Numerice și expresii algebrice. Conversia expresiei.

Ce este o expresie în matematică? De ce sunt necesare conversiile expresiilor?

Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Faptul este că aceste concepte stau la baza tuturor matematicii. Toată matematica constă din expresii și transformările lor. Nu foarte clar? Lasă-mă să explic.

Să presupunem că ai un exemplu rău. Foarte mare și foarte complex. Să zicem că ești bun la matematică și nu ți-e frică de nimic! Poti sa raspunzi imediat?

Va trebui rezolva acest exemplu. Secvenţial, pas cu pas, acest exemplu simplifica. De anumite reguli, firesc. Acestea. do conversia expresiei. Cât de bine realizați aceste transformări, deci sunteți puternic la matematică. Dacă nu știi să faci transformările corecte, la matematică nu poți face nimic...

Pentru a evita un viitor atât de incomod (sau prezent...), nu strică să înțelegi acest subiect.)

Pentru început, să aflăm ce este o expresie în matematică. Ce expresie numerică si ce este expresie algebrica.

Ce este o expresie în matematică?

Exprimarea în matematică este un concept foarte larg. Aproape tot ceea ce ne ocupăm în matematică este un set de expresii matematice. Orice exemple, formule, fracții, ecuații și așa mai departe - toate constă în expresii matematice.

3+2 este o expresie matematică. c 2 - d 2 este, de asemenea, o expresie matematică. Și o fracție sănătoasă și chiar un număr - toate acestea sunt expresii matematice. Ecuația, de exemplu, este:

5x + 2 = 12

constă din două expresii matematice legate printr-un semn egal. O expresie este în stânga, cealaltă este în dreapta.

LA vedere generala termen " expresie matematică" este folosit, cel mai adesea, pentru a nu bolborosi. Te vor întreba ce este o fracție obișnuită, de exemplu? Și cum să răspunzi?!

Răspunsul 1: „Este... m-m-m-m... asa ceva... in care... Pot sa scriu mai bine o fractiune? Pe care o vrei?"

Al doilea răspuns: " Fracție comună Aceasta este (cu bucurie și cu bucurie!) expresie matematică , care constă dintr-un numărător și un numitor!"

A doua opțiune este oarecum mai impresionantă, nu?)

În acest scop, sintagma „ expresie matematică „foarte bine. Atât corect, cât și solid. Dar pentru aplicare practică, trebuie să fii bine versat tipuri specifice de expresii în matematică .

Tipul specific este o altă problemă. aceasta cu totul altceva! Fiecare tip de expresie matematică are A mea un set de reguli și tehnici care trebuie utilizate în decizie. Pentru a lucra cu fracții - un set. Pentru lucrul cu expresii trigonometrice - a doua. Pentru lucrul cu logaritmi - al treilea. Si asa mai departe. Undeva aceste reguli coincid, undeva diferă puternic. Dar nu vă temeți de aceste cuvinte groaznice. Logaritmi, trigonometrie și alte lucruri misterioase pe care le vom stăpâni în secțiunile relevante.

Aici vom stăpâni (sau - repetați, după cum doriți...) două tipuri principale de expresii matematice. Expresii numerice și expresii algebrice.

Expresii numerice.

Ce expresie numerică? Acesta este un concept foarte simplu. Numele însuși sugerează că aceasta este o expresie cu numere. Așa este. O expresie matematică formată din numere, paranteze și semne ale operațiilor aritmetice se numește expresie numerică.

7-3 este o expresie numerică.

(8+3.2) 5.4 este de asemenea o expresie numerică.

Și acest monstr:

tot o expresie numerică, da...

număr obișnuit, fracție, orice exemplu de calcul fără x și alte litere - toate acestea sunt expresii numerice.

caracteristica principală numeric expresii din ea fara litere. Nici unul. Doar numere și pictograme matematice (dacă este necesar). E simplu, nu?

Și cu ce se poate face expresii numerice? Expresiile numerice pot fi de obicei numărate. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să deschideți paranteze, să schimbați semnele, să prescurtați, să schimbați termeni - de ex. do conversii de expresie. Dar mai multe despre asta mai jos.

Aici ne vom ocupa de un caz atât de amuzant când cu o expresie numerică nu trebuie să faci nimic. Ei bine, nimic! Această operațiune frumoasă A nu face nimic)- se execută atunci când expresia nu are sens.

Când nu are sens o expresie numerică?

Desigur, dacă vedem un fel de abracadabra în fața noastră, cum ar fi

atunci nu vom face nimic. Din moment ce nu este clar ce să faci cu el. Niște prostii. Cu excepția cazului în care, pentru a număra numărul de plusuri...

