Cum să scoți rădăcina de sub rădăcină. Extragerea rădăcinii pătrate

În matematică, întrebarea cum se extrage o rădăcină este considerată relativ simplă. Dacă pătram numere din seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5...n, atunci obținem următoarea serie de pătrate: 1, 4, 9, 16...n 2. Rândul de pătrate este infinit și, dacă te uiți cu atenție la el, vei vedea că nu sunt foarte multe numere întregi în el. De ce este așa, vom explica puțin mai târziu.

Rădăcina unui număr: reguli de calcul și exemple

Deci, am pătrat numărul 2, adică l-am înmulțit cu el însuși și am obținut 4. Cum să extragem rădăcina numărului 4? Să spunem imediat că rădăcinile pot fi pătrate, cubice și orice grad până la infinit.

Gradul de rădăcină – întotdeauna numar natural, adică este imposibil să rezolvi o astfel de ecuație: o rădăcină la puterea lui 3,6 a lui n.

Rădăcină pătrată

Să revenim la întrebarea cum să extragem rădăcina pătrată a lui 4. Deoarece am pătrat numărul 2, vom extrage și rădăcina pătrată. Pentru a extrage corect rădăcina lui 4, trebuie doar să alegeți numărul potrivit care, la pătrat, ar da numărul 4. Și acesta, desigur, este 2. Uitați-vă la exemplu:

• 2 2 =4
• Rădăcina lui 4 = 2

Acest exemplu este destul de simplu. Să încercăm să extragem rădăcina pătrată a lui 64. Ce număr, înmulțit cu el însuși, dă 64? Evident, este 8.

• 8 2 =64
• Rădăcina lui 64=8

Rădăcină cubă

După cum s-a spus mai sus, rădăcinile nu sunt doar pătrate; folosind un exemplu, vom încerca să explicăm mai clar cum să extragem o rădăcină cubă sau o rădăcină de gradul trei. Principiul extragerii unei rădăcini cubice este același cu cel al unei rădăcini pătrate, singura diferență este că numărul necesar a fost inițial înmulțit cu el însuși nu o dată, ci de două ori. Adică, să presupunem că luăm următorul exemplu:

• 3x3x3=27
• Desigur, rădăcina cubă a lui 27 este trei:
• Rădăcina 3 din 27 = 3

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina cubă a lui 64. Pentru a rezolva această ecuație, este suficient să găsiți un număr care, atunci când este ridicat la a treia putere, ar da 64.

• 4 3 =64
• Rădăcina 3 din 64 = 4

Extrageți rădăcina unui număr pe un calculator

Desigur, cel mai bine este să înveți să extragi pătrate, cuburi și alte rădăcini prin practică, rezolvând multe exemple și memorând tabele de pătrate și cuburi de numere mici. În viitor, acest lucru va facilita și va reduce foarte mult timpul necesar pentru rezolvarea ecuațiilor. Deși, trebuie remarcat că uneori este necesar să se extragă rădăcina unui astfel de un numar mare că găsirea pătratului corect ar fi foarte dificilă, dacă este posibil. Pentru a ajuta la extracție rădăcină pătrată va veni un calculator obișnuit. Cum se extrage rădăcina de pe un calculator? Introduceți foarte simplu numărul de la care doriți să găsiți rezultatul. Acum aruncați o privire atentă la butoanele calculatorului. Chiar și cel mai simplu dintre ele are o cheie cu o pictogramă rădăcină. Făcând clic pe el, veți obține imediat rezultatul final.

Nu orice număr poate fi extras rădăcină întreagă, luați în considerare următorul exemplu:

Rădăcina lui 1859 = 43,116122...

Puteți încerca simultan să rezolvați acest exemplu pe un calculator. După cum puteți vedea, numărul rezultat nu este un întreg; în plus, setul de cifre după virgulă zecimală nu este finit. Calculatoarele speciale de inginerie pot da un rezultat mai precis, dar rezultatul complet pur și simplu nu se potrivește pe afișajul celor obișnuite. Și dacă continuați seria de pătrate pe care ați început-o mai devreme, nu veți găsi în ea numărul 1859 tocmai pentru că numărul care a fost pătrat pentru a-l obține nu este un întreg.

