Un sistem mecanic, care constă dintr-un punct material (corp) agățat de un fir inextensibil fără greutate (masa sa este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform, se numește pendul matematic (un alt nume este un oscilator) . Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de ață, se poate folosi o tijă fără greutate. Pendulul matematic poate dezvălui în mod clar esența multora fenomene interesante. Cu o amplitudine mică de oscilație, mișcarea sa se numește armonică.
Informații generale despre sistemul mecanic
Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte îndrăgostit de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu pendul. Ei au măsurat timpul cu o acuratețe excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit cea mai importantă etapă în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.
Dacă pendulul este în poziție de echilibru (atârnând vertical), atunci acesta va fi echilibrat de forța tensiunii firului. Un pendul plat pe un fir inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu o legătură. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Care sunt proprietățile unui pendul matematic? In acest cel mai simplu sistem sub influența unei perturbări periodice, apare haosul. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, pendulul are o nouă poziție de echilibru. Cu oscilații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic capătă o poziție stabilă inversată. Are și propriul ei nume. Se numește pendulul lui Kapitsa.
proprietățile pendulului
Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate sunt confirmate de legile fizice cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diverse circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate, distribuția masei în raport cu acest punct. De aceea, determinarea perioadei unui corp agățat este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor de calculat perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca urmare a observațiilor unor sisteme mecanice similare, pot fi stabilite următoarele regularități:
Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului, sunt suspendate greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor se va dovedi a fi aceeași, deși masele lor vor diferi foarte mult. Prin urmare, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa încărcăturii.
Dacă, la pornirea sistemului, pendulul este deviat de unghiuri nu prea mari, ci diferite, atunci va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar cu amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, oscilațiile în forma lor vor fi destul de apropiate de cele armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilației. Această proprietate a acestui sistem mecanic se numește izocronism (tradus din grecescul „chronos” – timp, „isos” – egal).
Perioada pendulului matematic
Acest indicator reprezintă perioada oscilațiilor naturale. În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului pendulului matematic este L, iar accelerația cădere liberă g, atunci această valoare este egală cu:
Perioada celor mici nu depinde în niciun caz de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca un pendul matematic cu o lungime redusă.
Oscilațiile unui pendul matematic
Un pendul matematic oscilează, ceea ce poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:
x + ω2 sin x = 0,
unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la poziția inferioară de echilibru la momentul t, exprimat în radiani); ω este o constantă pozitivă care se determină din parametrii pendulului (ω = √g/L, unde g este accelerația gravitațională și L este lungimea pendulului matematic (suspensia).
Ecuația oscilațiilor mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:
x + ω2 sin x = 0
Mișcări oscilatorii ale pendulului
Un pendul matematic care face mici oscilații se mișcă de-a lungul unei sinusoide. Ecuație diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, trebuie să specificați viteza și coordonatele, din care sunt apoi determinate constante independente:
x \u003d A sin (θ 0 + ωt),
unde θ 0 este faza inițială, A este amplitudinea oscilației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.
Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)
Acest sistem mecanic, care își face oscilațiile cu o amplitudine semnificativă, este supus unor legi mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate prin formula:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
unde sn este sinusul iacobian, care pentru u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
unde ε = E/mL2 (mL2 este energia pendulului).
Perioada de oscilație a unui pendul neliniar este determinată de formula:
unde Ω = π/2 * ω/2K(u), K este integrala eliptică, π - 3,14.
Mișcarea pendulului de-a lungul separatricei
O separarix este o traiectorie sistem dinamic, care are un spațiu de fază bidimensional. Pendulul matematic se deplasează de-a lungul lui neperiodic. Într-un moment de timp infinit de îndepărtat, cade din poziția superioară extremă în lateral cu viteză zero, apoi o ridică treptat. În cele din urmă se oprește, revenind la poziția inițială.
Dacă amplitudinea oscilaţiei pendulului se apropie de numărul π , aceasta indică faptul că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub acțiunea unei mici forțe motrice periodice, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.
