Când lucrăm cu diverse expresii care includ numere, litere și variabile, trebuie să facem performanță număr mare operatii aritmetice. Când facem o conversie sau calculăm o valoare, este foarte important să urmărim ordinea corectă a acestor acțiuni. Cu alte cuvinte, operațiile aritmetice au propria lor ordine specială de execuție.
Yandex.RTB R-A-339285-1
În acest articol vă vom spune ce acțiuni trebuie făcute mai întâi și care după. Mai întâi, să ne uităm la câteva expresii simple care conțin doar variabile sau valori numerice, precum și semne de împărțire, înmulțire, scădere și adunare. Apoi să luăm exemple cu paranteze și să ne gândim în ce ordine ar trebui calculate. În a treia parte vom oferi ordinea necesară a transformărilor și calculelor în acele exemple care includ semne de rădăcini, puteri și alte funcții.
Definiția 1În cazul expresiilor fără paranteze, ordinea acțiunilor este determinată fără ambiguitate:
- Toate acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta.
- Mai întâi facem împărțirea și înmulțirea, iar apoi scăderea și adunarea.
Sensul acestor reguli este ușor de înțeles. Ordinea tradițională de scriere de la stânga la dreapta definește succesiunea de bază a calculelor, iar necesitatea de a înmulți sau împărți mai întâi este explicată prin însăși esența acestor operații.
Să luăm câteva sarcini pentru claritate. Am folosit doar cele mai simple expresii numerice, astfel încât toate calculele să poată fi făcute mental. Astfel, vă puteți aminti rapid ordinea dorită și puteți verifica rapid rezultatele.
Exemplul 1
Stare: calculează cât va fi 7 − 3 + 6 .
Soluţie
Nu există paranteze în expresia noastră, nu există nici înmulțire și împărțire, așa că efectuăm toate acțiunile în ordinea specificată. Mai întâi scadem trei din șapte, apoi adăugăm șase la restul și ajungem la zece. Iată o transcriere a întregii soluții:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Răspuns: 7 − 3 + 6 = 10 .
Exemplul 2
Stare:în ce ordine trebuie efectuate calculele în expresie? 6:2 8:3?
Soluţie
Pentru a răspunde la această întrebare, să recitim regula pentru expresiile fără paranteze pe care am formulat-o mai devreme. Avem aici doar înmulțirea și împărțirea, ceea ce înseamnă că păstrăm ordinea scrisă a calculelor și numărăm secvențial de la stânga la dreapta.
Răspuns: Mai întâi împărțim șase la doi, înmulțim rezultatul cu opt și împărțim numărul rezultat la trei.
Exemplul 3
Stare: calculați cât va fi 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.
Soluţie
Mai întâi, să determinăm ordinea corectă a operațiilor, deoarece avem aici toate tipurile de bază de operații aritmetice - adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să împărțim și să înmulțim. Aceste acțiuni nu au prioritate una față de alta, așa că le executăm în ordinea scrisă de la dreapta la stânga. Adică, 5 trebuie înmulțit cu 6 pentru a obține 30, apoi 30 împărțit la 3 pentru a obține 10. După aceea, împărțiți 4 la 2, acesta este 2. Să înlocuim valorile găsite în expresia originală:
17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2
Nu mai există împărțire sau înmulțire aici, așa că facem calculele rămase în ordine și obținem răspunsul:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Răspuns:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.
Până când ordinea efectuării acțiunilor este bine memorată, puteți pune numere deasupra semnelor operațiilor aritmetice care indică ordinea de calcul. De exemplu, pentru problema de mai sus am putea scrie astfel:
Dacă avem expresii literale, apoi facem la fel cu ele: mai întâi înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem.
Care sunt acțiunile din prima și a doua etapă?
Uneori, în cărțile de referință, toate operațiile aritmetice sunt împărțite în acțiuni din prima și a doua etapă. Să formulăm definiția necesară.
Operațiile primei etape includ scăderea și adunarea, a doua - înmulțirea și împărțirea.