Dacă trebuie să extrageți a treia rădăcină pe un calculator simplu, atunci trebuie să faceți dublu clic pe butonul cu semnul rădăcină. De exemplu, luați numărul 1859 folosit mai sus și luați rădăcina cubă din el:

Rădăcina 3 din 1859 = 6,5662867...

Adică, dacă numărul 6,5662867... este ridicat la a treia putere, atunci obținem aproximativ 1859. Astfel, extragerea rădăcinilor din numere nu este dificilă, trebuie doar să vă amintiți algoritmii de mai sus.

Și ai dependenta de calculator? Sau credeți că este foarte greu de calculat, de exemplu, decât cu un calculator sau folosind un tabel de pătrate.

Se întâmplă ca școlari să fie legați de un calculator și chiar să înmulțească 0,7 cu 0,5 apăsând pe butoanele prețuite. Ei spun, ei bine, încă știu să calculez, dar acum voi economisi timp... Când va veni examenul... atunci mă voi eforta...

Deci, adevărul este că vor fi deja o mulțime de „momente stresante” în timpul examenului... După cum se spune, apa uzează pietrele. Deci, la un examen, lucrurile mărunte, dacă sunt multe, te pot ruina...

Să minimizăm numărul de posibile probleme.

Luând rădăcina pătrată a unui număr mare

Vom vorbi acum doar despre cazul în care rezultatul extragerii rădăcinii pătrate este un număr întreg.

Cazul 1.

Deci, cu orice preț (de exemplu, când calculăm discriminantul) trebuie să calculăm rădăcina pătrată a lui 86436.

Vom factoriza numărul 86436 în factori primi. Împărțiți la 2, obținem 43218; Împărțiți din nou cu 2, obținem 21609. Un număr nu poate fi divizibil cu 2. Dar, deoarece suma cifrelor este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3 (în general vorbind, este clar că este și divizibil cu 9). . Împărțim din nou cu 3 și obținem 2401. 2401 nu este complet divizibil cu 3. Nu este divizibil cu cinci (nu se termină cu 0 sau 5).

Suspectăm divizibilitatea cu 7. Într-adevăr, și ,

Deci, Comanda completa!

Cazul 2.

Trebuie să calculăm. Este incomod să acționați în același mod ca cel descris mai sus. Încercăm să factorizăm...

Numărul 1849 nu este divizibil cu 2 (nu este par)...

Nu este complet divizibil cu 3 (suma cifrelor nu este multiplu de 3)...

Nu este complet divizibil cu 5 (ultima cifră nu este nici 5, nici 0)...

Nu este complet divizibil cu 7, nu este divizibil cu 11, nu este divizibil cu 13... Ei bine, cât timp ne va dura să sortăm toate numerele prime?

Să gândim puțin diferit.

Înțelegem asta

Ne-am restrâns căutarea. Acum trecem prin numerele de la 41 la 49. Mai mult, este clar că, deoarece ultima cifră a numărului este 9, atunci ar trebui să ne oprim la opțiunile 43 sau 47 - doar aceste numere, la pătrat, vor da ultima cifră 9. .

Ei bine, aici, desigur, ne oprim la 43. Într-adevăr,

P.S. Cum naiba înmulțim 0,7 cu 0,5?

Ar trebui să înmulțiți 5 cu 7, ignorând zerourile și semnele și apoi să separați, mergând de la dreapta la stânga, două zecimale. Primim 0,35.

Este timpul să o rezolvi metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos ne vom uita la principalele metode de extragere a rădăcinilor una câte una.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabele de pătrate, cuburi etc. Dacă nu îl aveți la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului radical în factori primi.

Merită menționat în mod special ceea ce este posibil pentru rădăcinile cu exponenți impari.

