Pentru a găsi valoarea medie în Excel (fie că este o valoare numerică, textuală, procentuală sau altă valoare), există multe funcții. Și fiecare dintre ele are propriile sale caracteristici și avantaje. La urma urmei, anumite condiții pot fi stabilite în această sarcină.
De exemplu, valorile medii ale unei serii de numere în Excel sunt calculate folosind funcții statistice. De asemenea, puteți introduce manual propria formulă. Să luăm în considerare diferite opțiuni.
Cum se găsește media aritmetică a numerelor?
Pentru a găsi media aritmetică, adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți suma la număr. De exemplu, notele unui student la informatică: 3, 4, 3, 5, 5. Ce este valabil pentru un sfert: 4. Am găsit media aritmetică folosind formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Cum să o faci rapid cu Funcții Excel? Luați de exemplu o serie de numere aleatorii dintr-un șir:
Sau: activați celula și introduceți pur și simplu manual formula: =AVERAGE(A1:A8).
Acum să vedem ce mai poate face funcția AVERAGE.
Aflați media aritmetică a primelor două și a ultimelor trei numere. Formula: =MEDIA(A1:B1;F1:H1). Rezultat:
Medie după stare
Condiția pentru aflarea mediei aritmetice poate fi un criteriu numeric sau unul text. Vom folosi funcția: =AVERAGEIF().
Aflați media aritmetică a numerelor care sunt mai mari sau egale cu 10.
Funcție: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Rezultatul utilizării funcției AVERAGEIF cu condiția „>=10”: Al treilea argument - „Intervalul de mediere” - este omis. În primul rând, nu este necesar. În al doilea rând, intervalul analizat de program conține NUMAI valori numerice. În celulele specificate în primul argument, căutarea va fi efectuată conform condiției specificate în al doilea argument.
Atenţie! Criteriul de căutare poate fi specificat într-o celulă. Și în formula pentru a face o referire la ea.
Să găsim valoarea medie a numerelor după criteriul textului. De exemplu, vânzările medii ale produsului „tabele”.
Funcția va arăta astfel: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Interval - o coloană cu nume de produse. Criteriul de căutare este o legătură către o celulă cu cuvântul „tabele” (puteți introduce cuvântul „tabele” în loc de linkul A7). Interval de mediere - acele celule din care vor fi luate date pentru a calcula valoarea medie.
Ca rezultat al calculului funcției, obținem următoarea valoare:
Atenţie! Pentru un criteriu text (condiție), trebuie specificat intervalul de mediere.
Cum se calculează prețul mediu ponderat în Excel?
Cum știm prețul mediu ponderat?
Formula: =SUMAPRODUS(C2:C12;B2:B12)/SUMA(C2:C12).
Folosind formula SUMPRODUCT, aflăm venitul total după vânzarea întregii cantități de mărfuri. Și funcția SUM - însumează cantitatea de mărfuri. Împărțind venitul total din vânzarea de bunuri la numărul total de unități de mărfuri, am găsit prețul mediu ponderat. Acest indicator ține cont de „greutatea” fiecărui preț. Ponderea sa în masa totală a valorilor.
Abaterea standard: formula în Excel
Distinge mediul deviație standard De populatieși prin probă. În primul caz, aceasta este rădăcina varianță generală. În al doilea, din varianța eșantionului.
Pentru a calcula acest indicator statistic, este compilată o formulă de dispersie. Rădăcina este luată din ea. Dar în Excel există o funcție gata făcută pentru găsirea abaterii standard.
Abaterea standard este legată de amploarea datelor sursă. Acest lucru nu este suficient pentru o reprezentare figurativă a variației intervalului analizat. Pentru a obține nivelul relativ de împrăștiere în date, se calculează coeficientul de variație:
abatere standard / medie aritmetică
Formula în Excel arată astfel:
STDEV (interval de valori) / AVERAGE (interval de valori).
Coeficientul de variație se calculează procentual. Prin urmare, setăm formatul procentual în celulă.
Semnele unităților de agregate statistice sunt diferite în sensul lor, de exemplu, salariile lucrătorilor unei profesii a unei întreprinderi nu sunt aceleași pentru aceeași perioadă de timp, prețurile de piață pentru aceleași produse sunt diferite, randamentul culturilor în ferme a regiunii etc. Prin urmare, pentru a determina valoarea unei caracteristici caracteristice întregii populații de unități studiate, se calculează valori medii.
valoarea medie –
este o caracteristică generalizantă a setului de valori individuale ale unei trăsături cantitative.
Populația studiată printr-un atribut cantitativ este formată din valori individuale; sunt influenţaţi ca cauze comune si conditii individuale. În valoarea medie, abaterile caracteristice valorilor individuale sunt anulate. Media, fiind o funcție a unui set de valori individuale, reprezintă întregul set cu o singură valoare și reflectă lucrul comun care este inerent tuturor unităților sale.
Se numește media calculată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ medie tipică. De exemplu, puteți calcula salariul mediu lunar al unui angajat dintr-unul sau alt grup profesional (miner, medic, bibliotecar). Desigur, nivelurile lunare salariile minerii, din cauza diferențelor de calificare, vechimea în muncă, orele lucrate pe lună și mulți alți factori, diferă între ei și de nivelul salariilor medii. Cu toate acestea, nivelul mediu reflectă principalii factori care afectează nivelul salariilor și compensează reciproc diferențele care apar din cauza caracteristici individuale muncitor. Salariul mediu reflectă nivelul tipic al salariilor pentru acest tip de muncitor. Obținerea unei medii tipice ar trebui precedată de o analiză a modului în care această populație este omogenă calitativ. Dacă setul este format din părți separate, ar trebui împărțit în grupuri tipice (temperatura medie în spital).
