Generalizarea conceptului de exponent - Knowledge Hypermarket. Generalizarea conceptului de exponent

Ce poți face bine, nu uita, și ceea ce nu poți face, învață.
De la Vladimir Monomakh.

Obiectivele lecției:

Educational
- sistematizarea cunoștințelor pe tema abordată;
- verifica nivelul materialului studiat;
- aplicarea materialelor teoretice pentru rezolvarea problemelor.
Educational
- promovează simțul responsabilității pentru munca prestată;
- cultivați o cultură a vorbirii, acurateței, atenției.
De dezvoltare
- dezvoltarea activității mentale a elevilor;
- insufla interesul pentru subiect;
- dezvolta curiozitatea.

Lecție despre repetarea și generalizarea materialului.

Echipament pentru lecție: masa cu retroproiector.

Formatul lecției: Pe tablă se află tema lecției, epigraf.

Pregătirea pentru lecție: Cu câteva zile înainte, întrebările pentru revizuire au fost postate pe stand.

Definiția gradului cu exponent întreg
Proprietăți ale unui grad cu exponent întreg.
Determinarea gradului cu exponent fracționar.
Determinarea gradului cu un exponent negativ fracționar.
Determinarea gradului cu orice indicator.
Proprietăți ale unui grad cu orice exponent.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

2. Tema pentru acasă. Nr. 1241, 1242, 1244a, 1245b.

3. Controlul temelor.

Efectuăm verificarea reciprocă. Arăt soluții pentru teme printr-un retroproiector.

Nr. 1225b, c; 1227 a, c; 1229a,c;1232c,d;1233d.

Soluția temelor pentru acasă.

B) 2 1,3 * 2 -0,7 * 4 0,7 = 2 0,6 * (2 2) 0,7 =2 0,6 * 2 1,4 = 2 2 =4.

B) 49 -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = (7 2) -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = 7 -4\3 \+1\12 - 3\4 = 7 (-16 +1- 9)\12 = 7 -24\12 = 7 -2 = 1\49.

A) (27 * 64) 1\3 = 27 1\3 * 64 1\3 = (3 3) 1\3 * (4 3) 1\3 = 3 * 4= 12.

B) (1\36 * 0,04) -1\2 = (6 -2 * (0,2) 2) -1\2 = (6 -2) -1\2 * ((0,2) 2 ) -1\2 = 6 * 0,2 -1 = 6 * 10\2=30.

A) = = x 1-3\5 = x 2\5.

B) = = = c 8\3 -2\3 = c 2 .

B) (d 1\2 -1) * (d 1\2 +1)= d -1

D) (p 1\3 - q 1\3) * (p 1\3 + (pq) 1\3 + q 2\3) = p- q.

G) = = .

Reflecţie. Determinați numărul de erori.

4. Orientarea în materialul studiat.

Băieți, ce subiect am studiat în ultimele lecții?

5. Motivația. Astăzi vom conduce o lecție despre repetarea și generalizarea cunoștințelor pe tema „Generalizarea conceptului de grad”. Băieți, fiți atenți la sarcinile pe care le vom rezolva în clasă; altele asemănătoare le găsiți în teste și sondaje.

6. Ce proprietăți ale gradelor ați folosit atunci când vă faceți temele? Să ne amintim teoria.

Completați propozițiile:

7. Teoretic, esti priceput, iar acum ramane sa verifici partea practica.

Dictare ușoară.

(Sunt 2 elevi în spatele unei table închise.) Băieții termină sarcina folosind hârtie carbon, apoi o verificăm. Proiector.

Opțiunea 1	Opțiunea 2
Exprimați expresia ca o putere cu un exponent rațional.
; ; .	; ; .
Răspunsuri. 2 1\2 ; x 2\3; și 4\5.	16 1\5; 6 1\3; și 3\2.
Reprezentați expresia ca rădăcină a unui număr sau a unei expresii
7 3\5; 5x 1\3; (5a) 1\3	5 -1\4 ; 7у 2\5; (6x) 2\5.
Răspunsuri. ; 5; .	; 7;
calculati
9 1\2 ; (3)	1. 16 1\2 (4)
8 2\3 (4)	2. 81 3\4 (27)
2 -2 * 16 1\2 (1)	3. 3 -2 * 81 1\4 (1\3).

8. Acum să ascultăm o bucată de istorie. Referință istorică.

Imaginați-vă că vă aflați în Fondul de diamante al țării noastre. Și ați dori să aflați mai multe despre diamante. Asta vom face în clasă.

Exercitiul 1.

Efectuați calculele. Notați literele asociate cu răspunsurile pe care le găsiți în tabele.

B 49 1\2 = 7	Y 81 0,5 = 9
S 32 1\5 = 2	C 8 2\3 = 4
E 1000 1\3 = 10	H00,2 = 0
P 0,0016 1\4 = 0,2	L 1 -0,6 = 1
Și 16 - 1\2 = 0,25	Z16 -0,25 = 0,5
O (8\27) 1\3 = 2\3	D 16 3\4 = 8
M (5) 0,25 = 1,5	A 25 1,5 =125

Nume

ce înseamnă în traducere

0	10	0.2	2\3	7	10	8	0.25	1, 5	2	9
N	E	P	DESPRE	B	E	D	ȘI	M	Y	Y

și reflectă una dintre principalele sale proprietăți - cea mai mare duritate.

Sarcina 2.

Dintre expresiile scrise în tabel, găsiți și bifați pe cele care nu au sens. Pentru expresiile rămase, găsiți numere egale scrise în desenele cu diamante. Completați părțile goale ale tabelului cu cifre și litere.

Cuvântul francez __brilliant_______________ (în ortografia rusă __diamond______________________) tradus înseamnă „strălucitor” și este folosit pentru a se referi la diamantele care au fost tăiate și lustruite. Acest tratament vă permite să obțineți o strălucire mistică și un joc magnific de lumină.