În cele din urmă, să luăm în considerare o metodă care ne permite să găsim secvenţial cifrele valorii rădăcină.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabelele de pătrate, cuburi etc. vă permit să extrageți rădăcini. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să compuneți un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare celulă este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția dintre rândul nostru de 8 zeci și coloana 3 de unități alese există o celulă cu numărul 6.889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, numai că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. în consecință din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul utilizării lor la extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul puterilor a n-a. Folosind acest tabel găsim numărul b astfel încât a=b n. Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum să folosiți un tabel cub pentru a extrage rădăcina cubului lui 19.683. Găsim numărul 19.683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este cubul numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele cu puterile a n-a sunt foarte convenabile pentru extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită ceva timp. Mai mult, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la alte metode de extracție a rădăcinilor.

Factorizarea unui număr radical în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina unui număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul radical în factori primi. A lui ideea este aceasta: după aceea este destul de ușor să-l reprezinte ca o putere cu indicatorul necesar, care vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să lămurim acest punct.

Fie luată a n-a rădăcină a unui număr natural a și valoarea sa egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b, ca orice număr natural, poate fi reprezentat ca produsul tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 ·p 2 ·…·p m , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Deoarece descompunerea unui număr în factori primi este unică, descompunerea radicalului a în factori primi va avea forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii la fel de.

Rețineți că dacă descompunerea în factori primi a unui număr radical a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atunci rădăcina a n-a a unui astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne dăm seama când rezolvăm exemplele.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144.

Soluţie.

Dacă te uiți la tabelul de pătrate din paragraful anterior, poți vedea clar că 144 = 12 2, din care este clar că rădăcina pătrată a lui 144 este egală cu 12.

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului radical 144 în factori primi. Să ne uităm la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2·2·2·2·3·3. Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile pentru încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a radicalului 243 are forma 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcină un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să factorăm numărul radical în factori primi și să vedem dacă acesta poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Expansiunea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factor prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu poate fi extrasă complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să vă dați seama cum să extrageți rădăcina unui număr fracționar. Să se scrie numărul radical fracționar ca p/q. Conform proprietății rădăcinii unui cot, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul rădăcinii numărătorului împărțit la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a lui fracție comună 25/169 .

Soluţie.

Folosind tabelul de pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este egală cu 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este egală cu 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii fracției comune 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor radicale cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a fracției zecimale 474,552.

Soluţie.

Să ne imaginăm originalul zecimal ca fracție comună: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. Deoarece 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000 = 10 3, atunci Și . Mai rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Luarea rădăcinii unui număr negativ

Merită să ne oprim asupra extragerii rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci poate exista un număr negativ sub semnul rădăcinii. Am dat acestor intrări următoarea semnificație: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să luați rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât să existe un număr pozitiv sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuiți numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicăm regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții obișnuite: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Determinarea pe biți a valorii rădăcinii

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar în același timp este nevoie să cunoaștem sensul rădăcină dată, cel putin pana la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți succesiv un număr suficient de valori de cifre ale numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până în momentul în care se obține un număr care depășește numărul radical. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea n în etapa anterioară va indica cifra corespunzătoare cea mai semnificativă.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luați numerele 0, 10, 100, ... și pătrați-le până obținem un număr mai mare de 5. Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra celor. Valoarea acestui bit, precum și a celor inferioare, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți pașii următori ai algoritmului au ca scop clarificarea succesivă a valorii rădăcinii prin găsirea valorilor următorilor biți ai valorii dorite a rădăcinii, începând cu cel mai mare și trecând la cei mai mici. De exemplu, valoarea rădăcinii la primul pas se dovedește a fi 2, la al doilea – 2,2, la al treilea – 2,23 și așa mai departe 2,236067977…. Să descriem cum sunt găsite valorile cifrelor.

Cifrele sunt găsite căutând printre ele valori posibile 0, 1, 2, …, 9. În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul radical. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii; dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9.

Să explicăm aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi găsim valoarea cifrei unităților. Vom parcurge valorile 0, 1, 2, ..., 9, calculând 0 2, 1 2, ..., respectiv 9 2, până când obținem o valoare mai mare decât numărul radical 5. Este convenabil să prezentați toate aceste calcule sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (din moment ce 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zecimii. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile rezultate cu numărul radical 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atunci valoarea locului zecimii este 2. Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa a fost găsită următoarea valoare a rădăcinii lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

Mai întâi determinăm cea mai semnificativă cifră. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151.186. Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i determinăm valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atunci valoarea locului zecilor este 1. Să trecem la unități.