Se numesc valori medii utilizate ca caracteristici pentru populațiile eterogene mediile sistemului. De exemplu, valoarea medie a produsului intern brut (PIB) pe cap de locuitor, consumul mediu al diferitelor grupe de bunuri pe persoană și alte valori similare reprezentând caracteristicile generale ale statului ca sistem economic unic.
Media ar trebui calculată pentru populații formate din suficient un numar mare unitati. Respectarea acestei condiții este necesară pentru intrarea în vigoare a legii. numere mari, drept urmare abaterile aleatorii ale valorilor individuale de la tendința generală se anulează reciproc.
Tipuri de medii și metode de calculare a acestora
Alegerea tipului de medie este determinată de conținutul economic al unui anumit indicator și de datele inițiale. Cu toate acestea, orice valoare medie ar trebui calculată astfel încât, atunci când înlocuiește fiecare variantă a caracteristicii medii, finala, generalizantă sau, așa cum se numește în mod obișnuit, indicator definitoriu, care este raportat la medie. De exemplu, atunci când se înlocuiesc vitezele reale pe secțiuni individuale ale traseului, viteza lor medie nu ar trebui să modifice distanța totală parcursă vehiculîn același timp; la înlocuirea salariului efectiv al angajaților individuali ai întreprinderii cu salariul mediu, fondul de salarii nu ar trebui să se modifice. În consecință, în fiecare caz concret, în funcție de natura datelor disponibile, există o singură valoare medie adevărată a indicatorului care este adecvată proprietăților și esenței fenomenului socio-economic studiat.
Cele mai frecvent utilizate sunt media aritmetică, media armonică, media geometrică, pătratul mediu și cubic mediu.
Mediile enumerate aparțin clasei putere medie și sunt combinate prin formula generală:
,
unde este valoarea medie a trăsăturii studiate;
m este exponentul mediei;
– valoarea curentă (varianta) a caracteristicii mediate;
n este numărul de caracteristici.
În funcție de valoarea exponentului m, se disting următoarele tipuri de medii de putere:
la m = -1 – armonică medie ;
la m = 0 – medie geometrică ;
la m = 1 – medie aritmetică;
la m = 2 – pătrat mediu ;
la m = 3 - cubic mediu.
Când se utilizează aceleași date de intrare, cu cât exponentul m este mai mare în formula de mai sus, mai multă valoare mărime medie:
.
Această proprietate a legii puterii înseamnă a crește cu o creștere a exponentului funcției definitorii regula majorării mijloacelor.
Fiecare dintre mediile marcate poate lua două forme: simpluȘi ponderat.
Forma simplă a mijlocului se aplică atunci când media este calculată pe date primare (negrupate). formă ponderată– la calcularea mediei pentru datele secundare (grupate).
Media aritmetică
Media aritmetică este utilizată atunci când volumul populației este suma tuturor valorilor individuale ale atributului variabil. De remarcat că, dacă nu este indicat tipul de medie, se presupune media aritmetică. Formula sa logica este: 
medie aritmetică simplă calculat prin date negrupate
dupa formula: 
sau ,
unde sunt valorile individuale ale atributului;
j este numărul de serie al unității de observație, care se caracterizează prin valoarea ;
N este numărul de unități de observare (dimensiunea setată).
Exemplu.În cadrul prelegerii „Rezumatul și gruparea datelor statistice”, au fost luate în considerare rezultatele observării experienței de muncă a unei echipe de 10 persoane. Calculați experiența medie de muncă a lucrătorilor brigăzii. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
După formula mediei aritmetice simple, se mai calculează medii cronologice, dacă intervalele de timp pentru care sunt prezentate valorile caracteristice sunt egale.
Exemplu. Volumul produselor vândute pentru primul trimestru a fost de 47 den. unități, pentru al doilea 54, pentru al treilea 65 și pentru al patrulea 58 den. unitati Cifra de afaceri trimestrială medie este (47+54+65+58)/4 = 56 den. unitati
Dacă în seria cronologică sunt indicați momentanți, atunci când se calculează media, aceștia sunt înlocuiți cu jumătăți de sume de valori la începutul și la sfârșitul perioadei.
Dacă există mai mult de două momente și intervalele dintre ele sunt egale, atunci media se calculează folosind formula pentru media cronologică.
,
unde n este numărul de puncte de timp
Când datele sunt grupate după valorile atributelor
(adică se construiește o serie de distribuție variațională discretă) cu medie aritmetică ponderată este calculat folosind fie frecvențe, fie frecvențe de observare a unor valori specifice ale caracteristicii, al căror număr (k) este semnificativ mai mic decât numărul observații (N) .
,
,
unde k este numărul de grupuri ale seriei de variații,
i este numărul grupului seriei de variații.
Deoarece , și , obținem formulele utilizate pentru calculele practice:
Și
Exemplu. Să calculăm vechimea medie în muncă a echipelor de lucru pentru seriile grupate.
a) folosind frecvențe:
b) folosind frecvențe:
Când datele sunt grupate pe intervale
, adică sunt prezentate sub forma unor serii de distribuție de intervale; la calcularea mediei aritmetice, mijlocul intervalului este luat ca valoare a caracteristicii, pe baza ipotezei unei distribuții uniforme a unităților populației în acest interval. Calculul se efectuează după formulele:
Și
unde este mijlocul intervalului: ,
unde și sunt limitele inferioare și superioare ale intervalelor (cu condiția ca limită superioară al acestui interval coincide cu limita inferioară a intervalului următor).