Dar în exterior există expresii destul de decente. De exemplu aceasta:

(2+3) : (16 - 2 8)

Cu toate acestea, această expresie este de asemenea nu are sens! Din simplul motiv că în a doua paranteză - dacă numărați - obțineți zero. Nu poți împărți la zero! Aceasta este o operație interzisă în matematică. Prin urmare, nici cu această expresie nu este nevoie să faceți nimic. Pentru orice sarcină cu o astfel de expresie, răspunsul va fi întotdeauna același: „Expresia nu are sens!”

Pentru a da un astfel de răspuns, desigur, a trebuit să calculez ce ar fi între paranteze. Și uneori între paranteze o astfel de răsucire... Ei bine, nu e nimic de făcut în privința asta.

Nu există atât de multe operații interzise în matematică. Există doar unul în acest thread. Impartirea cu zero. Interdicțiile suplimentare care apar în rădăcini și logaritmi sunt discutate în subiectele relevante.

Deci, o idee despre ce este expresie numerică- primit. concept expresia numerică nu are sens- realizat. Să mergem mai departe.

Expresii algebrice.

Dacă într-o expresie numerică apar litere, această expresie devine... Expresia devine... Da! Devine expresie algebrica. De exemplu:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Astfel de expresii se mai numesc expresii literale. Sau expresii cu variabile. Este practic același lucru. Expresie 5a +c, de exemplu - atât literal cât și algebric și expresie cu variabile.

concept expresie algebrica - mai larg decât numeric. Aceasta includeși toate expresiile numerice. Acestea. o expresie numerică este și o expresie algebrică, doar fără litere. Fiecare hering este un pește, dar nu orice pește este un hering...)

De ce literal- Este curat. Ei bine, din moment ce există litere... Expresie expresie cu variabile de asemenea, nu foarte perplex. Dacă înțelegi că numerele sunt ascunse sub litere. Tot felul de numere pot fi ascunse sub litere ... Și 5, și -18, și orice doriți. Adică o scrisoare poate a inlocui pe numere diferite. De aceea se numesc literele variabile.

În expresie y+5, de exemplu, la- variabil. Sau doar spune " variabil", fără cuvântul „valoare”. Spre deosebire de cele cinci, care este o valoare constantă. Sau pur și simplu - constant.

Termen expresie algebricaînseamnă că pentru a lucra cu această expresie, trebuie să folosiți legile și regulile algebră. Dacă aritmetic funcționează cu numere specifice, atunci algebră- cu toate numerele deodată. Un exemplu simplu pentru clarificare.

În aritmetică, se poate scrie asta

Dar dacă scriem o egalitate similară prin expresii algebrice:

a + b = b + a

vom decide imediat Toata lumeaîntrebări. Pentru toate numerele accident vascular cerebral. Pentru un număr infinit de lucruri. Pentru că sub litere Ași b subînțeles Toata lumea numere. Și nu numai numere, ci chiar și alte expresii matematice. Așa funcționează algebra.

Când nu are sens o expresie algebrică?

Totul este clar despre expresia numerică. Nu poți împărți la zero. Și cu litere, este posibil să aflăm cu ce împărțim?!

Să luăm ca exemplu următoarea expresie variabilă:

2: (A - 5)

Are sens? Dar cine îl cunoaște? A- orice număr...

Oricare, orice... Dar există un singur sens A, pentru care această expresie exact nu are sens! Și care este acel număr? Da! Sunt 5! Dacă variabila Aînlocuiți (se spune - „înlocuitor”) cu numărul 5, între paranteze, va ieși zero. care nu poate fi divizat. Deci, se dovedește că expresia noastră nu are sens, dacă a = 5. Dar pentru alte valori A are sens? Puteți înlocui alte numere?

Desigur. În astfel de cazuri, se spune pur și simplu că expresia

2: (A - 5)

are sens pentru orice valoare A, cu excepția a = 5 .

Întregul set de numere poate sa substitut în expresia dată se numește regiune valori admise această expresie.

După cum puteți vedea, nu este nimic dificil. Ne uităm la expresia cu variabile și ne gândim: la ce valoare a variabilei se obține operația interzisă (diviziunea la zero)?

Și apoi asigurați-vă că vă uitați la întrebarea sarcinii. Ce intreaba ei?

nu are sens, valoarea noastră interzisă va fi răspunsul.

Dacă întreabă la ce valoare a variabilei expresia are sensul(simți diferența!), răspunsul va fi toate celelalte numere cu excepția celor interzise.

