Funcția de distribuție conține informații complete despre variabila aleatoare. În practică, funcția de distribuție nu poate fi întotdeauna stabilită; Uneori, astfel de cunoștințe exhaustive nu sunt necesare. Informațiile parțiale despre o variabilă aleatoare sunt furnizate de caracteristici numerice, care, în funcție de tipul de informații, se împart în următoarele grupuri.
1. Caracteristicile poziției unei variabile aleatoare pe axa numerică (mod Lu, mediană Pe mine, valorea estimata M(X)).
2. Caracteristicile împrăștierii unei variabile aleatoare în jurul valorii medii (varianță D(X), in medie deviație standard σ( X)).
3. Caracteristicile formei curbei y = φ( X) (asimetrie La fel de, curtoză Ex).
Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste caracteristici.
Valorea estimata
variabilă aleatorie X indică o valoare medie în jurul căreia sunt grupate toate valori posibile X. Pentru o variabilă aleatorie discretă care poate lua doar un număr finit de valori posibile, așteptarea matematică este suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și probabilitatea acestor valori:
. (2.4)
Pentru o variabilă aleatoare continuă X, având o densitate de distribuție dată φ( X) așteptarea matematică este următoarea integrală: 
. (2.5)
Aici se presupune că integrala improprie converge absolut, i.e. există.
Proprietăți așteptări matematice:
1. DOMNIȘOARĂ) = C, Unde CU = const;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± ALE MELE), Unde XȘi Y– orice variabile aleatoare;
4. M(X∙Y)=M(X)∙ALE MELE), Unde XȘi Y sunt variabile aleatoare independente.
Sunt numite două variabile aleatoare independent
, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă cantitate.
Modă
variabilă aleatoare discretă, notată Lu, se numește valoarea sa cea mai probabilă (Fig. 2.3), iar modul unei variabile aleatoare continue este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă (Fig. 2.4). 
Orez. 2.3 Fig. 2.4
Median
variabilă aleatoare continuă X valoarea lui Me este chemată pentru care este la fel de probabil că se va dovedi a fi valoare aleatorie mai putin sau mai mult Meh, adică
P(X < Eu) = P(X > Meh)
Din definiția mediei rezultă că P(X<Meh) = 0,5, adică F (Meh) = 0,5. Din punct de vedere geometric, mediana poate fi interpretată ca o abscisă în care ordonata φ( X) împarte la jumătate aria limitată de curba de distribuție (Fig. 2.5). În cazul unei distribuții simetrice, mediana coincide cu modul și așteptarea matematică (Fig. 2.6). 
Orez. 2.5 Fig. 2.6
Dispersia.
Varianta unei variabile aleatoare- o măsură a răspândirii unei variabile aleatoare date, adică abaterea acesteia de la așteptarea matematică. Desemnat D[X] în literatura rusă și (engleză) varianţă) în străinătate. În statistică, notația sau este adesea folosită. Rădăcina pătrată a varianței, egală cu , se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și variabila aleatoare în sine, iar varianța este măsurată în pătratele acelei unități.
Din inegalitatea lui Cebyshev rezultă că variabila aleatoare se îndepărtează de așteptările sale matematice cu mai mult de k abateri standard cu probabilitate mai mica de 1/ k². De exemplu, în cel puțin 75% din cazuri, o variabilă aleatorie nu se află la mai mult de două abateri standard față de medie, iar în aproximativ 89% - nu mai mult de trei abateri standard.
Varianta
a unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia de la așteptarea matematică
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Varianta unei variabile aleatoare X Este convenabil să se calculeze folosind formula:
a) pentru o cantitate discretă
; (2.6)
b) pentru o variabilă aleatoare continuă
j( X)d X – 2 . (2.7)
Dispersia are următoarele proprietăți:
1. DC) = 0, unde CU = const;
2. DC× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), Dacă XȘi Y variabile aleatoare independente.
Deviație standard
variabilă aleatorie X se numește rădăcina aritmetică a varianței, adică.
σ( X) = .
Rețineți că dimensiunea σ( X) coincide cu dimensiunea variabilei aleatoare în sine X, deci abaterea standard este mai convenabilă pentru caracterizarea împrăștierii.
O generalizare a caracteristicilor numerice de bază ale variabilelor aleatoare este conceptul de momente ale unei variabile aleatoare.
Momentul inițial al ordinului k
α k variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a mărimii X k, adică α k = M(X k).
Momentul inițial de ordinul întâi este așteptarea matematică a unei variabile aleatorii.
Momentul central al ordinului K
μ k variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a valorii ( X–M(X))k, adică μ k = M(X–M(X))k.
Momentul central de ordinul doi este varianța unei variabile aleatoare.
Pentru o variabilă aleatoare discretă, momentul inițial este exprimat prin suma α k= , iar cel central – prin suma μ k = 
Unde p i = p(X=x i). Pentru momentele inițiale și centrale ale unei variabile aleatoare continue, putem obține următoarele egalități:
α k = , μ k = 
,
unde φ( X) – densitatea de distribuție a variabilei aleatoare X.
Magnitudinea La fel de= μ 3 / σ 3 se numește coeficient de asimetrie
.
Dacă coeficientul de asimetrie este negativ, atunci aceasta indică o influență mare asupra valorii m 3 a abaterilor negative. În acest caz, curba de distribuție (Fig. 2.7) este mai plată la stânga M(X). Dacă coeficientul As este pozitiv, ceea ce înseamnă că influența abaterilor pozitive predomină, atunci curba de distribuție (Fig. 2.7) este mai plată în dreapta. În practică, semnul asimetriei este determinat de locația curbei de distribuție în raport cu modul (punctul maxim al funcției diferențiale). 
Orez. 2.7
Exces
Ek se numeste cantitate
Ek= μ 4 / σ 4 – 3.
Întrebarea 24: Corelație
Corelație (dependență de corelație) - o relație statistică între două sau mai multe variabile aleatoare (sau variabile care pot fi considerate ca atare cu un grad acceptabil de acuratețe). În acest caz, modificările valorilor uneia sau mai multor dintre aceste cantități sunt însoțite de o modificare sistematică a valorilor unei alte cantități sau altor cantități. Măsura matematică a corelației dintre două variabile aleatoare este relație de corelație, sau coeficient de corelație (sau ) . Dacă o modificare a unei variabile aleatoare nu conduce la o modificare naturală a unei alte variabile aleatoare, ci conduce la o modificare a unei alte caracteristici statistice a unei variabile aleatoare date, atunci o astfel de relație nu este considerată corelațională, deși este statistică.
Termenul „corelație” a fost introdus pentru prima dată în uz științific de către paleontologul francez Georges Cuvier în secolul al XVIII-lea. El a dezvoltat „legea corelației” părților și organelor ființelor vii, cu ajutorul căreia se poate restabili aspectul unui animal fosil, având la dispoziție doar o parte din rămășițele sale. Cuvântul „corelație” a fost folosit pentru prima dată în statistică de către biologul și statisticianul englez Francis Galton la sfârșitul secolului al XIX-lea.
Unele tipuri de coeficienți de corelație pot fi pozitivi sau negativi (de asemenea, este posibil să nu existe o relație statistică - de exemplu, pentru variabile aleatoare independente). Dacă se presupune că o relație de ordine strictă este specificată pe valorile variabilelor, atunci corelație negativă- corelație, în care o creștere a unei variabile este asociată cu o scădere a unei alte variabile, iar coeficientul de corelație poate fi negativ; corelație pozitivăîn astfel de condiții, o corelație în care o creștere a unei variabile este asociată cu o creștere a unei alte variabile, iar coeficientul de corelație poate fi pozitiv.