Cunoscând aceste nume, putem scrie regula dată anterior cu privire la ordinea acțiunilor astfel:
Definiția 2
Într-o expresie care nu conține paranteze, trebuie mai întâi să efectuați acțiunile etapei a doua în direcția de la stânga la dreapta, apoi acțiunile primei etape (în aceeași direcție).
Ordinea calculelor în expresii cu paranteze
Parantezele în sine sunt un semn care ne spune ordinea dorită a acțiunilor. În acest caz regula corectă se poate scrie asa:
Definiția 3
Dacă în expresie există paranteze, atunci primul pas este efectuarea operației în ele, după care înmulțim și împărțim, apoi adunăm și scădem de la stânga la dreapta.
În ceea ce privește expresia parantetică în sine, aceasta poate fi considerată ca parte integrantă a expresiei principale. La calcularea valorii expresiei dintre paranteze, menținem aceeași procedură cunoscută nouă. Să ilustrăm ideea noastră cu un exemplu.
Exemplul 4
Stare: calculează cât va fi 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
Soluţie
Există paranteze în această expresie, așa că să începem cu ele. Mai întâi de toate, să calculăm cât va fi 7 − 2 · 3. Aici trebuie să înmulțim 2 cu 3 și să scădem rezultatul din 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Calculăm rezultatul în a doua paranteză. Acolo avem o singură acțiune: 6 − 4 = 2 .
Acum trebuie să înlocuim valorile rezultate în expresia originală:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Să începem cu înmulțirea și împărțirea, apoi efectuăm scăderea și obținem:
5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6
Astfel se încheie calculele.
Răspuns: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Nu vă alarmați dacă starea noastră conține o expresie în care unele paranteze le încadrează pe altele. Trebuie doar să aplicăm regula de mai sus în mod consecvent tuturor expresiilor din paranteze. Să luăm această problemă.
Exemplul 5
Stare: calculează cât va fi 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Soluţie
Avem paranteze între paranteze. Începem cu 3 + 1 + 4 · (2 + 3), și anume 2 + 3. Va fi 5. Valoarea va trebui înlocuită în expresie și calculată că 3 + 1 + 4 · 5. Ne amintim că mai întâi trebuie să înmulțim și apoi să adăugăm: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Înlocuind valorile găsite în expresia originală, calculăm răspunsul: 4 + 24 = 28 .
Răspuns: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.
Cu alte cuvinte, atunci când calculăm valoarea unei expresii care include paranteze în paranteze, începem cu parantezele interioare și ne îndreptăm spre cele exterioare.
Să presupunem că trebuie să aflăm cât va fi (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1. Începem cu expresia din parantezele interioare. Deoarece 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1, expresia originală poate fi scrisă ca (4 + (4 + 1) − 1) − 1. Privind din nou parantezele interioare: 4 + 1 = 5. Am ajuns la expresie (4 + 5 − 1) − 1 . Noi numărăm 4 + 5 − 1 = 8 și ca rezultat obținem diferența 8 - 1, al cărei rezultat va fi 7.
Ordinea calculului în expresii cu puteri, rădăcini, logaritmi și alte funcții
Dacă condiția noastră conține o expresie cu un grad, rădăcină, logaritm sau functie trigonometrica(sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sau alte funcții, atunci în primul rând calculăm valoarea funcției. După aceasta, acționăm conform regulilor specificate în paragrafele precedente. Cu alte cuvinte, funcțiile sunt egale ca importanță cu expresia cuprinsă între paranteze.
Să ne uităm la un exemplu de astfel de calcul.
Exemplul 6
Stare: aflați cât este (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.
Soluţie
Avem o expresie cu grad, a cărei valoare trebuie găsită mai întâi. Numărăm: 6 2 = 36. Acum să substituim rezultatul în expresie, după care va lua forma (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7.
