Progresia geometrică, împreună cu progresia aritmetică, este o serie de numere importantă care este studiată în cursul școlar de algebră din clasa a IX-a. În acest articol vom analiza numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.
Definiţia geometric progression
Mai întâi, să dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea secvențială a primului său element cu număr constant, numit numitor.
De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțiți 3 (primul element) cu 2, obțineți 6. Dacă înmulțiți 6 cu 2, obțineți 12 și așa mai departe.
Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.
Definiția de mai sus a progresiei poate fi scrisă în limbaj matematic după cum urmează: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificați această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1, și ajungem din nou la definiția seriei de numere în cauză. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari n.
Numitorul progresiei geometrice
Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:
- b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar în valoare absolută, dar va scădea în funcție de semnul numerelor.
- b = 1. Adesea acest caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.
Formula pentru cantitate
Înainte să ne uităm la sarcini specifice Folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula arată astfel: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puteți obține singur această expresie dacă luați în considerare șirul recursiv de termeni ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.
Secvență infinit descrescătoare
S-a dat mai sus o explicație despre ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1
Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.
Acum să ne uităm la câteva probleme în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite pe anumite numere.
Sarcina nr. 1. Calculul elementelor necunoscute de progresie și sumă
Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Cu ce vor fi egali al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?
Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula numărul elementului n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Procedăm la fel și pentru al 10-lea termen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Să folosim formula binecunoscută pentru sumă și să determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problema nr. 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale unei progresii
Fie -2 egal cu numitorul progresiei geometrice bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.
Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Se poate rezolva in 2 moduri diverse metode. Pentru caracterul complet al prezentării subiectului, le prezentăm pe ambele.
Metoda 1. Ideea este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculăm suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum să calculăm o mare cantitate: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de condițiile problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre m și n termeni ai seriei în cauză. Facem exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultat final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problema nr. 3. Care este numitorul?
Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.
Pe baza condițiilor problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma progresiei în scădere infinit. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Tot ce rămâne este să înlocuim valori cunoscuteși obțineți numărul necesar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 sau -0,333(3). Putem verifica calitativ acest rezultat dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum se vede, |-1 / 3|
Sarcina nr. 4. Restaurarea unei serii de numere
Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesară reconstrucția întregii serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.
Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare termen cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțiți a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina a cincea a raportului termenilor cunoscuți din enunțul problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile pentru elementul cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Astfel, am găsit numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.
Unde se folosesc progresiile geometrice?
Dacă nu ar exista o aplicare practică a acestei serii de numere, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar o astfel de aplicație există.
Mai jos sunt cele mai cunoscute 3 exemple:
- Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
- Dacă puneți boabe de grâu pe fiecare pătrat al tablei de șah astfel încât pe primul pătrat să puneți 1 bob, pe al 2-lea - 2, pe al 3-lea - 3 și așa mai departe, atunci pentru a umple toate pătratele tablei veți avea nevoie 18446744073709551615 boabe!
- În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a muta discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial cu numărul n de discuri utilizate.
Progresie geometrică nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetică. O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2,..., b[n], al căror termen următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul progresiei geometrice si denota
Pentru a specifica complet o progresie geometrică, pe lângă numitor, este necesar să se cunoască sau să se determine primul termen al acesteia. Pentru valoare pozitivă progresia numitorului este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și dacă este monoton crescătoare. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.
Termen general al progresiei geometrice calculate prin formula
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula
Să ne uităm la soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cele mai simple de înțeles.
Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai progresiei geometrice.
Soluție: Să scriem condiția problemei în formular
Pentru calcule folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice
Pe baza acestuia, găsim termenii necunoscuți ai progresiei
După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel
Exemplul 2. Se dau primii trei termeni ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen al acestuia.
Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției acesteia
Am obținut o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este egal cu -2. Al șaptelea termen se calculează folosind formula
Acest lucru rezolvă problema.
Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre termenii săi 
. Găsiți al zecelea termen al progresiei.