Valorile medii ale variabilelor aleatoare
Să ne prefacem că X– variabilă aleatoare discretă, care în urma experimentului a preluat valorile X 1 , X 2 ,…, x n cu probabilităţi p 1 , p 2 ,…, p n, . Apoi valoarea medie sau așteptarea matematică a valorii X numită suma 
, adică valoarea medie ponderată a lui X, unde ponderile sunt probabilități p i.
Exemplu. Determinați valoarea medie a erorii de reglare e dacă, pe baza unui număr mare de experimente, se stabilește că probabilitatea de eroare p i este egal cu:
| e, % | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 |
| p i | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 0,15 |
1. M[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =
În cazul în care g( X) este o funcție X(și probabilitatea ca X = x i egal cu p i), atunci valoarea medie a funcției este definită ca
Să ne prefacem că X este o variabilă aleatoare cu o distribuție continuă și este caracterizată prin densitatea de probabilitate j( X). Atunci probabilitatea ca X să fie între XȘi X+D X:
Valoarea lui X în acest caz ia aproximativ valoarea X. În limita la D X® 0, putem presupune că incrementul D X numeric egal cu diferența d X.
Prin înlocuirea lui D X= d X, obținem formula exactă pentru calcularea valorii medii X : 
În mod similar pentru g( X): 
De regulă, nu este suficient să cunoaștem doar valoarea medie (așteptările matematice) a unei variabile aleatoare. Pentru a evalua măsura aleatoriei unei cantități (pentru a evalua răspândirea unor valori specifice X raportat la așteptările matematice M[X]) se introduce conceptul de dispersie a unei variabile aleatoare. Dispersia este valoarea medie a abaterii pătrate a fiecărei valori specifice a lui X de la așteptarea matematică. Cu cât dispersia este mai mare, cu atât este mai mare aleatorietatea răspândirii valorii din așteptarea matematică. Dacă variabila aleatoare este discretă, atunci
Pentru o variabilă aleatoare continuă, varianța poate fi scrisă în mod similar:
Dispersia descrie bine răspândirea valorii, dar există un dezavantaj: dimensiunea nu corespunde dimensiunii X. Pentru a scăpa de acest dezavantaj, adesea în aplicații specifice ei consideră nu decât o valoare pozitivă, care se numește deviație standard.
1.3.2.1. Proprietățile așteptărilor matematice
1. Aşteptarea matematică a unei valori non-aleatoare este egală cu această valoare însăşi M[C] = C.
2. Multiplicator non-aleatoriu CU poate fi luat ca un semn al așteptărilor matematice M[CX] = CM.[X].
3. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale acestor variabile aleatoare.
4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor matematice ale acestor variabile (condiția independenței variabilelor aleatoare).
1.3.2.2. Proprietăți de dispersie
1. Dispersia unei cantități nealeatoare CU egal cu zero: D[C]=0.
2. Varianta produsului unui multiplicator non-aleatoriu CU printr-o variabilă aleatoare este egală cu produsul CU 2 pentru varianța variabilei aleatoare.
3. Varianta sumei variabilelor aleatoare independente X 1 și X 2 este egal cu suma varianțelor termenilor
1.3.3. Momente ale unei variabile aleatorii
Lăsa X– variabilă aleatoare continuă. Dacă n este un întreg pozitiv și funcția X n este integrabil pe intervalul (–¥; +¥), apoi valoarea medie
n = 0, 1,…, n
numit momentul de pornire ordine n variabilă aleatoare X.
Este evident că momentul de ordinul zero
,
Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X dată pe un spațiu de probabilitate discret este numărul m =M[X]=∑x i p i dacă seria converge absolut.
Scopul serviciului. Utilizarea serviciului online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare
- Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu sine: M[C]=C, C – constantă;
- M=C M[X]
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] , dacă X și Y sunt independenți.
Proprietăți de dispersie
- Varianta unei valori constante este zero: D(c)=0.
- Factorul constant poate fi scos de sub semnul de dispersie prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Următoarea formulă de calcul este valabilă pentru dispersie:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Aflați așteptările matematice și varianța variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7.
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Pe baza proprietăților dispersiei: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritm pentru calcularea așteptărilor matematice
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; Atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.- Înmulțim perechile unul câte unul: x i cu p i .
- Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i .
De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplul nr. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Găsim așteptările matematice folosind formula m = ∑x i p i .
Așteptări M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Găsim varianța folosind formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianta D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Exemplul nr. 2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Soluţie. Valoarea lui a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08
Exemplul nr. 3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x)=12,96
Soluţie.
Aici trebuie să creați o formulă pentru a găsi varianța d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, trebuie să găsim rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 =8, x 3 =12
Alegeți-l pe cel care îndeplinește condiția x 1
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
Așteptarea este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatorii
Așteptări matematice, definiție, așteptări matematice ale variabilelor aleatoare discrete și continue, eșantion, așteptare condiționată, calcul, proprietăți, probleme, estimarea așteptării, dispersie, funcție de distribuție, formule, exemple de calcul
Extindeți conținutul
Restrângeți conținutul
Așteptările matematice sunt definiția
Unul dintre cele mai importante concepte din statistica matematică și teoria probabilității, care caracterizează distribuția valorilor sau probabilităților unei variabile aleatoare. Exprimat de obicei ca o medie ponderată a tuturor parametrilor posibili ai unei variabile aleatorii. Utilizat pe scară largă în analiza tehnică, studiul seriilor de numere și studiul proceselor continue și consumatoare de timp. Este important în evaluarea riscurilor, prezicerea indicatorilor de preț atunci când se tranzacționează pe piețele financiare și este utilizat în dezvoltarea strategiilor și metodelor de tactici de joc în teoria jocurilor de noroc.
Aşteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuția probabilității unei variabile aleatoare este considerată în teoria probabilității.
Aşteptarea matematică este o măsură a valorii medii a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Așteptarea unei variabile aleatoare X notat cu M(x).
Aşteptarea matematică este
Aşteptarea matematică esteîn teoria probabilității, o medie ponderată a tuturor valorilor posibile pe care le poate lua o variabilă aleatorie.
Aşteptarea matematică este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.
Aşteptarea matematică este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și distanțelor lungi.
Aşteptarea matematică esteîn teoria jocurilor de noroc, suma de câștiguri pe care un jucător poate câștiga sau pierde, în medie, pentru fiecare pariu. În limbajul jocurilor de noroc, aceasta este uneori numită „marginea jucătorului” (dacă este pozitivă pentru jucător) sau „marginea casei” (dacă este negativă pentru jucător).
Aşteptarea matematică este procentul de profit pe câștig înmulțit cu profitul mediu, minus probabilitatea de pierdere înmulțită cu pierderea medie.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare în teoria matematică
Una dintre caracteristicile numerice importante ale unei variabile aleatoare este așteptarea sa matematică. Să introducem conceptul de sistem de variabile aleatoare. Să luăm în considerare un set de variabile aleatoare care sunt rezultatele aceluiași experiment aleator. Dacă este una dintre valorile posibile ale sistemului, atunci evenimentul corespunde unei anumite probabilități care satisface axiomele lui Kolmogorov. O funcție definită pentru orice valori posibile ale variabilelor aleatoare se numește lege de distribuție comună. Această funcție vă permite să calculați probabilitățile oricăror evenimente din. În special, legea distribuției comune a variabilelor aleatoare și, care iau valori din mulțime și, este dată de probabilități.
