Având în vedere un grafic al funcției antiderivate, găsiți valoarea funcției. Antiderivată a funcției. Proprietatea principală a antiderivatei

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente drepte). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Arată soluția

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu limitat prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5. Din grafic determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și înălțimea 3.

Suprafața sa este egală \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=F(x) - una dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (-5; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe segmentul [-3; 4].

Arată soluția

Soluţie

Conform definiției unei antiderivate, egalitatea este valabilă: F"(x)=f(x). Prin urmare, ecuația f(x)=0 poate fi scrisă ca F"(x)=0. Deoarece figura prezintă graficul funcției y=F(x), trebuie să găsim acele puncte în intervalul [-3; 4], în care derivata funcției F(x) este egală cu zero. Din figură reiese clar că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maximum sau minim) ale graficului F(x). Sunt exact 7 dintre ele în intervalul indicat (patru puncte minime și trei puncte maxime).

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivel de profil" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente drepte). Folosind figura, calculați F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Arată soluția

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu limitat prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=5 și x=0. Din grafic determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 5 și 3 și înălțimea 3.

Suprafața sa este egală \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=F(x) - una dintre antiderivatele unei funcții f(x), definită pe intervalul (-5; 4). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f (x) = 0 pe segmentul (-3; 3).

Arată soluția

Soluţie

Conform definiției unei antiderivate, egalitatea este valabilă: F"(x)=f(x). Prin urmare, ecuația f(x)=0 poate fi scrisă ca F"(x)=0. Deoarece figura prezintă graficul funcției y=F(x), trebuie să găsim acele puncte în intervalul [-3; 3], în care derivata funcției F(x) este egală cu zero.

Din figură reiese clar că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maximum sau minim) ale graficului F(x). Sunt exact 5 dintre ele în intervalul indicat (două puncte minime și trei puncte maxime).

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția F(x)=-x^3+4.5x^2-7 este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Găsiți aria figurii umbrite.

Arată soluția

Soluţie

Figura umbrită este un trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul funcției y=f(x), drepte y=0, x=1 și x=3. Conform formulei Newton-Leibniz, aria sa S este egală cu diferența F(3)-F(1), unde F(x) este antiderivată a funcției f(x) specificată în condiție. De aceea S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Condiție

Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția F(x)=x^3+6x^2+13x-5 este una dintre antiderivatele funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite.

Funcţie F(X ) numit antiderivat pentru functie f(X) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea este valabilă

F"(X ) = f(X ) .

De exemplu, funcția F(x) = x 2 f(X ) = 2X , deoarece

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Proprietatea principală a antiderivatei

Dacă F(x) - antiderivată a unei funcţii f(x) pe un interval dat, apoi funcția f(x) are infinit de antiderivate, iar toate aceste antiderivate pot fi scrise sub forma F(x) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

De exemplu. Funcţie F(x) = x 2 + 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); funcţie F(x) = x 2 - 1 este o antiderivată a funcției f(X ) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; funcţie F(x) = x 2 - 3 este o antiderivată a funcției f(X) = 2X , deoarece F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); orice functie F(x) = x 2 + CU , Unde CU - o constantă arbitrară și numai o astfel de funcție este o antiderivată a funcției f(X) = 2X . ◄

Reguli pentru calcularea antiderivatelor

1. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , A G(x) - antiderivat pentru g(x) , Acea F(x) + G(x) - antiderivat pentru f(x) + g(x) . Cu alte cuvinte, antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor .
2. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k - constantă, atunci k · F(x) - antiderivat pentru k · f(x) . Cu alte cuvinte, factorul constant poate fi scos din semnul derivatei .
3. Dacă F(x) - antiderivat pentru f(x) , Și k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea 1 / k F( k x+ b ) - antiderivat pentru f(k x+ b) .

Integrală nedefinită

Nu integrala definita din functie f(x) numită expresie F(x) + C, adică mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x) . Integrala nedefinită se notează după cum urmează:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Ei suna funcția integrand ;

f(x)dx- Ei suna integrand ;

X - Ei suna variabila de integrare ;

F(x) - una dintre funcţiile primitive f(x) ;

CU este o constantă arbitrară.