Soluţie:
Să scriem valorile date folosind formule
Conform regulilor, ar trebui să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem
Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțiți al șaselea termen al seriei cu altul și, ca rezultat, obținem
Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea
Astfel, pentru astfel de sarcini, folosind transformări simple la cale rapidă poti gasi solutia potrivita.
Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente
Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.
Soluţie:
Să scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații
Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima
Să găsim primul termen al progresiei din prima ecuație
Să calculăm următorii cinci termeni pentru a găsi suma progresiei geometrice
Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.
Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov
Progresie geometrică.
Alături de problemele privind progresiile aritmetice, problemele legate de conceptul de progresie geometrică sunt frecvente și la examenele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile progresiilor geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.
Acest articol este dedicat prezentării proprietăților de bază ale progresiei geometrice. Aici sunt oferite și exemple de rezolvare a problemelor tipice., împrumutat din sarcinile examenelor de admitere la matematică.
Să notăm mai întâi proprietățile de bază ale progresiei geometrice și să ne amintim cele mai importante formule și enunțuri, legate de acest concept.
Definiție. O secvență de numere se numește progresie geometrică dacă fiecare număr, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.
Pentru progresie geometricăformulele sunt valabile
, (1)
Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) reprezintă proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare termen al progresiei coincide cu media geometrică a termenilor săi învecinați și .
Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăți progresia în cauză se numește „geometrică”.
Formulele (1) și (2) de mai sus sunt generalizate după cum urmează:
, (3)
Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplică formula
Dacă notăm , atunci
Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).
În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se folosește formula
. (7)
De exemplu , folosind formula (7) putem arăta, Ce
Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).
Teorema. Daca atunci
Dovada. Daca atunci
Teorema a fost demonstrată.
Să trecem la considerarea unor exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.
Exemplul 1. Având în vedere: , și . Găsi .
Soluţie. Dacă aplicăm formula (5), atunci
Răspuns: .
Exemplul 2. Lăsați-l să fie. Găsi .
Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . De aici rezultă că . Să luăm în considerare două cazuri.
1. Dacă, atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.
2. Dacă , atunci .
Exemplul 3. Să , și . Găsi .
Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .
După condiție. Cu toate acestea, prin urmare. Din moment ce și atunci aici avem un sistem de ecuații
Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .
Deoarece, ecuația are o rădăcină adecvată unică. În acest caz, rezultă din prima ecuație a sistemului.
Ținând cont de formula (7), obținem.
Răspuns: .
Exemplul 4. Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie. De atunci.
De când , atunci sau
Conform formulei (2) avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .
Totuși, prin condiție, așadar.
Exemplul 5. Se știe că . Găsi .
Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități
De când , atunci sau . Pentru că atunci .
Răspuns: .
Exemplul 6. Având în vedere: și . Găsi .
Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem
De atunci. De când , și , atunci .
Exemplul 7. Lăsați-l să fie. Găsi .
Soluţie. După formula (1) putem scrie
Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .
Răspuns: .
Exemplul 8. Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă
Și .
Soluţie. Din formula (7) rezultăȘi . De aici și din condițiile problemei obținem un sistem de ecuații
Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim
Sau .
Răspuns: .
Exemplul 9. Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.
Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .
De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntȘi .
Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .
În primul caz avemși , iar în al doilea – și .
Răspuns: , .
Exemplul 10.Rezolvați ecuația
, (11)
unde si .
Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , sub rezerva: și .
Din formula (7) rezultă, Ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . Rădăcină potrivită ecuație pătratică este
Răspuns: .
Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A – progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .
Soluţie. Deoarece succesiune aritmetică, Acea (proprietatea principală progresie aritmetică). Deoarece, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică are forma. Conform formulei (2), apoi scriem asta .
De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din Eq.obținem o soluție unică la problema luată în considerare, adică .
Răspuns: .
Exemplul 12. Calculați Suma
. (12)
Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți
Dacă scădem (12) din expresia rezultată, Acea
sau .
Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci.
Răspuns: .
Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile solicitanților în pregătirea pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de progresia geometrică, poate fi folosit mijloace didactice din lista literaturii recomandate.
1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir și Educația, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare curiculumul scolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Curs complet matematica elementara in probleme si exercitii. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
Mai ai întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
SECVENȚE NUMERICE VI
§ l48. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare
Până acum, când vorbim despre sume, am presupus întotdeauna că numărul de termeni din aceste sume este finit (de exemplu, 2, 15, 1000 etc.). Dar la rezolvarea unor probleme (mai ales matematică superioară) trebuie să se ocupe de sumele unui număr infinit de termeni
S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)
Care sunt aceste sume? A-prioriu suma unui număr infinit de termeni A 1 , A 2 , ..., A n , ... se numește limita sumei S n primul P numere când P -> ∞ :
S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)
Limita (2), desigur, poate exista sau nu. În consecință, ei spun că suma (1) există sau nu există.
Cum putem afla dacă suma (1) există în fiecare caz specific? Soluția generală la această problemă depășește cu mult domeniul de aplicare al programului nostru. Cu toate acestea, există un caz special important pe care trebuie să îl luăm acum în considerare. Vom vorbi despre însumarea termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
Lăsa A 1 , A 1 q , A 1 q 2, ... este o progresie geometrică infinit descrescătoare. Aceasta înseamnă că | q |< 1. Сумма первых P termenii acestei progresii sunt egali
Din teoremele de bază privind limitele variabilelor (vezi § 136) obținem:
Dar 1 = 1, a qn = 0. Prin urmare
Deci, suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu primul termen al acestei progresii împărțit la unu minus numitorul acestei progresii.
1) Suma progresiei geometrice 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... este egală cu
iar suma progresiei geometrice este 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... egal
2) Transformați o fracție periodică simplă 0,454545 ... într-una obișnuită.
Pentru a rezolva această problemă, imaginați-vă această fracție ca o sumă infinită:
Partea dreaptă a acestei egalități este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 45/100, iar numitorul este 1/100. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține și el regula generala conversia fracțiilor periodice simple în fracții obișnuite (vezi capitolul II, § 38):
Pentru a converti o fracție periodică simplă într-o fracție obișnuită, trebuie să faceți următoarele: la numărător puneți perioada fracției zecimale, iar la numitor - un număr format din nouă luate de atâtea ori câte cifre sunt în perioadă. a fracției zecimale.
3) Convertiți fracția periodică mixtă 0,58333 .... într-o fracție obișnuită.
Să ne imaginăm această fracție ca o sumă infinită:
În partea dreaptă a acestei egalități, toți termenii, începând de la 3/1000, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, al cărei prim termen este egal cu 3/1000, iar numitorul este 1/10. De aceea
Folosind metoda descrisă, se poate obține o regulă generală pentru transformarea fracțiilor periodice mixte în fracții obișnuite (vezi Capitolul II, § 38). În mod deliberat, nu o prezentăm aici. Nu este nevoie să ne amintim această regulă greoaie. Este mult mai util de știut că orice fracție periodică mixtă poate fi reprezentată ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare și a unui anumit număr. Și formula
pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, trebuie, desigur, să vă amintiți.
Ca exercițiu, vă sugerăm ca, pe lângă problemele nr. 995-1000 prezentate mai jos, să apelați din nou la problema nr. 301 § 38.
Exerciții
995. Ce se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare?
996. Aflați sumele progresiilor geometrice infinit descrescătoare:
997. La ce valori X progresie
scade la infinit? Găsiți suma unei astfel de progresii.
998. Într-un triunghi echilateral cu latura A un nou triunghi este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un nou triunghi este înscris în acest triunghi în același mod și așa mai departe la infinit.
a) suma perimetrelor tuturor acestor triunghiuri;
b) suma suprafețelor acestora.
999. Patrat cu latura A un pătrat nou este înscris prin conectarea punctelor medii ale laturilor sale; un pătrat este înscris în acest pătrat în același mod și așa mai departe la infinit. Aflați suma perimetrelor tuturor acestor pătrate și suma ariilor lor.