Termenul de „așteptare matematică” a fost introdus de Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) și provine din conceptul de „valoare așteptată a câștigurilor”, care a apărut pentru prima dată în secolul al XVII-lea în teoria jocurilor de noroc în lucrările lui Blaise Pascal și Christiaan. Huygens. Cu toate acestea, prima înțelegere și evaluare teoretică completă a acestui concept a fost dată de Pafnuty Lvovich Cebyshev (mijlocul secolului al XIX-lea).
Legea distribuției variabilelor numerice aleatoare (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie complet comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare sunt așteptarea matematică, varianța, modul și mediana.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile corespunzătoare. Uneori, așteptarea matematică se numește medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii într-un număr mare de experimente. Din definiția așteptării matematice rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este o variabilă non-aleatorie (constantă).
Așteptarea matematică are o semnificație fizică simplă: dacă plasați o unitate de masă pe o linie dreaptă, plasând o anumită masă în anumite puncte (pentru o distribuție discretă), sau „untând-o” cu o anumită densitate (pentru o distribuție absolut continuă) , atunci punctul corespunzător așteptării matematice va fi coordonata „centrul de greutate” este dreaptă.
Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr care este, așa cum ar fi, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care descrie locația acesteia. pe axa numerică, adică „caracteristicile poziției”.
Dintre caracteristicile unei poziții în teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.
Luați în considerare variabila aleatoare X, având valori posibile x1, x2, …, xn cu probabilităţi p1, p2, …, pn. Trebuie să caracterizăm cu un anumit număr poziția valorilor unei variabile aleatoare pe axa x, ținând cont de faptul că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să folosiți așa-numita „medie ponderată” a valorilor xi, iar fiecare valoare xi în timpul medierii ar trebui luată în considerare cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare X, pe care o notăm M |X|:
Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de așteptare matematică. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.
X este conectat printr-o dependență particulară de media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pe un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip cu dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii se apropie (converge în probabilitate) de așteptările ei matematice. Din prezența unei legături între frecvență și probabilitate se poate deduce drept consecință prezența unei legături similare între media aritmetică și așteptarea matematică. Într-adevăr, luați în considerare variabila aleatoare X, caracterizată printr-o serie de distribuție:
Lasă-l să fie produs N experimente independente, în fiecare dintre ele valoarea X capătă o anumită valoare. Să presupunem că valoarea x1 a apărut m1 ori, valoare x2 a apărut m2 o dată, în sens general xi a aparut de mie ori. Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale valorii X, care, spre deosebire de așteptările matematice M|X| denotăm M*|X|:
Odată cu creșterea numărului de experimente N frecvente pi va aborda (converge în probabilitate) probabilitățile corespunzătoare. În consecință, media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare M|X| cu o creștere a numărului de experimente se va apropia (converge în probabilitate) de așteptările sale matematice. Legătura dintre media aritmetică și așteptarea matematică formulată mai sus constituie conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari.
Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că unele medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice dintr-o serie de observații de aceeași mărime. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape non-aleatorie” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - așteptarea matematică.
Stabilitatea mediilor pe un număr mare de experimente poate fi ușor verificată experimental. De exemplu, la cântărirea unui corp într-un laborator pe cântare precise, în urma cântăririi obținem de fiecare dată o nouă valoare; Pentru a reduce eroarea de observare, cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin și, cu un număr suficient de mare de experimente, practic încetează să se schimbe.
De remarcat că cea mai importantă caracteristică a poziției unei variabile aleatoare - așteptarea matematică - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se compună exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care așteptarea matematică nu există, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge. Cu toate acestea, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ pentru practică. De obicei, variabilele aleatoare cu care ne ocupăm au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare matematică.
Pe lângă cele mai importante caracteristici ale poziției unei variabile aleatoare - așteptarea matematică - în practică, se folosesc uneori și alte caracteristici ale poziției, în special modul și mediana variabilei aleatoare.
Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă” strict vorbind se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Figurile arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.
Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, distribuția se numește „multimodală”.
Uneori există distribuții care au un minim la mijloc, mai degrabă decât un maxim. Astfel de distribuții sunt numite „anti-modale”.
În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. În cazul particular, când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există o așteptare matematică, atunci aceasta coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.
Este adesea folosită o altă caracteristică de poziție - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei utilizată numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal pentru o variabilă discontinuă. Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria cuprinsă de curba de distribuție este împărțită la jumătate.
În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana coincide cu așteptarea și modul matematic.
Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare - o caracteristică numerică a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare. În modul cel mai general, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X(w) este definită ca integrala Lebesgue în raport cu măsura probabilității Rîn spațiul de probabilitate inițial:
Așteptările matematice pot fi calculate și ca integrala Lebesgue a X prin distribuție de probabilitate px cantități X:
Conceptul de variabilă aleatoare cu așteptări matematice infinite poate fi definit într-un mod natural. Un exemplu tipic este timpul de întoarcere a unor plimbări aleatorii.
Folosind așteptarea matematică, sunt determinate multe caracteristici numerice și funcționale ale unei distribuții (ca așteptarea matematică a funcțiilor corespunzătoare ale unei variabile aleatoare), de exemplu, funcția generatoare, funcția caracteristică, momentele de orice ordin, în special dispersia, covarianța .
Așteptarea matematică este o caracteristică a locației valorilor unei variabile aleatoare (valoarea medie a distribuției sale). În această calitate, așteptarea matematică servește ca un parametru de distribuție „tipic” și rolul său este similar cu rolul momentului static - coordonata centrului de greutate al distribuției de masă - în mecanică. Din alte caracteristici ale locației cu ajutorul cărora distribuția este descrisă în termeni generali - mediane, moduri, așteptări matematice diferă prin valoarea mai mare pe care aceasta și caracteristica de împrăștiere corespunzătoare - dispersia - o au în teoremele limită ale teoriei probabilităților. Semnificația așteptării matematice este dezvăluită cel mai pe deplin de legea numerelor mari (inegalitatea lui Cebișev) și legea întărită a numerelor mari.
Așteptarea unei variabile aleatoare discrete
Să existe o variabilă aleatorie care poate lua una dintre mai multe valori numerice (de exemplu, numărul de puncte la aruncarea unui zar poate fi 1, 2, 3, 4, 5 sau 6). Adesea, în practică, pentru o astfel de valoare, se pune întrebarea: ce valoare ia „în medie” cu un număr mare de teste? Care va fi venitul nostru mediu (sau pierderea) din fiecare dintre tranzacțiile riscante?
Să presupunem că există un fel de loterie. Vrem să înțelegem dacă este profitabil sau nu să participăm la el (sau chiar să participăm în mod repetat, în mod regulat). Să presupunem că fiecare al patrulea bilet este un câștigător, premiul va fi de 300 de ruble, iar prețul oricărui bilet va fi de 100 de ruble. Cu un număr infinit de participări, așa se întâmplă. În trei sferturi din cazuri vom pierde, fiecare trei pierderi va costa 300 de ruble. În fiecare al patrulea caz vom câștiga 200 de ruble. (premiul minus costul), adică pentru patru participări pierdem în medie 100 de ruble, pentru una - în medie 25 de ruble. În total, rata medie a ruinei noastre va fi de 25 de ruble pe bilet.
Aruncăm zarurile. Dacă nu trișează (fără a deplasa centrul de greutate etc.), atunci câte puncte vom avea în medie la un moment dat? Deoarece fiecare opțiune este la fel de probabilă, luăm pur și simplu media aritmetică și obținem 3,5. Deoarece aceasta este MEDIE, nu trebuie să vă indignați că nicio aruncare anume nu va da 3,5 puncte - ei bine, acest cub nu are o față cu un astfel de număr!