Exemplu. Să calculăm media aritmetică a seriei de variații de interval construită din rezultatele unui studiu al salariilor anuale a 30 de muncitori (vezi prelegerea „Rezumatul și gruparea datelor statistice”).
Tabelul 1 - Seria de variație a intervalului de distribuție.
Intervale, UAH |
Frecvență, pers. |
frecvență, |
Mijlocul intervalului |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH sau 
UAH
Este posibil ca mediile aritmetice calculate pe baza datelor inițiale și a seriei de variații de intervale să nu coincida din cauza distribuției inegale a valorilor atributelor în intervale. În acest caz, pentru un calcul mai precis al mediei ponderate aritmetice, ar trebui să se folosească nu mijlocul intervalelor, ci mediile simple aritmetice calculate pentru fiecare grup ( medii de grup). Se numește media calculată din mediile de grup folosind o formulă de calcul ponderată media generală.
Media aritmetică are o serie de proprietăți.
1. Suma abaterilor variantei de la medie este zero:
.
2. Dacă toate valorile opțiunii cresc sau scad cu valoarea A, atunci valoarea medie crește sau scade cu aceeași valoare A: 
3. Dacă fiecare opțiune este mărită sau micșorată de B ori, atunci și valoarea medie va crește sau scade de același număr de ori:
sau 
4. Suma produselor variantei după frecvențe este egală cu produsul valorii medii cu suma frecvențelor: 
5. Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau înmulțite cu orice număr, atunci media aritmetică nu se va modifica: 
6) dacă în toate intervalele frecvențele sunt egale între ele, atunci media ponderată aritmetică este egală cu media aritmetică simplă: 
,
unde k este numărul de grupuri din seria de variații.
Utilizarea proprietăților mediei vă permite să simplificați calculul acesteia.
Să presupunem că toate opțiunile (x) sunt mai întâi reduse cu același număr A și apoi reduse cu un factor de B. Cea mai mare simplificare se realizează atunci când valoarea mijlocului intervalului cu cea mai mare frecvență este aleasă ca A, iar valoarea intervalului (pentru rândurile cu aceleași intervale) este aleasă ca B. Mărimea A se numește origine, deci această metodă de calcul a mediei se numește cale b referință de ohm de la zero condiționat sau modul momentelor.
După o astfel de transformare, obținem o nouă serie de distribuție variațională, ale cărei variante sunt egale cu . Media lor aritmetică, numită momentul de prim ordin, este exprimată prin formula și conform celei de-a doua și a treia proprietăți, media aritmetică este egală cu media versiunii originale, redusă mai întâi cu A și apoi cu B ori, adică .
Pentru obtinerea medie reală(mijlocul rândului original) trebuie să înmulțiți momentul primului ordin cu B și să adăugați A: 
Calculul mediei aritmetice prin metoda momentelor este ilustrat de datele din tabel. 2.
Tabelul 2 - Distribuția angajaților magazinului întreprinderii în funcție de vechimea în muncă
Experienta in munca, ani |
Cantitatea de muncitori |
Punct de mijloc al intervalului |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Găsirea momentului primei comenzi 
. Apoi, știind că A = 17,5 și B = 5, calculăm experiența medie de muncă a lucrătorilor din magazin:
ani
Armonică medie
După cum se arată mai sus, media aritmetică este utilizată pentru a calcula valoarea medie a unei caracteristici în cazurile în care sunt cunoscute variantele x și frecvențele lor f.
Dacă informația statistică nu conține frecvențele f pentru opțiunile individuale x ale populației, ci sunt prezentate ca produsul lor, se aplică formula armonică medie ponderată. Pentru a calcula media, notează , de unde . Înlocuind aceste expresii în formula medie aritmetică ponderată, obținem formula medie armonică ponderată: 
,
unde este volumul (greutatea) valorilor atributului indicatorului în intervalul cu numărul i (i=1,2, …, k).
Astfel, media armonică este utilizată în cazurile în care nu opțiunile în sine sunt supuse însumării, ci reciprocele lor: 
.
În cazurile în care ponderea fiecărei opțiuni este egală cu unu, i.e. valorile individuale ale caracteristicii inverse apar o dată, se aplică medie armonică simplă:
,
unde sunt variante individuale ale trăsăturii inverse care apar o dată;
N este numărul de opțiuni.
Dacă există medii armonice pentru două părți ale populației cu un număr de și, atunci media totală pentru întreaga populație se calculează prin formula: 
și a sunat media armonică ponderată a mijloacelor de grup.
Exemplu. Trei tranzacții au fost făcute în prima oră de tranzacționare la bursa valutară. Datele privind valoarea vânzărilor de grivne și cursul de schimb al grivnei față de dolarul american sunt prezentate în tabel. 3 (coloanele 2 și 3). Determinați cursul mediu de schimb al hrivnei față de dolarul american pentru prima oră de tranzacționare.
Tabelul 3 - Date despre cursul tranzacționării la schimbul valutar
Cursul mediu de schimb al dolarului este determinat de raportul dintre cantitatea de grivne vândute în cursul tuturor tranzacțiilor și suma de dolari dobândită ca urmare a acelorași tranzacții. Suma totală a vânzării grivnei este cunoscută din coloana 2 a tabelului, iar suma de dolari achiziționați în fiecare tranzacție este determinată prin împărțirea sumei vânzării grivnei la cursul său de schimb (coloana 4). Un total de 22 de milioane de dolari a fost achiziționat în timpul a trei tranzacții. Aceasta înseamnă că cursul de schimb mediu al hrivnei pentru un dolar a fost 
.