Când pendulul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o forță de gravitație tangențială Fτ = -mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangenţială este îndreptată în direcţia opusă deflexiei pendulului. Când deplasarea pendulului de-a lungul arcului de cerc cu raza L este notă cu x, deplasarea sa unghiulară este egală cu φ = x/L. A doua lege, care este pentru proiecții și forță, va da valoarea dorită:
mg τ = Fτ = -mg sinx/L
Pe baza acestei relații, se poate observa că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care tinde să-l readucă în poziția sa de echilibru este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x/L.
Numai atunci când pendulul matematic face mici oscilații este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze vibrații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20°. Oscilațiile pendulului cu amplitudini mari nu sunt armonice.
Legea lui Newton pentru micile oscilații ale unui pendul
Dacă un anumit sistem mecanic efectuează vibrații mici, a doua lege a lui Newton va arăta astfel:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Pe baza acestui lucru, putem concluziona că pendulul matematic este proporțional cu deplasarea sa cu semnul minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul factorului de proporționalitate dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței circulare:
ω02 = g/L; ω0 = √g/L.
Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Bazat pe acest lucru,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Calcule bazate pe legea conservării energiei
Proprietățile unui pendul pot fi descrise și folosind legea conservării energiei. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că pendulul în câmpul gravitațional este egal cu:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Total este egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax = Ekmsx = E
După ce se scrie legea conservării energiei, se ia derivata părților drepte și stângi ale ecuației:
Deoarece derivata constantelor este 0, atunci (Ep + Ek)" = 0. Derivata sumei este egala cu suma derivatelor:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv*α,
deci:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.
Pe baza ultimei formule, găsim: α = - g/L*x.
Aplicarea practică a pendulului matematic
Accelerația variază în funcție de latitudine, ca și densitate Scoarta terestra pe tot planeta nu este la fel. Acolo unde apar roci cu o densitate mai mare, aceasta va fi ceva mai mare. Accelerația unui pendul matematic este adesea folosită pentru explorarea geologică. Este folosit pentru a căuta diferite minerale. Pur și simplu numărând numărul de balansări ale pendulului, puteți găsi cărbune sau minereu în măruntaiele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere care stau la baza lor.
Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință proeminenți precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihici folosesc acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.
Celebrul astronom și naturalist francez C. Flammarion a folosit și el un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că, cu ajutorul său, a reușit să prezică descoperirea unei noi planete, apariția Meteoritul Tunguskași alte evenimente importante. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial în Germania (Berlin) a funcționat un institut specializat de pendul. Astăzi, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei instituții își numesc munca cu pendulul „radiestezie”.
Perioada de oscilație a unui pendul fizic depinde de multe circumstanțe: de mărimea și forma corpului, de distanța dintre centrul de greutate și punctul de suspensie și de distribuția masei corporale în raport cu acest punct; prin urmare, calculul perioadei unui corp suspendat este destul de sarcină dificilă. Situația este mai simplă pentru pendulul matematic. Din observațiile unor astfel de pendule se pot stabili următoarele legi simple.
1. Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului (distanța de la punctul de suspensie la centrul de greutate al sarcinii), sunt suspendate sarcini diferite, atunci perioada de oscilație va fi aceeași, deși masele sarcinilor difera foarte mult. Perioada unui pendul matematic nu depinde de masa sarcinii.
2. Dacă, la pornirea pendulului, acesta este deviat în unghiuri diferite (dar nu prea mari), atunci acesta va oscila cu aceeași perioadă, deși cu amplitudini diferite. Atâta timp cât amplitudinile nu sunt prea mari, oscilațiile sunt suficient de apropiate în forma lor de armonice (§ 5) iar perioada pendulului matematic nu depinde de amplitudinea oscilațiilor. Această proprietate se numește izocronism (din cuvintele grecești „isos” – egal, „chronos” – timp).
