În acest articol, vom stabili o relație între unitățile de bază de măsurare a unghiului - grade și radiani. Această conexiune ne va permite în cele din urmă să realizăm transformarea gradelor în radiani și invers. Pentru ca aceste procese să nu creeze dificultăți, vom obține o formulă de conversie a grade în radiani și o formulă de conversie din radiani în grade, după care vom analiza în detaliu soluțiile exemplelor.

Navigare în pagină.

Relația dintre grade și radiani

Legătura dintre grade și radiani se va stabili dacă se cunosc atât măsura în grade, cât și în radiani a unui unghi (măsura în grade și radiani a unui unghi poate fi găsită în secțiune).

Luați unghiul central pe baza diametrului unui cerc cu raza r. Putem calcula măsura acestui unghi în radiani: pentru aceasta trebuie să împărțim lungimea arcului la lungimea razei cercului. Acest unghi corespunde unei lungimi de arc egală cu jumătate circumferinţă, acesta este, . Împărțind această lungime la lungimea razei r, obținem măsura în radiani a unghiului pe care l-am luat. Deci unghiul nostru este rad. Pe de altă parte, acest unghi este extins, este egal cu 180 de grade. Prin urmare, pi radiani este de 180 de grade.

Deci, se exprimă prin formula π radiani = 180 de grade, acesta este, .

Formule pentru conversia grade în radiani și radiani în grade

Din egalitatea formei , pe care am obținut-o în paragraful anterior, este ușor de derivat formule de conversie a radianilor în grade și a gradelor în radiani.

Împărțind ambele părți ale ecuației la pi, obținem o formulă care exprimă un radian în grade: . Această formulă înseamnă că gradul de măsură a unui unghi de un radian este 180/π. Dacă schimbăm părțile din stânga și din dreapta ale egalității, apoi împărțim ambele părți la 180, atunci obținem o formulă de forma . Exprimă un grad în radiani.

Pentru a ne satisface curiozitatea, calculăm valoarea aproximativă a unui unghi de un radian în grade și valoarea unui unghi de un grad în radiani. Pentru a face acest lucru, luați valoarea numărului pi cu precizie la zece miimi, înlocuiți-o în formule Și , și faceți calculele. Avem Și . Deci, un radian este de aproximativ 57 de grade, iar un grad este de 0,0175 radiani.

În fine, din relaţiile obţinute Și să trecem la formulele de conversie a radianilor în grade și invers și să luăm în considerare și exemple de aplicare a acestor formule.

Formula pentru transformarea radianilor în grade se pare ca: . Astfel, dacă se cunoaște valoarea unghiului în radiani, atunci înmulțind-o cu 180 și împărțind cu pi, obținem valoarea acestui unghi în grade.

Exemplu.

Dat un unghi de 3,2 radiani. Care este măsura acestui unghi în grade?

Soluţie.

Folosim formula pentru conversia din radiani în grade, avem

Răspuns:

.

Formula pentru transformarea gradelor în radiani are forma . Adică, dacă se cunoaște valoarea unghiului în grade, atunci înmulțind-o cu pi și împărțind la 180, obținem valoarea acestui unghi în radiani. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Nevoia de a măsura unghiurile a apărut pentru oameni de când civilizația a atins nivelul tehnic minim. Toată lumea cunoaște acuratețea fenomenală a respectării înclinării și orientării către punctele cardinale, oferită de constructori Piramidele egiptene. Se crede că măsura modernă a unghiurilor a fost inventată de vechii akkadieni.

Ce sunt gradele?

Gradul este o unitate de măsură comună pentru unghiuri. Într-un cerc complet la 360 de grade. Motivul pentru care alegeți acest număr este necunoscut. Akkadienii probabil au împărțit cercul în sectoare folosind unghiul unui triunghi echilateral și apoi au împărțit segmentele rezultate din nou în 60 de părți conform sistemului lor de numere. Un grad este, de asemenea, împărțit în 60 de minute, iar minutele în 60 de secunde. Notațiile frecvent acceptate sunt:

° - grade unghiulare

'- minute,

'' - secunde.

