Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:
De exemplu:
Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...
Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:
De exemplu:
Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:
În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:
Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Utilizați împărțirea în două puncte:
Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:
În primul caz (expresie din stânga):
În a doua (expresie din dreapta):
Simți diferența? 4 și 1/9!
Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:
apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!
Și, de asemenea, foarte simplu și tehnica importanta. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul cu orice fracție, de exemplu, la 13/15:
Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.
Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!
Sfaturi practice:
1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Nu este cuvinte uzuale, nu urări bune! Aceasta este o nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri în plus în ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.
2. În exemplele cu tipuri diferite fracții - mergeți la fracții obișnuite.
3. Reducem toate fracțiile până se opresc.
4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).
5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.
Iată sarcinile pe care trebuie neapărat să le îndeplinești. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte...
Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.
Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Doar daca Apoi uita-te la raspunsuri.
Calculati:
Te-ai decis?
Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...
Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Pentru a rezolva diverse probleme de la cursurile de matematică și fizică, trebuie să împărțiți fracții. Este foarte ușor de făcut dacă știi anumite reguli efectuați această operație matematică.
Înainte de a trece la formularea regulii de împărțire a fracțiilor, să ne amintim câțiva termeni matematici:
- Partea superioară a fracției se numește numărător, iar partea de jos este numită numitor.
- La împărțire, numerele se numesc astfel: dividend: divizor = cât
Cum se împarte fracții: fracții simple
Pentru a efectua împărțirea în doi fracții simpleînmulțiți dividendul cu reciproca divizorului. Această fracție se mai numește și inversată deoarece se obține prin schimbarea numărătorului și numitorului. De exemplu:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Cum se împarte fracțiile: fracții mixte
Dacă trebuie să împărțim fracții mixte, atunci totul aici este, de asemenea, destul de simplu și clar. În primul rând, convertim fracția mixtă într-o fracție improprie obișnuită. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numitorul unei astfel de fracții cu un număr întreg și adăugați numărătorul la produsul rezultat. Drept urmare, am primit un numărător nou fracție mixtă, iar numitorul acestuia va rămâne neschimbat. În plus, împărțirea fracțiilor se va efectua exact în același mod ca și împărțirea fracțiilor simple. De exemplu:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Cum se împarte o fracție la un număr
Pentru a împărți o fracție simplă la un număr, acesta din urmă trebuie scris ca o fracție (neregulată). Acest lucru este foarte ușor de făcut: acest număr este scris în locul numărătorului, iar numitorul unei astfel de fracții este egal cu unu. Împărțirea ulterioară se efectuează în mod obișnuit. Să ne uităm la asta cu un exemplu:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Cum să împărțim zecimale
Adesea, un adult are dificultăți în împărțirea unui număr întreg sau a unei fracțiuni zecimale la o fracție zecimală fără ajutorul unui calculator.
Deci pentru a face împărțirea zecimale, trebuie doar să tăiați virgula din divizor și să nu mai acordați atenție acesteia. În dividend, virgula trebuie mutată la dreapta exact în câte locuri a fost în partea fracționară a divizorului, adăugând zerouri dacă este necesar. Și continuă să producă diviziune regulată printr-un număr întreg. Pentru a face acest lucru mai clar, luați în considerare următorul exemplu.
) și numitor cu numitor (se obține numitorul produsului).
Formula pentru înmulțirea fracțiilor:
De exemplu:
Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați dacă fracția poate fi redusă. Dacă puteți reduce fracția, vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.
Împărțirea unei fracții comune la o fracție.
Împărțirea fracțiilor care implică numere naturale.
Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim întregul într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:
Înmulțirea fracțiilor mixte.
Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):
- converti fracțiile mixte în fracții improprii;
- înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor;
- reduceți fracția;
- Dacă obțineți o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-o fracție mixtă.
Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, mai întâi trebuie să le aduceți în formă fracții improprii, iar apoi înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor ordinare.
A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.
Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.
Notă! Pentru a înmulți o fracție cu numar natural Este necesar să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.
Din exemplul dat mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.
Fracții cu mai multe etaje.
În liceu, se întâlnesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:
Pentru a aduce o astfel de fracție la forma ei obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:
Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.
Notă, De exemplu:
Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:
Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să scrieți câteva rânduri în plus în ciornă decât să vă pierdeți în calcule mentale.
2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții, mergeți la tipul de fracții obișnuite.
3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.
4. Transformăm expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite folosind împărțirea prin 2 puncte.
5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.
Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg; trebuie luate în considerare părți sau fracțiuni ale unei anumite măsuri. Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.
Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.
Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum se înmulțesc fracțiile mixte cu diferiți numitori.
Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți
Inițial merită determinat tipuri de fracții:
- corect;
- incorect;
- amestecat.
Apoi, trebuie să vă amintiți cu ce sunt înmulțite numerele fracționale aceiași numitori. Însăși regula acestui proces nu este dificil de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu numitori identici este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.
La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:
A/b * c/d = a*c/ b*d.
Singura diferență este că numărul rezultat sub linia fracțională va fi produsul unor numere diferite și, în mod natural, pătratul lui unu. expresie numerică este imposibil să-l numești.
Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numerele numărătorului doar cu numerele numitorului; factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduceți.
Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Cum funcționează înmulțirea?
Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:
A* b/c = a*b/c.
De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:
d* e/f = e/f:d.
Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.
Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie, poate fi reprezentată și ca formula generala:
A bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.
Acest proces funcționează și în reversul. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.
Înmulțirea fracțiilor improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.
Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diverse variante de programe. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferiteîn numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el; completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.
Subiect operatii aritmetice cu numere fracţionare este relevantă pe tot parcursul educaţiei elevilor de gimnaziu şi liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme se aplică în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă cel mai mult încredere deplină într-o soluție de succes sarcini complexe.
În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea unei persoane să-și mărească numărătorul - meritele - dar oricine își poate reduce numitorul - părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea sa.
Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare deoarece la adunare, numărătorul unei fracții produce o sumă, nu un produs de numere. În consecință, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece această proprietate se ocupă în mod specific de înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci solutie corecta sarcina anterioară arată astfel:
Solutia corecta:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
