Pentru a utiliza cu succes operația de extracție a rădăcinii în practică, trebuie să vă familiarizați cu proprietățile acestei operațiuni.
Toate proprietățile sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnele rădăcinilor.
Teorema 1. Rădăcină gradul al n-lea(n=2, 3, 4,...) din produsul a două jetoane nenegative este egal cu produsul rădăcinilor a n-a ale acestor numere:
Cometariu:
1.
Teorema 1 rămâne valabilă pentru cazul în care expresia radicală este produsul a mai mult de două numere nenegative.
Teorema 2.Dacă,
si n - numar natural, mai mare decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Scurt Formulare (deși inexactă), care este mai convenabil de utilizat în practică: rădăcina unei fracții este egală cu fracția rădăcinilor.
Teorema 1 ne permite să înmulțim t numai rădăcini de acelaşi grad
, adică numai rădăcini cu același indice.
Teorema 3.Dacă ,k este un număr natural și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Cu alte cuvinte, pentru a construi o rădăcină în grad natural, este suficient să ridicăm expresia radicală la această putere.
Aceasta este o consecință a teoremei 1. De fapt, de exemplu, pentru k = 3 obținem: Putem raționa exact în același mod în cazul oricărei alte valori naturale a exponentului k.
Teorema 4.Dacă ,k, n sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată
Cu alte cuvinte, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulți indicatorii rădăcinilor.
De exemplu,
Atenție! Am aflat că pe rădăcini pot fi efectuate patru operații: înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinii (din rădăcină). Dar cum rămâne cu adăugarea și scăderea rădăcinilor? În nici un caz.
De exemplu, în loc să scrie Really, Dar este evident că
Teorema 5.Dacă indicatorii rădăcinii și expresiei radicalului sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica, adică.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplul 1. calculati
Soluţie. Folosind prima proprietate a rădăcinilor (teorema 1), obținem:
Exemplul 2. calculati
Soluţie. Convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.
Avem Folosind a doua proprietate a rădăcinilor ( Teorema 2
), primim:
Exemplul 3. Calculati: 
Soluţie. Orice formulă în algebră, după cum știți bine, este folosită nu numai „de la stânga la dreapta”, ci și „de la dreapta la stânga”. Astfel, prima proprietate a rădăcinilor înseamnă că acestea pot fi reprezentate sub formă și, invers, pot fi înlocuite cu expresia. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate a rădăcinilor. Ținând cont de acest lucru, să facem calculele.
Felicitări: astăzi ne vom uita la rădăcini - unul dintre cele mai uimitoare subiecte din clasa a VIII-a. :)
Mulți oameni se încurcă cu privire la rădăcini, nu pentru că sunt complexe (ce este atât de complicat în asta - câteva definiții și încă câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite printr-o astfel de junglă încât doar autorii manualelor ei înșiși pot înțelege această scriere. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)
Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a unei rădăcini - singura pe care ar trebui să o amintiți cu adevărat. Și apoi voi explica: de ce sunt necesare toate acestea și cum să le aplici în practică.
Dar mai întâi amintește-ți una punct important, despre care mulți compilatori de manuale din anumite motive „uită”:
Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și tot felul de $\sqrt(a)$ și chiar $\sqrt(a)$) și de grad impar (tot felul de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția unei rădăcini a unui grad impar este oarecum diferită de una par.
Probabil 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile sunt ascunse în acest nenorocit de „oarecum diferit”. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:
Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ numărul $b$ este astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina impară a aceluiași număr $a$ este, în general, orice număr $b$ pentru care este valabilă aceeași egalitate: $((b)^(n))=a$.
În orice caz, rădăcina se notează astfel:
\(A)\]
Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem „favoritul” nostru Rădăcină pătrată(apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ este cubic (grad impar), care se găsește adesea și în probleme și ecuații.
Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic, deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.
Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu trebuie să vă fie frică de ele:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Ei bine, câteva „exemple exotice”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!
Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.
De ce sunt necesare rădăcini?
După ce au citit definiția, mulți elevi vor întreba: „Ce fumau matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce sunt necesare toate aceste rădăcini?