Valoarea rezultată este reală, deoarece înlocuirea sa a cursurilor de schimb reale ale hrivnei în tranzacții nu va modifica valoarea totală a vânzărilor hrivnei, care acționează ca indicator definitoriu: mln. UAH
Dacă media aritmetică a fost folosită pentru calcul, i.e. 
grivne, apoi la cursul de schimb pentru achiziționarea de 22 de milioane de dolari. Ar trebui cheltuiți 110,66 milioane UAH, ceea ce nu este adevărat.
Medie geometrică
Media geometrică este utilizată pentru a analiza dinamica fenomenelor și vă permite să determinați rata medie de creștere. La calcularea mediei geometrice, valorile individuale ale trăsăturii sunt indicatori relativi ai dinamicii, construite sub formă de valori în lanț, ca raport al fiecărui nivel față de cel anterior.
Media geometrică simplă se calculează prin formula: 
,
unde este semnul produsului,
N este numărul de valori medii.
Exemplu. Numărul infracțiunilor înregistrate pe 4 ani a crescut de 1,57 ori, inclusiv pentru a 1-a - de 1,08 ori, pentru a 2-a - de 1,1 ori, pentru a 3-a - de 1,18 și pentru a 4-a - de 1,12 ori. Atunci ritmul mediu anual de creștere a numărului de infracțiuni este: , i.e. Numărul infracțiunilor înregistrate a crescut în medie cu 12% anual.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Pentru a calcula pătratul mediu ponderat, determinăm și introducem în tabel și. Atunci valoarea medie a abaterilor lungimii produselor de la o anumită normă este egală cu: 
medie aritmetică în acest caz ar fi nepotrivit, pentru că ca urmare, am obține o abatere zero.
Utilizarea rădăcinii pătrate medii va fi discutată mai târziu în exponenții variației.
În calculul valorii medii se pierde.
In medie sens setul de numere este egal cu suma numerelor S împărțită la numărul acestor numere. Adică se dovedește că in medie sens este egal cu: 19/4 = 4,75.
Notă
Dacă trebuie să găsiți media geometrică pentru doar două numere, atunci nu aveți nevoie de un calculator de inginerie: extrageți rădăcina gradului doi ( Rădăcină pătrată) din orice număr se poate face folosind cel mai comun calculator.
Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică nu este atât de puternic influențată de abateri și fluctuații mari între valorile individuale din setul de indicatori studiat.
Surse:
- Calculator online care calculează media geometrică
- in medie formula geometrică
In medie valoarea este una dintre caracteristicile unui set de numere. Reprezintă un număr care nu poate fi în afara intervalului definit de cel mai mare și cele mai mici valoriîn acest set de numere. In medie valoarea aritmetică - cea mai utilizată varietate de medii.
Instruire
Adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți-le la numărul de termeni pentru a obține media aritmetică. În funcție de condițiile specifice ale calculului, uneori este mai ușor să împărțiți fiecare dintre numere la numărul de valori din set și să însumați rezultatul.
Utilizați, de exemplu, inclus în sistemul de operare Windows, dacă nu este posibil să calculați media aritmetică în minte. Îl puteți deschide folosind dialogul de lansare a programului. Pentru a face acest lucru, apăsați „tastele rapide” WIN + R sau faceți clic pe butonul „Start” și selectați comanda „Run” din meniul principal. Apoi tastați calc în câmpul de introducere și apăsați Enter sau faceți clic pe butonul OK. Același lucru se poate face prin meniul principal - deschideți-l, accesați secțiunea „Toate programele” și în secțiunea „Standard” și selectați linia „Calculator”.
Introduceți succesiv toate numerele din set apăsând tasta Plus după fiecare dintre ele (cu excepția ultimului) sau făcând clic pe butonul corespunzător din interfața calculatorului. De asemenea, puteți introduce numere atât de la tastatură, cât și făcând clic pe butoanele interfeței corespunzătoare.
Apăsați tasta bară oblică sau faceți clic pe aceasta în interfața calculatorului după ce ați introdus ultima valoare setată și imprimați numărul de numere din secvență. Apoi apăsați semnul egal și calculatorul va calcula și va afișa media aritmetică.
Puteți utiliza un editor de foi de calcul în același scop. Microsoft Excel. În acest caz, porniți editorul și introduceți toate valorile secvenței de numere în celulele adiacente. Dacă după introducerea fiecărui număr apăsați Enter sau tasta săgeată în jos sau la dreapta, editorul însuși va muta focalizarea de intrare în celula adiacentă.
Faceți clic pe celula de lângă ultimul număr introdus, dacă nu doriți să vedeți doar media aritmetică. Extindeți meniul derulant sigma grecesc (Σ) al comenzilor de editare din fila Acasă. Selectați linia " In medie” iar editorul va introduce formula dorită pentru calcularea mediei valoare aritmetică la celula evidenţiată. Apăsați tasta Enter și valoarea va fi calculată.
Media aritmetică este una dintre măsurile de tendință centrală, utilizată pe scară largă în calcule matematice și statistice. Găsirea mediei aritmetice a mai multor valori este foarte simplă, dar fiecare sarcină are propriile sale nuanțe, pe care pur și simplu trebuie să le cunoaștem pentru a efectua calcule corecte.