De exemplu, ∫ 2 x dx =X 2 + CU , ∫ cosx dx = păcat X + CU și așa mai departe. ◄

Cuvântul „integral” provine din cuvântul latin întreg , care înseamnă „restaurat”. Avand in vedere integrala nedefinita a 2 X, se pare că restabilim funcția X 2 , a cărui derivată este egală cu 2 X. Restaurarea unei funcții din derivata ei sau, ceea ce este același lucru, găsirea unei integrale nedefinite peste un integrand dat se numește integrare această funcție. Integrarea este operația inversă de diferențiere.Pentru a verifica dacă integrarea a fost efectuată corect este suficient să diferențiem rezultatul și să obținem integrandul.

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Factorul constant al integrandului poate fi scos din semnul integral:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Integrală a sumei (diferenței) funcțiilor egal cu suma(diferențele) integralelor acestor funcții:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Dacă k,b- constantă și k ≠ 0 , Acea

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabel cu antiderivate și integrale nedefinite

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
eu.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Integralele antiderivate și nedefinite date în acest tabel sunt de obicei numite antiderivate tabulare Și integrale de tabel .

Integrala definita

Lasă între ele [A; b] dat functie continua y = f(x) , Apoi integrală definită de la a la b funcții f(x) se numește increment al antiderivatei F(x) această funcție, adică

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numerele AȘi b sunt numite în consecință inferior Și top limitele integrării.

Reguli de bază pentru calcularea integralei definite

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) unde k - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), unde f(x) — funcția uniformă;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), unde f(x) este o funcție ciudată.

cometariu . În toate cazurile, se presupune că integranții sunt integrabili pe intervale numerice ale căror limite sunt limitele integrării.

Sensul geometric și fizic al integralei definite

Sensul geometric integrala definita	Sensul fizic integrala definita
Pătrat S trapez curbiliniu (o cifră limitată de graficul unui pozitiv continuu pe interval [A; b] funcții f(x) , axa Bou și drept x=a , x=b ) se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	cale s, pe care punctul material a depășit-o, deplasându-se rectiliniu cu o viteză care variază conform legii v(t) , pentru o perioadă de timp a ; b] , apoi aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte x = a , x = b , se calculează prin formula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm aria figurii delimitată de linii y = x 2 Și y = 2-X . Să reprezentăm schematic graficele acestor funcții și să evidențiem într-o culoare diferită figura a cărei zonă trebuie găsită. Pentru a găsi limitele integrării, rezolvăm ecuația: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumul unui corp de rotație

	Dacă se obţine un corp ca urmare a rotaţiei în jurul unei axe Bou trapez curbiliniu mărginit de un grafic continuu și nenegativ pe interval [A; b] funcții y = f(x) și drept x = aȘi x = b , atunci se numește corpul de rotație . Volumul unui corp de revoluție se calculează prin formula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Dacă se obține un corp de revoluție ca rezultat al rotației unei figuri mărginite deasupra și dedesubt de grafice de funcții y = f(x) Și y = g(x) , în consecință, atunci $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	De exemplu. Să calculăm volumul unui con cu rază r si inaltime h . Să poziționăm conul într-un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa lui să coincidă cu axa Bou , iar centrul bazei era situat la origine. Rotația generatorului AB definește un con. Din moment ce ecuația AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
iar pentru volumul conului avem $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac(((1-\frac(x)(h)))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

Ţintă:

• Formarea conceptului de antiderivat.
• Pregătirea pentru perceperea integralei.
• Formarea deprinderilor de calcul.
• Cultivarea simțului frumosului (abilitatea de a vedea frumusețea în neobișnuit).

Analiza matematică este un set de ramuri ale matematicii dedicate studiului funcțiilor și generalizărilor acestora folosind metodele calculului diferențial și integral.

Până acum am studiat o ramură a analizei matematice numită calcul diferenţial, a cărei esenţă este studiul unei funcţii în „mic”.

Acestea. studiul unei funcţii în vecinătăţi suficient de mici ale fiecărui punct de definire. Una dintre operațiile de diferențiere este găsirea derivatei (diferențialei) și aplicarea acesteia în studiul funcțiilor.