Acum să rezumam exemplele noastre:
Să ne uităm la poza oferită. În stânga este un tabel cu distribuția unei variabile aleatoare. Valoarea X poate lua una dintre n valori posibile (afișate în linia de sus). Nu pot exista alte sensuri. Sub fiecare valoare posibilă, probabilitatea acesteia este scrisă mai jos. În dreapta este formula, unde M(X) se numește așteptarea matematică. Semnificația acestei valori este că, cu un număr mare de teste (cu un eșantion mare), valoarea medie va tinde către aceeași așteptare matematică.
Să revenim din nou la același cub de joc. Așteptarea matematică a numărului de puncte la aruncare este de 3,5 (calculați-l singur folosind formula dacă nu mă credeți). Să presupunem că ai aruncat-o de câteva ori. Rezultatele au fost 4 și 6. Media a fost 5, ceea ce este departe de 3,5. Au mai aruncat-o o dată, au luat 3, adică în medie (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Cumva departe de așteptarea matematică. Acum fă un experiment nebun - rostogolește cubul de 1000 de ori! Și chiar dacă media nu este exact 3,5, va fi aproape de asta.
Să calculăm așteptările matematice pentru loteria descrisă mai sus. Placa va arăta astfel:
Atunci așteptarea matematică va fi, așa cum am stabilit mai sus:
Un alt lucru este că ar fi dificil să o faci „pe degete” fără o formulă dacă ar exista mai multe opțiuni. Ei bine, să presupunem că ar fi 75% bilete pierdute, 20% bilete câștigătoare și 5% mai ales cele câștigătoare.
Acum câteva proprietăți ale așteptărilor matematice.
Este ușor de dovedit:
Factorul constant poate fi scos ca semn al așteptării matematice, adică:
Acesta este un caz special al proprietății de liniaritate a așteptării matematice.
O altă consecință a liniarității așteptării matematice:
adică așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare sunt egale cu suma așteptărilor matematice ale variabilelor aleatoare.
Fie X, Y variabile aleatoare independente, Apoi:
Acest lucru este, de asemenea, ușor de demonstrat) Muncă X Yîn sine este o variabilă aleatorie și dacă valorile inițiale ar putea lua nȘi m valorile în consecință, atunci X Y poate lua valori nm. Probabilitatea fiecărei valori este calculată pe baza faptului că probabilitățile de evenimente independente sunt înmulțite. Ca rezultat, obținem asta:
Așteptarea unei variabile aleatoare continue
Variabilele aleatoare continue au o astfel de caracteristică precum densitatea distribuției (densitatea probabilității). În esență, caracterizează situația în care o variabilă aleatorie ia mai des unele valori din mulțimea de numere reale și unele mai rar. De exemplu, luați în considerare acest grafic:
Aici X- variabilă aleatorie reală, f(x)- densitatea distribuţiei. Judecând după acest grafic, în timpul experimentelor valoarea X va fi adesea un număr apropiat de zero. Șansele sunt depășite 3 sau să fie mai mic -3 mai degrabă pur teoretic.
Să fie, de exemplu, o distribuție uniformă:
Acest lucru este destul de compatibil cu înțelegerea intuitivă. Să spunem, dacă primim multe numere reale aleatoare cu o distribuție uniformă, fiecare dintre segmente |0; 1| , atunci media aritmetică ar trebui să fie de aproximativ 0,5.
Proprietățile așteptărilor matematice - liniaritate etc., aplicabile pentru variabile aleatoare discrete, sunt de asemenea aplicabile aici.
Relația dintre așteptările matematice și alți indicatori statistici
În analiza statistică, alături de așteptarea matematică, există un sistem de indicatori interdependenți care reflectă omogenitatea fenomenelor și stabilitatea proceselor. Indicatorii de variație nu au adesea semnificație independentă și sunt utilizați pentru analiza ulterioară a datelor. Excepție este coeficientul de variație, care caracterizează omogenitatea datelor, care este o caracteristică statistică valoroasă.
Gradul de variabilitate sau stabilitate a proceselor din știința statistică poate fi măsurat folosind mai mulți indicatori.
Cel mai important indicator care caracterizează variabilitatea unei variabile aleatoare este Dispersia, care este cel mai strâns și direct legat de așteptarea matematică. Acest parametru este utilizat activ în alte tipuri de analize statistice (testarea ipotezelor, analiza relațiilor cauză-efect etc.). La fel ca abaterea liniară medie, varianța reflectă, de asemenea, amploarea răspândirii datelor în jurul valorii medii.
Este util să traducem limbajul semnelor în limbajul cuvintelor. Rezultă că dispersia este pătratul mediu al abaterilor. Adică, valoarea medie este mai întâi calculată, apoi diferența dintre fiecare valoare inițială și medie este luată, pătrată, adăugată și apoi împărțită la numărul de valori din populație. Diferența dintre o valoare individuală și medie reflectă măsura abaterii. Este pătrat astfel încât toate abaterile să devină exclusiv numere pozitive și pentru a evita distrugerea reciprocă a abaterilor pozitive și negative atunci când le însumăm. Apoi, având în vedere abaterile pătrate, calculăm pur și simplu media aritmetică. Medie - pătrat - abateri. Abaterile sunt pătrate și se calculează media. Răspunsul la cuvântul magic „dispersie” se află în doar trei cuvinte.
Cu toate acestea, în forma sa pură, cum ar fi media aritmetică sau indicele, dispersia nu este utilizată. Este mai degrabă un indicator auxiliar și intermediar care este utilizat pentru alte tipuri de analiză statistică. Nici măcar nu are o unitate de măsură normală. Judecând după formulă, acesta este pătratul unității de măsură a datelor originale.
Să măsurăm o variabilă aleatoare N de ori, de exemplu, măsurăm viteza vântului de zece ori și dorim să găsim valoarea medie. Cum este valoarea medie legată de funcția de distribuție?
Sau vom arunca zarurile de un număr mare de ori. Numărul de puncte care va apărea pe zar la fiecare aruncare este o variabilă aleatorie și poate lua orice valoare naturală de la 1 la 6. Media aritmetică a punctelor pierdute calculate pentru toate aruncările de zaruri este, de asemenea, o variabilă aleatorie, dar pentru mari N tinde spre un număr foarte specific – așteptarea matematică Mx. În acest caz Mx = 3,5.
Cum ai obținut această valoare? Lăsa să intre N teste n1 odată ce obții 1 punct, n2 o dată - 2 puncte și așa mai departe. Apoi numărul de rezultate în care a scăzut un punct:
În mod similar, pentru rezultatele când sunt aruncate 2, 3, 4, 5 și 6 puncte.
Să presupunem acum că cunoaștem legea de distribuție a variabilei aleatoare x, adică știm că variabila aleatoare x poate lua valori x1, x2, ..., xk cu probabilități p1, p2, ..., pk.
Așteptarea matematică Mx a unei variabile aleatoare x este egală cu:
Așteptările matematice nu sunt întotdeauna o estimare rezonabilă a unei variabile aleatorii. Astfel, pentru estimarea salariului mediu, este mai rezonabil să folosim conceptul de mediană, adică o astfel de valoare încât numărul de persoane care primesc un salariu mai mic decât mediana și unul mai mare să coincidă.