De-a lungul mileniilor, gradul de măsurare a unghiurilor a intrat ferm în multe sfere ale activității umane. Este încă indispensabil în toate domeniile științei și tehnologiei - de la cartografie la calcularea orbitelor sateliților artificiali de pe Pământ.

Ce sunt radianii?

Arhimede i se atribuie descoperirea constanței raportului dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Îi spunem pi. Este irațional, adică nu poate fi exprimat ca o fracție obișnuită sau periodică. Cel mai adesea, valoarea numărului π este utilizată cu o precizie de două zecimale - 3,14. Circumferința L cu raza R se calculează ușor prin formula: L=2πR.

Un cerc cu raza R=1 are lungimea de 2π. Această relație este folosită în geometrie ca o formulare a măsurii radianilor unui unghi.

Prin definiție, un radian este un unghi cu un vârf în centrul cercului, bazat pe un arc cu lungimea egală cu raza cercului. Denumirea internațională a radianului este rad, cea internă este rad. Nu are nicio dimensiune.

Un arc de cerc cu raza R, cu o valoare unghiulară de α radiani, are lungimea de α * R.

De ce a fost necesar să se introducă o nouă unitate de măsură a unghiului?

Dezvoltarea științei și tehnologiei a dus la apariția trigonometriei și a analizei matematice, necesare calculelor precise ale dispozitivelor mecanice și optice. Una dintre sarcinile sale este de a măsura lungimea unei linii curbe. Cel mai frecvent caz este determinarea lungimii unui arc de cerc. Utilizarea gradului de măsurare a unghiurilor în acest scop este extrem de incomod. Ideea de a compara lungimea unui arc cu raza unui cerc a apărut printre mulți matematicieni, dar termenul „radian” în sine a fost introdus în uz științific abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Acum toate funcțiile trigonometrice sunt în analiză matematicăîn mod implicit, este utilizată măsura în radian a unghiului.

Cum se transformă grade în radiani

Din formula pentru circumferința unui cerc, rezultă că 2π raze se potrivesc în el. Aceasta implică faptul că: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

Și o formulă simplă de conversie din radiani în grade: 1 rad = 180/π.

Să presupunem că avem un unghi de N grade. Atunci formula de conversie din grade în radiani va fi: α(radian) = N/(180/π) = N*π/180.

Aveti vreo intrebare?

Răspunsurile la ele pot fi găsite, unde conceptele de circumferință a unui cerc, măsura radianilor unghiurilor și pe exemple concrete Afișează conversia gradelor în radiani. Cunoașterea celor menționate mai sus este extrem de importantă pentru înțelegerea matematicii, fără de care existența civilizației moderne este imposibilă.

Este destul de obișnuit ca oamenii de la matematică să se confrunte cu sarcina de a converti grade în radiani sau invers. Pentru a finaliza această sarcină este destul de simplă și pentru aceasta nu este nevoie să aveți cunoștințe profunde în diverse științe aplicate sau matematică. Deci, mai întâi trebuie să vă ocupați de aceste valori de măsurare. Gradul și radianul sunt unitățile de bază folosite pentru măsurarea unghiurilor plane în matematică și fizică. Aceste unități sunt, de asemenea, folosite în cartografie pentru a determina coordonatele oriunde în lume.

Aceste mărimi de măsurare sunt desemnate după cum urmează:

• rad - radian
• grad - º

Cum se transformă grade în radiani

Pentru început, pentru ca formula de conversie a gradelor în radiani să devină clară, trebuie să înveți cum să traduci un unghi în radiani și radiani într-un unghi:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57,295779513 unde π este cunoscut a fi 3,14
• 1° = (π/180) rad π 0,017453293 rad

Conform formulelor de mai sus, devine imediat clar că π rad \u003d 180 °, din ele provin formule simple și ușor de înțeles pentru traducerea valorilor de măsurare. Acum să ne uităm la principalele formule care sunt folosite în traducere:

1. Grade la radiani

Zº=Z rad × (180/π), unde Zº este unghiul în grade și Z rad este unghiul în radiani, π = 3,14

