a numărului este separată de componenta fracțională prin virgulă. De exemplu, 5,1 este 5 întreg și 1 zecime, iar 7,86 este 7 întreg și 86 sutimi.
O mică retragere nu este pentru copiii tăi, ci pentru tine. În țara noastră se obișnuiește să se separe partea fracționară cu virgulă. În străinătate, conform unei tradiții consacrate, se obișnuiește să se despartă cu un punct. Prin urmare, dacă întâlniți un marcaj similar într-un text străin, nu vă mirați.
Împărțirea fracțiilor
Fiecare operație aritmetică cu numere similare are propriile sale caracteristici, dar acum vom încerca să învățăm cum să împărțim fracțiile zecimale. Este posibil să împărțiți o fracție la numar natural sau la o altă fracție.
Pentru a stăpâni mai ușor această operație aritmetică, este important să ne amintim un lucru simplu.
Odată ce înveți cum să folosești virgulele, poți folosi aceleași reguli de împărțire ca și pentru numerele întregi.
Luați în considerare împărțirea unei fracții la un număr natural. Tehnologia împărțirii într-o coloană ar trebui să vă fie deja cunoscută din materialul acoperit anterior. Procedura este similară. Dividentul este împărțit semn cu semn de către divizor. De îndată ce rândul ajunge la ultimul semn înainte de virgulă, o virgulă este plasată în coeficient, iar apoi împărțirea continuă în modul obișnuit.
Adică, în afară de eliminarea virgulei - cel mai mult diviziune regulată, iar virgula nu este foarte dificilă.
Împărțirea unei fracții la o fracție
Exemplele în care trebuie să împărțiți o valoare fracțională la alta par foarte complexe. Dar, de fapt, nu sunt mai greu de tratat. Împărțirea unei fracții zecimale la alta va fi mult mai ușoară dacă scapi de virgula din divizor.
Cum să o facă? Dacă trebuie să puneți 90 de creioane în 10 cutii, câte creioane vor fi în fiecare cutie? 9. Să înmulțim ambele numere cu 10 - 900 de creioane și 100 de cutii. Câte în fiecare? 9. Același principiu se aplică atunci când trebuie să împărțiți o fracție zecimală.
Divizorul scapă cu totul de virgulă, iar virgula dividendului este mutată la dreapta de atâtea locuri câte erau anterior în divizor. Și apoi se realizează împărțirea obișnuită într-o coloană, despre care am discutat mai sus. De exemplu:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividendele trebuie înmulțit și înmulțit cu 10 până când divizorul devine un număr întreg. Prin urmare, poate avea zerouri suplimentare în partea dreaptă.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Nimic în neregulă cu asta. Amintiți-vă de exemplul cu creioane - răspunsul nu se va schimba dacă creșteți ambele numere cu aceeași cantitate. Fracțiile comune sunt mai greu de împărțit, mai ales dacă nu există factori comuni în numărător și numitor.
Împărțirea unei zecimale este mult mai convenabilă în acest sens. Cel mai dificil truc aici este trucul de împachetare cu virgulă, dar după cum am văzut, este ușor de manevrat. Fiind capabil să transmită acest lucru copilului tău, îl vei învăța cum să împartă zecimale.
După ce a stăpânit această regulă simplă, fiul sau fiica dumneavoastră se vor simți mult mai încrezători la lecțiile de matematică și, cine știe, poate că va deveni interesat de acest subiect. O mentalitate matematică se manifestă rareori încă din copilărie; uneori este nevoie de un impuls și de interes.
Ajutându-ți copilul la teme, nu numai că îi vei îmbunătăți performanța academică, dar îi vei extinde și gama de interese, pentru care în timp îți va fi recunoscător.
O fracție este una sau mai multe părți ale unui întreg, de obicei considerată una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiile aritmetice de bază (adunare, scădere, împărțire, înmulțire) cu fracții; pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți între tipurile acestora. Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracție are propriile sale specificități, dar odată ce înțelegeți bine cum să le gestionați, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg folosind tipuri diferite fractii.
Cum se împarte o fracție simplă la un număr natural?Fracțiile ordinare sau simple sunt fracții care sunt scrise sub forma unui raport de numere în care dividendul (numărătorul) este indicat în partea de sus a fracției, iar în partea de jos este indicat divizorul (numitorul) fracției. Cum se împarte o astfel de fracție la un număr întreg? Să ne uităm la un exemplu! Să presupunem că trebuie să împărțim 8/12 la 2.
Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuăm o serie de acțiuni:
Astfel, dacă ne confruntăm cu sarcina de a împărți o fracție la un număr întreg, diagrama soluției va arăta cam așa: 
Într-un mod similar, puteți împărți orice fracție obișnuită (simple) la un număr întreg.
Cum se împarte o zecimală la un număr întreg?
O zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unei unități în zece, o mie și așa mai departe. Operatii aritmetice cu fracții zecimale sunt destul de simple.
Să ne uităm la un exemplu despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.
Pentru a rezuma, să ne oprim asupra a două puncte principale care sunt importante atunci când se efectuează operația de împărțire zecimale prin număr întreg: - pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, se folosește diviziunea lungă;
- O virgulă este plasată într-un coeficient atunci când împărțirea întregii părți a dividendului este finalizată.
La școală aceste acțiuni sunt studiate de la simplu la complex. Prin urmare, este imperativ să înțelegeți în detaliu algoritmul pentru efectuarea acestor operații exemple simple. Astfel încât mai târziu să nu fie dificultăți în împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană. La urma urmei, acesta este cel mai mult varianta dificila sarcini similare.
Acest subiect necesită un studiu consecvent. Lacunele în cunoștințe sunt inacceptabile aici. Fiecare elev ar trebui să învețe acest principiu deja în clasa întâi. Prin urmare, dacă pierzi mai multe lecții la rând, va trebui să stăpânești singur materialul. În caz contrar, vor apărea probleme ulterioare nu numai la matematică, ci și la alte subiecte legate de aceasta.
Al doilea condiție cerută studiu de succes matematică - treceți la exemple de împărțire lungă numai după ce adunarea, scăderea și înmulțirea au fost stăpânite.
Va fi dificil pentru un copil să împartă dacă nu a învățat tabla înmulțirii. Apropo, este mai bine să-l înveți folosind tabelul lui Pitagora. Nu este nimic de prisos, iar înmulțirea este mai ușor de învățat în acest caz.
Cum se înmulțesc numerele naturale într-o coloană?
Dacă apare dificultăți în rezolvarea exemplelor într-o coloană pentru împărțire și înmulțire, atunci ar trebui să începeți să rezolvați problema cu înmulțirea. Deoarece împărțirea este operația inversă a înmulțirii:
- Înainte de a înmulți două numere, trebuie să le priviți cu atenție. Alege-l pe cel cu mai multe cifre (mai lung) și notează-l mai întâi. Pune-l pe al doilea sub el. Mai mult decât atât, numerele categoriei corespunzătoare trebuie să fie sub aceeași categorie. Adică, cifra din dreapta primului număr ar trebui să fie deasupra cifrei din dreapta a celui de-al doilea.
- Înmulțiți cifra din dreapta a numărului de jos cu fiecare cifră a numărului de sus, începând din dreapta. Scrieți răspunsul sub linie, astfel încât ultima sa cifră să fie sub cea cu care ați înmulțit.
- Repetați același lucru cu o altă cifră a numărului inferior. Dar rezultatul înmulțirii trebuie mutat cu o cifră la stânga. În acest caz, ultima sa cifră va fi sub cea cu care a fost înmulțită.
Continuați această înmulțire într-o coloană până când se epuizează numerele din al doilea factor. Acum trebuie să fie pliate. Acesta va fi răspunsul pe care îl căutați.
Algoritm pentru înmulțirea zecimalelor
În primul rând, trebuie să vă imaginați că fracțiile date nu sunt zecimale, ci naturale. Adică, eliminați virgulele din ele și apoi procedați așa cum este descris în cazul anterior.
Diferența începe când răspunsul este scris. În acest moment, este necesar să numărați toate numerele care apar după zecimale în ambele fracții. Acesta este exact câte dintre ele trebuie numărate de la sfârșitul răspunsului și puneți o virgulă acolo.
Este convenabil să ilustrați acest algoritm folosind un exemplu: 0,25 x 0,33:
De unde să începem divizia de învățare?
Înainte de a rezolva exemplele de diviziune lungă, trebuie să vă amintiți numele numerelor care apar în exemplul de diviziune lungă. Primul dintre ele (cel care este împărțit) este divizibil. Al doilea (împărțit la) este divizorul. Raspunsul este privat.
După aceasta, folosind un exemplu simplu de zi cu zi, vom explica esența acestei operații matematice. De exemplu, dacă luați 10 dulciuri, atunci este ușor să le împărțiți în mod egal între mama și tata. Dar dacă trebuie să le dai părinților și fratelui tău?