De ce avem nevoie de sensul expresiei? El este acolo, nu este... Care este diferența?! Cert este că acest concept devine foarte important în liceu. Foarte important! Aceasta este baza unor astfel de concepte solide, cum ar fi domeniul de valori valide sau domeniul de aplicare al unei funcții. Fără aceasta, nu veți putea rezolva deloc ecuații sau inegalități serioase. Ca aceasta.

Conversia expresiei. Transformări de identitate.

Ne-am familiarizat cu expresiile numerice și algebrice. Înțelegeți ce înseamnă expresia „expresia nu are sens”. Acum trebuie să ne dăm seama ce conversia expresiei. Răspunsul este simplu, scandalos.) Aceasta este orice acțiune cu o expresie. Si asta e. Tu faci aceste transformări încă de la prima clasă.

Luați expresia numerică cool 3+5. Cum poate fi convertit? Da, foarte usor! Calculati:

Acest calcul va fi transformarea expresiei. Puteți scrie aceeași expresie într-un mod diferit:

Nu am numărat nimic aici. Doar scrieți expresia într-o formă diferită. Aceasta va fi, de asemenea, o transformare a expresiei. Se poate scrie asa:

Și aceasta este, de asemenea, transformarea unei expresii. Puteți face oricâte dintre aceste transformări doriți.

Orice acţiune asupra unei expresii orice scrierea lui într-o formă diferită se numește transformare de expresie. Și toate lucrurile. Totul este foarte simplu. Dar este un lucru aici regula foarte importanta. Atât de important încât poate fi apelat în siguranță regula principala toată matematica. Încălcarea acestei reguli inevitabil duce la erori. înțelegem?)

Să presupunem că ne-am transformat expresia în mod arbitrar, astfel:

Transformare? Desigur. Am scris expresia într-o formă diferită, ce este greșit aici?

Nu e așa.) Cert este că transformările "tot ceea ce" matematica nu este deloc interesată.) Toată matematica este construită pe transformări în care aspectul se schimbă, dar esența expresiei nu se schimbă. Trei plus cinci pot fi scrise sub orice formă, dar trebuie să fie opt.

transformări, expresii care nu schimbă esența numit identic.

Exact transformări identiceși permiteți-ne, pas cu pas, să ne transformăm exemplu complexîntr-o expresie simplă, păstrând esența exemplului. Dacă greșim în lanțul transformărilor, vom face o transformare NU identică, atunci vom decide un alt exemplu. Cu alte răspunsuri care nu au legătură cu cele corecte.)

Aici este regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: respectarea identității transformărilor.

Am dat un exemplu cu o expresie numerică 3 + 5 pentru claritate. În expresiile algebrice, transformările identice sunt date prin formule și reguli. Să presupunem că există o formulă în algebră:

a(b+c) = ab + ac

Deci, în orice exemplu, putem în loc de expresie a(b+c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie ab+ac. Si invers. aceasta transformare identică. Matematica ne oferă posibilitatea de a alege dintre aceste două expresii. Și care să scrieți depinde de exemplul specific.

Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări este proprietatea de bază a unei fracții. Puteți vedea mai multe detalii la link, dar aici reamintesc doar regula: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr sau cu o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica. Iată un exemplu de transformări identice pentru această proprietate:

După cum probabil ați ghicit, acest lanț poate fi continuat la nesfârșit...) O proprietate foarte importantă. Acesta vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)

Există multe formule care definesc transformări identice. Dar cel mai important - o sumă destul de rezonabilă. Una dintre transformările de bază este factorizarea. Este folosit în toate matematicile - de la elementar la avansat. Să începem cu el. în lecția următoare.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.

De exemplu, în expresia 3+x, numărul 3 poate fi înlocuit cu suma 1+2 , care are ca rezultat expresia (1+2)+x , care este identic egală cu expresia originală. Un alt exemplu: în expresia 1+a 5 gradul a 5 poate fi înlocuit cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a·a 4 . Aceasta ne va da expresia 1+a·a 4 .

Această transformare este, fără îndoială, artificială și este de obicei o pregătire pentru o transformare ulterioară. De exemplu, în suma 4·x 3 +2·x 2 , ținând cont de proprietățile gradului, termenul 4·x 3 poate fi reprezentat ca un produs 2·x 2 ·2·x . După o astfel de transformare, expresia originală va lua forma 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Evident, termenii din suma rezultată au un factor comun 2 x 2, deci putem efectua următoarea transformare - paranteze. După aceasta, vom ajunge la expresia: 2 x 2 (2 x+1) .