(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13
Răspuns: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
Într-un articol separat dedicat calculării valorilor expresiilor, oferim altele, mai multe exemple complexe calcule în cazul expresiilor cu rădăcini, grade etc. Vă recomandăm să vă familiarizați cu acesta.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor... au fost implicate în studiul problemei; analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu viteza constanta. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar nu este solutie completa probleme. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ce vreau să subliniez o atenție deosebită, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalii vorbitoriși maimuțe dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o așezăm pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: pe diferite monede există cantități diferite murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cel mai mult intrebare interesanta: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiați o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme diferiteÎn calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un număr mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
-Tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
Ordinea acțiunilor - Matematică clasa a III-a (Moro)
Scurtă descriere:
În viață, faci în mod constant diverse acțiuni: te ridici, te speli pe față, faci exerciții, ia micul dejun, mergi la școală. Crezi că este posibil să schimbi această procedură? De exemplu, ia micul dejun și apoi spală-te pe față. Probabil posibil. Poate că nu este foarte convenabil să iei micul dejun dacă nu ești spălat, dar nu se va întâmpla nimic rău din această cauză. La matematică, este posibil să schimbi ordinea operațiilor la discreția ta? Nu, matematica este o știință exactă, așa că chiar și cele mai mici modificări ale procedurii vor duce la faptul că răspunsul expresiei numerice va deveni incorect. În clasa a II-a te-ai familiarizat deja cu unele reguli de procedură. Deci, probabil vă amintiți că ordinea în execuția acțiunilor este guvernată de paranteze. Ele arată ce acțiuni trebuie finalizate mai întâi. Ce alte reguli de procedură există? Este diferită ordinea operațiilor în expresiile cu și fără paranteze? Veți găsi răspunsuri la aceste întrebări în manualul de matematică de clasa a III-a când studiați subiectul „Ordinea acțiunilor”. Trebuie neapărat să exersați aplicarea regulilor pe care le-ați învățat și, dacă este necesar, să găsiți și să corectați erorile în stabilirea ordinii acțiunilor în expresii numerice. Vă rugăm să rețineți că ordinea este importantă în orice afacere, dar la matematică este deosebit de importantă! 
Alcătuirea unei expresii cu paranteze
1. Alcătuiește expresii cu paranteze din următoarele propoziții și rezolvă-le.
Din numărul 16, scădeți suma numerelor 8 și 6.
Din numărul 34, scădeți suma numerelor 5 și 8.
Scădeți suma numerelor 13 și 5 din numărul 39.
Diferența dintre numerele 16 și 3 se adaugă la numărul 36
Adăugați diferența dintre 48 și 28 la 16.
2. Rezolvați problemele compunând mai întâi expresiile corecte, apoi rezolvându-le succesiv:
2.1. Tata a adus o pungă de nuci din pădure. Kolya a luat 25 de nuci din pungă și le-a mâncat. Apoi Masha a luat 18 nuci din pungă. Mama a luat și 15 nuci din geantă, dar a pus 7 la loc. Câte nuci au rămas în pungă până la urmă dacă au fost 78 la început?
2.2. Maistrul repara piese. La începutul zilei de lucru erau 38. În prima jumătate a zilei a putut repara 23 dintre ele. După-amiaza i-au adus aceeași sumă pe care o aveau chiar la începutul zilei. În a doua jumătate, a reparat alte 35 de piese. Câte piese mai are de reparat?
3. Rezolvați exemplele corect urmând succesiunea de acțiuni:
45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 - 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 - 12: 4
18: 3 - 5 + 6 * 8
Rezolvarea expresiilor cu paranteze
1. Rezolvați exemplele deschizând corect parantezele:
1 + (4 + 8) = | 8 - (2 + 4) = | 3 + (6 - 5) = | 59 + 25 = |
82 + 14 = | 29 + 52 = | 18 + 47 = | 39 + 53 = |
37 + 53 = | 25 + 63 = | 87 + 17 = | 19 + 52 = |
2. Rezolvați exemplele corect urmând succesiunea de acțiuni:
2.1. 36: 3 + 12 * (2 - 1) : 3
2.2. 39 - (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 - 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 - 4
3. Rezolvați problemele compunând mai întâi expresiile corecte, apoi rezolvându-le succesiv:
3.1. În depozit erau 25 de pachete cu pudră de spălat. 12 pachete au fost duse la un magazin. Apoi aceeași sumă a fost dusă la al doilea magazin. După aceea, au fost aduse în depozit de 3 ori mai multe pachete decât înainte. Câte pachete de pudră sunt în stoc?