Care este media aritmetică
Media aritmetică determină valoarea medie pentru întregul tablou original de numere. Cu alte cuvinte, dintr-un anumit set de numere, se selectează o valoare comună tuturor elementelor, a cărei comparație matematică cu toate elementele este aproximativ egală. Media aritmetică este utilizată în primul rând în pregătirea rapoartelor financiare și statistice sau pentru calcularea rezultatelor unor experimente similare.Cum se găsește media aritmetică
Găsirea unei medii număr aritmetic pentru o matrice de numere, ar trebui să începeți prin a determina suma algebrică a acestor valori. De exemplu, dacă tabloul conține numerele 23, 43, 10, 74 și 34, atunci suma lor algebrică va fi 184. La scriere, media aritmetică este notă cu litera μ (mu) sau x (x cu o bară) . Apoi, suma algebrică trebuie împărțită la numărul de numere din tablou. În acest exemplu, au fost cinci numere, deci media aritmetică va fi 184/5 și va fi 36,8.Caracteristicile lucrului cu numere negative
Dacă există numere negative în matrice, atunci media aritmetică este găsită folosind un algoritm similar. Există o diferență numai atunci când se calculează în mediul de programare sau dacă există condiții suplimentare în sarcină. În aceste cazuri, găsirea mediei aritmetice a numerelor cu semne diferite se reduce la trei etape:1. Aflarea mediei aritmetice comune prin metoda standard;
2. Aflarea mediei aritmetice a numerelor negative.
3. Calculul mediei aritmetice a numerelor pozitive.
Răspunsurile fiecăreia dintre acțiuni sunt scrise separate prin virgule.
Fracții naturale și zecimale
Dacă este prezentată o serie de numere zecimale, soluția apare după metoda de calcul a mediei aritmetice a numerelor întregi, dar rezultatul se reduce în funcție de cerințele problemei pentru acuratețea răspunsului.Când lucrezi cu fracții naturale acestea ar trebui reduse la un numitor comun, care este înmulțit cu numărul de numere din matrice. Numătorul răspunsului va fi suma numărătorilor redusi ai elementelor fracționale originale.
- Calculator de inginerie.
Instruire
Rețineți că în cazul general media geometrică a numerelor se găsește prin înmulțirea acestor numere și extragerea din ele a rădăcinii gradului care corespunde numărului de numere. De exemplu, dacă trebuie să găsiți media geometrică a cinci numere, atunci va trebui să extrageți rădăcina gradului din produs.
Pentru a afla media geometrică a două numere, folosiți regula de bază. Găsiți produsul lor și apoi extrageți rădăcina pătrată din acesta, deoarece numerele sunt două, ceea ce corespunde gradului rădăcinii. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 16 și 4, găsiți produsul lor 16 4=64. Din numărul rezultat, extrageți rădăcina pătrată √64=8. Aceasta va fi valoarea dorită. Vă rugăm să rețineți că media aritmetică a acestor două numere este mai mare și egală cu 10. Dacă rădăcina nu este luată complet, rotunjiți rezultatul la ordinea dorită.
Pentru a găsi media geometrică a mai mult de două numere, utilizați și regula de bază. Pentru a face acest lucru, găsiți produsul tuturor numerelor pentru care doriți să aflați media geometrică. Din produsul rezultat, extrageți rădăcina gradului egală cu numărul de numere. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a numerelor 2, 4 și 64, găsiți produsul lor. 2 4 64=512. Deoarece trebuie să găsiți rezultatul mediei geometrice a trei numere, extrageți rădăcina gradului al treilea din produs. Este dificil să faci asta verbal, așa că folosește un calculator de inginerie. Pentru a face acest lucru, are un buton „x ^ y”. Formați numărul 512, apăsați butonul „x^y”, apoi formați numărul 3 și apăsați butonul „1/x”, pentru a găsi valoarea 1/3, apăsați butonul „=". Obținem rezultatul ridicării lui 512 la puterea 1/3, care corespunde rădăcinii gradului al treilea. Obține 512^1/3=8. Aceasta este media geometrică a numerelor 2,4 și 64.
Folosind un calculator de inginerie, puteți găsi media geometrică într-un alt mod. Găsiți butonul jurnal de pe tastatură. După aceea, luați logaritmul pentru fiecare dintre numere, găsiți suma lor și împărțiți-o la numărul de numere. Din numărul rezultat, luați antilogaritmul. Aceasta va fi media geometrică a numerelor. De exemplu, pentru a găsi media geometrică a acelorași numere 2, 4 și 64, faceți un set de operații pe calculator. Tastați numărul 2, apoi apăsați butonul log, apăsați butonul „+”, introduceți numărul 4 și apăsați din nou log și „+”, tastați 64, apăsați log și „=". Rezultatul va fi un număr egal cu suma logaritme zecimale ale numerelor 2, 4 și 64. Împărțiți numărul rezultat la 3, deoarece acesta este numărul de numere prin care se caută media geometrică. Din rezultat, luați antilogaritmul comutând cheia de înregistrare și folosiți aceeași cheie de jurnal. Rezultatul este cifra 8, aceasta este media geometrică dorită.
Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în statistici. Valorile medii caracterizează indicatorii calitativi ai activității comerciale: costuri de distribuție, profit, rentabilitate etc.
Mediu Aceasta este una dintre cele mai comune generalizări. O înțelegere corectă a esenței mediei determină semnificația sa specială în ceea ce privește economie de piata, atunci când media prin individul și aleatoriu vă permite să identificați general și necesar, pentru a identifica tendința modelelor de dezvoltare economică.
valoarea medie - sunt indicatori generalizatori în care găsesc expresie a acţiunii condiţiilor generale, tipare ale fenomenului studiat.