Problema inversă nu este mai puțin importantă. Dacă se cunoaște comportamentul unei funcții în vecinătatea fiecărui punct al definiției sale, atunci cum se poate reconstrui funcția ca un întreg, i.e. pe întregul domeniu de aplicare al definiției sale. Această problemă este subiectul de studiu al așa-numitului calcul integral.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. Sau restabilind funcția f(x) dintr-o derivată dată f`(x). cuvânt latin„Integro” înseamnă restaurare.

Exemplul nr. 1.

Fie (x)`=3x 2.
Să găsim f(x).

Soluţie:

Pe baza regulii de diferențiere, nu este greu de ghicit că f(x) = x 3, deoarece (x 3)` = 3x 2
Cu toate acestea, puteți observa cu ușurință că f(x) nu este găsit în mod unic.
Ca f(x) putem lua
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 etc.

Deoarece derivata fiecăruia dintre ele este egală cu 3x 2. (Derivata unei constante este 0). Toate aceste funcții diferă unele de altele printr-un termen constant. Prin urmare, soluția generală a problemei poate fi scrisă ca f(x) = x 3 + C, unde C este orice număr real constant.

Oricare dintre funcțiile găsite f(x) este numită PRIMODIUM pentru funcția F`(x)= 3x 2

Definiție. O funcție F(x) se numește antiderivată pentru o funcție f(x) pe un interval dat J dacă pentru toți x din acest interval F`(x)= f(x). Deci funcția F(x)=x 3 este antiderivată pentru f(x)=3x 2 pe (- ∞ ; ∞).
Deoarece pentru toate x ~R egalitatea este adevărată: F`(x)=(x 3)`=3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un număr infinit de antiderivate (vezi exemplul nr. 1).

Exemplul nr. 2. Funcția F(x)=x este antiderivată pentru toate f(x)= 1/x pe intervalul (0; +), deoarece pentru toți x din acest interval, egalitatea este valabilă.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Exemplul nr. 3. Funcția F(x)=tg3x este o antiderivată pentru f(x)=3/cos3x pe intervalul (-n/ 2; P/ 2),
deoarece F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Exemplul nr. 4. Funcția F(x)=3sin4x+1/x-2 este antiderivată pentru f(x)=12cos4x-1/x 2 pe intervalul (0;∞)
deoarece F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Cursul 2.

Subiect: Antiderivat. Proprietatea principală a unei funcții antiderivate.

Când studiem antiderivatul, ne vom baza pe următoarea afirmație. Semnul constanței unei funcții: Dacă pe intervalul J derivata Ψ(x) a funcției este egală cu 0, atunci pe acest interval funcția Ψ(x) este constantă.

Această afirmație poate fi demonstrată geometric.

Se știe că Ψ`(x)=tgα, γde α este unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției Ψ(x) în punctul cu abscisă x 0. Dacă Ψ`(υ)=0 în orice punct al intervalului J, atunci tanα=0 δpentru orice tangentă la graficul funcției Ψ(x). Aceasta înseamnă că tangenta la graficul funcției în orice punct este paralelă cu axa absciselor. Prin urmare, pe intervalul indicat, graficul funcției Ψ(x) coincide cu segmentul de dreaptă y=C.

Deci, funcția f(x)=c este constantă pe intervalul J dacă f`(x)=0 pe acest interval.

Într-adevăr, pentru un x 1 și x 2 arbitrar din intervalul J, folosind teorema privind valoarea medie a unei funcții, putem scrie:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), deoarece f`(c)=0, atunci f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (proprietatea principală a funcției antiderivative)

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f(x) pe intervalul J, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma: F(x)+C, unde C este orice număr real.

Dovada:

Fie F`(x) = f (x), apoi (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), pentru x Є J.
Să presupunem că există Φ(x) - o altă antiderivată pentru f (x) pe intervalul J, adică. Φ`(x) = f (x),
atunci (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, pentru x Є J.
Aceasta înseamnă că Φ(x) - F(x) este constantă pe intervalul J.
Prin urmare, Φ(x) - F(x) = C.
De unde Φ(x)= F(x)+C.
Aceasta înseamnă că dacă F(x) este o antiderivată pentru o funcție f (x) pe intervalul J, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma: F(x)+C, unde C este orice număr real.
În consecință, oricare două antiderivate ale unei anumite funcții diferă una de cealaltă printr-un termen constant.