3.2. La hotel au fost cazați 75 de turiști. În prima zi au plecat din hotel 3 grupuri de câte 12 persoane, iar 2 grupuri de câte 15 persoane au sosit. În a doua zi, alți 34 de persoane au plecat. Câți turiști au rămas în hotel la sfârșitul a 2 zile?
3.3. Au adus 2 saci de haine la curățătorie, câte 5 articole în fiecare pungă. Apoi au luat 8 lucruri. După-amiaza au mai adus încă 18 articole pentru spălat. Și au luat doar 5 articole spălate. Câte articole sunt în curățătorie la sfârșitul zilei dacă erau 14 articole la începutul zilei?
FI _________________________________
21: 3 * 6 - (18 + 14) : 8 = | 63: (81: 9) + (8 * 7 - 2) : 6 = | 64:2: 4+ 9*7-9*1= |
37 *2 + 180: 9 – 36: 12 = | 52 * 10 – 60: 15 * 1 = | 72: 4 +58:2= |
5 *0: 25 + (72: 1 – 0) : 9 = | 21: (3 * 7) – (7* 0 + 1)*1 = | 6:6+0:8-8:8= |
91: 7 + 80: 5 – 5: 5 = | 64:4 - 3*5 +80:2= | (19*5 – 5) : 30 = |
19 + 17 * 3 – 46 = | (39+29) : 4 + 8*0= | (60-5) : 5 +80: 5= |
54 – 26 + 38: 2 = | 63: (7*3) *3= | (160-70) : 18 *1= |
200 – 80: 5 + 3 * 4 = | (29+25): (72:8)= | 72:25 + 3* 17= |
80: 16 + 660: 6 = | 3 * 290 – 800= | 950:50*1-0= |
(48: 3) : 16 * 0 = | 90-6*6+29= | 5* (48-43) +15:5*7= |
54: 9 *8 - 14: 7 * 4 = | 63: 7*4+70:7 * 5= | 24: 6*7 - 7*0= |
21: 7 * 8 + 32: 8 * 4 = | 27: 3* 5 + 26-18 *4= | 54: 6*7 - 0:1= |
45: 9 * 6 + 7 * 5 – 26 = | 28: 7 *9 + 6 * (54 – 47)= | 6*(9: 3) - 40:5 = |
21 * 1 - 56: 7 – 8 = | 9 * (64: 8) - 18:18 | 3 *(14: 2) - 63:9= |
4 * 8 + 42: 6 *5 = | 0*4+0:5 +8* (48: 8)= | 56:7 +7*6 - 5*1= |
31 * 3 - 17 – 80: 16 * 1 = | 57:19 *32 - 11 *7= | 72-96:8 +60:15 *13= |
36 + 42: 3 + 23 + 27 *0 = | 56:14 *19 - 72:18= | (86-78:13)* 4= |
650 – 50 * 4 + 900: 100 = | 630: 9 + 120 * 5 + 40= | 980 – (160 + 20) : 30= |
940 - (1680 – 1600) * 9 = | 29* 2+26 – 37:2= | 72:3 +280: (14*5)= |
300: (5 *60) * (78: 13) = | 63+ 100: 4 – 8*0= | 84:7+70:14 – 6:6= |
45: 15 – 180: 90 + 84: 7 = | 32+51 + 48:6 * 5= | 54:6 ?2 – 70:14= |
38: 2 – 48: 3 + 0 * 9 = | 30:6 * 8 – 6+3*2= | (95:19) *(68:2)= |
(300 - 8 * 7) * 10 = | 1:1 - 0*0 + 1*0 - 1*1= | (80: 4 – 60:30) *5 = |
2 * (120: 6 – 80: 20) = | 56:4+96:3- 0*7= | 20+ 20: 4 - 1*5= |
(18 + 14) : 8 – (7 *0 + 1) *1 = | (8*7-2):6 +63: (7*3)= | (50-5) : 5+21: (3*7)= |
19 + 17 * 3 – 60: 15 * 1 = | 80: 5 +3*5 +80:2= | 54: 9 *8-64:4 +16*0= |