După aceasta, puteți face cunoștință cu regulile de împărțire și le puteți stăpâni exemple concrete. Mai întâi cele simple, apoi treceți la altele din ce în ce mai complexe.
Algoritm pentru împărțirea numerelor într-o coloană
În primul rând, să prezentăm procedura pentru numerele naturale divizibile cu un număr dintr-o singură cifră. Ele vor fi, de asemenea, baza pentru divizori cu mai multe cifre sau fracții zecimale. Abia atunci ar trebui să intri modificări minore, dar mai multe despre asta mai târziu:
- Înainte de a face o împărțire lungă, trebuie să vă dați seama unde sunt dividendele și divizorul.
- Notează dividendul. În dreapta ei se află separatorul.
- Desenați un colț în stânga și jos lângă ultimul colț.
- Determinați dividendul incomplet, adică numărul care va fi minim pentru împărțire. De obicei este format dintr-o cifră, maxim două.
- Alegeți numărul care va fi scris primul în răspuns. Ar trebui să fie de câte ori se încadrează divizorul în dividend.
- Notați rezultatul înmulțirii acestui număr cu divizorul.
- Scrieți-l sub dividendul incomplet. Efectuați scăderea.
- Adăugați la rest prima cifră după partea care a fost deja împărțită.
- Alegeți din nou numărul pentru răspuns.
- Repetați înmulțirea și scăderea. Dacă restul este zero și dividendul s-a încheiat, atunci exemplul este gata. În caz contrar, repetați pașii: eliminați numărul, ridicați numărul, înmulțiți, scădeți.
Cum se rezolvă diviziunea lungă dacă divizorul are mai multe cifre?
Algoritmul în sine coincide complet cu ceea ce a fost descris mai sus. Diferența va fi numărul de cifre din dividendul incomplet. Acum ar trebui să fie cel puțin două, dar dacă se dovedesc a fi mai mic decât divizorul, atunci ar trebui să lucrați cu primele trei cifre.
Mai există o nuanță în această diviziune. Faptul este că restul și numărul adăugat la acesta nu sunt uneori divizibile cu divizor. Apoi trebuie să adăugați un alt număr în ordine. Dar răspunsul trebuie să fie zero. Dacă se efectuează împărțirea numere din trei cifreîntr-o coloană, poate fi necesar să eliminați mai mult de două cifre. Apoi se introduce o regulă: în răspuns ar trebui să fie cu un zero mai puțin decât numărul de cifre eliminate.
Puteți lua în considerare această împărțire folosind exemplul - 12082: 863.
- Dividendul incomplet din el se dovedește a fi numărul 1208. Numărul 863 este plasat în el o singură dată. Prin urmare, răspunsul ar trebui să fie 1, iar sub 1208 scrieți 863.
- După scădere, restul este 345.
- Trebuie să adăugați numărul 2.
- Numărul 3452 conține 863 de patru ori.
- Patru trebuie să fie scrise ca răspuns. Mai mult, atunci când este înmulțit cu 4, acesta este exact numărul obținut.
- Restul după scădere este zero. Adică împărțirea este finalizată.
Răspunsul din exemplu ar fi numărul 14.
Ce se întâmplă dacă dividendul se termină cu zero?
Sau câteva zerouri? În acest caz, restul este zero, dar dividendul conține în continuare zerouri. Nu este nevoie să disperi, totul este mai simplu decât ar părea. Este suficient să adăugați pur și simplu la răspuns toate zerourile care rămân neîmpărțite.
De exemplu, trebuie să împărțiți 400 la 5. Dividendul incomplet este 40. Cinci se încadrează în el de 8 ori. Aceasta înseamnă că răspunsul trebuie scris ca 8. La scădere, nu mai rămâne niciun rest. Adică diviziunea este finalizată, dar rămâne un zero în dividend. Va trebui adăugată la răspuns. Astfel, împărțirea a 400 la 5 este egală cu 80.
Ce trebuie să faceți dacă trebuie să împărțiți o fracție zecimală?
Din nou, acest număr arată ca un număr natural, dacă nu pentru virgula care separă întreaga parte de partea fracțională. Acest lucru sugerează că împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană este similară cu cea descrisă mai sus.
Singura diferență va fi punctul și virgulă. Ar trebui să fie introdus în răspuns de îndată ce prima cifră din partea fracțională este eliminată. Un alt mod de a spune acest lucru este acesta: dacă ați terminat de împărțit întreaga parte, puneți o virgulă și continuați soluția mai departe.