Sarcina 3.

A) Completați tabelul

№	Expresie	Set de valori valide pentru o variabilă	Cuvinte
1.	X 5		arenă
6.	(x) -5,1	(- ; 0)	zonă

B) Imaginea prezintă o tăietură perfectă în diamant, care are forma unui poliedru cu 57 de fațete. Această formă și dimensiune optimă au fost obținute în secolul al XX-lea, datorită dezvoltării opticii geometrice.

Aflați cum se numesc părțile individuale ale unui astfel de diamant. Folosind informațiile din tabel și figură:

Sarcina 4.

A) Simplificați expresiile:

B) Găsiți semnificațiile expresiilor

c) Folosind răspunsurile găsite, completați golurile din text. Scrieți cuvintele în cazurile corecte.

Greutatea pietrelor prețioase se măsoară în carate: 1 carat = m 1 0,2 g.

Diamantele care cântăresc mai mult de m 2 53 de carate își primesc propriile nume.

Cele mai mari pietre prețioase sunt păstrate în Fondul de diamante al țării, situat în Kremlinul din Moscova.

Unul dintre cele mai cunoscute diamante este diamantul

Apoi am intrat

Ca răscumpărare pentru moarte

S-a găsit și în

- „marea de lumină”. Diamantul a fost furat în mod repetat și a ajuns în diferite țări și la diferiți conducători.

În 1773 a fost achiziționat de un favorit

Diamantul a fost introdus în sceptrul suveran rusesc.

Sarcina 5.

A) Simplificați expresiile

B) Faceți calculele

1000 2\3 * 125 1\3 + (1\8) -4\3 + 16 0,25 * 49 0.5 = 530

B) Completați spațiile libere din text:

Pentru o lungă perioadă de timp, locul principal pentru exploatarea diamantelor a fost India, iar la începutul secolului al XX-lea s-au descoperit zăcăminte în Africa de Sud. Acolo, în 1905, într-una dintre mine a fost găsit cel mai mare diamant, cântărind 3106 carate. A fost numit după proprietarul minei.

Cullinan 11, a doua cea mai mare tăietură a diamantului, a împodobit coroana Reginei Victoria.

În timpul tăierii, acest diamant a fost tăiat în 9 părți. Cea mai mare piesă, cântărind 530 de carate, a fost numită „Steaua Africii”. Acest diamant, care are 74 de fațete, a început să împodobească sceptrul suveran britanic.

Să rezumam lecția.

Care a fost scopul la începutul lecției?
Ați atins obiectivele lecției?
Ce nou ai învățat la lecție?
Notăm lecția.

Manualul conține lucrări independente și de testare pe toate cele mai importante subiecte din cursul de matematică pentru clasele 10-11. Lucrările constau din 6 opțiuni de trei niveluri de dificultate. Materialele didactice sunt destinate organizării muncii independente diferențiate a elevilor.

Exemple.
Într-o cutie sunt 10 bile, dintre care 3 sunt albe. O minge la un moment dat este scoasă secvenţial din cutie până când apare o minge albă. Găsiți probabilitatea apariției unei bile albe.

Trei trăgători trag la aceeași țintă de 2 ori fiecare. Se știe că probabilitatea unei lovituri pentru fiecare trăgător este de 0,5 și nu depinde de rezultatele altor trăgători și de loviturile anterioare. Se poate spune
cu o probabilitate de 0,99 ca cel puțin o lovitură să lovească ținta?
cu o probabilitate de 0,5 ca fiecare trăgător să lovească ținta cel puțin o dată?

