Găsiți online nodul și nodul a trei numere. Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun. Calculator online

Un multiplu este un număr care este divizibil cu număr dat fără urmă. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare număr din grup fără a lăsa rest. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. LCM poate fi, de asemenea, calculat folosind o serie de alte metode care se aplică grupurilor de două sau mai multe numere.

Pași

Serii de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când li se dau două numere, fiecare dintre ele mai mic de 10. Dacă este dat numere mari, folosiți o altă metodă.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că puteți utiliza această metodă.

1. Un multiplu este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Multiplii pot fi găsiți în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două seturi de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi numărul total. Cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr care apare în seria multiplilor lui 5 și 8 este numărul 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   factorizare primara

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere, fiecare dintre ele fiind mai mare de 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că puteți utiliza această metodă.

   2. Factorizați primul număr în factori primi. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor avea ca rezultat un anumit număr. După ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalități.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)Și 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Astfel, factorii primi ai numărului 20 sunt numerele 2, 2 și 5. Scrieți-i ca expresie: .

   3. Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da numărul dat.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)Și 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Astfel, factorii primi ai numărului 84 ​​sunt numerele 2, 7, 3 și 2. Scrieți-i ca expresie: .

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce scrieți fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu factorizările numerelor în factori primi).

      • De exemplu, ambele numere au un factor comun de 2, așa că scrieți 2 × (\displaystyle 2\times )și tăiați 2 în ambele expresii.
      • Ceea ce au în comun ambele numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Ambele două (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • În exprimare 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) ambele două (2) sunt, de asemenea, tăiate. Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

   Găsirea factorilor comuni

   1. Desenați o grilă ca pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru vă va oferi trei rânduri și trei coloane (grila seamănă foarte mult cu pictograma #). Scrieți primul număr în prima linie și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 30. Scrieți numărul 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți numărul 30 în primul rând și a treia coloană.

   2. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți factori primi, dar aceasta nu este o cerință.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci factorul lor comun va fi 2. Deci scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere.

      • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), așa că scrie 9 sub 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), deci notează 15 sub 30.

   4. Aflați divizorul comun ambilor câte. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, scrieți divizorul în al doilea rând și prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor al său. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), deci scrie 3 sub 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), deci scrie 5 sub 15.

   6. Dacă este necesar, adăugați celule suplimentare la grilă. Repetați pașii descriși până când coeficientii au un divizor comun.

   7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele selectate ca operație de înmulțire.

      • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Găsiți rezultatul înmulțirii numerelor. Aceasta va calcula cel mai mic multiplu comun a două numere date.

      • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

   algoritmul lui Euclid

   1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere. Un rest este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 este dividendul
        6 este un divizor
        2 este coeficientul
        3 este restul.

Să continuăm conversația despre cel mai mic multiplu comun, pe care am început-o în secțiunea „LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple”. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere și ne vom uita la întrebarea cum să găsim LCM-ul unui număr negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să determinăm LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.

Definiția 1

Găsiți cel mai mic multiplu comun până la cel mai mare divizor comun se poate face folosind formula LCM (a , b) = a · b: GCD (a , b) .

Exemplul 1

Trebuie să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126, b = 70. Să substituim valorile în formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește mcd-ul numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul euclidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, deci GCD (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM(126, 70) = 630.

Exemplul 2

Găsiți numărul 68 și 34.

Soluţie

GCD în în acest caz, Acest lucru nu este dificil, deoarece 68 este divizibil cu 34. Să calculăm cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, LCM-ul acelor numere va fi egal cu primul număr.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la metoda de găsire a LCM, care se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

• compunem produsul tuturor factori primi numere pentru care trebuie să găsim LCM;
• excludem toți factorii primi din produsele lor rezultate;
• produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Această metodă de găsire a celui mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care participă la descompunerea acestor două numere. În acest caz, mcd a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza după cum urmează: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. Dacă compuneți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 Și 700 , factorizarea ambelor numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7.

Produsul tuturor factorilor care au participat la descompunerea acestor numere va avea forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factori comuni. Acesta este numărul 7. Să-l excludem din totalul produsului: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LOC(441, 700) = 44.100.

Să dăm o altă formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

• Să factorăm ambele numere în factori primi:
• adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
• obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210, pentru care am căutat deja LCM într-unul din exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3, 5 și 5 numerele 75 adună factorii lipsă 2 Și 7 numerele 210. Primim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să factorăm numerele din condiție în factori simpli: 84 = 2 2 3 7Și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Să adăugăm la produs factorii 2, 2, 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2, 3, 3 și
3 numerele 648. Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM(84, 648) = 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k aceste numere se găsesc calculând secvenţial m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema pentru a rezolva probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al patru numere 140, 9, 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Să aplicăm algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Se obține: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Prin urmare, m 2 = 1.260.

Acum să calculăm folosind același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). În timpul calculelor obținem m 3 = 3 780.

Trebuie doar să calculăm m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Urmăm același algoritm. Se obține m 4 = 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de intensive în muncă. Pentru a economisi timp, puteți merge pe altă cale.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

• descompunem toate numerele în factori primi;
• la produsul factorilor primului număr adăugăm factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
• la produsul obținut în etapa anterioară adăugăm factorii lipsă ai numărului al treilea etc.;
• produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Trebuie să găsiți LCM a cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie

Să factorăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Să trecem la numărul 48, din produsul ai cărui factori primi luăm 2 și 2. Apoi adăugăm factorul prim de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere originale.

Răspuns: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate folosind algoritmii de mai sus.