Exemplu: Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = cos x. Desenați grafice ale primelor trei.

Soluţie: Sin x este una dintre antiderivatele pentru funcția f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – mulțimea tuturor antiderivatelor.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Ilustrație geometrică: Graficul oricărei antiderivate F(x)+C poate fi obținut din graficul antiderivatei F(x) folosind transferul paralel al lui r (0;c).

Exemplu: Pentru funcția f (x) = 2x, găsiți o antiderivată al cărei grafic trece prin t.M (1;4)

Soluţie: F(x)=x 2 +C – mulțimea tuturor antiderivatelor, F(1)=4 - conform condițiilor problemei.
Prin urmare, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Funcția antiderivată f(x) intre (a; b) această funcție este numită F(x), că egalitatea este valabilă pentru orice X dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata unei constante CU este egal cu zero, atunci egalitatea este adevărată. Deci funcția f(x) are multe primitive F(x)+C, pentru o constantă arbitrară CU, iar aceste antiderivate diferă unele de altele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiție integrală nedefinită.

Întregul set de funcții antiderivate f(x) se numeste integrala nedefinita a acestei functii si se noteaza .

Expresia se numește integrand, A f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x).

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa incert integrare, deoarece rezultatul integrării este mai mult de o funcție F(x), și setul primitivelor sale F(x)+C.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Graficul antiderivatei D(x) se numește curba integrală. În sistemul de coordonate x0y, graficele tuturor antiderivate ale unei funcții date reprezintă o familie de curbe care depind de valoarea constantei C și sunt obținute unele de la altele printr-o deplasare paralelă de-a lungul axei 0y. Pentru exemplul discutat mai sus, avem:

J 2 x^x = x2 + C.

Familia de antiderivate (x + C) este interpretată geometric printr-un set de parabole.

Dacă trebuie să găsiți unul dintr-o familie de antiderivate, atunci sunt stabilite condiții suplimentare care vă permit să determinați constanta C. De obicei, în acest scop, sunt stabilite condiții inițiale: când argumentul x = x0, funcția are valoarea D. (x0) = y0.

Exemplu. Este necesar să se constate că una dintre antiderivatele funcției y = 2 x care ia valoarea 3 la x0 = 1.

Antiderivată necesară: D(x) = x2 + 2.

Soluţie. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Proprietăţile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu functia integrand:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu expresia integrand:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii însăşi şi o constantă arbitrară:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă , Acea

8. Proprietate:

Dacă , Acea

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Metoda de integrareîn care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului (sau expresiei) și aplicarea proprietăților integralei nedefinite, se numește integrare directă. Când reduceți această integrală la una tabelară, sunt adesea folosite următoarele transformări diferențiale (operația " subscriind la semnul diferenţial»):

Deloc, f’(u)du = d(f(u)). Aceasta (formula este foarte des folosită la calcularea integralelor.

Găsiți integrala

Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la mai multe tabelare.

4. Integrarea prin metoda substituției.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul prin această variabilă și ca rezultat ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.

Foarte des, metoda substituției vine în ajutor atunci când se integrează funcții trigonometrice și funcții cu radicali.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Să introducem o nouă variabilă. Să ne exprimăm X prin z:

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Din tabelul de antiderivate avem .

Rămâne să revenim la variabila inițială X:

Răspuns:

Una dintre operațiile de diferențiere este găsirea derivatei (diferențialei) și aplicarea acesteia în studiul funcțiilor.

Problema inversă nu este mai puțin importantă. Dacă se cunoaște comportamentul unei funcții în vecinătatea fiecărui punct al definiției sale, atunci cum se poate reconstrui funcția ca un întreg, i.e. pe întregul domeniu de aplicare al definiției sale. Această problemă este subiectul de studiu al așa-numitului calcul integral.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. Sau restabilind funcția f(x) dintr-o derivată dată f`(x). Cuvântul latin „integro” înseamnă restaurare.

Exemplul nr. 1.