72 * 10 - 64: 2: 4 = | 84 – 36 + 38:2 | 91:13+80:5 – 5:5 |
300 – 80: 5 + 6 * 4 = | 950:190 *1+14: 7*4= | (39+29) : 17 + 8*0= |
(120 - 30) : 18 * 1- 72: 25 = | 210:30*60-0:1= | 90-6*7+3* 17= |
240: 60 *7 – 7 * 0 = | 60:60+0:80-80:80= | 720: 40 +580:20= |
9 *7 – 9 *1 + 5 * 0: 25 = | 21: 7 * 6 +32: 4 *5= | 80:16 +66:6 -63:(81:9)= |
(19 * 5 – 5) : 30 + 70: 7 = | 15:5*7 + 63: 7 * 5= | 54: 6 * 7 - (72:1-0):9= |
3 *290 – 600 – 5 * (48 – 43) = | (300-89*7)*10 - 3?2= | (80: 4) +30*2+ 180: 9= |
30: 6 * 8 – 6 + 48: 3 + 0 *9 = | (95:19) *(68:34) - 60:30*5= | 27: 3*5 - 48:3= |
3* 290 – 800 + 950: 50 = | 80:16 +660:6*1-0= | 90-6*6+ 15:5*7= |
5*(48 - 43) + (48: 3) :16*0= | 280: (14*5) +630: 9*0= | 300: (50*6)* (78: 6)= |
Dacă există un semn de întrebare (?) în exemple, acesta trebuie înlocuit cu semnul * - înmulțire.
1. REZOLVA EXPRESII:
35: 5 + 36: 4 - 3
26 + 6 x 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 x 6
9 x 6 – 3 x 6 + 19 – 27:3
2. REZOLVA EXPRESII:
48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 x 4
17 + 24: 3 x 4 – 27: 3 x 2 6 x 4: 3 + 54: 6: 3 x 6 + 2 x 9
100 – 6 x 2: 3 x 9 – 39 + 7 x 4
3. REZOLVA EXPRESII:
100 – 27: 3 x 6 + 7 x 4
2 x 4 + 24: 3 + 18: 6 x 9 9 x 3 – 19 + 6 x 7 – 3 x 5
7 x 4 + 35: 7 x 5 – 16: 2: 4 x 3
4. REzolvați expresiile:
32: 8 x 6: 3 + 6 x 8 – 17
5 x 8 – 4 x 7 + 13 - 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 x 7
21: 3 – 35: 7 + 9 x 3 + 9 x 5
5. REZOLVA EXPRESII:
42: 7 x 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 x 3
6 x 6 + 30: 5: 2 x 7 - 19 90 - 7 x 5 – 24: 3 x 5
6 x 5 – 12: 2 x 3 + 49
6. REzolvați expresiile:
32: 8 x 7 + 54: 6: 3 x 5
50 – 45: 5 x 3 + 16: 2 x 5 8 x 6 + 23 – 24: 4 x 3 + 17
48: 6 x 4 + 6 x 9 – 26 + 13
7. REZOLVA EXPRESII:
42: 6 + (19 + 6) : 5 – 6 x 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 x 4 + 25 (27 – 19) x 4 + 18: 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74) : 2 x 7 + 7 x 4 - (63 – 27): 4
8. REZOLVA EXPRESII:
90 – (40 – 24: 3) : 4 x 6 + 3 x 5
3 x 4 + 9 x 6 – (27 + 9) : 4 x 5
(50 – 23) : 3 + 8 x 5 – 6 x 5 + (26 + 16) : 6
(5 x 6 – 3 x 4 + 48: 6) + (82 – 78) x 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5
9. REZOLVA EXPRESII:
9 x 6 – 6 x 4: (33 – 25) x 7