Pentru a răspunde la această întrebare, să revenim pentru un moment la clasele primare. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect numerele. Ei bine, ceva de genul „cinci cu cinci – douăzeci și cinci”, asta este tot. Dar puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, cvadruple și în general seturi întregi:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că le-a fost greu să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:
De aceea au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ceva de genul:
Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse semnificativ și nu trebuie să pierzi o grămadă de foi de pergament și caiete pentru a nota 5.183. Această înregistrare a fost numită puterea unui număr; au fost găsite o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.
După o petrecere grandioasă de băutură, care a fost organizată doar pentru „descoperirea” diplomelor, un matematician deosebit de încăpățânat a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar numărul în sine este necunoscut?” Acum, într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, să zicem, la a 5-a putere dă 243, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?
Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea puterilor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]
Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsim un anumit număr care, înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este clar mai mare decât 3, deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar nu veți înțelege cu ce este egal.
Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. Tocmai de aceea a fost introdus simbolul radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna chiar numărul $b$, care la gradul indicat ne va da o valoare cunoscută anterior
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de calculat - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă vă gândiți la un număr arbitrar și apoi încercați să extrageți rădăcina unui grad arbitrar din acesta, veți fi supărat.
Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:
\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]
Sau iată un alt exemplu:
\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]
Dar toate aceste rotunjiri, în primul rând, sunt destul de dure; și în al doilea rând, trebuie să puteți lucra și cu valori aproximative, altfel puteți surprinde o grămadă de erori neevidente (apropo, este necesar ca abilitățile de comparare și rotunjire să fie testate pe profilul Unified State Examination).
Prin urmare, în matematica serioasă nu puteți face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, la fel ca fracțiile și numerele întregi care ne sunt familiare de mult timp.
Incapacitatea de a reprezenta o rădăcină ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, puteri, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.
Să luăm în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]
Desigur, conform aspect rădăcină este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă zecimală. Cu toate acestea, puteți conta pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de date ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile în forma $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.
Tocmai de aceea au fost inventate. Pentru a înregistra în mod convenabil răspunsurile.
De ce sunt necesare două definiții?
Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice pot fi extrase cu calm din absolut orice număr - fie el pozitiv sau negativ.
De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:
Programa funcţie pătratică dă două rădăcini: pozitivă și negativă Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care se intersectează cu parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) )_(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece
Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, deci este rădăcina:
Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? De parcă patru are două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de postări de parcă ar vrea să te mănânce? :)
Problema este că, dacă nu impuneți condiții suplimentare, atunci quad-ul va avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă y, adică nu acceptă valori negative.
O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:
- Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
- Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.
De aceea în definiția unei rădăcini de grad par $n$ se prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.
Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să ne uităm la graficul funcției $y=((x)^(3))$:
O parabolă cubică poate lua orice valoare, deci rădăcina cubă poate fi luată din orice număr Din acest grafic se pot trage două concluzii:
- Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de una obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în sus, cât și în jos. Prin urmare, indiferent de ce înălțime desenăm o linie orizontală, această linie cu siguranță se va intersecta cu graficul nostru. În consecință, rădăcina cubă poate fi întotdeauna extrasă din absolut orice număr;
- În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr este considerat rădăcina „corectă” și pe care să îl ignorați. De aceea, determinarea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru un grad par (nu există nicio cerință pentru non-negativitate).
Păcat că acestea lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.
Da, nu mă cert: trebuie să știți și ce este o rădăcină aritmetică. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, pentru că fără ea toate gândurile despre rădăcinile multiplicității $n$-a ar fi incomplete.
Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. Altfel, din cauza abundenței de termeni, o astfel de mizerie va începe în capul tău încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.
Tot ce trebuie să faceți este să înțelegeți diferența dintre indicatorii par și impari. Prin urmare, să colectăm încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:
- O rădăcină de grad par există doar dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
- Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capacul, este negativă.
Este dificil? Nu, nu este greu. Este clar? Da, este complet evident! Așa că acum vom exersa puțin cu calculele.