CONŢINUT
Trigonometrie
S-1. Definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice. Măsuri ale unghiului în grad și radian
S-2. Identități trigonometrice
S-3. Formule de reducere. Formule de adunare
S-4. Formule cu unghi dublu și jumătate
S-5. Formule trigonometrice pentru transformarea unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă
S-6*. Probleme suplimentare de trigonometrie (teme independente)
K-1. Conversia expresiilor trigonometrice
S-7. Proprietăți generale ale funcțiilor. Transformări ale graficelor de funcții
S-8. Paritatea și periodicitatea funcțiilor
S-9. Monotonia funcțiilor. Extreme C-10*. Cercetarea funcțiilor. Oscilații armonice (lucru de practică la domiciliu)
K-2. Funcții trigonometrice
S-11. funcții trigonometrice inverse __
S-12*. Aplicarea proprietăților funcțiilor trigonometrice inverse (temă independentă)
S-13. Cele mai simple ecuații trigonometrice
S-14. Ecuații trigonometrice
S-15. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice. Sisteme de ecuații trigonometrice
S-16*. Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (temă independentă)
S-17*. Sisteme de ecuații trigonometrice (teme independente)
S-18. Cele mai simple inegalități trigonometrice
S-19*. Metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice (temă independentă)
K-3. Ecuații trigonometrice, inegalități, sisteme
Algebră
S-20. Rădăcina a n-a și proprietățile ei
S-21. Ecuații iraționale
S-22. Inegalități iraționale. Sisteme de ecuații iraționale
S-23*. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, inegalităților, sistemelor (teme independente)
S-24. Generalizarea conceptului de grad
K-4. Puteri și rădăcini
S-25. Ecuații exponențiale. Sisteme de ecuații exponențiale
S-26. Inegalități exponențiale
S-27*. Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților (temă independentă)
S-28*. Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii (teme independente)
K-5. Functie exponentiala
S-29. Logaritm. Proprietățile logaritmilor
S-30. Ecuații și sisteme logaritmice
S-31*. Aplicarea logaritmilor în rezolvarea ecuațiilor și sistemelor transcendentale (temă independentă)
S-32. Inegalități logaritmice
S-33*. Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, inegalităților, sistemelor (teme independente)
K-6. Funcția logaritmică
S-34. Generalizarea conceptului de modul. Ecuații și inegalități cu modul
Începutul analizei
S-35. Calculul limitelor de secvențe de numere și funcții. Continuitatea funcției
S-36. Definiţia derivative. Cele mai simple reguli pentru calcularea derivatelor
S-37. Derivate ale funcțiilor trigonometrice și complexe
S-38. Sensul geometric și mecanic al derivatei
K-7. Derivat
S-39. Studierea unei funcții pentru monotonitate și extreme
S-40*. Studiu suplimentar al funcției (muncă independentă acasă)
S-41*. Trasarea graficelor de funcții (execuție acasă)
S-42. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții. Provocări extreme
S-43*. Probleme selectate de calcul diferențial (teme independente)
K-8. Aplicarea derivatului
S-44. Antiderivat. Calculul antiderivatelor
S-45. Integrala definita. Calcularea suprafețelor folosind o integrală definită
S-46. Aplicarea antiderivată și integrală
S-47*. Probleme selectate de calcul integral (temă independentă)
K-9. Antiderivată și integrală
S-48. Derivată și antiderivată a unei funcții exponențiale
S-49. Derivată și antiderivată a unei funcții logaritmice
S-50. Funcția de putere
S-51*. Probleme suplimentare de analiză matematică (teme independente)
K-10. Derivată și antiderivată a funcțiilor exponențiale, logaritmice și de putere
Numere complexe
S-52. Conceptul de număr complex. Operații cu numere complexe în formă algebrică
S-53. Modulul și argumentul unui număr complex. Operații cu numere complexe în formă geometrică
S-54. Forma trigonometrică a unui număr complex. formula lui Moivre
S-55*. Probleme suplimentare cu numere complexe (teme independente)
K-11. Numere complexe
Combinatorică
S-56. Mulțimi. Setați operațiuni
S-57. Formule de bază ale combinatoriei. Cele mai simple probleme combinatorii
S-58. Teorema binomială. Proprietățile coeficienților binomi
S-59. Probleme combinatorii. Regula sumei și regula produsului
S-60*. Sarcini suplimentare în combinatorică (teme independente)
K-12. Elemente de combinatorie
Teoria probabilității
S-61. Probabilitate clasică. Utilizarea formulelor combinatorii la calcularea probabilității
S-62. Teoreme de adunare și înmulțire a probabilității
S-63. Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele independente să se producă. Schema Bernoulli
S-64*. Capitole suplimentare ale teoriei probabilităților (teme independente)
K-13. Elemente de teoria probabilității
RĂSPUNSURI
Răspunsuri la teste
Răspunsuri la domiciliu independent
muncă
LITERATURĂ.

Descărcați cartea electronică gratuit într-un format convenabil, vizionați și citiți:
Descarcă cartea Lucrări independente și de testare pe algebră și principii de analiză, clasele 10-11, Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2013 - fileskachat.com, descărcare rapidă și gratuită.

Lecție și prezentare pe tema: „Generalizarea conceptelor despre exponenți”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Băieți, în această lecție vom generaliza cunoștințele despre exponenți. Putem calcula puteri cu orice exponent întreg. Ce se întâmplă dacă exponentul nu este un număr întreg? Și care este legătura dintre rădăcinile și funcțiile de putere ale unui exponent non-întreg?

Să repetăm puțin, luăm în considerare un număr de forma $a^n$.
1. Dacă $n=0$, atunci $a^n=a^0=1$.
2. Dacă $n=1$, atunci $a^n=a^1=a$.
3. Dacă $n=2,3,4,5$… atunci $a^n=a*a*a…*a$ (n factori).
4. Dacă $n=1,2,3,4,5$… și $a≠0$, atunci $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Regulile de mai sus pot fi folosite și ca reamintire!

În toate regulile prezentate mai sus, exponentul este un număr întreg. Ce trebuie făcut în cazul unui exponent fracționar?
Care este numărul $2^(\frac(2)(3))$ și cum se lucrează cu el? Când lucrați cu astfel de puteri, este necesar ca toate proprietățile puterilor întregi să fie păstrate. De exemplu, la ridicarea unui grad la o putere, indicatorii au fost înmulțiți.

De exemplu: $((2^(\frac(2)(3))))^3=2^(\frac(2)(3)*3)=2^2$.
Să introducem următoarea înlocuire a simbolului: $a=2^(\frac(2)(3))$.
Apoi: $a^3=2^2$.
Se obține: $a=\sqrt(2^2)$.
Adică putem prezenta expresia originală sub această formă: $2^(\frac(2)(3))=\sqrt(2^2)$.

Definiție. Să ne dăm o fracție obișnuită $\frac(a)(b)$, $b≠1$ și $x≥0$, apoi $x^(\frac(a)(b))=\sqrt[b] (x ^a)$.

De exemplu: $3^(\frac(1)(3))=\sqrt(3)$,
$5^(\frac(2)(5))=\sqrt(5^2)$.

Să înmulțim două numere cu aceleași baze, dar cu puteri diferite:
$a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=\sqrt(a^2)*\sqrt(a)=\sqrt(a^8)*\ sqrt(a^3)=\sqrt(a^(11))=a^(\frac(11)(12))$.
Dar mai notăm: $\frac(2)(3)+\frac(1)(4)=\frac(8+3)(12)=\frac(11)(12)$.
Adică: $a^(\frac(2)(3))*a^(\frac(1)(4))=a^(\frac(2)(3)+\frac(1)(4) )=a^(\frac(11)(12))$.
Adăugarea fracțiilor este mult mai ușoară decât a lucra cu radicali (trebuie să aduceți exponenții la aceeași formă și apoi să înmulțiți). Prin urmare, este obișnuit să treceți la funcții de putere cu un exponent fracționar.