Exemplul 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) și LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă acceptăm asta AȘi − a- numere opuse,
apoi mulţimea multiplilor unui număr A se potrivește cu setul de multipli ai unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Și − 45 .

Soluţie

Să înlocuim numerele − 145 Și − 45 la numerele lor opuse 145 Și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul euclidian.

Obținem că LCM al numerelor este − 145 și − 45 egală 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiție. Cel mai grozav numar natural, prin care numerele a și b se împart fără rest, se numește cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiție. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este egal cu 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să notăm factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Număr, egal cu suma Ei au numit toți divizorii săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite alte numere naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.

Al doilea număr: b=

Separator de mii Fără separator de spațiu „´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun mcd( A,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( A,b)=468

Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun(GCD) a acestor numere. Notat cu mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun LCM a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Numerele întregi a și b sunt numite prim reciproc, dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive A 1 și A 2 1). Este necesar să se găsească divizorul comun al acestor numere, adică. găsi un astfel de număr λ , care împarte numerele A 1 și A 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va fi înțeles ca un număr întreg.

Lăsa A 1 ≥ A 2 si lasa

Unde m 1 , A 3 sunt niște numere întregi, A 3 <A 2 (restul diviziunii A 1 per A 2 ar trebui să fie mai puțin A 2).

Să ne prefacem că λ desparte A 1 și A 2 atunci λ desparte m 1 A 2 și λ desparte A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Enunțul 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Testul de divizibilitate”). Rezultă că fiecare divizor comun A 1 și A 2 este divizorul comun A 2 și A 3. Reversul este de asemenea adevărat dacă λ divizor comun A 2 și A 3 atunci m 1 A 2 și A 1 =m 1 A 2 +A 3 este de asemenea divizibil cu λ . Prin urmare divizorul comun A 2 și A 3 este, de asemenea, un divizor comun A 1 și A 2. Deoarece A 3 <A 2 ≤A 1, atunci putem spune că soluția la problema găsirii divizorului comun al numerelor A 1 și A 2 redus la problema mai simplă a găsirii divizorului comun al numerelor A 2 și A 3 .

Dacă A 3 ≠0, atunci putem împărți A 2 pe A 3. Apoi

,

Unde m 1 și A 4 sunt niște numere întregi, ( A 4 rest din diviziune A 2 pe A 3 (A 4 <A 3)). Prin raționament similar ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor A 3 și A 4 coincide cu divizori comuni ai numerelor A 2 și A 3 și, de asemenea, cu divizori comuni A 1 și A 2. Deoarece A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sunt numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între A 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziei A non A n+1 va fi egal cu zero ( A n+2 =0).

.

Fiecare divizor comun λ numere A 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor de numere A 2 și A 3 , A 3 și A 4 , .... A n și A n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor A n și A n+1 sunt și divizori de numere A n−1 și A n , .... , A 2 și A 3 , A 1 și A 2. Dar divizorul comun al numerelor A n și A n+1 este un număr A n+1, deoarece A n și A n+1 sunt divizibile cu A n+1 (rețineți că A n+2 =0). Prin urmare A n+1 este, de asemenea, un divizor de numere A 1 și A 2 .

Rețineți că numărul A n+1 este cel mai mare divizor de numere A n și A n+1 , deoarece cel mai mare divizor A n+1 este el însuși A n+1. Dacă A n+1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor A 1 și A 2. Număr A se numește n+1 cel mai mare divizor comun numere A 1 și A 2 .

Numerele A 1 și A 2 poate fi numere pozitive sau negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero este nedefinit.

Algoritmul de mai sus este numit Algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împărțiți numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiție 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime, neavând divizor comun.

Teorema 1. Dacă A 1 și A 2 numere coprime și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ Și A 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 și deci A n și A n+1 este 1. Adică A n+1 =1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , Apoi

.

Fie divizorul comun A 1 λ Și A 2 da δ . Apoi δ este inclus ca multiplicator în A 1 λ , m 1 A 2 λ si in A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Mai departe δ este inclus ca multiplicator în A 2 λ Și m 2 A 3 λ , și, prin urmare, este un factor în A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Raționând astfel, suntem convinși că δ este inclus ca multiplicator în A n−1 λ Și m n−1 A n λ , și deci în A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Deoarece A n+1 =1, atunci δ este inclus ca multiplicator în λ . Prin urmare, numărul δ este divizorul comun al numerelor λ Și A 2 .

Să luăm în considerare cazurile speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lăsa AȘi c Numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

Într-adevăr. Din teorema 1 acȘi b au aceiași divizori comuni ca cȘi b. Dar cifrele cȘi b relativ simplu, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acȘi b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acȘi b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lăsa AȘi b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

Într-adevăr. Din condiția de aprobare akȘi b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bȘi k. Prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din prima serie este prim în raportul fiecărui număr din a doua serie. Apoi produsul

Trebuie să găsiți numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă un număr este divizibil cu A 1, atunci are forma sa 1 unde s oarecare număr. Dacă q este cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cei mai mici multipli comuni ai numerelor A 1 și A 2 .

A 1 și A 2 sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2:

Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu de numere A 1 , A 2 , A 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε Și A 3 și înapoi. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε Și A 3 da ε 1 . Apoi, multipli de numere A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și A 4 . Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și A 4 da ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul special când numerele A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 , A 2, după cum se arată mai sus, are forma (3). În continuare, de când A 3 prim în raport cu numerele A 1 , A 2 atunci A 3 număr prim A 1 · A 2 (Corolarul 1). Înseamnă cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 ,A 2 ,A 3 este un număr A 1 · A 2 · A 3. Raționând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Afirmație 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este egal cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.

Afirmație 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este de asemenea divizibil cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.