Proprietăți de bază și limitări
Rădăcinile au multe proprietăți și limitări ciudate - acest lucru va fi discutat într-o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „truc”, care se aplică numai rădăcinilor cu un indice uniform. Să scriem această proprietate ca formulă:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]
Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina aceleiași puteri, nu vom obține numărul inițial, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care poate fi demonstrată cu ușurință (este suficient să le luăm în considerare separat $x$ nenegative, iar apoi pe cele negative separat). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar, de îndată ce este vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică, ecuații care conțin un semn radical), studenții uită în unanimitate această formulă.
Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele timp de un minut și să încercăm să calculăm două numere direct:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Aceasta este foarte exemple simple. Majoritatea oamenilor vor rezolva primul exemplu, dar mulți oameni se blochează pe al doilea. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:
- În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Veți obține un număr nou care poate fi găsit chiar și în tabla înmulțirii;
- Și acum din acest nou număr este necesar să extragem a patra rădăcină. Acestea. nu are loc nicio „reducere” a rădăcinilor și puterilor - acestea sunt acțiuni succesive.
Să ne uităm la prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:
Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, ceea ce necesită înmulțirea lui de 4 ori:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]
Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este 4 și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus pentru un minus dă un plus). Apoi extragem din nou rădăcina:
În principiu, această linie nu ar fi putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul ar fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de un modul obișnuit:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Aceste calcule sunt în acord cu definiția unei rădăcini de grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical conține întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina este nedefinită.
Notă despre procedură
- Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că există întotdeauna un număr nenegativ sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ în orice caz;
- Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că luăm mai întâi rădăcina unui anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ nu poate fi în niciun caz negativ - aceasta este o cerință obligatorie inclusă în definiție.
Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, pretinzând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă rădăcina are un număr negativ și exponentul său este par, avem o grămadă de probleme.
Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.
Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină
Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există cu cei pari. Și anume:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Pe scurt, puteți elimina minusul de sub semnul rădăcinilor de grad impar. Aceasta este foarte proprietate utilă, care vă permite să „aruncați” toate negativele:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a fost ascunsă sub rădăcină, dar gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient doar să „aruncăm” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, să facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” ne vor duce cu siguranță la o eroare.
Și aici intră în scenă o altă definiție - aceeași cu care în majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Intalneste-ne!
Rădăcina aritmetică
Să presupunem pentru o clipă că sub semnul rădăcinii nu pot exista decât numere pozitive sau, în cazuri extreme, zero. Să uităm de numerele pare/ indicatori impari, să uităm de toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?
Și apoi vom obține o rădăcină aritmetică - se suprapune parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.
Definiție. O rădăcină aritmetică de gradul $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.
După cum vedem, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.
Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice cu care suntem deja familiarizați:
Zona de căutare a rădăcinii aritmetice - numere nenegative După cum puteți vedea, de acum înainte ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul să punem un număr negativ sub rădăcină sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.
Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o astfel de definiție sterilizată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”
Ei bine, voi da o singură proprietate din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula pentru exponentiare:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Iată exemple:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Deci, care este marea problemă? De ce nu am putea face asta mai devreme? Iata de ce. Să luăm în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ - acest număr este destul de normal în înțelegerea noastră clasică, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
După cum puteți vedea, în primul caz am eliminat minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece exponentul este impar), iar în al doilea caz am folosit formula de mai sus. Acestea. Din punct de vedere matematic, totul se face după reguli.
WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să producă o erezie completă în cazul numerelor negative.
Tocmai pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate au venit rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, în care luăm în considerare toate proprietățile lor în detaliu. Deci nu ne vom opri asupra lor acum - lecția s-a dovedit deja prea lungă.
Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe
M-am gândit multă vreme dacă să pun acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă am decis să o las aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu mai la nivelul mediu „școlar”, ci la unul apropiat de nivelul olimpiadei.
Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii $n$-a a unui număr și împărțirea asociată în exponenți pari și impari, există o definiție mai „adultă” care nu depinde deloc de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.
