Rădăcini raționale ale unei ecuații pătratice. Ecuații cuadratice. Ghidul cuprinzător (2019)

Continuăm să studiem subiectul „ rezolvarea ecuatiilor" Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și trecem la cunoștință ecuații pătratice.

Mai întâi ne vom uita la ce este o ecuație pătratică și cum este scrisă vedere generala, și vom da definiții aferente. După aceasta, vom folosi exemple pentru a examina în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, vom trece la rezolvarea ecuațiilor complete, vom obține formula rădăcinii, vom face cunoștință cu discriminantul unei ecuații pătratice și vom analiza soluții la exemple tipice. În cele din urmă, să urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem o conversație despre ecuațiile pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile aferente. După aceasta, puteți lua în considerare principalele tipuri ecuații pătratice: redus și neredus, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția menționată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numerele a, b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul lui x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul lui x și c este termenul liber .

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x −3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este egal cu −2, iar termenul liber este egal cu −3. Rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, atunci forma scurta scriind o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x−3=0, și nu 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Este demn de remarcat faptul că atunci când coeficienții a și/sau b sunt egali cu 1 sau −1, de obicei nu sunt prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, ceea ce se datorează particularităților scrierii astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0 coeficientul principal este unu, iar coeficientul lui y este egal cu −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică dată. În caz contrar, ecuația pătratică este neatins.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etc. – dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. A 5 x 2 −x−1=0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul principal, se poate trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca ea, nu are rădăcini.

Să ne uităm la un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Trebuie doar să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, astfel încât să putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, care este același, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 și apoi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de unde . Așa am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a≠0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c = 0 să fie pătratică, deoarece atunci când a = 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c = 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât individual, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Asemenea nume nu au fost date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din discuțiile următoare.

Dacă coeficientul b este zero, atunci ecuația pătratică ia forma a·x 2 +0·x+c=0 și este echivalentă cu ecuația a·x 2 +c=0. Dacă c=0, adică ecuația pătratică are forma a·x 2 +b·x+0=0, atunci poate fi rescrisă ca a·x 2 +b·x=0. Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete, iar x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

a·x 2 =0, îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
a x 2 +c=0 când b=0;
şi a·x 2 +b·x=0 când c=0.

Să examinăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 =0

Să începem cu rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a·x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin faptul că pentru orice număr p diferit de zero este valabilă inegalitatea p 2 >0, ceea ce înseamnă că pentru p≠0 egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.

Ca exemplu, dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 x 2 =0. Este echivalent cu ecuația x 2 =0, singura sa rădăcină este x=0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi scrisă după cum urmează:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete în care coeficientul b este zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
și împărțim ambele părți cu a, obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6, atunci ), nu este zero , deoarece prin condiția c≠0. Să ne uităm la cazuri separat.

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre , atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă; este numărul, deoarece . Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. Hai să o facem.

Să notăm rădăcinile ecuației tocmai anunțate ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2, diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice corecte, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 −x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea rezultată rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0, care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 =−x 1. Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Aceasta demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația care

nu are rădăcini dacă,
are două rădăcini și , dacă .

Să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0. După mutarea termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece partea dreaptă are un număr negativ, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7 = 0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Mutăm cele nouă în partea dreaptă: −x 2 =−9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0. Ecuațiile pătratice incomplete de forma a x 2 + b x = 0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0. Și această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații x=0 și a·x+b=0, cea din urmă fiind liniară și având rădăcina x=−b/a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 +b·x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scotând x din paranteze rezultă ecuația . Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvăm ecuația liniară rezultată: , și împărțim numărul mixt la fracție comună, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După dobândirea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zisul discriminant al unei ecuații pătratice. Intrarea înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este utilizată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, rezultând următoarea ecuație pătratică.
Acum să evidențiem Patrat perfect pe partea stângă: . După aceasta, ecuația va lua forma .
În această etapă, este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0.

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele precedente, când am examinat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4·a 2 este întotdeauna pozitiv, adică de semnul expresiei b 2 −4·a·c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminant al unei ecuații pătraticeși desemnat prin scrisoare D. De aici, esența discriminantului este clară - pe baza valorii și semnului său, ei ajung la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Să revenim la ecuație și să o rescriem folosind notația discriminantă: . Și tragem concluzii:

daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care pot fi rescrise sub forma sau, iar după extinderea și aducerea fracțiilor la un numitor comun obținem.