Mediile statistice se calculează pe baza datelor de masă ale observației de masă organizate corect statistic (continuă și selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculăm salariile medii în cooperative și întreprinderile de stat și extindem rezultatul la întreaga populație, atunci media este fictivă, deoarece este calculată pentru o populație eterogenă, iar o astfel de medie își pierde orice semnificație.
Cu ajutorul mediei, există un fel de netezire a diferențelor în dimensiunea caracteristicii care apar dintr-un motiv sau altul în unitățile individuale de observație.
De exemplu, producția medie a unui agent de vânzări depinde de mulți factori: calificări, vechime în serviciu, vârstă, formă de serviciu, sănătate și așa mai departe.
Producția medie reflectă proprietatea generală a întregii populații.
Valoarea medie este o reflectare a valorilor trăsăturii studiate, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune cu această trăsătură.
Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de orice atribut. Pentru a obține o imagine completă și cuprinzătoare a populației studiate în ceea ce privește o serie de caracteristici esențiale, este, în general, necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.
Există diferite medii:
medie aritmetică;
medie geometrică;
armonică medie;
rădăcină medie pătrată;
medie cronologică.
Luați în considerare câteva tipuri de medii care sunt cel mai frecvent utilizate în statistici.
Media aritmetică
Media aritmetică simplă (neponderată) este egală cu suma valorilor individuale ale caracteristicii, împărțită la numărul acestor valori.
Valorile individuale ale atributului se numesc variante și sunt notate cu x (); numărul de unități de populație se notează cu n, valoarea medie a caracteristicii - cu 
. Prin urmare, media aritmetică simplă este:
Conform datelor seriei de distribuție discretă, se poate observa că aceleași valori ale atributului (opțiuni) se repetă de mai multe ori. Deci, varianta x apare în total de 2 ori, iar varianta x - de 16 ori etc.
Numărul de valori identice ale unei caracteristici din seria de distribuție se numește frecvență sau greutate și este notat cu simbolul n.
Calculați salariul mediu pe lucrător 
in ruble:
Masa salarială pentru fiecare grup de lucrători este egală cu produsul opțiunilor și frecvența, iar suma acestor produse dă masa salarială totală a tuturor lucrătorilor.
În conformitate cu aceasta, calculele pot fi prezentate într-o formă generală:
Formula rezultată se numește medie aritmetică ponderată.
Materialul statistic ca rezultat al prelucrării poate fi prezentat nu numai sub forma unor serii de distribuție discretă, ci și sub forma unor serii de variații de interval cu intervale închise sau deschise.
Calculul mediei pentru datele grupate se efectuează conform formulei mediei aritmetice ponderate:
În practica statisticii economice, uneori este necesar să se calculeze media pe medii de grup sau pe medii ale părților individuale ale populației (medii parțiale). În astfel de cazuri, mediile de grup sau parțiale sunt luate ca opțiuni (x), pe baza cărora media totală este calculată ca medie ponderată aritmetică obișnuită.
Proprietățile de bază ale mediei aritmetice .
Media aritmetică are o serie de proprietăți:
1. Dintr-o scădere sau creștere a frecvențelor fiecărei valori a atributului x de n ori, valoarea mediei aritmetice nu se va modifica.
Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau înmulțite cu un număr, atunci valoarea mediei nu se va modifica.
2. Multiplicatorul total al valorilor individuale ale atributului poate fi scos din semnul mediei:
3. Suma (diferența) medie a două sau mai multe cantități este egală cu suma (diferența) mediilor lor:
4. Dacă x \u003d c, unde c este o valoare constantă, atunci 
.
5. Suma abaterilor valorilor caracteristicii X de la media aritmetică x este egală cu zero:
Armonică medie.
Alături de media aritmetică, statistica utilizează media armonică, reciproca mediei aritmetice a valorilor reciproce ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată.
Alături de medii, caracteristicile seriei de variații sunt modul și mediana.
Modă - aceasta este valoarea trasaturii (variantei), cea mai frecvent repetata in populatia studiata. Pentru seriile de distribuție discretă, modul va fi valoarea variantei cu cea mai mare frecvență.
Pentru serii de distribuție a intervalelor cu intervale egale, modul este determinat de formula:
Unde 
- valoarea iniţială a intervalului care conţine modul;
- valoarea intervalului modal;
- frecvența intervalului modal;
- frecvenţa intervalului premergător modalului;
- frecvenţa intervalului după modal.
Median este varianta situată la mijlocul rândului de variație. Dacă seria de distribuție este discretă și are un număr impar de membri, atunci mediana va fi varianta situată la mijlocul seriei ordonate (o serie ordonată este aranjarea unităților populației în ordine crescătoare sau descrescătoare).
În statistici, sunt utilizate diferite tipuri de medii, care sunt împărțite în două clase mari:
Medii de putere (media armonică, medie geometrică, medie aritmetică, medie pătratică, medie cubică);
Medii structurale (mod, mediană).
A calcula putere înseamnă trebuie utilizate toate valorile caracteristice disponibile. ModăȘi median sunt determinate doar de structura de distribuție, de aceea se numesc medii structurale, poziționale. Mediana și modul sunt adesea folosite ca caracteristica medieîn acele populaţii în care calculul puterii medii este imposibil sau nepractic.