Probabilitatea p1 ca variabila aleatoare x să fie mai mică decât x1/2 și probabilitatea p2 ca variabila aleatoare x să fie mai mare decât x1/2, sunt aceleași și egale cu 1/2. Mediana nu este determinată în mod unic pentru toate distribuțiile.
Abatere standard sau standardîn statistică se numește gradul de abatere a datelor observaționale sau a seturilor de la valoarea MEDIE. Notat cu literele s sau s. O abatere standard mică indică faptul că datele se grupează în jurul mediei, în timp ce o abatere standard mare indică faptul că datele inițiale sunt situate departe de aceasta. Abaterea standard este egală cu rădăcina pătrată a unei mărimi numită varianță. Este media sumei diferențelor pătrate ale datelor inițiale care se abat de la valoarea medie. Abaterea standard a unei variabile aleatoare este rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În condiții de testare, când trageți la o țintă, calculați dispersia și abaterea standard a variabilei aleatoare:
Variație- fluctuația, variabilitatea valorii unei caracteristici între unitățile populației. Valorile numerice individuale ale unei caracteristici găsite în populația studiată se numesc variante de valori. Insuficiența valorii medii pentru a caracteriza pe deplin populația ne obligă să suplimentăm valorile medii cu indicatori care ne permit să apreciem tipicitatea acestor medii prin măsurarea variabilității (variației) caracteristicii studiate. Coeficientul de variație se calculează folosind formula:
Gama de variație(R) reprezintă diferența dintre valorile maxime și minime ale atributului în populația studiată. Acest indicator oferă cea mai generală idee despre variabilitatea caracteristicii studiate, deoarece arată diferența doar între valorile maxime ale opțiunilor. Dependența de valorile extreme ale unei caracteristici conferă domeniului de variație un caracter instabil, aleatoriu.
Abaterea liniară medie reprezintă media aritmetică a abaterilor absolute (modulo) ale tuturor valorilor populației analizate față de valoarea medie a acestora:
Așteptări matematice în teoria jocurilor de noroc
Aşteptarea matematică este Suma medie de bani pe care un jucător de noroc poate câștiga sau pierde la un anumit pariu. Acesta este un concept foarte important pentru jucător, deoarece este fundamental pentru evaluarea majorității situațiilor de joc. Așteptările matematice sunt, de asemenea, instrumentul optim pentru analizarea aspectului de bază a cardurilor și a situațiilor de joc.
Să presupunem că joci un joc cu monede cu un prieten, pariând în egală măsură 1 USD de fiecare dată, indiferent de ce se întâmplă. Cozile înseamnă că câștigi, capul înseamnă că pierzi. Şansele sunt unu la unu ca să se ridice, deci pariezi de la 1 USD la 1 USD. Astfel, așteptarea ta matematică este zero, pentru că Din punct de vedere matematic, nu poți ști dacă vei conduce sau vei pierde după două aruncări sau după 200.
Câștigul tău orar este zero. Câștigurile pe oră reprezintă suma de bani pe care te aștepți să o câștigi într-o oră. Poți arunca o monedă de 500 de ori într-o oră, dar nu vei câștiga sau pierde pentru că... sansele tale nu sunt nici pozitive, nici negative. Dacă te uiți la asta, din punctul de vedere al unui jucător serios, acest sistem de pariuri nu este rău. Dar aceasta este pur și simplu o pierdere de timp.
Dar să presupunem că cineva dorește să parieze 2 USD față de 1 USD pe același joc. Atunci ai imediat o așteptare pozitivă de 50 de cenți de la fiecare pariu. De ce 50 de cenți? În medie, câștigi un pariu și pierzi al doilea. Pariați pe primul dolar și veți pierde 1 USD, pariați pe al doilea și veți câștiga 2 USD. Pariezi 1 $ de două ori și ești în avans cu 1 $. Deci, fiecare dintre pariurile tale de un dolar ți-a oferit 50 de cenți.
Dacă o monedă apare de 500 de ori într-o oră, câștigurile pe oră vor fi deja de 250 USD, deoarece... În medie, ai pierdut un dolar de 250 de ori și ai câștigat doi dolari de 250 de ori. 500 USD minus 250 USD este egal cu 250 USD, care este câștigurile totale. Vă rugăm să rețineți că valoarea așteptată, care este suma medie pe care o câștigați per pariu, este de 50 de cenți. Ați câștigat 250 USD punând un dolar de 500 de ori, ceea ce înseamnă 50 de cenți pe pariu.
Așteptările matematice nu au nimic de-a face cu rezultatele pe termen scurt. Adversarul tău, care a decis să parieze 2$ împotriva ta, te-ar putea învinge la primele zece aruncări consecutive, dar tu, având un avantaj la pariuri de 2 la 1, toate celelalte lucruri fiind egale, vei câștiga 50 de cenți la fiecare pariu de 1$ în orice pariu. circumstanțe. Nu contează dacă câștigi sau pierzi un pariu sau mai multe pariuri, atâta timp cât ai suficienți bani pentru a acoperi costurile în mod confortabil. Dacă vei continua să pariezi în același mod, atunci, pe o perioadă lungă de timp, câștigurile tale se vor apropia de suma așteptărilor în aruncări individuale.
De fiecare dată când faci un cel mai bun pariu (un pariu care se poate dovedi a fi profitabil pe termen lung), când cotele sunt în favoarea ta, ești obligat să câștigi ceva la el, indiferent dacă îl pierzi sau nu în mână dată. În schimb, dacă faci un pariu underdog (un pariu care este neprofitabil pe termen lung) când șansele sunt împotriva ta, pierzi ceva indiferent dacă câștigi sau pierzi mâna.
Puneți un pariu cu cel mai bun rezultat dacă așteptările dvs. sunt pozitive și este pozitiv dacă șansele sunt de partea dvs. Când plasezi un pariu cu cel mai rău rezultat, ai o așteptare negativă, ceea ce se întâmplă atunci când șansele sunt împotriva ta. Jucătorii serioși pariază doar pe cel mai bun rezultat; dacă se întâmplă cel mai rău, renunță. Ce înseamnă șansele în favoarea ta? S-ar putea să ajungi să câștigi mai mult decât aduc șansele reale. Cotele reale de capete de aterizare sunt 1 la 1, dar obții 2 la 1 datorită cotelor. În acest caz, șansele sunt în favoarea ta. Cu siguranță obțineți cel mai bun rezultat cu o așteptare pozitivă de 50 de cenți per pariu.
Iată un exemplu mai complex de așteptare matematică. Un prieten notează numere de la unu la cinci și pariază 5 USD pe 1 USD că nu vei ghici numărul. Ar trebui să fii de acord cu un astfel de pariu? Care este așteptarea aici?
În medie, vei greși de patru ori. Pe baza acestui fapt, șansele împotriva ta să ghicești numărul sunt 4 la 1. șansele împotriva ta să pierzi un dolar la o singură încercare. Cu toate acestea, câștigi 5 la 1, cu posibilitatea de a pierde 4 la 1. Deci, șansele sunt în favoarea ta, poți lua pariul și spera la cel mai bun rezultat. Dacă faci acest pariu de cinci ori, în medie vei pierde 1 USD de patru ori și vei câștiga 5 USD o dată. Pe baza acestui fapt, pentru toate cele cinci încercări, veți câștiga 1 USD cu o așteptare matematică pozitivă de 20 de cenți per pariu.
Un jucător care va câștiga mai mult decât a pariat, ca în exemplul de mai sus, riscă. Dimpotrivă, își strică șansele atunci când se așteaptă să câștige mai puțin decât a pariat. Un parior poate avea fie o așteptare pozitivă, fie una negativă, care depinde dacă câștigă sau distruge cotele.
