Conceptul de paralelogram
Definiția 1
Paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt paralele între ele (Fig. 1).
Poza 1.
Un paralelogram are două proprietăți principale. Să le luăm în considerare fără dovezi.
Proprietatea 1: Laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt, respectiv, egale între ele.
Proprietatea 2: Diagonalele desenate într-un paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție.
Caracteristicile paralelogramului
Luați în considerare trei caracteristici ale unui paralelogram și prezentați-le sub formă de teoreme.
Teorema 1
Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale între ele și, de asemenea, paralele, atunci acest patrulater va fi un paralelogram.
Dovada.
Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AB||CD$ și $AB=CD$ Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 2).
Figura 2.
Luați în considerare liniile paralele $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$. Apoi
\[\angle CAB=\angle DCA\]
ca niște colțuri transversale.
Conform criteriului $I$ pentru egalitatea triunghiurilor,
deoarece $AC$ este partea lor comună și $AB=CD$ prin presupunere. Mijloace
\[\angle DAC=\angle ACB\]
Se consideră dreptele $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$; prin ultima egalitate a unghiurilor încrucișate, obținem că $AD||CB$.) Prin urmare, prin definiția lui $1$, acest patrulater este un paralelogram.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2
Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada.
Să ni se dea un patrulater $ABCD$. În care $AD=BC$ și $AB=CD$. Să desenăm în ea o diagonală $AC$ (Fig. 3).
Figura 3
Deoarece $AD=BC$, $AB=CD$ și $AC$ este o latură comună, atunci prin testul de egalitate triunghiului $III$,
\[\triunghi DAC=\triunghi ACB\]
\[\angle DAC=\angle ACB\]
Luați în considerare liniile $AD$ și $CB$ și secantele lor $AC$, prin ultima egalitate a unghiurilor încrucișate obținem acel $AD||CB$. Prin urmare, după definiția lui $1$, acest patrulater este un paralelogram.
\[\angle DCA=\angle CAB\]
Luați în considerare liniile $AB$ și $CD$ și secantele lor $AC$, prin ultima egalitate a unghiurilor încrucișate obținem acel $AB||CD$. Prin urmare, după Definiția 1, acest patrulater este un paralelogram.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 3
Dacă diagonalele desenate într-un patrulater sunt împărțite în două părți egale prin punctul lor de intersecție, atunci acest patrulater este un paralelogram.
Dovada.
Să ni se dea un patrulater $ABCD$. Să desenăm în ea diagonalele $AC$ și $BD$. Lasă-le să se intersecteze în punctul $O$ (Fig. 4).
Figura 4
Deoarece, după condiția $BO=OD,\ AO=OC$, și unghiurile $\angle COB=\angle DOA$ sunt verticale, atunci, prin testul de egalitate triunghi $I$,
\[\triangle BOC=\triunghi AOD\]
\[\angle DBC=\angle BDA\]
Luați în considerare liniile $BC$ și $AD$ și secantele lor $BD$, prin ultima egalitate a unghiurilor încrucișate obținem acel $BC||AD$. De asemenea, $BC=AD$. Prin urmare, după teorema $1$, acest patrulater este un paralelogram.
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică. se află pe linii paralele
Proprietățile paralelogramului: 
Teorema 22.
Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Dovada. Desenați o diagonală AC într-un paralelogram ABCD. Triunghiurile ACD și ACB sunt congruente ca având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale. adiacent acestuia: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (ca unghiuri încrucișate cu drepte paralele AD și BC). Prin urmare, AB=CD și BC=AD ca laturi corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc. Egalitatea acestor triunghiuri implică și egalitatea unghiurilor corespunzătoare ale triunghiurilor:
Teorema 23.
Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt: ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D.
Egalitatea primei perechi provine din egalitatea triunghiurilor ABD și CBD, iar a doua - ABC și ACD.
Teorema 24.
Colțurile învecinate ale unui paralelogram, de ex. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade.
Acest lucru se datorează faptului că sunt colțuri interioare unilaterale.
Teorema 25.
Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul de intersecție.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile BOC și AOD. Conform primei proprietăți, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV și ∠ ОDA=∠ ОВС ca fiind situate peste drepte paralele AD și BC. Prin urmare, triunghiurile BOC și AOD sunt egale ca latură și unghiuri adiacente acestuia. Prin urmare, BO=OD și AO=OC, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc.
Caracteristicile paralelogramului
Teorema 26.
Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și, respectiv, CD, egale (Fig. 2). Să desenăm diagonala AC. Triunghiul ABC și ACD au trei laturi egale. Atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și, prin urmare, AB este paralel cu CD. Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și DIA.
Teorema 27.