3 x (12 – 8) : 2 + 6 x 9 - 33 (5 x 9 - 25) : 4 x 8 – 4 x 7 + 13
9 x (2 x 3) – 48: 8 x 3 + 7 x 6 - 34
10. REZOLVA EXPRESII:
(8 x 6 – 36:6) : 6 x 3 + 5 x 9
7 x 6 + 9 x 4 – (2 x 7 + 54: 6 x 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 x 4
(7 x 4 + 33) – 3 x 6:2
11. REZOLVA EXPRESII:
(37 + 7 x 4 – 17) : 6 + 7 x 5 + 33 + 9 x 3 – (85 – 67) : 2 x 5
5 x 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 x 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31) : 6
12. REZOLVA EXPRESII:
(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 x 5 – (60 – 42) : 3 + 9 x 2
(9 x 7 + 56: 7) – (2 x 6 – 4) x 3 + 54: 9
13. REZOLVA EXPRESII:
(8 x 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 x 5 + (13 – 5) x 4 + 5 x 4
(7 x 8 – 14:7) + (7 x 4 + 12:6) – 10:5 + 63:9
Testul „Ordinea operațiilor aritmetice” (1 opțiune)
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
110 – (60 +40) :10 x 8
a) 800 b) 8 c) 30
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
3 4 6 5 1 2
5. În care dintre expresii se află ultima acțiune înmulțire?
a) 1001:13 x (318 +466) :22
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. În care dintre expresii se află prima acțiune scădere?
a) 2025:5 – (524 – 24:6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5
Alegeți răspunsul corect:
9. 90 – (50- 40:5) x 2+ 30
a) 56 b) 92 c) 36
10. 100- (2x5+6 - 4x4) x2
a) 100 b) 200 c) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
a) 106 b) 205 c) 0
12. 150: (80 – 60:2) x 3
a) 9 b) 45 c) 1
Testul „Ordinea operațiilor aritmetice”
1(1b)
2(1b)
3(1b)
4(3b)
5(2b)
6(2b)
7(1b)
8(1b)
9(3b)
10(3b)
11(3b)
12(3b)
1. Ce acțiune din expresie vei face mai întâi?
560 – (80+20) :10 x7
a) adunare b) împărțire c) scădere
2. Ce acțiune în aceeași expresie vei face al doilea?
a) scăderea b) împărțirea c) înmulțirea
3. Alegeți răspunsul corect la această expresie:
a) 800 b) 490 c) 30
4. Alegeți aranjamentul corect al acțiunilor:
a) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15) c) 320: 8 x 7 + 9x (240 – 60:15)
3 4 6 5 2 1
b) 320: 8 x 7 + 9 x (240 – 60:15)
5. În care dintre expresii se află ultima diviziune de acțiune?
a) 1001:13 x (318 +466) :22
b) 391 x37:17 x (2248:8 – 162)
c) 10000 – (5 x 9+56 x 7) x2
6. În care dintre expresii este prima adunare de acțiune?