Exemplu.
Calculati:
a) $((27))^(\frac(1)(3))$.
b) $((32))^(\frac(3)(5))$.
c) $0^(\frac(5)(7))$.
d) $((-32))^(\frac(1)(5))$.
Soluţie.
a) $((27))^(\frac(1)(3))=\sqrt(27)=3$.

B) $((32))^(\frac(3)(5))=\sqrt((32)^3)=((\sqrt(32)))^3=2^3=8$.

B) $0^(\frac(5)(7))=\sqrt(0^5)=((\sqrt(0)))^5=0^5=0$.

D) Putem extrage doar o rădăcină cu un exponent fracționar dintr-un număr pozitiv, băieți, uitați-vă la definiția noastră. Expresia noastră nu are sens.
Se pare că $((-32))^(\frac(1)(5))=\sqrt(-32)=-2$ este notația corectă, dar să aruncăm o privire mai atentă la expresia noastră: $((-) 32))^ (\frac(1)(5))$=$((-32))^(\frac(2)(10))$=$\sqrt(((-32))^2)$ =$\sqrt (1024)=2$.
Am primit o expresie contradictorie, deși toate operațiile au fost efectuate corect, conform proprietăților și definițiilor. Prin urmare, matematicienii au interzis ridicarea numerelor negative la puteri fracționale.

Băieți, amintiți-vă: Putem ridica doar numere pozitive la puteri fracționale!

Definiție. Să fie dată o fracție obișnuită $\frac(a)(b)$, $b≠1$ și $х>0$, apoi $x^(-\frac(p)(q))=\frac(1) (x ^(\frac(p)(q)))$.

De exemplu: $2^(-\frac(1)(4))=\frac(1)(2^(\frac(1)(4)))=\frac(1)(\sqrt(2))$ .
$3^(-\frac(3)(5))=\frac(1)(3^(\frac(3)(5)))=\frac(1)(\sqrt(3^3))=\ frac(1)(\sqrt(27))$.

Toate proprietățile pe care le-am întâlnit când lucram cu numere de putere sunt păstrate în cazul puterilor raționale, să repetăm proprietățile.

Să ni se dea numere pozitive $a>0$ și $b>0$, x și y sunt numere raționale arbitrare, atunci următoarele 5 proprietăți sunt valabile:
1. $a^x*a^y=a^(x+y)$.
2. $\frac(a^x)(a^y)=a^(x-y)$.
3. $((a^x)^y=a^(x*y)$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. $((\frac(a)(b)))^x=\frac(a^x)(b^x)$.

Exemplu.
Simplificați expresia: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(\sqrt(y) ) (x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Soluţie.
Să rescriem numărătorii sub formă de funcții de putere:
$\frac(x^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2)))+\frac(y^ (\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))$.
Să o aducem la un numitor comun:
$\frac(x^(\frac(1)(2))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))+y^(\frac( 1)(2))(x^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))))((x^(\frac(1)(2))+y ^(\frac(1)(2)))(x^(\frac(1)(2))-y^(\frac(1)(2)))))$ =$\frac(x-x^(\ frac(1)(2))*y^(\frac(1)(2))+y^(\frac(1)(2))*x^(\frac(1)(2))+y) (x-y)$=$\frac(x+y)(x-y)$.

Exemplu.
Rezolvarea ecuațiilor:
a) $\sqrt(x^4)=1$.
b) $x^(\frac(4)(5))=1$.
Soluţie.
a) Ridicați ambele părți ale ecuației la a cincea putere:
$x^4=1$.
$x=±1$.

B) Ecuația noastră este foarte asemănătoare cu cele precedente. Dacă trecem de la rădăcinile scrise la funcțiile de putere, atunci înregistrarea va fi identică, dar merită să luăm în considerare că ni se oferă imediat o expresie de putere. Prin definiție, numărul x poate fi doar pozitiv, atunci ne rămâne cu un singur răspuns $x=1$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $x^(-\frac(2)(5))+x^(-\frac(1)(5))-12=0$.
Soluţie.
Să introducem o nouă variabilă: $y=x^(-\frac(1)(5))$.
$y^2=((x^(-\frac(1)(5))))^2=x^(-\frac(2)(5))$.
Atunci ecuația noastră va lua forma unei ecuații pătratice obișnuite: $y^2+y-12=0$.
După ce am rezolvat ecuația, obținem două rădăcini: $y_1=-4$ și $y_2=3$.

Trebuie doar să rezolvăm două ecuații: $x^(-\frac(1)(5))=-4$ și $x^(-\frac(1)(5))=3$.
Prima ecuație nu are rădăcini. Reamintim că funcțiile de putere cu un exponent rațional sunt definite numai pentru numere pozitive.
Să rezolvăm a doua ecuație:
$x^(-\frac(1)(5))=3$.
$\frac(1)(x^(\frac(1)(5)))=3$.
$x^(\frac(1)(5))=\frac(1)(3)$.
$\sqrt(x)=\frac(1)(3)$.
$x=(\frac(1)(3))^5=\frac(1)(243)$.

Băieți, ne-am uitat la două exemple de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Să enumerăm principalele metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.
1) Ridicarea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere(când utilizați această metodă, trebuie să verificați soluțiile obținute, deoarece pot apărea soluții străine).
2) Metoda de înlocuire a variabilei(introducerea de noi variabile).
3) Trasarea graficelor de funcții. Reprezentăm ambele părți ale ecuației ca funcții, le construim graficele și găsim punctele de intersecție ale graficelor.

