Instrucțiuni
Dacă graficul este o dreaptă care trece prin originea coordonatelor și formează un unghi α cu axa OX (unghiul de înclinare al dreptei față de semiaxa pozitivă OX). Funcția care descrie această linie va avea forma y = kx. Coeficientul de proporționalitate k este egal cu tan α. Dacă o linie dreaptă trece prin sferturile de coordonate 2 și 4, atunci k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 si functia creste.Sa reprezinte o dreapta situata in moduri diferite fata de axele de coordonate. Aceasta este o funcție liniară și are forma y = kx + b, unde variabilele x și y sunt la prima putere, iar k și b pot fi fie pozitive, fie negative. valori negative sau egal cu zero. Linia este paralelă cu dreapta y = kx și se decupează pe axa |b| unitati. Dacă dreapta este paralelă cu axa absciselor, atunci k = 0, dacă axa ordonatelor, atunci ecuația are forma x = const.
O curbă formată din două ramuri situate în sferturi diferite și simetrice față de originea coordonatelor este o hiperbolă. Acest grafic este dependența inversă a variabilei y față de x și este descris de ecuația y = k/x. Aici k ≠ 0 este coeficientul de proporționalitate. Mai mult, dacă k > 0, funcția scade; dacă k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Funcția pătratică are forma y = ax2 + bx + c, unde a, b și c sunt mărimi constante și a 0. Când este îndeplinită condiția b = c = 0, ecuația funcției arată ca y = ax2 (cel mai simplu caz ), iar graficul său este o parabolă care trece prin origine. Graficul funcției y = ax2 + bx + c are aceeași formă ca cel mai simplu caz al funcției, dar vârful său (punctul de intersecție cu axa OY) nu se află la origine.
Graficul este, de asemenea, o parabolă functie de putere, exprimată prin ecuația y = xⁿ, dacă n este oricare număr par. Dacă n este un număr impar, graficul unei astfel de funcție de putere va arăta ca o parabolă cubică.
Dacă n este oricare, ecuația funcției ia forma. Graficul funcției pentru n impar va fi o hiperbolă, iar pentru n par ramurile lor vor fi simetrice față de axa operațională.
Chiar și în anii de școală, funcțiile sunt studiate în detaliu și sunt construite grafice ale acestora. Dar, din păcate, practic nu învață cum să citești graficul unei funcții și să găsești tipul acesteia din desenul prezentat. Este de fapt destul de simplu dacă vă amintiți tipurile de bază de funcții.
Instrucțiuni
Dacă graficul prezentat este , care este prin originea coordonatelor și cu axa OX unghiul α (care este unghiul de înclinare al dreptei față de semiaxa pozitivă), atunci funcția care descrie o astfel de dreaptă va fi prezentat ca y = kx. În acest caz, coeficientul de proporționalitate k este egal cu tangentei unghiului α.
Dacă o linie dată trece prin al doilea și al patrulea sferturi de coordonate, atunci k este egal cu 0 și funcția crește. Fie graficul prezentat o linie dreaptă situată în orice fel în raport cu axele de coordonate. Apoi funcția unui astfel de Arte grafice va fi liniară, care este reprezentată de forma y = kx + b, unde variabilele y și x sunt în prima, iar b și k pot lua atât negative, cât și valori pozitive sau .
Dacă linia este paralelă cu dreapta cu graficul y = kx și decupează b unități pe axa ordonatelor, atunci ecuația are forma x = const, dacă graficul este paralel cu axa absciselor, atunci k = 0.
O linie curbă care constă din două ramuri, simetrice față de origine și situate în sferturi diferite, este o hiperbolă. Un astfel de grafic arată dependența inversă a variabilei y față de variabila x și este descris printr-o ecuație de forma y = k/x, unde k nu ar trebui să fie egal cu zero, deoarece este un coeficient de proporționalitate inversă. Mai mult, dacă valoarea lui k este mai mare decât zero, funcția scade; dacă k este mai mic decât zero, crește.