Când rezolvați exemple de împărțire lungă cu fracții zecimale, trebuie să vă amintiți că orice număr de zerouri poate fi adăugat la partea după virgulă zecimală. Uneori, acest lucru este necesar pentru a completa numerele.
Împărțirea a două zecimale
Poate părea complicat. Dar numai la început. La urma urmei, cum să împărțiți o coloană de fracții la un număr natural este deja clar. Aceasta înseamnă că trebuie să reducem acest exemplu la o formă deja familiară.
Este ușor de făcut. Trebuie să înmulțiți ambele fracții cu 10, 100, 1.000 sau 10.000 și poate cu un milion dacă problema o cere. Multiplicatorul ar trebui să fie ales în funcție de câte zerouri sunt în partea zecimală a divizorului. Adică, rezultatul va fi că va trebui să împărțiți fracția la un număr natural.
Și acesta va fi cel mai rău caz. La urma urmei, se poate întâmpla ca dividendul din această operațiune să devină un număr întreg. Apoi soluția exemplului cu împărțirea într-o coloană de fracții va fi redusă la foarte varianta simpla: operatii cu numere naturale.
De exemplu: împărțiți 28,4 la 3,2:
- Ele trebuie mai întâi înmulțite cu 10, deoarece al doilea număr are o singură cifră după virgulă. Înmulțirea va da 284 și 32.
- Ar trebui să fie separați. În plus, numărul întreg este 284 pe 32.
- Primul număr ales pentru răspuns este 8. Înmulțind, rezultă 256. Restul este 28.
- Împărțirea întregii părți s-a încheiat și este necesară o virgulă în răspuns.
- Eliminați la restul 0.
- Luați din nou 8.
- Rest: 24. Adăugați încă 0 la acesta.
- Acum trebuie să iei 7.
- Rezultatul înmulțirii este 224, restul este 16.
- Luați încă 0. Luați 5 fiecare și obțineți exact 160. Restul este 0.
Împărțirea este completă. Rezultatul exemplului 28.4:3.2 este 8.875.
Ce se întâmplă dacă divizorul este 10, 100, 0,1 sau 0,01?
La fel ca în cazul înmulțirii, împărțirea lungă nu este necesară aici. Este suficient să mutați pur și simplu virgula în direcția dorită pentru un anumit număr de cifre. Mai mult, folosind acest principiu, puteți rezolva exemple atât cu numere întregi, cât și cu fracții zecimale.
Deci, dacă trebuie să împărțiți la 10, 100 sau 1.000, atunci punctul zecimal este mutat la stânga cu același număr de cifre ca și zerouri în divizor. Adică, atunci când un număr este divizibil cu 100, punctul zecimal trebuie să se deplaseze la stânga cu două cifre. Dacă dividendul este un număr natural, atunci se presupune că virgula este la sfârșit.
Această acțiune dă același rezultat ca și cum numărul ar fi înmulțit cu 0,1, 0,01 sau 0,001. În aceste exemple, virgula este, de asemenea, mutată spre stânga cu un număr de cifre egal cu lungimea părții fracționale.
La împărțirea cu 0,1 (etc.) sau înmulțirea cu 10 (etc.), punctul zecimal ar trebui să se deplaseze la dreapta cu o cifră (sau două, trei, în funcție de numărul de zerouri sau de lungimea părții fracționale).
Este demn de remarcat faptul că numărul de cifre dat în dividend poate să nu fie suficient. Apoi zerourile lipsă pot fi adăugate la stânga (în toată partea) sau la dreapta (după virgulă).
Împărțirea fracțiilor periodice
În acest caz, nu va fi posibil să obțineți un răspuns precis atunci când vă împărțiți într-o coloană. Cum să rezolvi un exemplu dacă întâlnești o fracție cu punct? Aici trebuie să trecem la fracțiile obișnuite. Și apoi împărțiți-le conform regulilor învățate anterior.
De exemplu, trebuie să împărțiți 0.(3) la 0.6. Prima fracție este periodică. Se transformă în fracția 3/9, care atunci când este redusă dă 1/3. A doua fracție este zecimala finală. Este și mai ușor să-l notați ca de obicei: 6/10, care este egal cu 3/5. Regula împărțirii fracțiilor obișnuite impune înlocuirea diviziunii cu înmulțirea și a divizorului cu reciproca. Adică, exemplul se reduce la înmulțirea a 1/3 cu 5/3. Răspunsul va fi 5/9.
Dacă exemplul conține fracții diferite...