Probleme de rezolvat independent

1. Calculați:
a) $(64)^(\frac(1)(3))$.
b) $(64)^(\frac(5)(6))$.
c) $(81)^(\frac(2)(3))$.
d) $((-317))^(\frac(3)(7))$.
2. Simplificați expresia: $\frac(\sqrt(x))(x^(\frac(1)(3))-y^(\frac(1)(3)))-\frac(\sqrt( y ))(x^(\frac(1)(3))+y^(\frac(1)(3)))$.
3. Rezolvați ecuația:
a) $\sqrt(x^2)=8$.
b) $x^(\frac(2)(3))=8$.
4. Rezolvați ecuația: $x^(-\frac(2)(3))-7x^(-\frac(1)(3))+10=0$.

Una dintre problemele stringente ale metodelor moderne de predare la școală este dezvoltarea motivației elevilor. Creșterea încărcăturii mentale la lecțiile de matematică ne face să ne gândim la cum să menținem interesul elevilor pentru materialul studiat și activitatea lor pe parcursul lecției. Trebuie să ne asigurăm că fiecare elev lucrează activ și entuziasmat în timpul lecțiilor. În această situație, tehnologiile de joc vin în ajutorul profesorului - o metodă modernă și recunoscută de predare și creștere, care are funcții educaționale, de dezvoltare și de hrănire care funcționează în unitate organică. Formele jocurilor de predare la lecțiile de matematică fac posibilă organizarea eficientă a interacțiunii dintre profesor și elevi. Chiar și cei mai pasivi elevi se implică în joc. Activitățile de joc motivează învățarea; în timpul jocului, fiecare elev are ocazia să gândească independent, să dezvolte gândirea creativă și să rezolve diverse probleme (adică să aplice cunoștințele dobândite într-o situație specifică de viață).

Descarca:

Previzualizare:

Instituție de învățământ bugetară municipală Școala Gimnazială Nr. 24 cu studiu aprofundat al disciplinelor individuale de științe umaniste denumite după. I.S. Turgheniev, Oryol

Dezvoltarea metodologică a lecției

Algebra și începuturile analizei

Clasa a 11a

Manual: Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasele 10 -11: Manual. Pentru invatamantul general instituţiilor. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 p.: ill. (baza)

Profesor de matematică: Moreva Oksana Vladimirovna

Rezumat al lucrării: Una dintre problemele stringente ale metodelor moderne de predare la școală este dezvoltarea motivației elevilor. Creșterea încărcăturii mentale la lecțiile de matematică ne face să ne gândim la cum să menținem interesul elevilor pentru materialul studiat și activitatea lor pe parcursul lecției. Trebuie să ne asigurăm că fiecare elev lucrează activ și entuziasmat în timpul lecțiilor. În această situație, tehnologiile de joc vin în ajutorul profesorului - o metodă modernă și recunoscută de predare și creștere, care are funcții educaționale, de dezvoltare și de hrănire care funcționează în unitate organică. Formele jocurilor de predare la lecțiile de matematică fac posibilă organizarea eficientă a interacțiunii dintre profesor și elevi. Chiar și cei mai pasivi elevi se implică în joc. Activitățile de joc motivează învățarea; în timpul jocului, fiecare elev are ocazia să gândească independent, să dezvolte gândirea creativă și să rezolve diverse probleme (adică să aplice cunoștințele dobândite într-o situație specifică de viață).

Harta lectiei tehnologice

Nume complet (nume complet)		Moreva Oksana Vladimirovna
Loc de munca		MBOU - școala gimnazială nr. 24 cu studiu aprofundat al disciplinelor umaniste individuale care poartă numele. I.S. Turgheniev, Oryol
Denumirea funcției		Profesor
Articol		Algebra și începuturile analizei
Clasă		Clasa a 11a
Subiectul și numărul lecției din subiect		Generalizarea conceptului de exponent (lectia 2)
Tutorial de bază		Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasele 10 -11: Manual. Pentru invatamantul general instituţiilor. – M.: Mnemosyne, 2013. – 336 p.: ill. (baza)
Scopul lecției		Dezvoltați capacitatea de a transforma expresii care conțin puteri cu un exponent fracționar
Sarcini	educational	Actualizarea cunoștințelor de bază despre o diplomă cu un indicator fracțional Exersarea abilităților de conversie a expresiilor care conțin puteri cu exponent fracționar
	în curs de dezvoltare	Dezvoltare: Gândire operațională care vizează alegerea soluțiilor optime; Memorie și atenție; Abilitatea de a aplica cunoștințele dobândite la rezolvarea problemelor.
	educational	Formarea abilităților de lucru în grup; Promovarea independenței și responsabilității elevilor față de ei înșiși și de alți membri ai echipei; Dezvoltarea capacității de a evalua critic și obiectiv propria muncă și munca unui prieten.
Tipul de lecție		Lecție - joc de afaceri „Cucerirea vârfului”
Forme de lucru a elevilor		Frontal, individual, de grup
Echipament tehnic necesar		Proiector și ecran multimedia; Difuzoare acustice; Calculatoare.

Planul lecției

Moment organizatoric (2-3 min.)
Actualizarea cunoștințelor de bază (5 min.)
„Cucerirea vârfurilor” (30 min.)

Prima înălțime (autotest)
A doua înălțime (lucru în grup)
A treia înălțime (muncă diferențiată individuală).

Rezumat (4 - 5 min.)
Tema pentru acasă (2-3 min.)
Reflecție asupra atingerii obiectivului (1 min.)

În timpul orelor:

Organizarea timpului

Lecția începe cu ascultarea unui fragment din cântecul lui V.V. Vysotsky „Numai munții pot fi mai buni decât munții” (diapozitivul 2).

Profesor: Toată lumea în viață are vârfuri pe care se străduiește să le cucerească. Cineva vrea să devină medic, cineva este un atlet și cineva ar putea dori să devină alpinist. La urma urmei, înălțimile au atras mereu oamenii. Adu-ți aminte de Icar, pentru că visul lui era să zboare spre Soare. Și și-a realizat visul. Esența unei persoane este să atingă întotdeauna scopul propus. Epigraful lecției noastre sunt cuvintele din cântecul pe care l-ați ascultat.