Astfel, valoarea cifrei celor este 2. Să trecem la zecimi.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186, atunci valoarea locului zecimilor este 9. Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului; ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită cu o precizie de sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Înainte de calculatoare, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul radical în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul radical, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. În primul rând, încercați să factorizați numărul radical în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factorii pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă pentru a lua rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul radical nu se împarte în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului radical într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului comun.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, estimați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul radical. Veți primi valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical este 3. Numerele pătrate cele mai apropiate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este situată între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faci calculul pe un calculator, vei obține 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul radical este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 este situată între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (pentru că 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6 Verificați pe calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este factorizarea numărului radical în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-o serie și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Factorăm numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 poate fi scos ca semn rădăcină: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Să ne uităm la un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai primit trei multiplicatori de 2; luați câteva dintre ele și mutați-le dincolo de semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind diviziunea lungă

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radical în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul dat sub forma „7 80, 14” în stânga sus. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Veți scrie răspunsul (rădăcina acestui număr) în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un singur număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n-ul pe care l-ați găsit în dreapta sus și scrieți pătratul lui n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 și obțineți 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" în dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va fi suficient. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 în dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub subtraend.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere care se transferă este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți un separator (virgulă) între părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată necesară în dreapta sus. În stânga, aduceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi eliminată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că plasați separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți-l în stânga jos. Numărul dublu din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia răspunsului (numărul de zecimale) nevoie.

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L astfel încât L² = S.

   Dați câte o literă pentru fiecare număr din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Înțelegeți legătura dintre această metodă și împărțirea lungă. La fel ca în diviziune, unde ne interesează doar următoarea cifră a numărului pe care îl împărțim de fiecare dată, atunci când calculăm o rădăcină pătrată, lucrăm secvențial printr-o pereche de cifre (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii rădăcinii pătrate dorite va fi o cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginează-ți mental un pătrat a cărui zonă trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui arie este egală cu S. A, B, C sunt numerele din numărul L. Îl poți scrie altfel: 10A + B = L (pentru un număr din două cifre) sau 100A + 10B + C = L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

      • Lăsa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr în care cifra B reprezintă unități, iar cifra A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A²- zona pătratului interior mare, B²- zona pătratului interior mic, 10A×B- aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adunând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.

Instrucțiuni

Selectați un multiplicator pentru numărul radical, a cărui eliminare de sub rădăcină este într-adevăr o expresie - altfel operația va pierde . De exemplu, dacă se află sub semnul rădăcină cu un exponent egal cu trei (rădăcină cubă), costă număr 128, apoi de sub semn puteți scoate, de exemplu, număr 5. În același timp, radicalul număr 128 va trebui împărțit la 5 cuburi: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Dacă prezența unui număr fracționar sub semn rădăcină nu contrazice condițiile problemei, atunci este posibil în această formă. Dacă aveți nevoie de o opțiune mai simplă, atunci mai întâi împărțiți expresia radicală în astfel de factori întregi, rădăcina cubă a unuia dintre care va fi un număr întreg număr m. De exemplu: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilizați pentru a selecta factorii unui număr radical dacă nu este posibil să calculați puterile unui număr din capul dvs. Acest lucru este valabil mai ales pentru rădăcină m cu un exponent mai mare de doi. Dacă aveți acces la Internet, puteți efectua calcule folosind calculatoarele încorporate în motoarele de căutare Google și Nigma. De exemplu, dacă trebuie să găsiți cel mai mare factor întreg care poate fi scos de sub semnul cubic rădăcină pentru numărul 250, apoi accesați site-ul web Google și introduceți interogarea „6^3” pentru a verifica dacă este posibil să îl eliminați de sub semn rădăcinăşase. Motorul de căutare va afișa un rezultat egal cu 216. Din păcate, 250 nu poate fi împărțit fără un rest la aceasta număr. Apoi introduceți interogarea 5^3. Rezultatul va fi 125, iar acest lucru vă permite să împărțiți 250 în factori de 125 și 2, ceea ce înseamnă să-l scoateți din semn. rădăcină număr 5, plecând de acolo număr 2.