Dacă unghiurile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Fie ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, atunci ∠ A+∠ B=180 o iar laturile AD și BC sunt paralele (pe baza dreptelor paralele). De asemenea, dovedim paralelismul laturilor AB și CD și concluzionăm că ABCD este un paralelogram prin definiție.
Teorema 28.
Dacă colțurile adiacente ale patrulaterului, i.e. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade, atunci este un paralelogram.
Dacă unghiurile interioare unilaterale se adună până la 180 de grade, atunci liniile sunt paralele. Aceasta înseamnă că AB este o pereche de CD și BC este o pereche de AD. Un patrulater se dovedește a fi un paralelogram prin definiție.
Teorema 29.
Dacă diagonalele unui patrulater sunt împărțite reciproc în punctul de intersecție în jumătate, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada. Dacă AO=OC, BO=OD, atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca având unghiuri egale (verticale) la vârful O, închise între perechi de laturi egale. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt, de asemenea, egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform caracteristicii 1.
Teorema 30.
Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.
Fie laturile AB și CD paralele și egale în patrulaterul ABCD. Desenați diagonalele AC și BD. Din paralelismul acestor drepte rezultă egalitatea unghiurilor încrucișate ABO=CDO și BAO=OCD. Triunghiurile ABO și CDO sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Prin urmare, AO=OC, BO=OD, i.e. diagonalele punctului de intersecție sunt împărțite în jumătate și patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform caracteristicii 4.
În geometrie, sunt luate în considerare cazuri speciale ale unui paralelogram.
La rezolvarea problemelor pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:
- Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram decupează de acesta un triunghi isoscel
- Bisectoarele unghiurilor interne adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
- Bisectoare care provin din unghiuri interne opuse ale unui paralelogram, paralele între ele sau situate pe o singură linie dreaptă
- Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
- Aria unui paralelogram este jumătate din produsul diagonalelor cu sinusul unghiului dintre ele.
Să luăm în considerare sarcinile în soluția cărora sunt utilizate aceste proprietăți.
Sarcina 1.
Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Soluţie.
1. Triunghi CMD isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.
2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrul ABCD = 20 cm.
Răspuns. 20 cm
Sarcina 2.
Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că patrulaterul dat este un paralelogram.
Soluţie.
1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.
2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a dreptei AD. BE = CF. Prin urmare, linia BC || ANUNȚ. (*)
3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.
4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a liniei drepte CD. AL = BK. Prin urmare, linia AB || CD (**)
5. Condițiile (*), (**) implică faptul că ABCD este un paralelogram.
Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.
Sarcina 3.
Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M, respectiv H, astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,
Soluţie.
1. În triunghiul DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Într-un triunghi dreptunghic DHC Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Sarcina 4. Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală. Soluţie.
1. AO = 2√6. 2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Raspuns: 12.
Sarcina 5. Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor. Soluţie.
Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului să fie φ. 1. Să numărăm două diferite S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Să facem un sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima. Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24. Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24. Raspuns: 24.
Sarcina 6. Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului. Soluţie.
1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD. Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Avem un sistem Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria. Raspuns: 10. Sarcina 7. Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici. Soluţie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă. Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5. 2. Gaseste ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25. În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5. 3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Raspuns: 145.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie? site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi. Următoarea figură prezintă paralelogramul ABCD. Are latura AB paralelă cu latura CD și latura BC paralelă cu latura AD. După cum probabil ați ghicit, un paralelogram este un patrulater convex. Luați în considerare proprietățile de bază ale unui paralelogram. 