Dacă pariezi 50 USD pentru a câștiga 10 USD cu o șansă de 4 la 1 de câștig, vei primi o așteptare negativă de 2 USD, deoarece În medie, veți câștiga 10 USD de patru ori și veți pierde 50 USD o dată, ceea ce arată că pierderea pe pariu va fi de 10 USD. Dar dacă pariezi 30 USD pentru a câștiga 10 USD, cu aceleași șanse de a câștiga 4 la 1, atunci în acest caz ai o așteptare pozitivă de 2 USD, deoarece câștigi din nou 10 USD de patru ori și pierzi 30 USD o dată, pentru un profit de 10 USD. Aceste exemple arată că primul pariu este rău, iar al doilea este bun.
Așteptările matematice sunt centrul oricărei situații de joc. Când o casă de pariuri încurajează fanii fotbalului să parieze 11 dolari pentru a câștiga 10 dolari, el are o așteptare pozitivă de 50 de cenți la fiecare 10 dolari. Dacă cazinoul plătește chiar și bani din linia de trecere în craps, atunci așteptarea pozitivă a cazinoului va fi de aproximativ 1,40 USD pentru fiecare 100 USD, deoarece Acest joc este structurat astfel încât oricine pariază pe această linie pierde în medie 50,7% și câștigă 49,3% din timpul total. Fără îndoială, această așteptare pozitivă aparent minimă este cea care aduce profituri enorme proprietarilor de cazinouri din întreaga lume. După cum a remarcat proprietarul de cazinou din Vegas World, Bob Stupak, „o mie de un procent de probabilitate negativă pe o distanță suficient de lungă îl va ruina pe cel mai bogat om din lume”.
Așteptări când joci Poker
Jocul Poker este cel mai ilustrativ și mai ilustrativ exemplu din punctul de vedere al utilizării teoriei și proprietăților așteptărilor matematice.
Valoarea așteptată în poker este beneficiul mediu dintr-o anumită decizie, cu condiția ca o astfel de decizie să poată fi luată în considerare în cadrul teoriei numerelor mari și distanțelor lungi. Un joc de poker de succes este să accepți întotdeauna mișcări cu valoare așteptată pozitivă.
Semnificația matematică a așteptării matematice atunci când jucăm poker este că adesea întâlnim variabile aleatorii atunci când luăm decizii (nu știm ce cărți are adversarul în mâinile sale, ce cărți vor veni în rundele ulterioare de pariuri). Trebuie să luăm în considerare fiecare dintre soluții din punctul de vedere al teoriei numerelor mari, care afirmă că, la un eșantion suficient de mare, valoarea medie a unei variabile aleatoare va tinde spre așteptările ei matematice.
Dintre formulele particulare pentru calcularea așteptărilor matematice, următoarele sunt cele mai aplicabile în poker:
Când jucați poker, valoarea așteptată poate fi calculată atât pentru pariuri, cât și pentru apeluri. În primul caz, fold equity trebuie luat în considerare, în al doilea, cotele proprii ale băncii. Când evaluați așteptările matematice ale unei anumite mișcări, ar trebui să vă amintiți că un pliu are întotdeauna o așteptare zero. Astfel, aruncarea cărților va fi întotdeauna o decizie mai profitabilă decât orice mișcare negativă.
Așteptările vă spun la ce vă puteți aștepta (profit sau pierdere) pentru fiecare dolar pe care îl riscați. Cazinourile fac bani pentru că așteptările matematice ale tuturor jocurilor jucate în ele sunt în favoarea cazinoului. Cu o serie de jocuri suficient de lungă, vă puteți aștepta ca clientul să-și piardă banii, deoarece „cotele” sunt în favoarea cazinoului. Cu toate acestea, jucătorii profesioniști de cazinou își limitează jocurile la perioade scurte de timp, stivuind astfel șansele în favoarea lor. Același lucru este valabil și pentru investiții. Dacă așteptările tale sunt pozitive, poți câștiga mai mulți bani făcând multe tranzacții într-o perioadă scurtă de timp. Așteptările reprezintă procentul de profit pe câștig înmulțit cu profitul mediu, minus probabilitatea de pierdere înmulțită cu pierderea medie.
Pokerul poate fi considerat și din punctul de vedere al așteptărilor matematice. Puteți presupune că o anumită mișcare este profitabilă, dar în unele cazuri poate să nu fie cea mai bună, deoarece o altă mișcare este mai profitabilă. Să presupunem că ați lovit un full la pokerul cu cinci cărți. Adversarul tău face un pariu. Știi că dacă ridici pariul, el va răspunde. Prin urmare, creșterea pare a fi cea mai bună tactică. Dar dacă ridici pariul, cei doi jucători rămași se vor renunța cu siguranță. Dar dacă suni, ai deplină încredere că ceilalți doi jucători din spatele tău vor face același lucru. Când ridici pariul primești o unitate, iar când doar dai un call primești două. Astfel, apelarea vă oferă o valoare așteptată pozitivă mai mare și va fi cea mai bună tactică.
Așteptarea matematică poate oferi și o idee despre care tactici de poker sunt mai puțin profitabile și care sunt mai profitabile. De exemplu, dacă joci o anumită mână și crezi că pierderea ta va avea o medie de 75 de cenți, inclusiv ante, atunci ar trebui să joci acea mână deoarece acest lucru este mai bine decât plierea când ante este de $1.
Un alt motiv important pentru a înțelege conceptul de valoare așteptată este că îți oferă un sentiment de liniște, indiferent dacă câștigi pariul sau nu: dacă ai făcut un pariu bun sau ai renunțat la momentul potrivit, vei ști că ai câștigat sau nu. a salvat o anumită sumă de bani pe care jucătorul mai slab nu a putut-o salva. Este mult mai greu să renunți dacă ești supărat pentru că adversarul tău a atras o mână mai puternică. Cu toate acestea, banii pe care îi economisiți dacă nu jucați în loc să pariați se adaugă la câștigurile tale pentru noaptea sau lună.
Nu uitați că, dacă v-ați schimba mâinile, adversarul v-ar fi chemat și, așa cum veți vedea în articolul Teorema fundamentală a pokerului, acesta este doar unul dintre avantajele dvs. Ar trebui să fii fericit când se întâmplă asta. Poți chiar să înveți să te bucuri să pierzi o mână pentru că știi că alți jucători din poziția ta ar fi pierdut mult mai mult.
După cum s-a menționat la început în exemplul jocului cu monede, rata orară a profitului este interconectată cu așteptările matematice, iar acest concept este deosebit de important pentru jucătorii profesioniști. Când mergeți să jucați poker, ar trebui să estimați mental cât de mult puteți câștiga într-o oră de joc. În cele mai multe cazuri, va trebui să te bazezi pe intuiția și experiența ta, dar poți folosi și puțină matematică. De exemplu, joci draw lowball și vezi că trei jucători pariază 10 USD și apoi schimbă două cărți, ceea ce este o tactică foarte proastă, poți să-ți dai seama că de fiecare dată când pariază 10 USD, pierd aproximativ 2 USD. Fiecare dintre ei face acest lucru de opt ori pe oră, ceea ce înseamnă că toți trei pierd aproximativ 48 de dolari pe oră. Sunteți unul dintre cei patru jucători rămași care sunt aproximativ egali, așa că acești patru jucători (și voi dintre ei) trebuie să împartă 48 USD, fiecare realizând un profit de 12 USD pe oră. Cotele tale pe oră în acest caz sunt pur și simplu egale cu partea ta din suma de bani pierdută de trei jucători răi într-o oră.