Atunci sunt posibile mai multe soluții. În primul rând, puteți încerca să convertiți o fracție comună într-o zecimală. Apoi împărțiți două zecimale folosind algoritmul de mai sus.
În al doilea rând, fiecare fracție zecimală finală poate fi scrisă ca o fracție comună. Dar acest lucru nu este întotdeauna convenabil. Cel mai adesea, astfel de fracții se dovedesc a fi uriașe. Și răspunsurile sunt greoaie. Prin urmare, prima abordare este considerată mai preferabilă.
În ultima lecție, am învățat cum să adunăm și să scădem zecimale (vezi lecția „Adunarea și scăderea zecimalelor”). În același timp, am evaluat cât de mult calculele sunt simplificate în comparație cu fracțiile obișnuite „cu două etaje”.
Din păcate, acest efect nu apare la înmulțirea și împărțirea zecimalelor. În unele cazuri, notația zecimală chiar complică aceste operații.
Mai întâi, să introducem o nouă definiție. Îl vom vedea destul de des, și nu doar în această lecție.
Partea semnificativă a unui număr este tot ce se află între prima și ultima cifră diferită de zero, inclusiv capete. Vorbim doar de numere, nu se ia în calcul punctul zecimal.
Cifrele incluse în partea semnificativă a unui număr se numesc cifre semnificative. Ele pot fi repetate și chiar egale cu zero.
De exemplu, luați în considerare câteva fracții zecimale și scrieți părțile semnificative corespunzătoare:
- 91,25 → 9125 (cifre semnificative: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (cifre semnificative: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (cifre semnificative: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (cifre semnificative: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (există o singură cifră semnificativă: 3).
Vă rugăm să rețineți: zerourile din interiorul părții semnificative a numărului nu merg nicăieri. Am întâlnit deja ceva similar când am învățat să convertim fracțiile zecimale în fracții obișnuite (vezi lecția „Decimale”).
Acest punct este atât de important și aici se fac greșeli atât de des, încât în viitorul apropiat voi publica un test pe această temă. Asigurați-vă că exersați! Și noi, înarmați cu conceptul părții semnificative, vom trece, de fapt, la subiectul lecției.
Înmulțirea zecimalelor
Operația de înmulțire constă din trei etape succesive:
- Pentru fiecare fracție, notați partea semnificativă. Veți obține două numere întregi obișnuite - fără numitori și puncte zecimale;
- Înmulțiți aceste numere în orice mod convenabil. Direct, dacă numerele sunt mici, sau într-o coloană. Obținem partea semnificativă a fracției dorite;
- Aflați unde și cu câte cifre este deplasată punctul zecimal din fracțiile originale pentru a obține partea semnificativă corespunzătoare. Efectuați schimburi inverse pentru partea semnificativă obținută în pasul anterior.
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că zerourile de pe părțile laterale ale părții semnificative nu sunt niciodată luate în considerare. Ignorarea acestei reguli duce la erori.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Se lucrează cu prima expresie: 0,28 · 12,5.
- Să notăm părțile semnificative pentru numerele din această expresie: 28 și 125;
- Produsul lor: 28 · 125 = 3500;
- În primul factor punctul zecimal este deplasat cu 2 cifre la dreapta (0,28 → 28), iar în al doilea este deplasat cu încă 1 cifră. În total, aveți nevoie de o deplasare la stânga cu trei cifre: 3500 → 3.500 = 3,5.
Acum să ne uităm la expresia 6.3 · 1.08.
- Să notăm părțile semnificative: 63 și 108;
- Produsul lor: 63 · 108 = 6804;
- Din nou, două deplasări la dreapta: cu 2 și, respectiv, 1 cifră. Total - din nou 3 cifre la dreapta, deci schimbarea inversă va fi de 3 cifre la stânga: 6804 → 6.804. De data aceasta, nu există zerouri finale.
Am ajuns la a treia expresie: 132,5 · 0,0034.
- Părți semnificative: 1325 și 34;
- Produsul lor: 1325 · 34 = 45.050;
- În prima fracțiune, punctul zecimal se deplasează la dreapta cu 1 cifră, iar în a doua - cu până la 4. Total: 5 la dreapta. Ne deplasăm cu 5 la stânga: 45.050 → .45050 = 0.4505. Zeroul a fost eliminat la sfârșit și adăugat în față pentru a nu lăsa un punct zecimal „gol”.
Următoarea expresie este: 0,0108 · 1600,5.
- Scriem părțile semnificative: 108 și 16 005;
- Le înmulțim: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Numărăm numerele după virgulă: în primul număr sunt 4, în al doilea sunt 1. Totalul este din nou 5. Avem: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. La final, zeroul „extra” a fost eliminat.