Acest fapt a fost stabilit pentru prima dată în 1655 de Galileo, presupus în următoarele circumstanțe. Galileo a observat în Catedrala din Pisa balansarea unui candelabru pe un lanț lung, care era împins atunci când era aprins. În timpul serviciului, amplitudinea leagănelor a scăzut treptat (§ 11), adică amplitudinea oscilațiilor a scăzut, dar perioada a rămas aceeași. Galileo și-a folosit propriul puls ca indicator al timpului.
Acum derivăm o formulă pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic.
Orez. 16. Oscilații ale unui pendul într-un plan (a) și mișcare de-a lungul unui con (b)
Când pendulul oscilează, sarcina se mișcă accelerată de-a lungul unui arc (Fig. 16, a) sub acțiunea unei forțe de restabilire, care se modifică în timpul mișcării. Calculul mișcării unui corp sub acțiunea unei forțe neconstante este destul de complicat. Prin urmare, pentru simplitate, vom proceda după cum urmează.
Să facem ca pendulul să nu oscileze într-un singur plan, ci să descriem conul astfel încât sarcina să se miște într-un cerc (Fig. 16, b). Această mișcare poate fi obținută prin adăugarea a două vibrații independente: una încă în planul desenului și cealaltă în planul perpendicular. Evident, perioadele ambelor oscilații plane sunt aceleași, deoarece orice plan de oscilație nu este diferit de oricare altul. În consecință, perioada mișcării complexe - rotația pendulului de-a lungul conului - va fi aceeași cu perioada de balansare a planului de apă. Această concluzie poate fi ilustrată cu ușurință prin experiență directă, luând două pendule identice și spunându-i unuia dintre ele să se balanseze într-un plan, iar celuilalt să se rotească de-a lungul unui con.
Dar perioada de revoluție a pendulului „conic” este egală cu lungimea cercului descris de sarcină, împărțită la viteza:
Dacă unghiul de abatere de la verticală este mic (amplitudini mici), atunci putem presupune că forța de restabilire este direcționată de-a lungul razei cercului, adică egală cu forța centripetă:
Pe de altă parte, din asemănarea triunghiurilor rezultă că . De la , apoi de aici
Echivalând ambele expresii una cu cealaltă, obținem viteza de circulație
În cele din urmă, înlocuind aceasta în expresia perioadei, găsim
Deci, perioada unui pendul matematic depinde numai de accelerația căderii libere și de lungimea pendulului, adică distanța de la punctul de suspensie la centrul de greutate al sarcinii. Din formula obtinuta rezulta ca perioada pendulului nu depinde de masa lui si de amplitudine (cu conditia ca acesta sa fie suficient de mic). Cu alte cuvinte, am obținut prin calcul acele legi de bază care au fost stabilite anterior din observații.
Dar derivarea noastră teoretică ne oferă mai mult: ne permite să stabilim o relație cantitativă între perioada pendulului, lungimea acestuia și accelerația căderii libere. Perioada unui pendul matematic este proporțională cu rădăcina pătrată a raportului dintre lungimea pendulului și accelerația datorată gravitației. Coeficientul de proporționalitate este .
O modalitate foarte precisă de a determina această accelerație se bazează pe dependența perioadei pendulului de accelerația căderii libere. Măsurând lungimea pendulului și determinând din un numar mare perioada de oscilație, putem calcula folosind formula rezultată. Această metodă este utilizată pe scară largă în practică.