2. Radiani în grade

Z rad = Z° × (π/180)

Acum să ne uităm la un exemplu pentru a clarifica modul de utilizare a formulelor de mai sus în practică. Pentru a face acest lucru, luați două unghiuri de 20º și 100º:

1. Convertiți grade în radiani

• 20º = 20 rad × (π/180) π 0,35 rad
• 100º = 100 rad × (180/π) π 1,7453 rad

2. Convertiți radiani în grade

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146,15 unde π = 3,14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729,577 unde π = 3,14

Luând în considerare formulele de conversie a valorilor de măsurare, devine clar că este destul de simplu să faci față sarcinii. Pentru acele persoane care nu doresc să efectueze singuri calcule, există multe site-uri pe Internet unde calculatoarele online pot fi folosite pentru a converti grade în radiani sau invers, utilizarea lor vă va facilita foarte mult efectuarea diferitelor sarcini de trigonometrie.

Calculatorul online funcționează converti grade în radiani, converti radianii în grade, conversia de grade fracționare (grade reprezentate zecimal) ca grade, minute și secundeși afișează formule cu soluții detaliate.

Convertiți grade în radiani: gradele trebuie înmulțite cu π/180. Dacă grade sunt date sub formă de „grade, minute și secunde”, atunci acestea trebuie mai întâi convertite în formă zecimală folosind formula: grade + minute / 60 + secunde / 3600;

Formula pentru transformarea radianilor în grade: dacă unghiul este α rad radiani, atunci este formula pentru transformarea radianilor în grade grade, unde π ≈ 3,1415.

Convertiți radiani în grade: radianii trebuie înmulțiți cu 180/π. Partea întreagă a produsului rezultat este numărul de grade. Pentru a converti partea fracțională în minute, trebuie să o înmulțiți cu 60. Partea întreagă a produsului rezultat este numărul de minute. Pentru a calcula secundele, trebuie să înmulțiți din nou partea fracțională a operației anterioare cu 60, rotunjiți produsul rezultat la cel mai apropiat număr întreg - acesta este numărul de secunde.

Formula pentru transformarea gradelor în radiani: dacă unghiul este de α grade radiani, atunci este formula pentru transformarea gradelor în radiani radiani, unde π ≈ 3,1415.

Ajutor pentru dezvoltarea proiectului site-ului

Stimate vizitator al site-ului.
Dacă nu ați găsit ceea ce căutați - asigurați-vă că scrieți despre asta în comentarii, ce lipsește site-ul acum. Acest lucru ne va ajuta să înțelegem în ce direcție trebuie să ne îndreptăm mai departe, iar alți vizitatori vor putea obține în curând materialul necesar.
Dacă site-ul s-a dovedit a fi util pentru dvs., donați site-ul proiectului doar 2 ₽și vom ști că ne mișcăm în direcția bună.

Vă mulțumesc că nu ați trecut!

Eu notez:

1. Rezultatele calculului sunt rotunjite la numărul specificat de zecimale (valoarea implicită este rotunjirea la zece miimi).

II. Pentru trimitere:

1. Măsura gradului unui unghi- o măsură unghiulară în care un unghi de 1 grad este luat ca unitate și care arată de câte ori un grad și părțile sale (minut și secundă) se încadrează într-un unghi dat.
2. Măsura radianilor unui unghi- o măsură unghiulară în care un unghi de 1 radian este luat ca unitate și care arată de câte ori se încadrează un radian într-un unghi dat.
3. Grade și radiani- unităţi de măsură ale unghiurilor plane în geometrie.
4. un grad egal cu 1/180 dintr-un unghi îndreptat.
5. Radian este unghiul corespunzător unui arc a cărui lungime este egală cu raza lui.

Nomogramă pentru a converti radiani în grade și grade în radiani.

Tabelul de valori funcții trigonometrice

Notă. Acest tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcină pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.

Vezi si materiale utile:

Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.

Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani

Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade pe prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.

Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.

Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.

Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.

Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)

Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță, celula este goală, deci nu am introdus încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale privind valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)