Surse:

• cum să-l scoți de sub rădăcini
• Rădăcina pătrată a produsului

Scoate-l de dedesubt rădăcină unul dintre factori este necesar în situațiile în care trebuie să simplificați o expresie matematică. Există momente când este imposibil să efectuați calculele necesare folosind un calculator. De exemplu, dacă sunt folosite denumiri de litere pentru variabile în loc de numere.

Instrucțiuni

Descompune expresia radicală în factori simpli. Vedeți care dintre factori se repetă de același număr de ori, indicat în indicatori rădăcină, sau mai mult. De exemplu, trebuie să luați a patra rădăcină a lui a. În acest caz, numărul poate fi reprezentat ca a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indicator rădăcinăîn acest caz va corespunde cu factor a3. Trebuie scos din semn.

Extrageți separat rădăcina radicalilor rezultați, acolo unde este posibil. Extracţie rădăcină este operația algebrică inversă exponențiației. Extracţie rădăcină a unei puteri arbitrare, găsiți un număr dintr-un număr care, atunci când este ridicat la această putere arbitrară, va avea ca rezultat numărul dat. Dacă extragerea rădăcină nu poate fi produs, lăsați expresia radicală sub semn rădăcină exact așa cum este. Ca urmare a acțiunilor de mai sus, veți fi eliminat de sub semn rădăcină.

Video pe tema

Notă

Aveți grijă când scrieți expresii radicale sub formă de factori - o eroare în această etapă va duce la rezultate incorecte.

Sfaturi utile

Când extrageți rădăcini, este convenabil să folosiți tabele speciale sau tabele de rădăcini logaritmice - acest lucru va reduce semnificativ timpul necesar pentru a găsi soluția corectă.

Surse:

• semn de extracție a rădăcinii în 2019

Simplificarea expresiilor algebrice este necesară în multe domenii ale matematicii, inclusiv rezolvarea ecuațiilor de ordin superior, diferențierea și integrarea. Sunt utilizate mai multe metode, inclusiv factorizarea. Pentru a aplica această metodă, trebuie să găsiți și să faceți un general factor in spate paranteze.

Instrucțiuni

Efectuarea multiplicatorului total paranteze- una dintre cele mai comune metode de descompunere. Această tehnică este folosită pentru a simplifica structura expresiilor algebrice lungi, adică. polinomiale. Numărul general poate fi un număr, un monom sau un binom, iar pentru a-l găsi se folosește proprietatea distributivă a înmulțirii.

Număr. Priviți cu atenție coeficienții fiecărui polinom pentru a vedea dacă pot fi împărțiți la același număr. De exemplu, în expresia 12 z³ + 16 z² – 4 este evident factor 4. După transformare, obțineți 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Cu alte cuvinte, acest număr este cel mai puțin comun divizor întreg al tuturor coeficienților.

Monomial.Determină dacă aceeași variabilă se află în fiecare dintre termenii polinomului. Presupunând că acesta este cazul, acum uitați-vă la coeficienți ca în cazul precedent. Exemplu: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Fiecare element al acestui polinom conține o variabilă z. În plus, toți coeficienții sunt numere care sunt multipli ai lui 3. Prin urmare, factorul comun va fi monomiul 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binom.Pentru paranteze general factor din doi, o variabilă și un număr, care este un polinom comun. Prin urmare, dacă factor-binomul nu este evident, atunci trebuie să găsiți cel puțin o rădăcină. Selectați termenul liber al polinomului; acesta este un coeficient fără variabilă. Acum aplicați metoda substituției în expresia generală a tuturor divizorilor întregi ai termenului liber.

Luați în considerare: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verificați pentru a vedea dacă oricare dintre factorii întregi ai lui 4 sunt z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Prin substituție simplă, găsiți z1 = 1 și z2 = 2, ceea ce înseamnă pentru paranteze putem elimina binoamele (z - 1) și (z - 2). Pentru a găsi expresia rămasă, utilizați diviziunea lungă secvențială.