Cum scânteie de foc veșnic în timpul zilei
Vârful de gheață de smarald,
Pe care nu l-ai cucerit niciodată.

V.V.Vysotsky

Astăzi la clasă vă invit la o expediție pentru cucerirea vârfurilor muntilor. Trebuie să te transformi în sportivi de alpinism care cuceresc vârful cunoștințelor numit „Grad cu exponent fracționar” (diapozitivul 3).

Activitati ale elevilor:Elevii notează subiectul lecției în caietul de lucru.

Actualizarea cunoștințelor de referință

Profesor: În fața fiecăruia dintre voi se află o carte - un numărător, în care vă veți înregistra succesele în cucerirea vârfurilor muntoase(Anexa 1) . Introduceți numele și prenumele pe linia de sus. Pe acest card vei înregistra trecerea fiecărei înălțimi în puncte. La sfârșitul lecției, vei calcula independent punctele pe care le-ai obținut la lecție și vei afla dacă ai reușit să cucerești „înălțimea muntelui” sau nu.

Verificarea echipamentului: „Ce vom lua cu noi pe drum?”(diapozitivul 4).

Profesor: După cum știți, o expediție este întotdeauna precedată de o pregătire atentă, așa că la început, vă sugerez să vă verificați disponibilitatea de a cuceri vârful muntelui.

1) Continuați fraza: Dacă este o fracție obișnuită (q ≠1) și a ≥ 0, apoi sub a p/q inteleg...

2) Calculați verbal: 16¼, 27 1/3, 81 ¼, 8 -1/3, (-144) ½ (Sarcinile pot fi notate pe tablă în prealabil sau prezentate sub formă de cartonașe)

3) Continuați cu următoarele proprietăți (Sarcinile pot fi scrise pe tablă în avans)

a s ∙ a t = …

a s : a t = …

(a s) t = …

(ab)s = …

() s = ...

4) Calculați oral:(Sarcina poate fi scrisă pe tablă în prealabil)

Profesor: Deci, echipamentul este colectat. Mergem la munte pentru a cuceri vârfuri muntoase.

Cucerirea vârfurilor

Prima înălțime „Avalanșă de zăpadă”(Autotestare)

Profesor: Orice munte este pe cât de frumos, pe atât de periculos. Multe pericole îi așteaptă pe alpiniști în munți. Primul lucru cu care va trebui să ne confruntăm la munte este o avalanșă (diapozitivul 5). Pentru a ieși de sub zăpadă, trebuie să finalizați următoarea sarcină.

Activitati ale elevilor:Elevii primesc o sarcină pentru două opțiuni și o completează independent în caietul de lucru. (Fiecare elev își primește sarcina pe un card.) Doi elevi lucrează din spatele tablei. Finalizarea sarcinii va dura 5-7 minute.

Opțiunea 1

Opțiunea 2

Calculați: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
Simplificați expresia: a) (125x-6) -2/3; b) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

La sfârșitul lucrării, elevii care au lucrat la tablă întorc tabla. Munca lor este verificată de profesor. Elevii care au lucrat în caiete efectuează autotestări. Adică, fiecare elev verifică în mod independent corectitudinea temei sale, pe baza soluției de pe tablă. Fiecare sarcină completată corect valorează 2 puncte. Punctele înscrise pentru finalizarea „Avalanșei de zăpadă” sunt înregistrate pe cardul de contor.

Minut de educație fizică.

Profesor: Cucerirea vârfurilor muntoase este o sarcină foarte dificilă. Eram cu toții foarte obosiți să ne eliberăm de zăpadă. Vă sugerez să faceți o pauză.

Exercițiu „Hai, încearcă!”:

Profesorul invită elevii să întindă mâna înainte cu palma deschisă în sus. Apăsați degetul mare în palmă. Degetele rămase trebuie întors. Acum apăsați degetul mic. S-a întâmplat? Nu asa!

A doua înălțime „Ice Crack”(lucrare in grup)

Profesor: În timp ce ne odihneam, în drumul nostru a apărut o crăpătură de gheață (diapozitivul 6). Știți cum se comportă alpiniștii într-o astfel de situație?

Exemple de răspunsuri ale elevilor:Alpiniștii se ajută între ei... Pentru a ridica un alpinist dintr-o crăpătură, îi aruncă o frânghie... Lucrează împreună... Este foarte greu să ieși singur, ai nevoie de ajutorul unui prieten…….

Profesor: Din răspunsurile tale rezultă că, pentru a ieși dintr-o crăpătură de gheață, trebuie să lucrezi în echipă. Deci tu și cu mine vom îndeplini următoarea sarcină în grupuri.

Activitati ale elevilor:Clasa este împărțită în grupuri de 4-5 persoane. Fiecare grupă primește un cartonaș cu sarcini în care a făcut greșeli. Elevii trebuie să le găsească și să le corecteze. Finalizarea sarcinii va dura 5-7 minute.

Cardul 1

Găsiți erori

(121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Cardul 2

Găsiți erori

Cardul 3

Găsiți erori

(x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) )(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
(-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Cardul 4

Găsiți erori

La finalul lucrării, cadrele didactice raportează profesorului erorile constatate și corectate. Profesorul verifică corectitudinea sarcinii. Pentru fiecare eroare corectată, se acordă câte 2 puncte fiecărui membru al grupului. Punctele obținute pentru finalizarea „Crăpăturii de gheață” sunt înregistrate pe cardul de contor.

A treia înălțime „Rockfall”(muncă individuală diferenţiată).

Profesor: Înainte să avem timp să ieșim din crăpătura de gheață, ne-a lovit o cădere de stâncă (diapozitivul 7). Dărâmăturile trebuie curățate. Toate pietrele sunt diferite: mari și mici. Unii vor purta pietre mici, iar alții vor purta pietre mari. Fiecare își va alege o sarcină în funcție de puterea sa.