Fie (f(x))’ = 3x 2. Să găsim f(x).

Soluţie:

Pe baza regulii de diferențiere, nu este greu de ghicit că f(x) = x 3, deoarece

(x 3)’ = 3x 2 Cu toate acestea, puteți observa cu ușurință că f(x) nu este găsit în mod unic. Ca f(x), puteți lua f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 etc.

Deoarece derivata fiecăruia dintre ele este 3x 2. (Derivata unei constante este 0). Toate aceste funcții diferă unele de altele printr-un termen constant. Prin urmare, soluția generală a problemei poate fi scrisă ca f(x) = x 3 + C, unde C este orice număr real constant.

Oricare dintre funcțiile găsite f(x) este numită antiderivat pentru funcția F`(x)= 3x 2

Definiție.

O funcție F(x) se numește antiderivată pentru o funcție f(x) pe un interval dat J dacă pentru toți x din acest interval F`(x)= f(x). Deci funcția F(x)=x 3 este antiderivată pentru f(x)=3x 2 pe (- ∞ ; ∞). Deoarece pentru toate x ~R egalitatea este adevărată: F`(x)=(x 3)`=3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un număr infinit de antiderivate.

Exemplul nr. 2.

Funcția este antiderivată pentru toate pe intervalul (0; +∞), deoarece pentru toate h din acest interval, egalitatea este valabilă.

Sarcina integrării este de a găsi toate antiderivatele sale pentru o funcție dată. La rezolvarea acestei probleme, următoarea afirmație joacă un rol important:

Un semn de constanță a funcției. Dacă F"(x) = 0 pe un interval I, atunci funcția F este constantă pe acest interval.

Dovada.

Să fixăm ceva x 0 din intervalul I. Atunci pentru orice număr x dintr-un astfel de interval, în virtutea formulei Lagrange, putem indica un număr c cuprins între x și x 0 astfel încât

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Prin condiție, F’ (c) = 0, deoarece c ∈1, prin urmare,

F(x) - F(x 0) = 0.

Deci, pentru toți x din intervalul I

adică funcţia F menţine o valoare constantă.

Toate funcțiile antiderivate f pot fi scrise folosind o singură formulă, care se numește forma generala de antiderivate pentru functie f. Următoarea teoremă este adevărată ( proprietatea principală a antiderivatelor):

Teorema. Orice antiderivată pentru o funcție f pe intervalul I poate fi scrisă sub forma

F(x) + C, (1) unde F (x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f (x) pe intervalul I și C este o constantă arbitrară.

Să explicăm această afirmație, în care două proprietăți ale antiderivatei sunt formulate pe scurt:

1. Orice număr punem în expresia (1) în loc de C, obținem antiderivată pentru f pe intervalul I;
2. indiferent de ce antiderivată Ф pentru f pe intervalul I este luată, este posibil să se selecteze un număr C astfel încât pentru tot x din intervalul I egalitatea

Dovada.

1. Prin condiție, funcția F este antiderivată pentru f pe intervalul I. Prin urmare, F"(x)= f (x) pentru orice x∈1, deci (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), adică F(x) + C este antiderivată pentru funcția f.
2. Fie Ф (x) una dintre antiderivatele pentru funcția f pe același interval I, adică Ф "(x) = f (х) pentru tot x∈I.

Atunci (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

De aici rezultă c. puterea semnului de constanță a funcției, că diferența Ф(х) - F(х) este o funcție care ia o valoare constantă C pe intervalul I.

Astfel, pentru toți x din intervalul I egalitatea Ф(x) - F(x)=С este adevărată, ceea ce trebuia demonstrat. Proprietatea principală a antiderivatei poate fi dată sens geometric: graficele oricăror două antiderivate pentru funcția f sunt obținute una de la cealaltă prin translație paralelă de-a lungul axei Oy

Întrebări pentru note

Funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x). Aflați F(1) dacă f(x)=9x2 - 6x + 1 și F(-1) = 2.

Găsiți toate antiderivatele pentru funcție

Pentru funcția (x) = cos2 * sin2x, găsiți antiderivata lui F(x) dacă F(0) = 0.

Pentru o funcție, găsiți o antiderivată al cărei grafic trece prin punct