În sfârșit, ultima expresie: 5,25 10.000.
- Părți semnificative: 525 și 1;
- Le înmulțim: 525 · 1 = 525;
- Prima fracție este deplasată cu 2 cifre la dreapta, iar a doua fracție este deplasată cu 4 cifre la stânga (10.000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 cifre la stânga. Efectuăm o deplasare inversă cu 2 cifre la dreapta: 525, → 52.500 (a trebuit să adăugăm zerouri).
Rețineți în ultimul exemplu: deoarece punctul zecimal se mișcă în direcții diferite, deplasarea totală se găsește prin diferență. Aceasta este foarte punct important! Iată un alt exemplu:
Se consideră numerele 1,5 și 12 500. Avem: 1,5 → 15 (deplasare cu 1 la dreapta); 12.500 → 125 (deplasarea 2 la stânga). „Pașim” cu 1 cifră la dreapta și apoi 2 la stânga. Ca rezultat, am făcut pasul 2 − 1 = 1 cifră spre stânga.
Împărțire zecimală
Diviziunea este poate cea mai mare operație complexă. Desigur, aici puteți acționa prin analogie cu înmulțirea: împărțiți părțile semnificative și apoi „mutați” punctul zecimal. Dar în acest caz există multe subtilități care anulează potențialele economii.
Prin urmare, să ne uităm la un algoritm universal, care este puțin mai lung, dar mult mai fiabil:
- Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții obișnuite. Cu puțină practică, acest pas vă va dura câteva secunde;
- Împărțiți fracțiile rezultate în mod clasic. Cu alte cuvinte, înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată” (vezi lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor numerice”);
- Dacă este posibil, prezentați din nou rezultatul ca o fracție zecimală. Acest pas este, de asemenea, rapid, deoarece numitorul este adesea deja o putere a zece.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Să luăm în considerare prima expresie. Mai întâi, să convertim fracțiile în zecimale:
Să facem același lucru cu a doua expresie. Numătorul primei fracții va fi din nou factorizat:
Există un punct important în al treilea și al patrulea exemplu: după ce scăpați de notația zecimală, apar fracțiile reductibile. Cu toate acestea, nu vom efectua această reducere.
Ultimul exemplu este interesant deoarece numărătorul celei de-a doua fracții conține un număr prim. Pur și simplu nu este nimic de factorizat aici, așa că o considerăm direct:
Uneori, împărțirea are ca rezultat un număr întreg (vorbesc despre ultimul exemplu). În acest caz, al treilea pas nu este efectuat deloc.
În plus, la împărțire, apar adesea fracții „urâte” care nu pot fi convertite în zecimale. Acest lucru distinge împărțirea de înmulțire, unde rezultatele sunt întotdeauna reprezentate în formă zecimală. Desigur, în acest caz, ultimul pas nu este din nou efectuat.
Acordați atenție și celui de-al 3-lea și al 4-lea exemple. În ele nu scurtăm în mod intenționat fracții obișnuite, derivat din zecimale. În caz contrar, acest lucru va complica sarcina inversă - reprezentând răspunsul final din nou în formă zecimală.
Amintiți-vă: proprietatea de bază a unei fracții (ca orice altă regulă din matematică) în sine nu înseamnă că trebuie aplicată peste tot și întotdeauna, cu orice ocazie.
În acest articol ne vom uita la asta acțiune importantă cu zecimale, ca diviziunea. Mai întâi să formulăm principii generale, apoi ne vom uita la cum să împărțim corect fracțiile zecimale pe coloane atât după alte fracții, cât și după numere naturale. În continuare, vom analiza împărțirea fracțiilor obișnuite în zecimale și invers, iar la sfârșit ne vom uita la modul de împărțire corectă a fracțiilor care se termină în 0, 1, 0, 01, 100, 10 etc.
Aici vom lua doar cazurile cu fracții pozitive. Dacă există un minus în fața fracției, atunci pentru a opera cu el trebuie să studiați materiale despre împărțirea numerelor raționale și reale.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Toate fracțiile zecimale, atât finite, cât și periodice, sunt doar o formă specială de scriere a fracțiilor obișnuite. În consecință, ele sunt supuse acelorași principii ca și fracțiile lor ordinare corespunzătoare. Astfel, reducem întregul proces de împărțire a fracțiilor zecimale la înlocuirea lor cu unele obișnuite, urmat de calcul folosind metode deja cunoscute nouă. Să luăm un exemplu concret.
