Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât precedentul cu aceeași cantitate.

Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.

Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale progresiei aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Aici era: Fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, progresia aritmetică va dispărea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, noi termeni și denumiri apar într-un subiect nou. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- este necesara diferenta adăuga La Al patrulea, bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja un număr negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați prin decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d nevoie de la orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problemă! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera A. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).

Se întâmplă progrese finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Este dată o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5Și d = -2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen s-a dovedit a fi mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Asta este. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.

Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați membrii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?

Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.

Raspuns: nu.

Iată o problemă bazată pe opțiune reală GIA:

4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consistent" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:

Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!

Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție am analizat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Motto-ul lecției noastre vor fi cuvintele matematicianului rus V.P. Ermakova: „În matematică, ar trebui să ne amintim nu formulele, ci procesele de gândire.”

În timpul orelor

Formularea problemei

Pe tablă este un portret al lui Gauss. Un profesor sau elev căruia i s-a dat sarcina de a pregăti un mesaj în prealabil spune că atunci când Gauss era la școală, profesorul le-a cerut elevilor să adună toate numerele naturale de la 1 la 100. Micul Gauss a rezolvat această problemă într-un minut.

Întrebare . Cum a primit Gauss răspunsul?

Găsirea soluțiilor

Elevii își exprimă ipotezele, apoi rezumă: realizând că sumele sunt 1 + 100, 2 + 99 etc. sunt egale, Gauss a înmulțit 101 cu 50, adică cu numărul de astfel de sume. Cu alte cuvinte, el a observat un model care este inerent progresiei aritmetice.

Derivarea formulei sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice

Notează subiectul lecției pe tablă și în caiete. Elevii împreună cu profesorul notează concluzia formulei:

Lăsa A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; ...; un n – 2 ; un n – 1 ; un n- progresia aritmetica.

Consolidare primară

1. Utilizând formula (1), rezolvăm problema lui Gauss:

2. Folosind formula (1), rezolvați problemele oral (condițiile acestora sunt scrise pe tablă sau cod pozitiv), ( un n) - progresie aritmetică:

A) A 1 = 2, A 10 = 20. S 10 - ?

b) A 1 = –5, A 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) A 1 = –2, A 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) A 1 = –5, A 11 = 5. S 11 - ?

3. Finalizați sarcina.

Dat: ( un n) - progresie aritmetică;

A 1 = 3, A 60 = 57.

Găsi: S 60 .

Soluţie. Să folosim formula sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice

Răspuns: 1800.

Întrebare suplimentară. Câte tipuri de probleme diferite pot fi rezolvate folosind această formulă?

Răspuns. Patru tipuri de sarcini:

Găsiți suma S n;

Găsiți primul termen al unei progresii aritmetice A 1 ;

Găsi n al treilea termen al unei progresii aritmetice un n;

Aflați numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.

4. Completați sarcina: nr. 369(b).

Aflați suma primilor șaizeci de termeni ai progresiei aritmetice ( un n), Dacă A 1 = –10,5, A 60 = 51,5.

Soluţie.

Răspuns: 1230.

Întrebare suplimentară. Scrieți formula n al treilea termen al unei progresii aritmetice.

Răspuns: un n = A 1 + d(n – 1).

5. Calculați formula pentru primii nouă termeni ai progresiei aritmetice ( b n),
Dacă b 1 = –17, d = 6.

Este posibil să se calculeze imediat folosind o formulă?

Nu, pentru că al nouălea termen este necunoscut.

Cum să-l găsesc?

Conform formulei n al treilea termen al unei progresii aritmetice.

Soluţie. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Răspuns: 63.

Întrebare. Este posibil să găsiți suma fără a calcula al nouălea termen al progresiei?

Formularea problemei

Problemă: obținerea formulei sumei n primii termeni ai unei progresii aritmetice, cunoscându-i primul termen și diferența d.

(Deducerea unei formule la tablă de către un student.)

Să rezolvăm numărul 371(a) folosind noua formulă (2):

Să stabilim verbal formulele (2) ( condiţiile sarcinilor sunt scrise pe tablă).

(un n

1. A 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. A 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Aflați de la elevi ce întrebări sunt neclare.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Dat: (un n) - progresie aritmetică.

1. A 1 = –3, A 6 = 21. S 6 - ?

2. A 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Opțiunea 2

Dat: (un n) - progresie aritmetică.

1.A 1 = 2, A 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.A 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Elevii fac schimb de caiete și își verifică reciproc soluțiile.

Rezumați învățarea materialului pe baza rezultatelor muncii independente.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să zicem că avem succesiune de numere, în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o introducem forma generala si obtinem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică formată din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

termenul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a întrebat următoarea problemă în clasă: „Calculează suma tuturor numere naturale de la la (după alte surse până la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire mai atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.

Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ni s-a dat? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, în tot acest timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.

De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizile bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

ÎN în acest caz, Progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

Instruire

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

- o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. El a observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numere cu două cifre, multipli.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns:
Dat: . Găsi: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Ce punctul principal formule?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI " n" .

Desigur, trebuie să cunoști și primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri nu puteți nota o anumită progresie.

Memorarea (sau cribing) acestei formule nu este suficientă. Trebuie să-i înțelegeți esența și să aplicați formula în diverse probleme. Și, de asemenea, să nu uite la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu știu. Si aici cum să-ți amintești Dacă este necesar, cu siguranță te voi sfătui. Pentru cei care finalizează lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne uităm la formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general? Apropo, aruncați o privire dacă nu l-ați citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce este al n-lea termen.

Progresia în general poate fi scrisă ca o serie de numere:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru, a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - s un 120.