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4·a·c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii, corespunzătoare unei soluții unice a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, ceea ce ne duce dincolo de sfera programului școlar. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0, trebuie să:

folosind formula discriminantă D=b 2 −4·a·c, calculați valoarea acesteia;
concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, puteți folosi și formula; aceasta va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să considerăm soluții la trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce s-a ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Sa incepem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2·x−6=0.

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1, b=2 și c=−6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul; pentru a face acest lucru, înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină, obținem , aici puteți simplifica expresiile rezultate făcând deplasarea multiplicatorului dincolo de semnul rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5, b=6 și c=2. Substituim aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcini complexe sunt: .

Să remarcăm încă o dată că, dacă discriminantul unei ecuații pătratice este negativ, atunci la școală de obicei notează imediat un răspuns în care indică că nu există rădăcini reale și nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D=b 2 −4·a·c vă permite să obțineți o formulă de formă mai compactă, permițându-vă să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par pentru x (sau pur și simplu cu o coeficient având forma 2·n, de exemplu, sau 14·ln5=2·7·ln5). Hai să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x+c=0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), și apoi folosim formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 −a c ca D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 n va lua forma , unde D 1 =n 2 −a·c.

Este ușor de observat că D=4·D 1, sau D 1 =D/4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient 2·n, aveți nevoie

Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Să luăm în considerare rezolvarea exemplului folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică inițială sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aici a=5, n=−3 și c=−32 și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină adecvată:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui efectuată mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe să calculați rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule, nu strică să puneți întrebarea: „Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?” De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x−6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0.

De obicei, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior a fost posibilă simplificarea ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0.

Și înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se realizează prin numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6, atunci aceasta va lua forma mai simplă x 2 +4·x−18=0.

În concluzia acestui punct, observăm că ei scapă aproape întotdeauna de minus la cel mai mare coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei se trece de la ecuația pătratică −2 x 2 −3 x+7=0 la soluția 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema lui Vieta sunt de forma și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 = 0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este egală cu 7/3, iar produsul rădăcinilor este egal cu 22 /3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții ei: .

Bibliografie.

Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manual pentru elevi institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Doar. După formule și reguli clare, simple. La prima etapă

este necesar să aducem ecuația dată la o formă standard, adică. la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este să o faci corect

determinați toți coeficienții, A, bȘi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant . După cum puteți vedea, pentru a găsi X, noi

folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienţi din ecuație pătratică. Doar pune-l cu grijă

valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Inlocuim cu al lor semne!

De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c = -4.

Inlocuim valorile si scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, bȘi Cu. Sau mai degrabă, cu substituție

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. O înregistrare detaliată a formulei vine în ajutor aici

cu numere specifice. Dacă ai probleme cu calculele, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Descriem totul în detaliu, cu atenție, fără a rata nimic cu toate semnele și parantezele:

Ecuațiile cuadratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima numire. Nu fi leneș înainte rezolvarea unei ecuații pătratice aduceți-o la forma standard.

Ce înseamnă acest lucru?

Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c.

Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul.

Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficientul

x 2 +bx+c=0,

Apoix 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a≠1:

x 2 +bx+c=0,

împărțiți întreaga ecuație la A:

→ →

Unde x 1Și X 2 - rădăcinile ecuației.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuație cu numitor comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Dreapta.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații prin -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată prin

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

Nu au rădăcini;
Au exact o rădăcină;
Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

Daca D< 0, корней нет;
Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Din moment ce aritmetica Rădăcină pătrată există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - în ecuațiile pătratice incomplete nu există calcule complexe. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să privim totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, definiți termenii însoțitori, analizați schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, faceți cunoștință cu formula rădăcinilor și discriminantului, stabiliți conexiuni între rădăcini și coeficienți, și bineînțeles că vom oferi o soluție vizuală exemplelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c– unele numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece în esență o ecuație pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 coeficientul principal este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește o formă scurtă a formei 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul principal este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

Pe baza valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Să dăm exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Apoi obținem: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, din moment ce or a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bȘi c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă- o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bȘi c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă– o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact aceste nume.