Exemplul 1
Împărțiți 1,2 la 0,48.
Soluţie
Să scriem fracții zecimale ca fracții obișnuite. Vom obține:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Astfel, trebuie să împărțim 6 5 la 12 25. Numaram:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Din rezultatul fracție improprie puteți selecta întreaga parte și obțineți numărul mixt 2 1 2 sau îl puteți reprezenta ca o fracție zecimală, astfel încât să corespundă numerelor originale: 5 2 = 2, 5. Am scris deja despre cum să facem acest lucru mai devreme.
Răspuns: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Exemplul 2
Calculați cât va fi 0 , (504) 0 , 56.
Soluţie
În primul rând, trebuie să convertim o fracție zecimală periodică într-o fracție comună.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
După aceasta, vom converti și fracția zecimală finală într-o altă formă: 0, 56 = 56.100. Acum avem două numere cu care ne va fi ușor să efectuăm calculele necesare:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Avem un rezultat pe care îl putem converti și în formă zecimală. Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul la numitor folosind metoda coloanei:
Răspuns: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Dacă în exemplul de împărțire am întâlnit fracții zecimale neperiodice, atunci vom acționa puțin diferit. Nu le putem reduce la fracțiile obișnuite, așa că atunci când împărțim trebuie mai întâi să le rotunjim la o anumită cifră. Această acțiune trebuie efectuată atât cu dividendul, cât și cu divizorul: vom rotunji și fracția finită sau periodică existentă în interesul acurateții.
Exemplul 3
Aflați cât este 0,779... / 1,5602.
Soluţie
Mai întâi, rotunjim ambele fracții la cea mai apropiată sutime. Iată cum trecem de la fracții neperiodice infinite la fracții zecimale finite:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Putem continua calculele și obținem un rezultat aproximativ: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 1 2 = 0.
Precizia rezultatului va depinde de gradul de rotunjire.
Răspuns: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Cum se împarte un număr natural cu o zecimală și invers
Abordarea împărțirii în acest caz este aproape aceeași: înlocuim fracțiile finite și periodice cu unele obișnuite și le rotunjim pe cele neperiodice infinite. Să începem cu exemplul împărțirii cu un număr natural și o fracție zecimală.
Exemplul 4
Împărțiți 2,5 la 45.
Soluţie
Să reducem 2, 5 la forma unei fracții ordinare: 255 10 = 51 2. În continuare trebuie doar să-l împărțim la un număr natural. Știm deja cum să facem asta:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Dacă convertim rezultatul în notație zecimală, obținem 0,5 (6).
Răspuns: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metoda împărțirii lungi este bună nu numai pentru numerele naturale. Prin analogie, îl putem folosi pentru fracții. Mai jos indicăm succesiunea de acțiuni care trebuie efectuate pentru aceasta.
Definiția 1
Pentru a împărți o coloană de fracții zecimale la numere naturale aveți nevoie de:
1. Adăugați câteva zerouri la fracția zecimală din dreapta (pentru împărțire putem adăuga orice număr dintre ele de care avem nevoie).
2. Împărțiți o fracție zecimală la un număr natural folosind un algoritm. Când împărțirea întregii părți a fracției se termină, punem o virgulă în coeficientul rezultat și numărăm în continuare.
Rezultatul unei astfel de împărțiri poate fi o fracție zecimală periodică finită sau infinită. Depinde de rest: dacă este zero, atunci rezultatul va fi finit, iar dacă restul încep să se repete, atunci răspunsul va fi o fracție periodică.
Să luăm ca exemplu câteva probleme și să încercăm să efectuăm acești pași cu numere specifice.
Exemplul 5
Calculați cât va fi 65, 14 4.
Soluţie
Folosim metoda coloanei. Pentru a face acest lucru, adăugați două zerouri la fracție și obțineți fracția zecimală 65, 1400, care va fi egală cu cea inițială. Acum scriem o coloană pentru împărțirea la 4:
Numărul rezultat va fi rezultatul de care avem nevoie de la împărțirea părții întregi. Punem o virgulă, separând-o și continuăm:
Am ajuns la zero rest, prin urmare procesul de împărțire este complet.
Răspuns: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Exemplul 6
Împărțiți 164,5 la 27.
Soluţie
Mai întâi împărțim partea fracțională și obținem:
Separați numărul rezultat cu o virgulă și continuați împărțirea:
Vedem că resturile au început să se repete periodic, iar în coeficient numerele nouă, doi și cinci au început să se alterneze. Ne vom opri aici și vom scrie răspunsul sub forma unei fracții periodice 6, 0 (925).