a) 2025:5 – (524 + 24 x6) x45
b) 5870 + (90-50 +30) x8 -90
c) 5400:60 x (3600:90 -90)x5
7. Alegeți afirmația corectă: „Într-o expresie fără paranteze, acțiunile sunt efectuate:”
a) în ordinea b) x și: , apoi + și - c) + și -, apoi x și:
8. Alegeți afirmația corectă: „Într-o expresie cu paranteze, acțiunile sunt efectuate:”
a) mai întâi între paranteze b)x și:, apoi + și - c) în ordinea scrisului
Alegeți răspunsul corect:
9. 120 – (50- 10:2) x 2+ 30
a) 56 b) 0 c) 60
10. 600- (2x5+8 - 4x4) x2
a) 596 b) 1192 c) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
a) 106 b) 203 c) 0
12. 160: (80 – 80:2) x 3
a) 120 b) 0 c) 1
Pe această lecție Ordinea efectuării operațiilor aritmetice în expresii fără și cu paranteze este discutată în detaliu. Elevii au posibilitatea, în timp ce îndeplinesc temele, să stabilească dacă semnificația expresiilor depinde de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice, să afle dacă ordinea operațiilor aritmetice este diferită în expresiile fără paranteze și cu paranteze, să exerseze aplicarea regula învăţată, pentru a găsi şi corecta erorile făcute la determinarea ordinii acţiunilor.
În viață, facem constant un fel de acțiune: mergem, studiem, citim, scriem, numărăm, zâmbim, ne certam și ne împăcăm. Efectuăm aceste acțiuni în diferite ordine. Uneori pot fi schimbate, alteori nu. De exemplu, când te pregătești de școală dimineața, poți mai întâi să faci exerciții, apoi să-ți faci patul sau invers. Dar nu poți merge mai întâi la școală și apoi te îmbraci.
În matematică, este necesar să se efectueze operații aritmetice într-o anumită ordine?
Să verificăm
Să comparăm expresiile:
8-3+4 și 8-3+4
Vedem că ambele expresii sunt exact aceleași.
Să efectuăm acțiuni într-o expresie de la stânga la dreapta, iar în cealaltă de la dreapta la stânga. Puteți folosi numere pentru a indica ordinea acțiunilor (Fig. 1).
Orez. 1. Procedura
În prima expresie, vom efectua mai întâi operația de scădere și apoi vom adăuga numărul 4 la rezultat.
În a doua expresie, găsim mai întâi valoarea sumei, apoi scădem rezultatul rezultat 7 din 8.
Vedem că semnificațiile expresiilor sunt diferite.
Să conchidem: Ordinea operațiilor aritmetice nu poate fi schimbată.
Să învățăm regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze.
Dacă o expresie fără paranteze include doar adunarea și scăderea sau doar înmulțirea și împărțirea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care sunt scrise.
Să exersăm.
Luați în considerare expresia
Această expresie conține doar operații de adunare și scădere. Aceste acțiuni sunt numite acțiuni de primă etapă.
Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 2).
Orez. 2. Procedura
Luați în considerare a doua expresie
Această expresie conține doar operații de înmulțire și împărțire - Acestea sunt acțiunile din a doua etapă.
Efectuăm acțiunile de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 3).
Orez. 3. Procedura
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea?
Dacă o expresie fără paranteze include nu numai operațiile de adunare și scădere, ci și de înmulțire și împărțire, sau ambele operații, atunci mai întâi efectuați în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.
Să ne uităm la expresie.
Să gândim așa. Această expresie conține operațiile de adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să aranjam ordinea acțiunilor.
Să calculăm valoarea expresiei.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă într-o expresie există paranteze?
Dacă o expresie conține paranteze, valoarea expresiilor din paranteze este evaluată mai întâi.
Să ne uităm la expresie.
30 + 6 * (13 - 9)
Vedem că în această expresie există o acțiune între paranteze, ceea ce înseamnă că vom efectua mai întâi această acțiune, apoi înmulțirea și adunarea în ordine. Să aranjam ordinea acțiunilor.
30 + 6 * (13 - 9)
Să calculăm valoarea expresiei.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Cum ar trebui să se stabilească corect ordinea operațiilor aritmetice într-o expresie numerică?
Înainte de a începe calculele, trebuie să vă uitați la expresie (aflați dacă conține paranteze, ce acțiuni conține) și abia apoi să efectuați acțiunile în următoarea ordine:
1. acțiuni scrise între paranteze;
2. înmulțirea și împărțirea;
3. adunarea și scăderea.
Diagrama vă va ajuta să vă amintiți această regulă simplă (Fig. 4).