Activitati ale elevilor:Elevii primesc o gamă de sarcini diferențiate cu diferite niveluri de dificultate.

Cei care au ales „pietre mari” primesc sarcini de nivel superior pe cărți individuale. Pe baza rezultatelor îndeplinirii acestei sarcini, ei vor putea câștiga până la 8 puncte. Fiecare sarcină finalizată corect valorează 2 puncte.

Opțiunea 1

Reduceți fracția:

A) ; b) ; c) ; d)

Opțiunea 2

Reduceți fracția:

La sfârșitul lucrării, profesorul verifică corectitudinea sarcinii.

Iar cei care au ales „pietre mici” îndeplinesc sarcini de nivel de bază sub forma unui test (vezi testul interactiv pe disc sau în Anexa 2 ). Pe baza rezultatelor îndeplinirii acestei sarcini, ei pot câștiga până la 5 puncte.

Punctele înscrise pentru finalizarea „Căderii de stânci” sunt înregistrate pe cardul contor.

Rezumând jocul:

Profesor: Dragi „alpiniști”! Să calculăm punctele pe care le-ai obținut pe baza rezultatelor celor trei teste.

Activitati ale elevilor:Elevii numără punctele pe care le-au obținut și le notează în coloana „Rezultat general”.

Profesor: Să rezumam (diapozitivul 8). Dacă ai marcat 18-20 de puncte, atunci ai cucerit cel mai înalt vârf - bine făcut (nota excelenta)! Dacă ai marcat 15 - 17 puncte, ai cucerit a doua înălțime, bine ( nota bine) . Dacă 11 - 14 puncte înseamnă că ai depășit doar prima înălțime, nici asta nu este rău (nota satisfăcătoare). Dacă ai obținut mai puțin de 11 puncte, atunci ai rămas în partea de jos a vârfului. Dar nu fi suparat! Trebuie încă o dată să te antrenezi și să repeți urcarea, vârful tău este încă în fața ta!

Activitati ale elevilor:Elevii, conform evaluării, își acordă o notă pentru lecție în coloana „Notă” și predau cardul - contorul profesorului.

Profesor (la discretia ta)transferă aceste mărci în jurnal.

Teme pentru acasă:§ 37; Nr. 37,28; Nr. 37,30ag; nr. 37,39*b

nr. 37.28. Reduceți fracția: a); b) ; V) ; G).

Nr. 37.30ag. Simplificați expresia: a) (1 +) 2 - 2 ; d) + - ( + ) 2

nr. 37,39*b. Simplificați expresia: b) ( + )

Reflecție asupra atingerii scopului:

Profesor: Acum vă voi cere să continuați una sau mai multe fraze (diapozitivul 9)

a fost interesant…
a fost dificil…
Am îndeplinit sarcini...
Am reușit …
mi-a dat o lecție de viață...

Activitati ale elevilor:Elevii continuă una sau mai multe fraze după cum doresc.

Profesor: Lecția noastră a început cu un cântec și vreau să o închei cu poezie(diapozitivul 10) . Citește o poezie.

Aspirația inimii spre vârf este onorabilă,

E plăcut să privești de sus spre pământ.

Ascensed... Ești un erou, un câștigător de acum înainte

Și se pare că lumea cerească este în mâinile noastre.

Vârful este un deșert, doar pietre înțelepte

Privind cu calm stelele strălucind...

Pentru ei nu ești nimic, un rătăcitor pierdut,

Captiv al iluziilor, al viselor dubioase...

Vârful îți dă senzația de zbor,

Libertate de agitația eternă a lumii,

Porțile sunt deschise către o altă cunoaștere...

Maturitatea purității sale este incitantă...

Anexă la planul de lecție„Generalizarea conceptului de exponent”

Anexa 1.

Card – contor __________________________ (Nume, prenume)

Anexa 2.

Test

Alegeți unul dintre răspunsurile sugerate.

Simplificați expresia: (1 – s 1/2 )(1 + s 1/2 )

(1 – cu 1/2) 2
1 – s
1 – 2s 1/2 + s

Simplificați expresia: (1 – a 1/2 ) 2

1 – a + a 2

– 2a + a 2

1 – 2a 1/2 + a

Factorizați în: 3/4 – până la 1/2

in 3/4 (1 – in)
în 1/2 (în 1/4 – 1)
în 1/2 (în 1/2 – 1)
nu poate fi descompus

Factorizați: a – b

aw (a 1/2 – în 1/2)
(a – în 1/2) (a + în 1/2)
nu poate fi descompus
(a 1/2 – în 1/2) (a 1/2 + în 1/2)

Punctajul testului: 1 răspuns corect – 2 puncte; 2 răspunsuri corecte – 3 puncte;3 răspunsuri corecte – 4 puncte; 4 răspuns corect – 5 puncte.

Scopul lecției:

Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților.
Actualizarea cunoștințelor de bază în condițiile promovării Examenului Unificat de Stat.
Monitorizarea și autocontrolul cunoștințelor, abilităților și abilităților folosind teste.
Dezvoltarea abilității de a compara și generaliza.

Planul lecției.

Declarație despre scopul lecției (1 min.)
Lucrare orală „Cred - nu cred!” (6 min)
Rezolvarea unei serii de exemple pentru a compara expresii (12 min)
Sofistica (4–5 min)
Rezolvarea unui exemplu de simplificare a unei expresii (din examenul de stat unificat) cu o discuție a părților cele mai „subtile” (15 min)
Lucru independent bazat pe versiunea demonstrativă a examenului de stat unificat (grupul A) (5 min)
Tema pentru acasă (pe bucăți de hârtie)

Echipament: proiector.

1. Prieteni! În fața ochilor tăi se află o declarație a matematicianului englez James Joseph Sylvester (1814–1897) despre matematică „Matematica este muzica minții”. Cât de romantic nu-i așa?