Când b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0Și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuație – incompletă.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

a x 2 = 0, această ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
a · x 2 + c = 0 la b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 =0

După cum am menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților bȘi c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi transformată într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x 2 = 0 acesta este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0 există o singură rădăcină x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția este scrisă după cum urmează:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c = 0

Urmează pe linie soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în cel opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

transfer cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, ajungem cu x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente; în consecință, ecuația rezultată este, de asemenea, echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea de concluzii despre rădăcinile ecuației. Din ceea ce sunt valorile AȘi c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1Și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = − 2Și c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Nu este greu de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda contradicției. Pentru început, să definim notațiile pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1Și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1Și − x 1. Știm că înlocuind în ecuație X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1Și − x 1 scriem: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 = - c a . Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem un termen de egalitate corect cu termen dintr-un altul, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Folosim proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele de mai sus rezultă că x 1 − x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0, care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1Și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a, care:

nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a > 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Să mutam termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = − 7.
Să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Ecuația trebuie rezolvată − x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți la − 1 , primim x 2 = 36. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: ecuație pătratică incompletă − x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x = 6 sau x = − 6.

Răspuns: x = 6 sau x = − 6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Să factorizăm polinomul care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0Și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0Și x = − b a.

Să întărim materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim o soluție la ecuația 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluţie

O vom scoate Xîn afara parantezelor obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrieți pe scurt soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi soluții la ecuații pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c– așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Ar fi util să înțelegem cum a fost derivată această formulă și cum să o aplici.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

împărțiți ambele părți ale ecuației la un număr A, diferit de zero, obținem următoarea ecuație pătratică: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Să selectăm pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
În cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Astfel, ajungem la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am examinat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

cu b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
când b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ecuația este x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, următoarele vor fi adevărate: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , care este același cu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (și, prin urmare, ecuația originală) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scris în partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă denumirea - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - pe baza valorii și semnului său, ei pot concluziona dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să formulăm din nou concluziile noastre:

Definiția 9

la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
la D > 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise sub forma: x = - b 2 · a + D 2 · a sau - b 2 · a - D 2 · a. Și, când deschidem modulele și aducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă determinarea ambelor rădăcini reale atunci când discriminantul este mai mare decât zero. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, dacă încercăm să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu necesitatea de a lua rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de sfera numerelor reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar acest lucru se face în general atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, înseamnă de obicei să nu căutați rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să determinați mai întâi discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale) și apoi să treceți la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantă;
la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - b 2 · a ;
pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice folosind formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm o soluție la exemplele pt sensuri diferite discriminant.

Exemplul 6

Trebuie să găsim rădăcinile ecuației x 2 + 2 x − 6 = 0.

Soluţie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = − 6. În continuare procedăm conform algoritmului, adică. Să începem calculul discriminantului, pentru care vom înlocui coeficienții a, b Și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci obținem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată prin eliminarea factorului din semnul rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Răspuns: x = 3,5.

Exemplul 8

Ecuația trebuie rezolvată 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ÎN curiculumul scolar Nu există o cerință standard de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca fiind negativ, răspunsul este imediat scris că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, care să permită găsirea soluțiilor ecuațiilor pătratice cu coeficient par pentru x ( sau cu un coeficient de forma 2 · n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), iar apoi folosim formula rădăcinii:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a · c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 − a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

găsiți D 1 = n 2 − a · c ;
la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - n a;
pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluţie

Putem reprezenta al doilea coeficient al ecuației date ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, unde a = 5, n = − 3 și c = − 32.