1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse și laturile opuse sunt egale. Să demonstrăm această proprietate - luați în considerare paralelogramul prezentat în figura următoare. Diagonala BD îl împarte în două triunghiuri egale: ABD și CBD. Ele sunt egale în latura BD și două unghiuri adiacente acesteia, deoarece unghiurile situate la secanta lui BD sunt drepte paralele BC și AD și, respectiv, AB și CD. Prin urmare, AB = CD și 2. Diagonalele paralelogramului sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD. Atunci triunghiul AOB și triunghiul COD sunt egali unul cu celălalt, de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia. (AB=CD, deoarece sunt laturi opuse ale paralelogramului. Și unghiul1 = unghiul2 și unghiul3 = unghiul4 ca unghiuri încrucișate la intersecția dreptelor AB și CD cu secantele AC și respectiv BD.) Rezultă că AO = OC și OB = OD, care și trebuia dovedit. Toate proprietățile principale sunt ilustrate în următoarele trei figuri. „O descoperire științifică majoră oferă o soluție la o problemă majoră, dar în soluționarea oricărei probleme există un sâmbure de descoperire.” Un paralelogram are laturile opuse egale. Dovada. Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O. Un paralelogram are unghiuri opuse. Dovada. Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție este bisectat. Dovada. Fie ABCD un paralelogram dat. Să desenăm diagonala AC. Marcam pe el mijlocul O. Pe continuarea segmentului DO, punem deoparte segmentul OB 1 egal cu DO. În manualele pentru școlile obișnuite (de exemplu, la Pogorelov), se demonstrează astfel: diagonalele împart paralelogramul în 4 triunghiuri. Luați în considerare o pereche și aflați - sunt egale: bazele lor sunt laturi opuse, unghiurile corespunzătoare adiacente acesteia sunt egale ca verticale cu linii paralele. Adică, segmentele diagonalelor sunt egale pe perechi. Toate. Asta e tot? Este amuzant cum această parte este mult mai greu de demonstrat. Apropo, acest lucru rezultă dintr-un rezultat mai general: pentru orice patrulater convex, diagonalele se vor intersecta, pentru orice neconvex, nu. Pe egalitatea triunghiurilor de-a lungul laturii și a două unghiuri adiacente acesteia (al doilea semn al egalității triunghiurilor) și altele. Teorema privind egalitatea a două triunghiuri de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente acesteia, Thales a găsit o aplicație practică importantă. În portul Milet a fost construit un telemetru, care determină distanța până la navă pe mare. Acesta a constat din trei chei antrenate A, B și C (AB = BC) și o linie dreaptă marcată SK, perpendiculară pe CA. Când nava a apărut pe linia dreaptă SC, a fost găsit un punct D astfel încât punctele D, .B și E să fie pe aceeași linie dreaptă. După cum reiese din desen, distanța CD la sol este distanța dorită până la navă. Lucrând la lecție Kuznetsov A.V. Poturnak S.A. Evgheni Petrov Puteți pune o întrebare despre educația modernă, puteți exprima o idee sau rezolva o problemă urgentă la Forumul Educației unde se întrunește la nivel internațional un consiliu educațional de gândire și acțiune proaspătă. După ce a creat blog, Nu numai că îți vei îmbunătăți statutul de profesor competent, ci vei aduce și o contribuție semnificativă la dezvoltarea școlii viitorului. Breasla Liderilor Educației deschide ușa specialiștilor de top și vă invită să cooperați în direcția creării celor mai bune școli din lume.
(
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic, catetul care se află opus unui unghi de 30 o este egal cu jumătate din ipotenuză).
căile din zona sa.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
Proprietățile paralelogramului
BC=AD. Și din egalitatea unghiurilor 1, 2, 3 și 4 rezultă că unghiul A = unghiul 1 + unghiul 3 = unghiul 2 + unghiul 4 = unghiul C.
Subiectul lecției
Obiectivele lecției
Obiectivele lecției
Planul lecției
Introducere
Proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram
Deoarece Δ AOB = Δ COD prin primul semn de egalitate al triunghiurilor (∠ AOB = ∠ COD, ca verticale, AO=OC, DO=OB, prin proprietatea diagonalelor paralelogramelor), atunci AB=CD. În mod similar, din egalitatea triunghiurilor BOC și DOA rezultă că BC=DA. Teorema a fost demonstrată. Proprietatea unghiurilor opuse ale unui paralelogram
Fie ABCD un paralelogram dat. Și lăsați diagonalele sale să se intersecteze în punctul O.
Din proprietățile laturilor opuse ale unui paralelogram demonstrate în teorema pe Δ ABC = Δ CDA pe trei laturi (AB=CD, BC=DA din dovedit, AC este general). Din egalitatea triunghiurilor rezultă că ∠ABC = ∠CDA.
De asemenea, se demonstrează că ∠ DAB = ∠ BCD, care rezultă din ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema a fost demonstrată.Proprietatea diagonalelor unui paralelogram
După teorema anterioară, AB 1 CD este un paralelogram. Prin urmare, linia AB 1 este paralelă cu DC. Dar prin punctul A, o singură linie poate fi trasă paralelă cu DC. Prin urmare, linia AB 1 coincide cu dreapta AB.
De asemenea, se dovedește că BC 1 coincide cu BC. Deci punctul C coincide cu C 1 . paralelogramul ABCD coincide cu paralelogramul AB 1 CD. Prin urmare, diagonalele paralelogramului se intersectează și punctul de intersecție este bisectat. Teorema a fost demonstrată.
S-a dovedit mai sus că punctul de intersecție bisectează diagonalele - dacă există. Raționamentul de mai sus nu dovedește în niciun fel existența lui. Adică, partea din teorema „diagonalele paralelogramelor se intersectează” rămâne nedovedită.
Întrebări
Lista surselor utilizate