Dacă graficul propus este o parabolă care trece prin origine, funcția sa, cu condiția ca b = c = 0, va avea forma y = ax2. Acesta este cel mai simplu caz al unei funcții pătratice. Graficul unei funcții de forma y = ax2 + bx + c va avea aceeași formă ca cel mai simplu caz, totuși, vârful (punctul în care graficul intersectează axa ordonatelor) nu va fi la origine. Într-o funcție pătratică, reprezentată de forma y = ax2 + bx + c, valorile lui a, b și c sunt constante, în timp ce a nu este egal cu zero.
O parabolă poate fi, de asemenea, graficul unei funcții de putere exprimat printr-o ecuație de forma y = xⁿ numai dacă n este orice număr par. Dacă valoarea lui n este un număr impar, un astfel de grafic al unei funcții de putere va fi reprezentat printr-o parabolă cubică. Dacă variabila n este orice număr negativ, ecuația funcției ia forma .
Video pe tema
Coordonata oricărui punct din plan este determinată de cele două mărimi ale sale: de-a lungul axei absciselor și a axei ordonatelor. Colectarea multor astfel de puncte reprezintă graficul funcției. Din acesta puteți vedea cum se modifică valoarea Y în funcție de modificarea valorii X. De asemenea, puteți determina în ce secțiune (interval) funcția crește și în care scade.
Instrucțiuni
Ce poți spune despre o funcție dacă graficul ei este o linie dreaptă? Vedeți dacă această linie trece prin punctul de origine al coordonatelor (adică cel în care valorile X și Y sunt egale cu 0). Dacă trece, atunci o astfel de funcție este descrisă de ecuația y = kx. Este ușor de înțeles că, cu cât valoarea lui k este mai mare, cu atât această linie dreaptă va fi mai aproape de axa ordonatelor. Și axa Y în sine corespunde de fapt la infinit de mare importanta k.
1) Domeniul funcției și domeniul de funcții.
Domeniul unei funcții este setul tuturor valorilor argumentelor valide X(variabil X), pentru care funcția y = f(x) determinat. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y, pe care funcția îl acceptă.
În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.
2) Zerourile funcției.
Funcția zero este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.
3) Intervale de semn constant al unei funcții.
Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.
4) Monotonitatea funcției.
O funcţie crescătoare (într-un anumit interval) este o funcţie pentru care valoare mai mare argumentului din acest interval îi corespunde o valoare mai mare a funcției.
O funcție descrescătoare (într-un anumit interval) este o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.
5) Funcția par (impar)..
O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = f(x). Programa chiar funcția simetric faţă de axa ordonatelor.
O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este adevărată f(-x) = - f(x). Programa funcţie ciudată simetric fata de origine.
6) Funcții limitate și nelimitate.
O funcție se numește mărginită dacă există un număr M pozitiv astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă un astfel de număr nu există, atunci funcția este nelimitată.
7) Periodicitatea funcției.
O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul de definire al funcției se respectă următoarele: f(x+T) = f(x). Acest număr cel mai mic se numește perioada funcției. Toate funcții trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).
19. Funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor. Aplicarea funcțiilor în economie.
Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor
1. Funcția liniară.
Funcție liniară se numește funcție de forma , unde x este o variabilă, a și b sunt numere reale.
Număr A numită panta dreptei, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei linii la direcția pozitivă a axei x. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.
Proprietățile unei funcții liniare
1. Domeniul definiției - mulțimea tuturor numerelor reale: D(y)=R
2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E(y)=R
3. Funcția ia o valoare zero când sau.
4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.
5. Funcție liniară continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și .
2. Funcția pătratică.
O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică.
Definiția unei funcții liniare
Să introducem definiția unei funcții liniare
Definiție
O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.
Când $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.
Luați în considerare figura 1.
Orez. 1. Sensul geometric al pantei unei drepte
Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $ВС=kx_0+b$. Să găsim punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:
\ \
Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.
Astfel, putem trage următoarea concluzie:
Concluzie
Sensul geometric coeficient $k$. Factorul de pantă dreapta $k$ este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la axa $Ox$.
Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia
Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Prin urmare, această funcție crește în întregul domeniu de definire. Nu există puncte extreme.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Grafic (Fig. 2).
Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.
Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k
- Domeniul definiției sunt toate numerele.
- Gama de valori este toate numerele.
- $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
- Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Când $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Grafic (Fig. 3).