Orez. 4. Procedura
Să exersăm.
Să luăm în considerare expresiile, să stabilim ordinea acțiunilor și să efectuăm calcule.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Vom acționa conform regulii. Expresia 43 - (20 - 7) +15 conține operații între paranteze, precum și operații de adunare și scădere. Să stabilim o procedură. Prima acțiune este de a efectua operația între paranteze, iar apoi, în ordine de la stânga la dreapta, scăderea și adunarea.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
Expresia 32 + 9 * (19 - 16) conține operații între paranteze, precum și înmulțirea și adunarea. Conform regulii, vom efectua mai întâi acțiunea din paranteze, apoi înmulțirea (înmulțim numărul 9 cu rezultatul obținut prin scădere) și adunarea.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
În expresia 2*9-18:3 nu există paranteze, dar există operații de înmulțire, împărțire și scădere. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scădem rezultatul obținut din împărțire din rezultatul obținut prin înmulțire. Adică prima acțiune este înmulțirea, a doua este împărțirea, iar a treia este scăderea.
2*9-18:3=18-6=12
Să aflăm dacă ordinea acțiunilor din următoarele expresii este corect definită.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Să gândim așa.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
Nu există paranteze în această expresie, ceea ce înseamnă că mai întâi facem înmulțirea sau împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea sau scăderea. În această expresie, prima acțiune este împărțirea, a doua este înmulțirea. A treia acțiune ar trebui să fie adunarea, a patra - scăderea. Concluzie: procedura este determinată corect.
Să găsim valoarea acestei expresii.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Să continuăm să vorbim.
A doua expresie contine paranteze, ceea ce inseamna ca mai intai executam actiunea intre paranteze, apoi, de la stanga la dreapta, inmultirea sau impartirea, adaugarea sau scaderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este împărțirea, a treia este adunarea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim valoarea expresiei.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Această expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi executăm acțiunea în paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Să verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este înmulțirea, a treia este scăderea. Concluzie: procedura este definită incorect. Să corectăm erorile și să găsim valoarea expresiei.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Să finalizăm sarcina.
Să aranjam ordinea acțiunilor în expresie folosind regula învățată (Fig. 5).
Orez. 5. Procedura
Nu vedem valori numerice, așa că nu vom putea găsi sensul expresiilor, dar vom exersa aplicarea regulii pe care am învățat-o.
Acționăm conform algoritmului.
Prima expresie conține paranteze, ceea ce înseamnă că prima acțiune este între paranteze. Apoi de la stânga la dreapta înmulțirea și împărțirea, apoi de la stânga la dreapta scăderea și adunarea.
A doua expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că facem prima acțiune între paranteze. După aceea, de la stânga la dreapta, înmulțirea și împărțirea, după aceea, scăderea.
Să ne verificăm singuri (Fig. 6).
Orez. 6. Procedura
Astăzi la clasă am aflat despre regula pentru ordinea acțiunilor în expresii fără și cu paranteze.
Referințe
- M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. - M.: „Iluminări”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M.: „Iluminări”, 2012.
- M.I. Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodice pentru profesor. clasa a III-a. - M.: Educație, 2012.
- Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M.: „Iluminismul”, 2011.
- „Școala Rusiei”: Programe pentru școală primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
- SI. Volkova. Matematică: Lucru de testare. clasa a III-a. - M.: Educație, 2012.
- V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Teme pentru acasă
1. Determinați ordinea acțiunilor în aceste expresii. Găsiți semnificația expresiilor.
2. Stabiliți în ce expresie se realizează această ordine de acțiuni:
1. înmulțire; 2. diviziune;. 3. adaos; 4. scădere; 5. adaos. Găsiți sensul acestei expresii.
3. Alcătuiți trei expresii în care se execută următoarea ordine a acțiunilor:
1. înmulțire; 2. adaos; 3. scădere
1. adaos; 2. scădere; 3. adaos
1. înmulțire; 2. diviziune; 3. adaos
Găsiți semnificația acestor expresii.