Cum îl putem defini în termeni generali? orice termenul unei progresii aritmetice, cu orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Litera n ascunde toate numerele de membru simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresia aritmetică. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și rezolvă o grămadă de alte probleme de progres. Vei vedea singur mai departe.

În formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- primul termen al unei progresii aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula conectează parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dȘi n. Toate problemele de progresie gravitează în jurul acestor parametri.

Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, problema poate spune că progresia este specificată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate fi o fundătură... Nu există nici o serie, nici o diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor de înțeles că în această progresie a 1 =5 și d=2.

Și poate fi și mai rău!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, Da, deschideți parantezele și aduceți altele asemănătoare? Obținem o nouă formulă:

a n = 3 + 2n.

Acest Doar nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se ascunde capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul termen este cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În problemele de progresie există o altă notație - un n+1. Acesta este, după cum ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm un n al cincilea termen atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 găsite în formulele de recurenţă. Nu vă fie frică de acest cuvânt înfricoșător!) Acesta este doar o modalitate de a exprima un membru al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind o formulă recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Cum putem număra imediat, să zicem, al douăzecilea termen? un 20? Dar nu există nicio cale!) Până nu aflăm al 19-lea termen, nu îl putem număra pe al 20-lea. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recurentă și formula celui de-al n-lea termen. Funcționează recurent numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen este prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Fără a calcula întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, este ușor să transformi o formulă recurentă într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma ei obișnuită și lucrați cu ea. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în Academia de Științe de Stat.

Aplicarea formulei pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației unei progresii aritmetice. Adăugați și adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. Puteți să-l cronometrați.) Să decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 =3, d=1/6. Rămâne să ne dăm seama ce este egal n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Deci scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuim toate numerele în formulă și calculăm:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Asta este. La fel de repede se putea găsi termenul cinci sute al zecelea, iar o mie și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze, și numărăm.

Permiteți-mi să vă reamintesc ideea: această formulă vă permite să găsiți orice termen de progresie aritmetică CU NUMĂRUL LUI " n" .

Să rezolvăm problema într-un mod mai viclean. Să întâlnim următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n), dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă spun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți cu mâinile, chiar în caiet:

a n = a 1 + (n-1)d

Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Asta e? Dacă crezi că asta este, atunci nu vei rezolva problema, da...

Mai avem un număr n! In conditie a 17 =-2 ascuns doi parametri. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea termen (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „fleeac” alunecă adesea pe lângă cap și fără el, (fără „fleeac”, nu cap!) problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să înlocuim:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Asta e practic tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să-l calculăm. Raspunsul va fi: a 1 = 6.

Această tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - este de mare ajutor în sarcini simple. Ei bine, desigur, trebuie să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

Un alt puzzle popular:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Să luăm în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (voi evidenția în special!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți acest lucru în formula:

12=2 + (15-1)d

Facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcinile pentru un n, un 1Și d hotărât. Tot ce rămâne este să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute de noi în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n- acesta este un membru al progresiei cu un număr n...Și îl cunoaștem pe acest membru al progresiei! Este 99. Nu-i știm numărul. n, Deci, acest număr este ceea ce trebuie să găsiți. Inlocuim termenul progresiei 99 in formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):

Determinați dacă numărul 117 este membru al progresiei aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există parametri? Hm... De ce ni se dau ochi?) Vedem primul termen al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 = -3,6. Diferență d Poți spune din serial? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Deci, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne să ne ocupăm de numărul necunoscut n iar numărul de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că era dat termenul progresiei. Dar aici nici nu știm... Ce să facem!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Porniți-vă abilitățile creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da, da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie putem trage? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între termenii o sută și primul și o sută și al doilea. Dacă numărul s-a dovedit natural, adică este un întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

O sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

O progresie aritmetică este dată de condiția:

a n = -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru este fatal greșit!) Deoarece formula din problemă este modificată. Primul termen al progresiei aritmetice în el ascuns. Este în regulă, îl vom găsi acum.)

La fel ca în problemele anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

Căutăm al zecelea termen în același mod:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Asta este.

Și acum, pentru cei care au citit aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a examenului de stat sau a examenului unificat de stat, ați uitat formula utilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Îmi amintesc ceva, dar cumva nesigur... Or n acolo, sau n+1 sau n-1... Cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar pentru încredere și decizia corectă cu siguranță suficient!) Pentru a trage o concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenați o linie numerică și marcați-o pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notăm diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: ce înseamnă al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu degeaba evidențiez câteva cuvinte cu caractere aldine. Bine, încă un pas).

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, Mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică la număr n, numărul de spații voi n-1. Prin urmare, formula va fi (fără variații!):

a n = a 1 + (n-1)d

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți introduce o imagine în ecuație...

Sarcini pentru soluție independentă.

A încălzi:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema poate fi rezolvată în 20 de secunde... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată folosind atât imaginea, cât și formula. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, nu vrei să faci un desen?) Desigur! Mai bine dupa formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este specificată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de termen... Nu toată lumea este capabilă de o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condițiilor sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici termeni pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este egal cu -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este egală cu zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da...) Metoda „degetului” nu va funcționa aici. Va trebui să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? Se întâmplă. Apropo, există un punct subtil în ultima sarcină. Va fi necesară atenție când citiți problema. Și logica.

Soluția tuturor acestor probleme este discutată în detaliu în Secțiunea 555. Și elementul de fantezie pentru al patrulea și punctul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme care implică formula celui de-al n-lea termen - totul este descris. Vă recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există Două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

De atunci:

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să, ah, atunci:

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Apoi:

termenul anterior al progresiei este:
următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

În acest caz, progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Instruire

Sarcini:

Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).
Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:
Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:
Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:
Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

- o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:

, unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns:
Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:
În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm traseul parcurs în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns:
Dat: . Găsi: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.