1000. Compuneți o progresie geometrică infinit descrescătoare astfel încât suma ei să fie egală cu 25/4, iar suma pătratelor termenilor săi să fie egală cu 625/24.
Notite importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum se face acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă Pentru
Secvență de numere
Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:
Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.
De exemplu, pentru secvența noastră:
Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul este numit al n-lea membru al secvenței.
De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .
În cazul nostru:
Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.
De ce este necesară progresia geometrică și istoria ei?
Chiar și în cele mai vechi timpuri, călugărul matematician italian Leonardo de Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci) s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru a cântări un produs? În lucrările sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit deja și despre care aveți cel puțin concept general. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?
În prezent, în practica de viață, progresia geometrică se manifestă la investirea banilor într-o bancă, când se acumulează suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani pe un depozit la termen într-o bancă de economii, atunci după un an depozitul va crește cu suma inițială, adică. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.e. suma obţinută în acel moment va fi din nou înmulţită cu şi aşa mai departe. O situație similară este descrisă în problemele de calculare a așa-numitului interes compus- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Despre aceste sarcini vom vorbi puțin mai târziu.
Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică progresia geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o altă persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție este o persoană, iar ei, la rândul lor, au infectat-o pe alta... și așa mai departe.. .
Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat bazat pe proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.
Progresie geometrică.
Să zicem că avem succesiune de numere:
Veți răspunde imediat că acest lucru este ușor și numele unei astfel de secvențe este cu diferența dintre membrii ei. Ce zici de asta:
Dacă scadeți numărul anterior din numărul următor, veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr ulterior este de ori mai mare decât cel anterior!
Acest tip de secvență de numere este numit progresie geometrică si este desemnat.
Progresia geometrică () este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
Restricțiile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să presupunem că nu există, iar primul termen este încă egal, iar q este egal cu, hmm.. lasă-l să fie, atunci rezultă:
Sunteți de acord că aceasta nu mai este o progresie.
După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă există alt număr decât zero, a. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerouri, fie un număr, iar restul vor fi zerouri.
Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul progresiei geometrice, adică o.
Să repetăm: - acesta este numărul de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior? progresie geometrică.
Ce crezi că ar putea fi? Așa este, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).
Să presupunem că a noastră este pozitivă. Să fie în cazul nostru, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:
Asta e corect. În consecință, dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive.
Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și?
Aceasta este o cu totul altă poveste
Încercați să numărați termenii acestei progresii. Cât ai primit? Eu am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternative pentru membrii săi, atunci numitorul său este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.
Acum să exersăm puțin: încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie geometrică și care sunt o progresie aritmetică:
Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
- Progresie geometrică - 3, 6.
- Progresie aritmetică - 2, 4.
- Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.
Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim membrul, la fel ca în cea aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.
Înmulțim succesiv fiecare termen cu.
Deci, al treilea termen al progresiei geometrice descrise este egal cu.
După cum ați ghicit deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al progresiei geometrice. Sau l-ai dezvoltat deja pentru tine, descriind cum să găsești al treilea membru pas cu pas? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.
Să ilustrăm acest lucru cu exemplul de găsire a celui de-al treilea termen al acestei progresii:
Cu alte cuvinte:
Găsiți singur valoarea termenului progresiei geometrice date.
S-a întâmplat? Să comparăm răspunsurile noastre:
Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, atunci când am înmulțit secvențial cu fiecare termen anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:
Formula derivată este valabilă pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați singuri acest lucru calculând termenii progresiei geometrice cu următoarele condiții: , a.
ai numarat? Să comparăm rezultatele:
De acord că ar fi posibil să găsiți un termen de progresie în același mod ca un termen, totuși, există posibilitatea de a calcula incorect. Și dacă am găsit deja al treilea termen al progresiei geometrice, atunci ce ar putea fi mai simplu decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.
Progresie geometrică în scădere infinită.
Mai recent, am vorbit despre faptul că poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.