Se știe (vezi Volumul I, §53) că de accelerația datorată gravitației depinde latitudine geografică locuri (la pol și la ecuator). Observațiile asupra perioadei de balansare a unui anumit pendul de referință fac posibilă studierea distribuției accelerației în cădere liberă pe latitudine. Această metodă este atât de precisă încât diferențele și mai subtile de semnificație pot fi detectate cu ea. suprafața pământului. Se pare că, chiar și pe aceeași paralelă, valorile sunt diferite în diferite puncte de pe suprafața pământului. Aceste anomalii în distribuția accelerației gravitaționale sunt asociate cu densitatea neuniformă a scoarței terestre. Ele sunt folosite pentru a studia distribuția densității, în special, pentru a detecta apariția oricăror minerale în grosimea scoarței terestre. Modificări gravimetrice extinse, care au făcut posibilă judecarea apariției maselor dense, au fost efectuate în URSS în regiunea așa-numitei anomalii magnetice Kursk (vezi Volumul II, § 130) sub îndrumarea fizicianului sovietic Pyotr Petrovici Lazarev. În legătură cu datele despre anomalia terestru camp magnetic aceste date gravimetrice au făcut posibilă stabilirea distribuției apariției maselor de fier, care determină anomaliile magnetice și gravitaționale Kursk.
Pendul matematic- acesta este un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil situat în câmpul gravitațional al Pământului. Un pendul matematic este un model idealizat care descrie corect un pendul real doar în anumite condiții. Un pendul real poate fi considerat matematic dacă lungimea firului este mult mai mare decât dimensiunile corpului suspendat pe el, masa firului este neglijabilă în comparație cu masa corpului, iar deformațiile firului sunt atât de mici. că pot fi neglijate cu totul.
Sistemul oscilator în acest caz formează un fir, corpul atașat de acesta și Pământul, fără de care acest sistem nu ar putea servi drept pendul.
Unde A X – accelerare, g - accelerarea gravitației, X- decalaj, l este lungimea șirului pendulului.
Această ecuație se numește ecuația oscilațiilor libere ale unui pendul matematic. Descrie corect oscilațiile luate în considerare numai atunci când sunt îndeplinite următoarele ipoteze:
2) sunt luate în considerare doar mici oscilații ale unui pendul cu un unghi mic de balansare.
Vibrațiile libere ale oricăror sisteme în toate cazurile sunt descrise prin ecuații similare.
Motivele oscilațiilor libere ale unui pendul matematic sunt:
1. Acţiunea asupra pendulului a forţei de întindere şi a forţei gravitaţiei, împiedicând deplasarea acestuia din poziţia de echilibru şi forţându-l să cadă din nou.
2. Inerția pendulului, datorită căreia, menținându-și viteza, nu se oprește în poziția de echilibru, ci trece prin ea mai departe.
Perioada de oscilații libere a unui pendul matematic
Perioada de oscilații libere a unui pendul matematic nu depinde de masa acestuia, ci este determinată doar de lungimea firului și de accelerația de cădere liberă în locul unde se află pendulul.
Conversia energiei în timpul vibrațiilor armonice
Cu oscilațiile armonice ale unui pendul cu arc, energia potențială a unui corp deformat elastic este convertită în energie kinetică, Unde k – coeficient de elasticitate, X - modulul de deplasare a pendulului din poziția de echilibru, m- masa pendulului, v- viteza lui. În conformitate cu ecuația oscilațiilor armonice:
,
.
Energia totală a pendulului cu arc:
.
Energia totală pentru un pendul matematic:
În cazul unui pendul matematic
Transformările de energie în timpul oscilațiilor unui pendul cu arc au loc în conformitate cu legea conservării energiei mecanice ( 
). Când pendulul se mișcă în sus sau în jos din poziția de echilibru, energia sa potențială crește, iar energia cinetică scade. Când pendulul trece de poziția de echilibru ( X= 0), energia sa potențială este egală cu zero și energia cinetică a pendulului are cea mai mare valoare, egală cu energia sa totală.
Astfel, în procesul de oscilații libere ale pendulului, energia sa potențială este transformată în cinetică, cinetică în potențial, potențial apoi din nou în cinetică etc. Dar energia mecanică totală rămâne neschimbată.
Vibrații forțate. Rezonanţă.