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le determinăm folosind formula rădăcină corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 este în mod clar mai convenabil de rezolvat decât 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere coprime. Apoi, de obicei, împărțim ambele părți ale ecuației la cel mai mare divizor comun valorile absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să determinăm GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, ele se înmulțesc cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie în mai multe în formă simplă x 2 + 4 x − 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minus la primul coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice, deja cunoscută nouă, x = - b ± D 2 · a, exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții ei numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile formule sunt teorema lui Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 și produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

ÎN societate modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrat poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Dovada acestui lucru poate fi găsită în proiectarea navelor maritime și fluviale, a aeronavelor și rachetelor. Folosind astfel de calcule, traiectoriile de mișcare cele mai multe corpuri diferite, inclusiv obiectele spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în drumeții, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factorii ei componente

Se determină gradul ecuației valoare maximă gradul variabilei pe care o conține această expresie. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci expresiile indicate, indiferent de modul în care arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (o componentă liberă, adică număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care unui astfel de polinom îi lipsește unul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, valorile variabilelor în care sunt ușor de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă, mai precis ax 2 și bx, cel mai simplu mod de a găsi x este prin a scoate variabila dintre paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În continuare, devine evident că fie x=0, fie problema se rezumă la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub influența gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct luat drept origine a coordonatelor. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul care trece din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în mai mult cazuri dificile. Să ne uităm la exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice de acest tip.

X 2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătratic este complet. Mai întâi, să transformăm expresia și să o factorizăm. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. La factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x+1), (x-3) și (x+). 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Rădăcină pătrată

Un alt caz ecuație incompletă al doilea ordin este o expresie reprezentată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, se transferă termenul liber către partea dreapta, iar după aceea rădăcina pătrată este luată din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în în acest caz, Există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții pot fi egalitățile care nu conțin deloc un termen cu, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței terenului

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate a fost determinată în mare măsură de necesitatea de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice bazate pe probleme de acest gen.

Deci, să presupunem că există un teren dreptunghiular, a cărui lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului dacă știți că suprafața acestuia este de 612 m2.

Pentru a începe, să creăm mai întâi ecuația necesară. Să notăm cu x lățimea zonei, atunci lungimea acesteia va fi (x+16). Din cele scrise rezultă că aria este determinată de expresia x(x+16), care, conform condițiilor problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x(x+16) = 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este exact aceea, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite metode diferite.

Discriminant

În primul rând, să facem, atunci, transformările necesare aspect a acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie într-o formă corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta ar putea fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind un discriminant. Aici calculele necesare sunt produse după schema: D = b 2 - 4ac. Această mărime auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necesare într-o ecuație de ordinul doi, ci determină cantitatea opțiuni posibile. Dacă D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este egal cu: 256 - 4(-612) = 2704. Acest lucru sugerează că problema noastră are un răspuns. Dacă cunoașteți k, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua variantă în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile terenului nu pot fi măsurate în cantități negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 +16=34, iar perimetrul 2(34+ 18)=104(m2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Exemple și soluții detaliate ale mai multor dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Să mutam totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică vom obține tipul de ecuație care se numește de obicei standard și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Aceasta înseamnă că ecuația noastră va avea două rădăcini. Să le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea cu 1.

2) Acum să rezolvăm mistere de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini aici x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns cuprinzător, să reducem polinomul la forma obișnuită corespunzătoare și să calculăm discriminantul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece aceasta nu este deloc esența problemei. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice folosind formulele de mai sus și discriminantul, atunci când rădăcina pătrată este luată din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Ea poartă numele celui care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a conexiunilor la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că rădăcinile ecuației se adună numeric la -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Să folosim teorema lui Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După verificare, ne vom asigura că aceste valori variabile se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul parabolei și ecuația

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date mai devreme. Acum să ne uităm la câteva ghicitori matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de relație, desenată sub formă de grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite folosind formula tocmai dată x 0 = -b/2a. Și înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei, care aparține axei ordonatelor.

Intersecția ramurilor unei parabole cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să ne uităm la ele. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul parabolei puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și contrariul. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și rezolvați ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să construiești un grafic.

Din istorie

Folosind ecuații care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri nu numai că făceau calcule matematice și determinau ariile figurilor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru marile descoperiri în domeniile fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu patru secole înaintea erei noastre. Desigur, calculele lor erau radical diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități pe care orice școlar modern le cunoaște.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India Baudhayama a început să rezolve ecuații patratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de era lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.