De ce crezi că este dat acest nume?
Mai întâi, să scriem o progresie geometrică constând din termeni.
Sa zicem, atunci:
Vedem că fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior cu un factor, dar va exista vreun număr? Veți răspunde imediat - „nu”. De aceea este în scădere infinit - scade și scade, dar nu devine niciodată zero.
Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:
Pe grafice suntem obișnuiți să trasăm dependența de, prin urmare:
Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare am arătat dependența valorii unui membru al unei progresii geometrice de numărul său ordinal, iar în a doua intrare am luat pur și simplu valoarea unui membru al unei progresii geometrice ca , și a desemnat numărul ordinal nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să construim un grafic.
Să vedem ce ai. Iată graficul cu care am venit:
Vezi? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:
Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?
Ai reușit? Iată graficul cu care am venit:
Acum că ai înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știi ce este, știi cum să-i găsești termenul și știi, de asemenea, ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.
Proprietatea progresiei geometrice.
Vă amintiți proprietatea termenilor unei progresii aritmetice? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale termenilor acestei progresii. Vă amintiți? Acest:
Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii unei progresii geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.
Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu progresia aritmetică este ușor și simplu, dar ce zici de aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să notezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.
Vă puteți întreba, ce ar trebui să facem acum? Da, foarte simplu. Mai întâi, să descriem aceste formule în figură și să încercăm să facem cu ele diverse manipulări pentru a ajunge la o valoare.
Să facem abstracție de la numerele care ne sunt date, să ne concentrăm doar pe exprimarea lor prin formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată portocale, cunoscând membrii adiacente acestuia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.
Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:
Din această expresie, după cum puteți vedea, nu o putem exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.
Scădere.
După cum puteți vedea, nici nu putem exprima acest lucru, prin urmare, să încercăm să înmulțim aceste expresii unele cu altele.
Multiplicare.
Acum priviți cu atenție ceea ce avem prin înmulțirea termenilor progresiei geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:
Ghici despre ce vorbesc? Așa e, pentru a descoperi că trebuie să luăm Rădăcină pătrată din numerele de progresie geometrică adiacente celei dorite înmulțite între ele:
Poftim. Tu însuți ai derivat proprietatea progresiei geometrice. Încercați să scrieți această formulă vedere generala. S-a întâmplat?
Ați uitat condiția pentru? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur. Ce se va întâmpla în acest caz? Așa e, prostie completă pentru că formula arată așa:
În consecință, nu uitați de această limitare.
Acum să calculăm cu ce este egal
Răspuns corect - ! Dacă nu l-ai uitat pe al doilea la calcul sens posibil, atunci ești un om grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ce se discută mai jos și fii atent la motivul pentru care este necesar să notezi ambele rădăcini în răspuns.
Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare și cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:
Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă toți termenii ei dați sunt la fel? Calculați q pentru primul și al doilea caz.
Vezi de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului pe care îl cauți depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.
Acum că ați stăpânit punctele principale și ați derivat formula proprietății progresiei geometrice, găsiți, cunoașteți și
Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:
Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile termenilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat inițial formula, la.
Ce ai primit?
Acum uită-te din nou cu atenție.
si corespunzator:
De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai progresiei geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.
Astfel, formula noastră inițială ia forma:
Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu oricare numar natural, care este mai mic. Principalul lucru este că este același pentru ambele numere date.
Exersează mai departe exemple concrete, doar fii extrem de atent!
- , . Găsi.
- , . Găsi.
- , . Găsi.
Hotărât? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.
Să comparăm rezultatele.
În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:
În al treilea caz, la o examinare mai atentă numere de serie numerele care ni s-au dat, înțelegem că nu sunt echidistante față de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar este eliminat la poziție, deci nu se poate aplica formula.
Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem în ce constă fiecare număr dat și numărul pe care îl căutăm.
Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei? Sugerez împărțirea la. Primim:
Înlocuim datele noastre în formula:
Următorul pas pe care îl putem găsi este - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.