Răspuns: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Această împărțire poate fi redusă la procesul de găsire a câtului dintre o fracție zecimală și un număr natural, deja descris mai sus. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțim dividendul și divizorul cu 10, 100 etc., astfel încât divizorul să se transforme într-un număr natural. În continuare, efectuăm secvența de acțiuni descrisă mai sus. Această abordare este posibilă datorită proprietăților împărțirii și înmulțirii. Le-am notat astfel:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) și așa mai departe.
Să formulăm o regulă:
Definiția 2
Pentru a împărți o fracție zecimală finală la alta:
1. Mutați virgula în dividend și divizor la dreapta cu numărul de cifre necesar pentru a transforma divizorul într-un număr natural. Dacă nu există suficiente semne în dividend, îi adăugăm zerouri în partea dreaptă.
2. După aceasta, împărțiți fracția la o coloană la numărul natural rezultat.
Să ne uităm la o problemă specifică.
Exemplul 7
Împărțiți 7,287 la 2,1.
Soluție: Pentru a face din divizor un număr natural, trebuie să mutăm zecimala cu un loc la dreapta. Așa că am trecut la împărțirea fracției zecimale 72, 87 la 21. Să scriem numerele rezultate într-o coloană și să calculăm
Răspuns: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Exemplul 8
Calculați 16.30.021.
Soluţie
Va trebui să mutăm virgula cu trei locuri. Nu există suficiente cifre în divizor pentru aceasta, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați zerouri suplimentare. Credem că rezultatul va fi:
Vedem repetarea periodică a reziduurilor 4, 19, 1, 10, 16, 13. În coeficient, 1, 9, 0, 4, 7 și 5 se repetă. Atunci rezultatul nostru este fracția zecimală periodică 776, (190476).
Răspuns: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda pe care am descris-o vă permite să faceți opusul, adică să împărțiți un număr natural la fracția zecimală finală. Să vedem cum se face.
Exemplul 9
Calculați cât este 3 5, 4.
Soluţie
Evident, va trebui să mutăm virgula în locul potrivit. După aceasta, putem trece la împărțirea 30, 0 la 54. Să scriem datele într-o coloană și să calculăm rezultatul:
Repetând restul ne dă numărul final 0, (5), care este o fracție zecimală periodică.
Răspuns: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Cum se împarte zecimale la 1000, 100, 10 etc.
Conform regulilor deja studiate pentru împărțirea fracțiilor obișnuite, împărțirea unei fracții la zeci, sute, mii este similară cu înmulțirea ei cu 1/1000, 1/100, 1/10 etc. Se dovedește că pentru a efectua împărțirea , în acest caz, Pur și simplu mutați virgula la numărul necesar de cifre. Dacă nu există suficiente valori în numărul de transferat, trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri.
Exemplul 10
Deci, 56, 21: 10 = 5, 621 și 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
În cazul fracțiilor zecimale infinite, procedăm la fel.
Exemplul 11
De exemplu, 3, (56): 1.000 = 0, 003 (56) și 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Cum se împarte zecimale la 0,001, 0,01, 0,1 etc.
Folosind aceeași regulă, putem împărți și fracții în valorile indicate. Această acțiune va fi similară cu înmulțirea cu 1000, 100, respectiv 10. Pentru a face acest lucru, mutăm virgula la una, două sau trei cifre, în funcție de condițiile problemei, și adăugăm zerouri dacă nu există suficiente cifre în număr.
Exemplul 12
De exemplu, 5,739: 0,1 = 57,39 și 0,21: 0,00001 = 21.000.
Această regulă se aplică și fracțiilor zecimale infinite. Vă sfătuim doar să aveți grijă la perioada fracției care apare în răspuns.
Deci, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) pentru că după ce am mutat virgula în fracția zecimală 7, 5716716716... două locuri la dreapta, am primit 757, 167167....
Dacă avem fracții neperiodice în exemplu, atunci totul este mai simplu: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Cum se împarte un număr sau o fracție mixtă cu o zecimală și invers
De asemenea, reducem această acțiune la operațiuni cu fracții obișnuite. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți numerele zecimale cu fracțiile ordinare corespunzătoare și să scrieți numărul mixt ca o fracție improprie.
Dacă împărțim o fracție neperiodică la un număr obișnuit sau mixt, trebuie să facem invers, înlocuind fracția obișnuită sau numărul mixt cu fracția zecimală corespunzătoare.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