Oscilațiile care apar sub acțiunea unei forțe periodice externe se numesc vibratii fortate. O forță periodică externă, numită forță motrice, conferă energie suplimentară sistemului oscilator, care este folosită pentru a completa pierderile de energie din cauza frecării. Dacă forța motrice se schimbă în timp conform legii sinusului sau cosinusului, atunci oscilațiile forțate vor fi armonice și neamortizate.
Spre deosebire de oscilațiile libere, când sistemul primește energie o singură dată (când sistemul este scos din echilibru), în cazul oscilațiilor forțate, sistemul absoarbe continuu această energie dintr-o sursă de forță periodică externă. Această energie compensează pierderile cheltuite pentru depășirea frecării și, prin urmare, energia totală a sistemului oscilator nu rămâne neschimbată.
Frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența forței motrice. Când frecvenţa forţei motrice υ coincide cu frecvenţa naturală a sistemului oscilator υ 0 , există o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate - rezonanţă. Rezonanţa apare deoarece υ = υ 0 forța externă, care acționează în timp cu vibrații libere, este întotdeauna co-dirijată cu viteza corpului oscilant și face o muncă pozitivă: energia corpului oscilant crește, iar amplitudinea oscilațiilor sale devine mare. Graficul dependenței amplitudinii oscilațiilor forțate A T asupra frecvenței forței motrice υ prezentat în figură, acest grafic se numește curbă de rezonanță:
Fenomenul de rezonanță joacă un rol important într-o serie de procese naturale, științifice și industriale. De exemplu, este necesar să se țină cont de fenomenul de rezonanță atunci când se proiectează poduri, clădiri și alte structuri care suferă vibrații sub sarcină, altfel, în anumite condiții, aceste structuri pot fi distruse.
(lat. amplitudine- magnitudine) - aceasta este cea mai mare abatere a corpului oscilant de la poziția de echilibru.
Pentru un pendul, aceasta este distanța maximă pe care mingea se deplasează din poziția sa de echilibru (figura de mai jos). Pentru oscilații cu amplitudini mici, această distanță poate fi luată drept lungimea arcului 01 sau 02, precum și lungimile acestor segmente.
Amplitudinea oscilației se măsoară în unități de lungime - metri, centimetri etc. Pe graficul de oscilație, amplitudinea este definită ca ordonată maximă (modulo) a curbei sinusoidale, (vezi figura de mai jos).
Perioada de oscilație.
Perioada de oscilație- aceasta este cea mai mica perioada de timp dupa care sistemul, facand oscilatii, revine din nou in aceeasi stare in care se afla la momentul initial de timp, ales arbitrar.
Cu alte cuvinte, perioada de oscilație ( T) este timpul pentru care are loc o oscilație completă. De exemplu, în figura de mai jos, acesta este timpul necesar pentru ca greutatea pendulului să se deplaseze de la extrem punctul potrivit prin punctul de echilibru DESPRE spre punctul cel mai din stânga și înapoi prin punct DESPRE din nou spre extrema dreapta.
Prin urmare, pentru o perioadă completă de oscilație, corpul parcurge o cale egală cu patru amplitudini. Perioada de oscilație este măsurată în unități de timp - secunde, minute etc. Perioada de oscilație poate fi determinată din binecunoscutul grafic de oscilație, (vezi figura de mai jos).
Conceptul de „perioadă de oscilație”, strict vorbind, este valabil doar atunci când valorile mărimii oscilante se repetă exact după o anumită perioadă de timp, adică pentru oscilații armonice. Cu toate acestea, acest concept se aplică și cazurilor de cantități aproximativ repetate, de exemplu, pt oscilații amortizate.
Frecvența de oscilație.
Frecvența de oscilație este numărul de oscilații pe unitatea de timp, de exemplu, în 1 s.