Acum să ne uităm din nou la ce avem. Îl avem, dar trebuie să îl găsim și, la rândul său, este egal cu:
Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Înlocuiți în formula:
Raspunsul nostru: .
Încercați să rezolvați singur o altă problemă similară:
Dat: ,
Găsi:
Cât ai primit? Eu am - .
După cum puteți vedea, în esență aveți nevoie amintiți-vă doar o formulă- . Toate restul le puteți retrage singur, fără nicio dificultate, în orice moment. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scrieți cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce este egal fiecare dintre numerele sale, conform formulei descrise mai sus.
Suma termenilor unei progresii geometrice.
Acum să ne uităm la formule care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:
Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțiți toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:
Privește cu atenție: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu, și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?
Acum exprimați termenul progresiei geometrice prin formulă și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:
Grupați expresia. Ar trebui să iei:
Tot ce rămâne de făcut este să exprim:
În consecință, în acest caz.
Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? O serie de numere identice este corectă, deci formula va arăta astfel:
Există multe legende despre progresia aritmetică și geometrică. Una dintre ele este legenda lui Set, creatorul șahului.
Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la sine și i-a ordonat să-i ceară tot ce își dorește, promițându-i că-și va îndeplini și cea mai pricepută dorință.
Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, l-a surprins pe rege cu modestia fără precedent a cererii sale. A cerut să dea un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, un bob de grâu pentru al doilea, un bob de grâu pentru al treilea, un al patrulea etc.
Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regelui, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate pătratele tablei.
Și acum întrebarea: folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?
Să începem să raționăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea etc., atunci vedem că problema este despre o progresie geometrică. Cu ce este egal în acest caz?
Dreapta.
Total pătrate ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, tot ce rămâne este să le introducem în formulă și să calculăm.
Să ne imaginăm cel puțin aproximativ „scara” număr dat, transforma folosind proprietățile gradului:
Desigur, dacă doriți, puteți lua un calculator și calcula cu ce număr ajungeți, iar dacă nu, va trebui să mă credeți pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Acesta este:
quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.
Uf) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați cât de mare ar fi necesar un hambar pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Dacă hambarul are m înălțime și m lățime, lungimea lui ar trebui să se extindă pe km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.
Dacă regele ar fi fost puternic la matematică, ar fi putut să-l invite pe omul de știință însuși să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar fi nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioane, boabele. ar trebui să fie numărat de-a lungul vieții.
Acum să rezolvăm o problemă simplă care implică suma termenilor unei progresii geometrice.
Un elev din clasa 5A Vasya s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane, care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. În clasă sunt doar oameni. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?
Deci, primul termen al progresiei geometrice este Vasya, adică o persoană. Al treilea termen al progresiei geometrice sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a termenilor de progres este egală cu numărul de studenți 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:
Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:
Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” studenților. S-a întâmplat? Uite cum mi se pare:
Calculați singur câte zile ar fi nevoie pentru ca elevii să se îmbolnăvească de gripă dacă fiecare ar infecta o persoană și ar fi o singură persoană în clasă.
Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.
După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare ulterior „aduce” oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată în piramida financiara, în care se dădeau bani dacă aduceai alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în cazul general) nu ar fi adus pe nimeni și, în consecință, ar fi pierdut tot ce a investit în această înșelătorie financiară.
Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un fel deosebit- o progresie geometrică infinit descrescătoare. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.
Deci, mai întâi, să ne uităm din nou la acest desen al unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:
Acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau
Pentru ce ne străduim? Așa este, graficul arată că tinde spre zero. Adică at, va fi aproape egal, respectiv, atunci când calculăm expresia vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.
- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma infinit numarul de membri.
Dacă este specificat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.
Acum haideți să exersăm.
- Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice cu și.
- Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.
Sper că ai fost extrem de atent. Să comparăm răspunsurile noastre:
Acum știți totul despre progresia geometrică și este timpul să treceți de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme de progresie geometrică întâlnite la examen sunt problemele de calcul al dobânzii compuse. Acestea sunt cele despre care vom vorbi.