Definiție. Rădăcina algebrică $n$a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că vom pune doar o liniuță deasupra:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este aceea că rădăcină algebrică- acesta nu este un număr anume, ci un set. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set vine în doar trei tipuri:
- Set gol. Apare atunci când trebuie să găsiți o rădăcină algebrică de grad par dintr-un număr negativ;
- Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare ale zero, se încadrează în această categorie;
- În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, un astfel de aranjament este posibil numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.
Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.
Exemplu. Evaluează expresiile:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Soluţie. Prima expresie este simplă:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.
\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]
Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcină este impar.
În sfârșit, ultima expresie:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]
Am primit un set gol. Deoarece nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra putere (adică, pare!), să ne dea numărul negativ -16.
Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este destul de posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ acolo și multe alte lucruri ciudate.
Cu toate acestea, numerele complexe nu apar aproape niciodată în cursurile de matematică ale școlii moderne. Acestea au fost eliminate din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.
Asta e tot. În următoarea lecție vom acoperi totul proprietățile cheie rădăcini și în cele din urmă învață cum să simplifice expresiile iraționale. :)
Lecție și prezentare pe tema: "Proprietățile rădăcinii a n-a. Teoreme"
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”
Proprietățile rădăcinii a n-a. Teoreme
Băieți, continuăm să studiem rădăcinile a n-a ale unui număr real. Ca aproape toate obiectele matematice, rădăcinile de gradul al n-lea au anumite proprietăți, astăzi le vom studia.Toate proprietățile pe care le vom lua în considerare sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnul rădăcină.
În cazul unui exponent rădăcină impar, acestea sunt efectuate și pentru variabile negative.
Teorema 1. Rădăcina a n-a a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor a n-a ale acestor numere: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .
Să demonstrăm teorema.
Dovada. Băieți, pentru a demonstra teorema, să introducem noi variabile, să le notăm:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Trebuie să demonstrăm că $x=y*z$.
Rețineți că următoarele identități sunt valabile și:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Apoi, următoarea identitate este valabilă: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Puterile a două numere nenegative și exponenții lor sunt egale, atunci bazele puterilor în sine sunt egale. Aceasta înseamnă $x=y*z$, ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema 2. Dacă $a≥0$, $b>0$ și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci este valabilă următoarea egalitate: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Adică, a n-a rădăcină a coeficientului este egală cu raportul a n-a rădăcină.
Dovada.
Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi o diagramă simplificată sub forma unui tabel:
Exemple de calcul a rădăcinii a n-a
Exemplu.Calculați: $\sqrt(16*81*256)$.
Soluţie. Să folosim teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Exemplu.
Calculați: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Soluţie. Să reprezentăm expresia radicală în formă fracție improprie: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Să folosim teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Exemplu.
Calculati:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Soluţie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorema 3. Dacă $a≥0$, k și n sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este valabilă: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia radicală la această putere.
Dovada.
Să ne uităm la cazul special pentru $k=3$. Să folosim teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Același lucru poate fi dovedit și în orice alt caz. Băieți, dovedeți-vă singuri pentru cazul în care $k=4$ și $k=6$.
Teorema 4. Dacă $a≥0$ b n,k sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este valabilă: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să multiplicați indicatorii rădăcinilor.
Dovada.
Să demonstrăm din nou pe scurt folosind un tabel. Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi o diagramă simplificată sub forma unui tabel: 
Exemplu.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorema 5. Dacă exponenții rădăcinii și expresiei radicalului sunt înmulțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .
Dovada.
Principiul demonstrării teoremei noastre este același ca în alte exemple. Să introducem noi variabile:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (prin definiție).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (prin definiție).
Să ridicăm ultima egalitate la puterea p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
A primit:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Adică $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, care este ceea ce trebuia demonstrat.
Exemple:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (împărțit indicatorii la 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (împărțit indicatorii la 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (indicatori înmulțiți cu 3).
Exemplu.
Efectuați acțiuni: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Soluţie.
Indicatorii rădăcină sunt numere diferite, deci nu putem folosi Teorema 1, dar aplicând Teorema 5, putem obține indicatori egali.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (indicatori înmulțiți cu 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (indicatori înmulțiți cu 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Probleme de rezolvat independent
1. Calculați: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Calculați: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calculați:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplificați:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Efectuați acțiuni: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