Pe o perioadă lungă de timp, câștigurile totale ale jucătorului sunt suma așteptărilor sale matematice în mâinile individuale. Cu cât joci mai multe mâini cu așteptări pozitive, cu atât câștigi mai mult și, invers, cu cât joci mai multe mâini cu așteptări negative, cu atât pierzi mai mult. Ca rezultat, ar trebui să alegeți un joc care vă poate maximiza anticiparea pozitivă sau vă poate anula anticiparea negativă, astfel încât să vă puteți maximiza câștigurile pe oră.
Așteptări matematice pozitive în strategia de joc
Dacă știi să numeri cărțile, poți avea un avantaj față de cazinou, atâta timp cât ei nu observă și te dau afară. Cazinourile iubesc jucătorii beți și nu tolerează jucătorii care numără cărțile. Un avantaj îți va permite să câștigi de mai multe ori decât pierzi în timp. O bună gestionare a banilor folosind calculele valorii așteptate vă poate ajuta să obțineți mai mult profit din avantajul dvs. și să vă reduceți pierderile. Fără un avantaj, ar fi mai bine să dai banii unor organizații de caritate. În jocul de pe bursă, avantajul este dat de sistemul de joc, care creează profituri mai mari decât pierderile, diferențele de preț și comisioanele. Nicio sumă de gestionare a banilor nu poate salva un sistem de joc prost.
O așteptare pozitivă este definită ca o valoare mai mare decât zero. Cu cât acest număr este mai mare, cu atât așteptările statistice sunt mai puternice. Dacă valoarea este mai mică decât zero, atunci și așteptarea matematică va fi negativă. Cu cât modulul valorii negative este mai mare, cu atât situația este mai proastă. Dacă rezultatul este zero, atunci așteptarea este pragul de rentabilitate. Poți câștiga doar atunci când ai o așteptare matematică pozitivă și un sistem de joc rezonabil. A juca prin intuiție duce la dezastru.
Așteptări matematice și tranzacționare cu acțiuni
Așteptările matematice sunt un indicator statistic destul de utilizat și popular atunci când se efectuează tranzacții bursiere pe piețele financiare. În primul rând, acest parametru este utilizat pentru a analiza succesul tranzacționării. Nu este greu de ghicit că cu cât această valoare este mai mare, cu atât mai multe motive pentru a considera comerțul studiat cu succes. Desigur, analiza muncii unui comerciant nu poate fi efectuată numai folosind acest parametru. Cu toate acestea, valoarea calculată, în combinație cu alte metode de evaluare a calității muncii, poate crește semnificativ acuratețea analizei.
Așteptarea matematică este adesea calculată în serviciile de monitorizare a contului de tranzacționare, ceea ce vă permite să evaluați rapid munca efectuată la depozit. Excepțiile includ strategii care folosesc tranzacții neprofitabile „să ședeți”. Un comerciant poate fi norocos de ceva timp și, prin urmare, este posibil să nu existe deloc pierderi în munca sa. În acest caz, nu se va putea ghida doar după așteptarea matematică, deoarece riscurile folosite în lucrare nu vor fi luate în considerare.
În tranzacționarea pe piață, așteptarea matematică este folosită cel mai adesea atunci când se prezică profitabilitatea oricărei strategii de tranzacționare sau când se prezică venitul unui comerciant pe baza datelor statistice din tranzacțiile sale anterioare.
În ceea ce privește gestionarea banilor, este foarte important să înțelegeți că atunci când faceți tranzacții cu așteptări negative, nu există o schemă de gestionare a banilor care să poată aduce cu siguranță profituri mari. Dacă vei continua să joci la bursă în aceste condiții, atunci indiferent de modul în care îți gestionezi banii, îți vei pierde întregul cont, oricât de mare ar fi fost la început.
Această axiomă este valabilă nu numai pentru jocurile sau tranzacțiile cu așteptări negative, ci și pentru jocurile cu șanse egale. Prin urmare, singurul moment în care aveți șansa de a profita pe termen lung este dacă luați tranzacții cu valoare așteptată pozitivă.
Diferența dintre așteptarea negativă și așteptarea pozitivă este diferența dintre viață și moarte. Nu contează cât de pozitivă sau cât de negativă este așteptarea; Tot ce contează este dacă este pozitiv sau negativ. Prin urmare, înainte de a lua în considerare gestionarea banilor, ar trebui să găsiți un joc cu așteptări pozitive.
Dacă nu ai acel joc, atunci toată gestionarea banilor din lume nu te va salva. Pe de altă parte, dacă aveți o așteptare pozitivă, puteți, printr-un management adecvat al banilor, să o transformați într-o funcție de creștere exponențială. Nu contează cât de mică este așteptarea pozitivă! Cu alte cuvinte, nu contează cât de profitabil este un sistem de tranzacționare bazat pe un singur contract. Dacă aveți un sistem care câștigă 10 USD per contract per tranzacție (după comisioane și derapaj), puteți utiliza tehnici de gestionare a banilor pentru a-l face mai profitabil decât un sistem care are o medie de 1.000 USD per tranzacție (după deducerea comisiilor și derapaj).
Ceea ce contează nu este cât de profitabil a fost sistemul, ci cât de sigur se poate spune că sistemul prezintă cel puțin profit minim în viitor. Prin urmare, cea mai importantă pregătire pe care o poate face un comerciant este să se asigure că sistemul va afișa o valoare așteptată pozitivă în viitor.
Pentru a avea o valoare așteptată pozitivă în viitor, este foarte important să nu limitezi gradele de libertate ale sistemului tău. Acest lucru se realizează nu numai prin eliminarea sau reducerea numărului de parametri care trebuie optimizați, ci și prin reducerea cât mai multor reguli de sistem. Fiecare parametru pe care îl adăugați, fiecare regulă pe care o faceți, fiecare modificare mică pe care o faceți sistemului reduce numărul de grade de libertate. În mod ideal, trebuie să construiți un sistem destul de primitiv și simplu, care va genera în mod constant profituri mici pe aproape orice piață. Din nou, este important să înțelegeți că nu contează cât de profitabil este sistemul, atâta timp cât este profitabil. Banii pe care îi câștigați în tranzacționare vor fi câștigați printr-un management eficient al banilor.
Un sistem de tranzacționare este pur și simplu un instrument care vă oferă o valoare așteptată pozitivă, astfel încât să puteți utiliza gestionarea banilor. Sistemele care funcționează (afișează cel puțin profituri minime) doar pe una sau câteva piețe, sau care au reguli sau parametri diferiți pentru piețe diferite, cel mai probabil nu vor funcționa în timp real suficient de mult. Problema cu majoritatea comercianților orientați tehnic este că ei petrec prea mult timp și efort optimizând diferitele reguli și valori ale parametrilor sistemului de tranzacționare. Acest lucru dă rezultate complet opuse. În loc să irosești energie și timp pe calculator pentru a crește profiturile sistemului de tranzacționare, direcționează-ți energia către creșterea nivelului de fiabilitate al obținerii unui profit minim.
Știind că managementul banilor este doar un joc de numere care necesită utilizarea așteptărilor pozitive, un comerciant poate înceta să caute „Sfântul Graal” al tranzacționării cu acțiuni. În schimb, poate începe să-și testeze metoda de tranzacționare, să afle cât de logică este această metodă și dacă oferă așteptări pozitive. Metodele adecvate de gestionare a banilor, aplicate oricăror metode de tranzacționare, chiar și foarte mediocre, vor face singure restul muncii.