Unitatea de frecvență SI este numită hertz(Hz) în onoarea fizicianului german G. Hertz (1857-1894). Dacă frecvența de oscilație ( v) este egal cu 1 Hz, atunci aceasta înseamnă că se face o oscilație pentru fiecare secundă. Frecvența și perioada oscilațiilor sunt legate de relațiile:
În teoria oscilațiilor se folosește și conceptul ciclic, sau frecventa circulara ω . Este legat de frecvența normală vși perioada de oscilație T rapoarte:
.
Frecvența ciclică este numărul de oscilații pe 2π secunde.
Pendul matematic numit punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat unei suspensii și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).
Studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (un pendul matematic ideal). Inițial, pendulul este în repaus în poziția de echilibru C. În acest caz, forța gravitațională \(\vec F\) și forța elastică \(\vec F_(ynp)\) a firului care acționează asupra acestuia sunt reciproc compensate.
Să scoatem pendulul din poziţia de echilibru (deviandu-l, de exemplu, în poziţia A) şi să-l lăsăm să meargă fără viteza iniţială (Fig. 13.11). În acest caz, forțele \(\vec F\) și \(\vec F_(ynp)\) nu se echilibrează între ele. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\), care acționează asupra pendulului, îi spune accelerația tangențială\(\vec a_\tau\) (componenta accelerației totale îndreptată de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic), iar pendulul începe să se deplaseze spre poziția de echilibru cu o viteză crescândă în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\) este astfel forța de restabilire. Componenta normală \(\vec F_n\) a gravitației este îndreptată de-a lungul firului împotriva forței elastice \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta forțelor \(\vec F_n\) și \(\vec F_(ynp)\) dă pendulului o accelerație normală \(~a_n\), care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul un arc ABCD.
Cu cât pendulul se apropie mai mult de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devine mai mică. În poziția de echilibru, este egal cu zero, iar viteza atinge valoare maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc în sus. În acest caz, componenta \(\vec F_\tau\) este îndreptată împotriva vitezei. Cu o creștere a unghiului de deviere a, modulul de forță \(\vec F_\tau\) crește, iar modulul de viteză scade, iar în punctul D viteza pendulului devine egală cu zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinind, va ajunge în punctul A (fără frecare), adică. face o desfășurare completă. După aceea, mișcarea pendulului se va repeta în secvența descrisă deja.
Obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.
Fie pendulul la un moment dat în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului CB (adică S = |CB|). Indicați lungimea firului de suspensie l, și masa pendulului - m.
Figura 13.11 arată că \(~F_\tau = F \sin \alpha\), unde \(\alpha =\frac(S)(l).\) La unghiuri mici \(~(\alpha\).<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Semnul minus în această formulă este pus deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.
Conform celei de-a doua legi a lui Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic.
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Din aceste ecuații obținem
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă sub forma \. Comparând-o cu ecuația oscilațiilor armonice \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vezi § 13.3), putem concluziona că pendulul matematic realizează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc sub acțiunea doar a forțelor interne, acestea erau oscilații libere ale pendulului. Prin urmare, oscilaţiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.
Notați \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) De unde \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) este frecvența ciclică a pendulului.
Perioada de oscilație a pendulului \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Prin urmare,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Această expresie se numește Formula Huygens. Determină perioada de oscilații libere a pendulului matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic: 1) nu depinde de masa și amplitudinea oscilației acestuia; 2) este proporțională cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțională cu rădăcina pătrată a accelerației gravitaționale. Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.
Subliniem că această formulă poate fi folosită pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții: 1) oscilațiile pendulului trebuie să fie mici; 2) punctul de suspendare al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform rectiliniu față de cadrul de referință inerțial în care se află.
Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerația \(\vec a\), atunci forța de tensiune a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei de oscilație. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată prin formula
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
unde \(~g"\) este accelerația "efectivă" a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egală cu suma geometrică a accelerației de cădere liberă \(\vec g\) și vectorul opus celui vector \(\vec a\), adică poate fi calculat folosind formula
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Literatură
Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: Proc. indemnizație pentru instituțiile care oferă general. medii, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 374-376.