Cel mai comun tip de medie este media aritmetică. Sub medie aritmetică se înțelege ca o astfel de valoare a unei caracteristici pe care ar avea-o fiecare unitate a populației dacă totalul tuturor valorilor caracteristicii ar fi distribuit uniform între toate unitățile populației. Calculul acestei valori se reduce la însumarea tuturor valorilor atributului variabil și la împărțirea sumei rezultate la numărul total de unități de populație. De exemplu, cinci muncitori au finalizat o comandă pentru fabricarea de piese, în timp ce primul a produs 5 piese, a doua - 7, a treia - 4, a patra - 10, a cincea - 12. Deoarece valoarea fiecărei opțiuni a apărut doar o dată în datele inițiale, pentru a determina
Atunci când se calculează producția medie a unui lucrător, trebuie aplicată formula medie aritmetică simplă:
adică, în exemplul nostru, producția medie a unui lucrător este egală cu
Împreună cu media aritmetică simplă, ei studiază medie aritmetică ponderată. De exemplu, să calculăm varsta medie elevi într-un grup de 20, cu vârsta cuprinsă între 18 și 22 de ani, unde xi– variante ale caracteristicii medii, fi- frecventa, care arata de cate ori apare i-a valoarea în agregat (Tabelul 5.1).
Tabelul 5.1
Vârsta medie a elevilor
Aplicând formula mediei aritmetice ponderate, obținem:
Pentru a alege o medie aritmetică ponderată, există o anumită regulă: dacă există o serie de date pe doi indicatori, pentru unul dintre care este necesar să se calculeze
valoarea medie și, în același timp, valorile numerice ale numitorului formulei sale logice sunt cunoscute, iar valorile numărătorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca un produs al acești indicatori, atunci valoarea medie trebuie calculată folosind formula medie ponderată aritmetică.
În unele cazuri, natura datelor statistice inițiale este de așa natură încât calculul mediei aritmetice își pierde sensul și singurul indicator de generalizare nu poate fi decât un alt tip de valoare medie - armonică medie.În prezent, proprietățile de calcul ale mediei aritmetice și-au pierdut relevanța în calculul indicatorilor statistici generalizatori din cauza introducerii pe scară largă a calculatoarelor electronice. Valoarea armonică medie, care este de asemenea simplă și ponderată, a căpătat o mare importanță practică. Dacă sunt cunoscute valorile numerice ale numărătorului formulei logice, iar valorile numitorului sunt necunoscute, dar pot fi găsite ca o împărțire privată a unui indicator cu altul, atunci valoarea medie este calculată prin ponderea formula medie armonică.
De exemplu, să se știe că mașina a parcurs primii 210 km cu o viteză de 70 km/h, iar restul de 150 km cu o viteză de 75 km/h. Este imposibil să se determine viteza medie a mașinii pe toată durata călătoriei de 360 km folosind formula mediei aritmetice. Deoarece opțiunile sunt vitezele în secțiuni individuale xj= 70 km/h și x2= 75 km/h, iar greutățile (fi) sunt segmentele corespunzătoare ale traseului, atunci produsele opțiunilor după greutăți nu vor avea nici semnificație fizică, nici economică. În acest caz, este logic să împărțiți segmentele traseului în viteze corespunzătoare (opțiuni xi), adică timpul petrecut la trecerea secțiunilor individuale ale căii (fi / xi). Dacă segmentele căii sunt notate cu fi, atunci întreaga cale poate fi exprimată ca?fi, iar timpul petrecut pe întreaga cale, cum? fi / xi , Apoi viteza medie poate fi găsită ca coeficientul distanței totale împărțit la timpul total petrecut:
În exemplul nostru, obținem:
Dacă atunci când utilizați greutatea armonică medie a tuturor opțiunilor (f) sunt egale, atunci în loc de cea ponderată, puteți utiliza medie armonică simplă (neponderată):
unde xi sunt opțiuni individuale; n este numărul de variante ale caracteristicii medii. În exemplul cu viteză, o medie armonică simplă ar putea fi aplicată dacă segmentele de drum parcurse cu viteze diferite ar fi egale.
Orice valoare medie ar trebui calculată astfel încât atunci când înlocuiește fiecare variantă a caracteristicii medii, valoarea unui indicator final, generalizant, care este asociat cu indicatorul mediu, să nu se modifice. Deci, atunci când înlocuiți vitezele reale pe secțiuni individuale ale traseului cu valoarea lor medie (viteza medie), distanța totală nu ar trebui să se modifice.
Forma (formula) valorii medii este determinată de natura (mecanismul) relației acestui indicator final cu cel mediat, prin urmare indicatorul final, a cărui valoare nu ar trebui să se modifice atunci când opțiunile sunt înlocuite cu valoarea lor medie , se numește indicator definitoriu. Pentru a obține formula medie, trebuie să compuneți și să rezolvați o ecuație folosind relația dintre indicatorul mediu cu cel determinant. Această ecuație este construită prin înlocuirea variantelor caracteristicii (indicatorului) medie cu valoarea medie a acestora.
Pe lângă media aritmetică și media armonică, în statistică se mai folosesc și alte tipuri (forme) de medie. Toate sunt cazuri speciale. medie gradului. Dacă calculăm toate tipurile de medii ale legii puterii pentru aceleași date, atunci valorile
vor fi la fel, aici se aplică regula majoranta mediu. Pe măsură ce exponentul mediei crește, la fel crește și media în sine. Cele mai frecvent utilizate formule de calcul în cercetarea practică diferite feluri mediile puterii sunt prezentate în tabel. 5.2.