Întrebare. Cum crezi că a definit muzica?

„Muzica este matematica sentimentelor.”

Putem include diferite tipuri de experiențe ca sentimente. Anul acesta, unul dintre motivele pentru îngrijorările tale și ale mele este promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat și, ca urmare, admiterea la o universitate. Îmi doresc foarte mult ca emoțiile pozitive să prevaleze. Trebuie să existe încredere, iar acestea sunt cunoștințele și abilitățile noastre. Astăzi la clasă vom continua pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat, repetând și generalizând conceptul de grad.

Deci, subiectul lecției de astăzi este „Generalizarea conceptului de grad”.

Am repetat deja proprietățile și definițiile de bază și vă invit să jucați jocul „Crede sau nu!”

Sarcina ta este să răspunzi rapid (bazându-te pe intuiția ta, te va ajuta la rezolvarea grupului A) să răspunzi afirmativ sau negativ la întrebare și apoi să explici răspunsul tău.

2. Lucrare orală „Cred - nu cred!”

1. Expresiile au sens:

a) b) c) c) d)

3. Ecuația are trei rădăcini

(nu, rădăcina este una: 7, deoarece)

4. Cea mai mică rădăcină a ecuației 1

3. Rezolvarea unei serii de exemple pentru a compara fracții. Acum îmi propun să vă atrag atenția asupra unei serii de exemple de comparare a gradelor.

Întrebare. Ce moduri de a compara grade cunoașteți?

Compararea indicatorilor cu aceleași baze, compararea bazelor cu aceiași exponenți.

1. Comparați Și .

2. Compara numerele Și .

După cum puteți vedea, cazul este mai complicat.

Întrebare. Ce numere sunt exponenții?

Iraţional.

Să găsim numere raționale care sunt apropiate de numerele iraționale date și să încercăm să comparăm puterile cu exponentul rațional.

Deoarece baza gradului este mai mare decât 1, apoi prin proprietatea gradelor avem

Să comparăm acum și .

Pentru a face acest lucru, este suficient să compari și 2 sau și.

Dar , A .

Acum obținem un lanț de inegalități:

3. Comparați numerele Și .

Să folosim următoarea proprietate a radicalilor: dacă , atunci , unde .

Să comparăm și .

Să evaluăm atitudinea lor:

Prin urmare, .

Note.

1) În acest caz, gradele și sunt mici și anume

și nu sunt greu de calculat „manual”, adică. fara calculator. Puteți estima gradele fără calcule:

De aceea,

2) Dacă gradele într-adevăr nu pot fi calculate (chiar și pe un calculator), de exemplu, și , atunci puteți utiliza inegalitatea:

Adevărat pentru orice și procedați astfel:

cu tot naturalul.

Puteți dovedi singur

4. Sofistica. Ei bine, să trecem la un alt loc de muncă. Să găsim o eroare în următorul raționament, respingând afirmația:

„Unul este egal într-un grad infinit de mare cu un număr arbitrar.”

După cum se știe, o unitate ridicată la orice putere, inclusiv zero, este egală cu unu, adică unde A- orice număr. Să vedem, totuși, dacă acesta este întotdeauna cazul.

Lăsa X– număr arbitrar. Prin înmulțire simplă este ușor de verificat că expresia (1) este o identitate pentru oricare X. Atunci este adevărată și identitatea care decurge din (1), și anume . (2)

Pentru un număr pozitiv arbitrar A exista .

Egalitatea (2) implică egalitatea

sau, ce este la fel,

. (3)

Asumarea în identitate (3) x=3, primim

, (4)

si tinand cont de faptul ca , înțelegem asta.

Deci, puterea unuia, chiar și atunci când exponentul este egal cu infinitul, este egală cu un număr arbitrar, dar în niciun caz cu unul, așa cum cer regulile algebrei.

Soluţie.

Eroarea este următoarea.

Egalitatea (1) este într-adevăr valabilă pentru toate valorile Xși deci este o identitate. Egalitatea (2) obținută din aceasta nu mai este valabilă pentru toate valorile X. Asa de, X nu poate fi egal cu 2. deoarece numitorii din stânga și din dreapta lui (2) devin zero și X nu poate fi egal cu 3, deoarece numitorul din partea dreaptă a lui (2) devine și el zero. La x = 3 egalitatea (2) ia forma , ceea ce nu are sens.

Relația (4) se obține din (3) tocmai la x = 3, ceea ce a dus la un rezultat absurd.

Ei bine, acum să avansăm rapid până în 2004, când următorul număr a fost propus în sarcina C3.

5. Rezolvarea exemplului (din examenul unificat de stat).

Deoarece f(x) este o funcție crescătoare, atunci .

Să aflăm care dintre aceste valori este mai aproape de 0,7, pentru care comparăm

Și

Deoarece , valoarea lui f(26) este mai aproape de 0,7.

6. Munca independentă urmată de verificare pe tablă.

Și acum este timpul să exersați: iată exemple din versiunea demo, gr. A 2009.

Le vezi atât pe tablă, cât și pe bucăți de hârtie. Sarcina ta este să rezolvi rapid și să completezi tabelele cu răspunsuri. Potriviți literele și cifrele din fața dvs. Calculând sau simplificând corect expresiile din tabel, veți citi de ce aveți nevoie la promovarea Examenului de stat unificat.

Opțiunea 1 – noroc, cunoștințe,

Opțiunea 2 – încredere.

Așadar, astăzi la clasă am văzut cât de larg este folosit conceptul de grad la promovarea examenului de stat unificat. Vă puteți consolida abilitățile dobândite făcând temele pentru acasă.

7. Tema pentru acasă.

Acordați atenție temelor, vă va ajuta să consolidați materialul pe care l-am abordat în clasă.