Pentru ca orice comerciant să reușească în munca sa, el trebuie să rezolve trei sarcini cele mai importante: . Pentru a se asigura că numărul de tranzacții reușite depășește greșelile și calculele greșite inevitabile; Configurați-vă sistemul de tranzacționare astfel încât să aveți oportunitatea de a câștiga bani cât mai des posibil; Obțineți rezultate pozitive stabile din operațiunile dvs.
Și aici, pentru noi, comercianții care lucrează, așteptările matematice ne pot fi de mare ajutor. Acest termen este unul dintre cei cheie în teoria probabilității. Cu ajutorul acestuia, puteți oferi o estimare medie a unei valori aleatorii. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt similare cu centrul de greutate, dacă vă imaginați toate probabilitățile posibile ca puncte cu mase diferite.
În legătură cu o strategie de tranzacționare, așteptarea matematică a profitului (sau pierderii) este cel mai adesea folosită pentru a evalua eficacitatea acesteia. Acest parametru este definit ca suma produselor nivelurilor date de profit și pierdere și probabilitatea apariției acestora. De exemplu, strategia de tranzacționare dezvoltată presupune că 37% din toate tranzacțiile vor aduce profit, iar partea rămasă - 63% - va fi neprofitabilă. În același timp, venitul mediu dintr-o tranzacție reușită va fi de 7 USD, iar pierderea medie va fi de 1,4 USD. Să calculăm așteptările matematice de tranzacționare folosind acest sistem:
Ce înseamnă acest număr? Se spune că, urmând regulile acestui sistem, în medie vom primi 1.708 USD din fiecare tranzacție încheiată. Deoarece ratingul de eficiență rezultat este mai mare decât zero, un astfel de sistem poate fi utilizat pentru muncă reală. Dacă, ca urmare a calculului, așteptarea matematică se dovedește a fi negativă, atunci aceasta indică deja o pierdere medie și o astfel de tranzacționare va duce la ruină.
Suma profitului pe tranzacție poate fi exprimată și ca valoare relativă sub formă de %. De exemplu:
– procent din venit la 1 tranzacție - 5%;
– procentul operațiunilor de tranzacționare reușite - 62%;
– procent de pierdere la 1 tranzacție - 3%;
– procentul tranzacțiilor nereușite - 38%;
Adică comerțul mediu va aduce 1,96%.
Este posibil să se dezvolte un sistem care, în ciuda predominării tranzacțiilor neprofitabile, va produce un rezultat pozitiv, deoarece MO>0.
Cu toate acestea, așteptarea singură nu este suficientă. Este dificil să câștigi bani dacă sistemul oferă foarte puține semnale de tranzacționare. În acest caz, profitabilitatea acestuia va fi comparabilă cu dobânda bancară. Fiecare operațiune să producă în medie doar 0,5 dolari, dar dacă sistemul implică 1000 de operațiuni pe an? Aceasta va fi o sumă foarte semnificativă într-un timp relativ scurt. De aici rezultă în mod logic că o altă caracteristică distinctivă a unui sistem de tranzacționare bun poate fi considerată o perioadă scurtă de deținere a pozițiilor.
Surse și link-uri
dic.academic.ru – dicționar academic online
mathematics.ru – site educațional în matematică
nsu.ru – site-ul web educațional al Universității de Stat din Novosibirsk
webmath.ru este un portal educațional pentru studenți, solicitanți și școlari.
site-ul educațional de matematică exponenta.ru
ru.tradimo.com – școală de tranzacționare online gratuită
crypto.hut2.ru – resursă informațională multidisciplinară
poker-wiki.ru – enciclopedie gratuită a pokerului
sernam.ru – Biblioteca științifică a publicațiilor selectate de științe naturale
reshim.su – site-ul web VOM REZOLVA problemele legate de cursurile de testare
unfx.ru – Forex pe UNFX: instruire, semnale de tranzacționare, management al încrederii
slovopedia.com – Marele Dicţionar Enciclopedic Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Ghidul tău în lumea pokerului
statanaliz.info – blog de informații „Analiza datelor statistice”
forex-trader.rf – portal Forex-Trader
megafx.ru – analizele Forex actuale
fx-by.com – totul pentru un comerciant
– numărul băieților din 10 nou-născuți.
Este absolut clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar următorii zece copii născuți pot include:
Sau băieți - unul si numai unul din opțiunile enumerate.
Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:
- distanta de saritura in lungime (în unele unități).
Nici măcar un maestru al sportului nu o poate prezice :)
Totuși, ipotezele tale?
2) Variabilă aleatoare continuă – acceptă Toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.
Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională
Mai întâi, să analizăm variabila aleatoare discretă, apoi - continuu.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
- Acest corespondenţăîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel: 
Termenul apare destul de des rând
distributie, dar în unele situații sună ambiguu, așa că voi rămâne la „lege”.
Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare Neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:
sau, dacă este scris condensat:
Deci, de exemplu, legea distribuției probabilității a punctelor aruncate pe un zar are următoarea formă: 
Fara comentarii.
Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua numai valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:
Exemplul 1
Un joc are următoarea lege de distribuție câștigătoare: 
...probabil că ai visat de mult timp la astfel de sarcini :) Îți spun un secret - și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.
Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu: 
Demascarea „partizanului”: 
– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.
Control: de asta trebuia să ne asigurăm.
Răspuns:
Nu este neobișnuit când trebuie să întocmești singur o lege de distribuție. Pentru aceasta folosesc definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:
Exemplul 2
Cutia conține 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă câte 1000 de ruble fiecare, iar restul - câte 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege pentru distribuirea unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras la întâmplare din casetă.
Soluţie: după cum ați observat, valorile unei variabile aleatoare sunt de obicei plasate în în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.
Sunt 50 de astfel de bilete în total - 12 = 38, și conform definiție clasică:
– probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să fie învins.
În alte cazuri, totul este simplu. Probabilitatea de a câștiga ruble este:
Verificați: – și acesta este un moment deosebit de plăcut al unor astfel de sarcini!
Răspuns: legea dorită de distribuire a câștigurilor: 
Următoarea sarcină este pe care o puteți rezolva singur:
Exemplul 3
Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.
...știam că ți-a fost dor de el :) Să ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.
Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică poate fi util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .
Așteptarea unei variabile aleatoare discrete
În termeni simpli, asta este valoarea medie aşteptată când testarea se repetă de mai multe ori. Lăsați variabila aleatoare să ia valori cu probabilități 
respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale la probabilitățile corespunzătoare:
sau prăbușit: 
Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:
Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic: 
Apare întrebarea: este profitabil să joci acest joc? ...cine are impresii? Așa că nu o poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată după probabilitatea de câștig:
Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.
Nu ai încredere în impresiile tale - ai încredere în cifre!
Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung ne așteaptă o ruină inevitabilă. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.
Din toate cele de mai sus rezultă că așteptarea matematică nu mai este o valoare RANDOM.
Sarcina creativă pentru cercetare independentă:
Exemplul 4
Domnul X joacă la ruleta europeană folosind următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe „roșu”. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - câștigurile acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copecul cel mai apropiat. Câți in medie Pierde jucătorul pentru fiecare sută pe care a pariat?
Referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). Dacă apare un „roșu”, jucătorul este plătit dublu pariul, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului
Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilitate. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege sau tabele de distribuție, deoarece s-a stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Singurul lucru care se schimbă de la sistem la sistem este
