Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate. Reguli de calcul a derivatelor Derivată a unei funcții complexe

Lecție pe tema: „Ce este un derivat? Definiția unui derivat”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Introducere în conceptul de derivat.
2. Puțină istorie.

4. Derivată pe graficul unei funcții. Sensul geometric al derivatului.

6. Diferențierea funcției.
7. Exemple.

Introducere în conceptul de derivat

Există multe probleme care au sens complet diferit, dar există modele matematice care ne permit să calculăm soluții la problemele noastre exact în același mod. De exemplu, dacă luăm în considerare sarcini precum:

A) Există un cont bancar care se schimbă constant o dată la câteva zile, suma este în continuă creștere, trebuie să aflați cu ce viteză crește contul.
b) Fabrica produce bomboane, există o creștere constantă a producției de bomboane, aflați cât de repede crește creșterea bomboanelor.
c) Viteza mașinii la un moment dat în timp t, dacă se cunoaște poziția mașinii și se deplasează în linie dreaptă.
d) Ni se dă un grafic al unei funcții și la un moment dat este trasată o tangentă la ea; trebuie să găsim tangenta unghiului de înclinare la tangentă.
Formularea sarcinilor noastre este complet diferită și se pare că acestea sunt rezolvate complet căi diferite, dar matematicienii și-au dat seama cum să rezolve toate aceste probleme exact în același mod. A fost introdus conceptul de derivat.

Un pic de istorie

Termenul derivat a fost introdus de marele matematician Lagrange, din care se obține traducerea în rusă cuvânt francez derivate, el a introdus și notația modernă pentru derivate, pe care o vom analiza mai târziu.
Leibniz și Newton au considerat conceptul de derivată în lucrările lor; au găsit aplicarea termenului nostru în geometrie și, respectiv, mecanică.
Puțin mai târziu vom afla că derivata este determinată printr-o limită, dar există un ușor paradox în istoria matematicii. Matematicienii au învățat să calculeze derivata înainte de a introduce conceptul de limită și au înțeles de fapt ce este o derivată.

Fie definită funcția y=f(x) pe un anumit interval care conține un anumit punct x0. Incrementul argumentului Δx nu părăsește intervalul nostru. Să găsim incrementul Δy și să compunem raportul Δy/Δx; dacă există o limită a acestui raport deoarece Δx tinde spre zero, atunci această limită se numește derivată a funcției y=f(x) în punctul x0 și se notează f'(x0).

Să încercăm să explicăm ce este o derivată în limbaj non-matematic:
În limbajul matematic: derivată este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său atunci când incrementul argumentului tinde spre zero.
În limbajul obișnuit: derivată este rata de schimbare a unei funcții în punctul x0.
Să ne uităm la graficele a trei funcții:

Băieți, care curbă credeți că crește mai repede?
Răspunsul pare evident pentru toată lumea: 1 curbă crește mai repede decât celelalte. Ne uităm la cât de abrupt crește graficul funcției. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă ordonata pe măsură ce x se schimbă. Aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivată pe graficul unei funcții. Sensul geometric al derivatului

Acum să vedem cum să găsim derivata folosind grafice de funcții:


Să ne uităm la graficul funcției: Să desenăm o tangentă la graficul funcției în punctul cu abscisa x0. Linia tangentă și graficul funcției noastre ating punctul A. Trebuie să estimăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Definiție. Derivata functiei in punctul x0 este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Unghiul tangentei este selectat ca unghi între tangentă și direcția pozitivă a axei x.
Și astfel derivata funcției noastre este egală cu:

Și astfel derivata în punctul x0 este egală cu tangenta unghiului tangentei, aceasta este sens geometric derivat.

Algoritm pentru găsirea derivatei funcției y=f(x).
a) Fixați valoarea lui x, găsiți f(x).
b) Aflați incrementul argumentului x+ Δx și valoarea incrementului funcției f(x+ Δx).
c) Aflați incrementul funcției Δy= f(x+ Δx)-f(x).
d) Alcătuiți raportul: Δy/Δx
e) Calculați

Aceasta este derivata funcției noastre.