Tabelul 5.2
Tipuri de mijloace de putere
Media geometrică se aplică atunci când este disponibilă. n factori de creștere, în timp ce valorile individuale ale trăsăturii sunt, de regulă, valori relative dinamică construită sub formă de valori în lanț, ca raport față de nivelul anterior al fiecărui nivel într-o serie de dinamică. Media caracterizează astfel rata medie de creștere. geometric înseamnă simplu calculate prin formula
Formulă medie geometrică ponderată are următoarea formă:
Formulele de mai sus sunt identice, dar una se aplică la coeficienții sau ratele de creștere actuale, iar a doua - la valorile absolute ale nivelurilor seriei.
rădăcină medie pătrată este utilizat la calcularea cu valorile funcțiilor pătrate, este utilizat pentru a măsura gradul de fluctuație a valorilor individuale ale atributului în jurul mediei aritmetice din seria de distribuție și este calculat prin formula
Pătrat mediu ponderat calculat folosind o formulă diferită:
Cubic mediu se utilizează la calcularea cu valorile funcțiilor cubice și se calculează prin formula
cubic mediu ponderat:
Toate valorile medii de mai sus pot fi reprezentate ca o formulă generală:
unde este valoarea medie; – valoarea individuală; n- numarul de unitati ale populatiei studiate; k este exponentul care determină tipul mediei.
Când utilizați aceleași date sursă, cu atât mai mult k V formula generala puterea medie, cu atât mai mare este media. De aici rezultă că există o relație regulată între valorile puterii înseamnă:
Valorile medii descrise mai sus oferă o idee generalizată a populației studiate, iar din acest punct de vedere, semnificația lor teoretică, aplicată și cognitivă este incontestabilă. Dar se întâmplă ca valoarea mediei să nu coincidă cu nici una dintre opțiunile cu adevărat existente, prin urmare, pe lângă mediile luate în considerare în analize statistice este oportun să se utilizeze valorile unor variante specifice care ocupă o poziție bine definită într-o serie ordonată (clasată) de valori ale atributelor. Dintre aceste cantități, cele mai utilizate sunt structural, sau descriptiv, mediu– mod (Mo) și mediană (Me).
Modă- valoarea trasaturii care se intalneste cel mai des la aceasta populatie. În ceea ce privește seria variațională, modul este valoarea cea mai frecventă a seriei clasate, adică varianta cu cea mai mare frecvență. Moda poate fi folosită pentru a determina cele mai vizitate magazine, cel mai frecvent preț pentru orice produs. Ea arată dimensiunea caracteristicii unei părți semnificative a populației și este determinată de formulă
unde x0 este limita inferioară a intervalului; h– valoarea intervalului; fm– frecvența intervalului; fm_ 1 – frecvența intervalului anterior; fm+ 1 – frecvența intervalului următor.
Median varianta situată în centrul rândului clasat se numește. Mediana împarte seria în două părți egale, astfel încât pe ambele părți ale acesteia să existe același număr de unități de populație. În același timp, într-o jumătate a unităților populației, valoarea atributului variabil este mai mică decât mediana, în cealaltă jumătate este mai mare decât aceasta. Mediana este utilizată atunci când se examinează un element a cărui valoare este mai mare sau egală sau simultan mai mică sau egală cu jumătate dintre elementele seriei de distribuție. Mediana dă ideea generala despre unde sunt concentrate valorile caracteristicii, cu alte cuvinte, unde se află centrul lor.
Natura descriptivă a mediei se manifestă prin faptul că caracterizează limita cantitativă a valorilor atributului variabil, care sunt deținute de jumătate din unitățile populației. Problema găsirii medianei pentru o serie variațională discretă este rezolvată simplu. Dacă tuturor unităților seriei li se dau numere de serie, atunci numărul de serie al variantei mediane este definit ca (n + 1) / 2 cu un număr impar de membri n. Dacă numărul de membri ai seriei este un număr par, atunci mediana va fi media a două variante cu numere de serie n/ 2 și n/ 2 + 1.
Atunci când se determină mediana în seria de variații de interval, se determină mai întâi intervalul în care se află (intervalul median). Acest interval se caracterizează prin faptul că suma sa acumulată de frecvențe este egală cu sau depășește jumătate din suma tuturor frecvențelor seriei. Calculul medianei seriei de variații de interval se efectuează conform formulei
Unde X0 este limita inferioară a intervalului; h– valoarea intervalului; fm– frecvența intervalului; f este numărul de membri ai seriei;
M -1 - suma membrilor acumulați ai seriei premergătoare acesteia.
Împreună cu mediana pentru mai mult caracteristici complete structurile populației studiate folosesc și alte valori ale opțiunilor care ocupă o poziție destul de definită în seria clasată. Acestea includ quartilesȘi decile. Quartilele împart seria prin suma frecvențelor în 4 părți egale, iar decilele - în 10 părți egale. Există trei quartile și nouă decile.
Mediana și modul, spre deosebire de media aritmetică, nu sting diferențele individuale în valorile unui atribut variabil și, prin urmare, sunt caracteristici suplimentare și foarte importante ale populației statistice. În practică, ele sunt adesea folosite în locul mediei sau împreună cu aceasta. Este deosebit de oportun să se calculeze mediana și modul în acele cazuri când populația studiată conține un anumit număr de unități cu o valoare foarte mare sau foarte mică a atributului variabil. Aceste valori ale opțiunilor, care nu sunt foarte caracteristice pentru populație, deși afectează valoarea mediei aritmetice, nu afectează valorile medianei și ale modului, ceea ce face din acestea din urmă indicatori foarte valoroși pentru analiza economică și statistică. .