Probleme la calcularea dobânzii compuse.
Probabil ați auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce înseamnă? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că odată ce înțelegeți procesul în sine, veți înțelege imediat ce legătură are progresia geometrică cu el.
Mergem cu toții la bancă și știm că există condiții diferite pentru depozite: acesta include un termen, servicii suplimentare și dobândă cu două căi diferite calculele sale - simple și complexe.
CU interes simplu totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă spunem că depunem 100 de ruble pentru un an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului vom primi ruble.
Interes compus- aceasta este o opțiune în care apare capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al veniturilor nu din suma inițială, ci din suma depozitului acumulat. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare frecvență. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.
Să presupunem că depunem aceleași ruble anual, dar cu capitalizarea lunară a depozitului. Ce facem?
Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să ne dăm seama pas cu pas.
Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:
De acord?
O putem scoate din paranteze și apoi obținem:
De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu ceea ce am scris la început. Mai rămâne doar să ne dai seama de procente
În enunțul problemei ni se spune despre ratele anuale. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în zecimale, acesta este:
Dreapta? Acum vă puteți întreba, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: enunțul problemei spune despre ANUAL dobânda care se acumulează LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, în consecință, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:
Ti-ai dat seama? Acum încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Ai reușit? Să comparăm rezultatele:
Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: scrieți cât va fi creditat în contul nostru în a doua lună, ținând cont că se acumulează dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce am primit:
Sau, cu alte cuvinte:
Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul acestuia sau, cu alte cuvinte, ce sumă de bani vom primi la sfârșitul lunii.
Făcut? Sa verificam!
După cum puteți vedea, dacă puneți bani într-o bancă timp de un an la o dobândă simplă, veți primi ruble, iar dacă la o dobândă compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar asta se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă capitalizarea este mult mai profitabilă:
Să ne uităm la un alt tip de problemă care implică dobânda compusă. După ceea ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci, sarcina:
Compania Zvezda a început să investească în industrie în 2000, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003 dacă profiturile nu ar fi retrase din circulație?
Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.
Sau putem scrie pe scurt:
Pentru cazul nostru:
2000, 2001, 2002 și 2003.
Respectiv:
ruble
Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici după, nici după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți o problemă privind dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este calculat și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.
Instruire.
- Aflați termenul progresiei geometrice dacă se știe că și
- Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice dacă se știe că și
- Compania MDM Capital a început să investească în industrie în 2003, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2004, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania MSK Flux de fonduri„a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 de dolari, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari este capitalul unei companii mai mare decât al celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?
Raspunsuri:
- Deoarece enunțul problemei nu spune că progresia este infinită și este necesar să se găsească suma unui anumit număr al termenilor săi, calculul se efectuează conform formulei:
Compania MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- crește cu 100%, adică de 2 ori.
Respectiv:
ruble
Compania MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- crește cu, adică cu ori.
Respectiv:
ruble
ruble
Să rezumam.
1) Progresia geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.
2) Ecuația termenilor progresiei geometrice este .
3) poate lua orice valoare, cu excepția și.
- dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive;
- dacă, atunci toți termenii ulterioare ai progresiei semne alternative;
- când - progresia se numește infinit descrescătoare.
4) , cu - proprietatea progresiei geometrice (termeni adiacenți)
sau
, la (termeni echidistanti)
Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri.
De exemplu,
5) Suma termenilor progresiei geometrice se calculează prin formula:
sau
sau
IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.
6) Problemele privind dobânda compusă se calculează și folosind formula celui de-al treilea termen al unei progresii geometrice, cu condiția ca fondurile să nu fi fost retrase din circulație:
PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.
Numitorul progresiei geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.
- Dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
- dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei alternează semne;
- când - progresia se numește infinit descrescătoare.
Ecuația termenilor de progresie geometrică - .
Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau
Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru finalizarea cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.
Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.
Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.
Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată și decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.
Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR
Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
În concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.
„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați-le!