Diferențierea unei funcții

Dacă o funcție y=f(x) are o derivată într-un punct x, atunci se numește derivabilă într-un punct x. Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere a funcției y=f(x).
Să revenim la problema continuității funcției. Dacă o funcție este diferențiabilă într-un anumit punct, atunci o tangentă poate fi desenată la graficul funcției în acest punct; funcția nu poate avea o discontinuitate în acest punct, atunci o tangentă pur și simplu nu poate fi desenată.
Și așa scriem cele de mai sus ca definiție:
Definiție. Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este continuă în acel punct.
Totuși, dacă o funcție este continuă într-un punct, aceasta nu înseamnă că este diferențiabilă în acel punct. De exemplu, funcția y=|x| în punctul x=0 este continuu, dar nu se poate trasa o tangentă, ceea ce înseamnă că derivata nu există.

Exemple de derivate

Aflați derivata funcției: y=3x
Soluţie:
Vom folosi algoritmul de căutare derivată.
1) Pentru o valoare fixă ​​a lui x, valoarea funcției y=3x
2) În punctul x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Aflați incrementul funcției: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiabile în raport cu anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile să fie date f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivata unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini optiune noua h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Derivat

Calcularea derivatei unei funcții matematice (diferențiere) este o problemă foarte frecventă la rezolvare matematică superioară. Pentru funcțiile matematice simple (elementare), aceasta este o chestiune destul de simplă, deoarece tabelele de derivate pentru funcțiile elementare au fost compilate de mult timp și sunt ușor accesibile. Cu toate acestea, găsirea derivatei unei funcții matematice complexe nu este o sarcină banală și necesită adesea efort și timp semnificativ.

Găsiți derivate online

Al nostru serviciu online vă permite să scăpaţi de calculele lungi fără rost şi găsiți derivate onlineîntr-o clipă. Mai mult, folosind serviciul nostru situat pe site www.site, puteți calcula derivat online atât dintr-o funcţie elementară cât şi dintr-una foarte complexă care nu are o soluţie analitică. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu altele sunt: ​​1) nu există cerințe stricte pentru metoda de introducere a unei funcții matematice pentru calcularea derivatei (de exemplu, atunci când introduceți funcția sinus x, o puteți introduce ca sin x sau sin (x) sau sin[x] etc. d.); 2) calculul derivat online are loc instantaneu în modul pe net si absolut gratuit; 3) vă permitem să găsiți derivata unei funcții orice ordine, schimbarea ordinii derivatei este foarte ușoară și de înțeles; 4) vă permitem să găsiți online derivata aproape oricărei funcții matematice, chiar și a celor foarte complexe care nu pot fi rezolvate de alte servicii. Răspunsul oferit este întotdeauna corect și nu poate conține erori.

Utilizarea serverului nostru vă va permite: 1) să calculați derivatul online pentru dvs., eliminând calculele obositoare și consumatoare de timp în care puteți face o eroare sau o greșeală de tipar; 2) dacă calculați singur derivata unei funcții matematice, atunci vă oferim posibilitatea de a compara rezultatul obținut cu calculele serviciului nostru și de a vă asigura că soluția este corectă sau de a găsi o eroare care s-a strecurat; 3) folosiți serviciul nostru în loc să folosiți tabele de derivate ale funcțiilor simple, unde adesea este nevoie de timp pentru a găsi funcția dorită.

Tot ce trebuie să faci este găsiți derivate online- este să folosim serviciul nostru pe

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne uităm la asta imediat funcție inversă. Care functie este inversa functie exponentiala? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Expozant și logaritmul natural- funcțiile sunt unic simple în ceea ce privește derivatele. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul differentia - diferență. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă – unii număr constant(constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcție liniară, tine minte?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și, de asemenea, extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivatul produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.