Adunarea și scăderea aceluiași număr

O altă transformare artificială a unei expresii este adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp. O astfel de transformare este identică, deoarece este, de fapt, echivalentă cu adăugarea zero, iar adăugarea zero nu schimbă valoarea.

Luați în considerare un exemplu. Să luăm expresia x 2 +2 x . Dacă adăugați unul și scădeți unul, atunci acest lucru vă va permite să efectuați o altă transformare identică în viitor - selectați pătratul binomului: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Ministerul Educației al Republicii Belarus

instituție educațională

„Gomel Universitate de stat lor. F. Skaryna"

Facultatea de Matematică

Departamentul MPM

Transformări identice ale expresiilor și metode de predare a elevilor cum să le execute

Executor testamentar:

Student Starodubova A.Yu.

supraveghetor:

Cand. fizica si matematica Științe, conf. Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Introducere

1 Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii aplicării transformărilor

Concluzie

Literatură

Introducere

Cele mai simple transformări ale expresiilor și formulelor, bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice, se realizează în școală primară si clasele a V-a si a VI-a. Formarea deprinderilor și abilităților de a efectua transformări are loc în cursul algebrei. Aceasta este legată atât de creșterea bruscă a numărului și varietatea transformărilor efectuate, cât și de complicarea activităților de fundamentare a acestora și de clarificare a condițiilor de aplicabilitate, cu identificarea și studiul conceptelor generalizate de identitate, transformare identică, transformare echivalentă.

1. Principalele tipuri de transformări și etapele studiului lor. Etapele stăpânirii aplicării transformărilor

1. Începuturile algebrei

Se folosește un sistem nepartiționat de transformări, reprezentat de regulile pentru efectuarea acțiunilor asupra uneia sau ambelor părți ale formulei. Scopul este de a obține fluență în efectuarea sarcinilor de rezolvare a celor mai simple ecuații, simplificarea formulelor care definesc funcțiile, în efectuarea rațională a calculelor pe baza proprietăților acțiunilor.

Exemple tipice:

Rezolvarea ecuațiilor:

A) ; b) ; în) .

Transformarea identității (a); echivalent și identic (b).

2. Formarea deprinderilor pentru aplicarea unor tipuri specifice de transformări

Concluzii: formule de înmulțire prescurtate; transformări asociate cu exponentiație; transformări asociate cu diverse clase de funcţii elementare.

Organizarea unui sistem holistic de transformări (sinteză)

Scopul este formarea unui aparat flexibil și puternic adecvat pentru a fi utilizat în rezolvarea unei varietăți de sarcini educaționale.. Trecerea la această etapă se realizează în timpul repetării finale a cursului în cursul înțelegerii materialului deja cunoscut învățat pe părți, pentru anumite tipuri de transformări, la tipurile studiate anterior se adaugă transformări ale expresiilor trigonometrice. Toate aceste transformări pot fi numite „algebrice” iar transformările „analitice” le includ pe cele bazate pe regulile de diferențiere și integrare și transformări ale expresiilor care conțin pasaje la limită. Diferența de acest tip constă în natura mulțimii prin care parcurg variabilele în identități (anumite seturi de funcții).

Identitățile studiate sunt împărțite în două clase:

I sunt identități de multiplicare abreviate valabile într-un inel comutativ și identități

echitabil în domeniu.

II - identități care leagă operațiile aritmetice și funcțiile elementare de bază.

2 Caracteristici ale organizării sistemului de sarcini în studiul transformărilor identice

Principiul de bază al organizării unui sistem de sarcini este de a le prezenta de la simplu la complex.

Ciclu de exerciții- îmbinarea în succesiunea exercițiilor a mai multor aspecte ale studiului și metodelor de aranjare a materialului. Când se studiază transformări identice, ciclul de exerciții este legat de studiul unei identități, în jurul căreia sunt grupate alte identități, care se află într-o legătură firească cu aceasta. Alcătuirea ciclului, împreună cu sarcinile executive, include sarcini, impunând recunoașterea aplicabilității identității avute în vedere. Identitatea studiată este utilizată pentru a efectua calcule pe diverse domenii numerice. Sarcinile din fiecare ciclu sunt împărțite în două grupuri. La primul include sarcinile efectuate în timpul cunoașterii inițiale cu identitatea. Ei servesc material educațional pentru mai multe lecții consecutive, unite printr-o singură temă.

A doua grupă exercițiul leagă identitatea studiată cu diverse aplicații. Acest grup nu formează o unitate compozițională - exercițiile de aici sunt împrăștiate pe diverse subiecte.

Structurile ciclului descrise se referă la stadiul formării deprinderilor de aplicare a transformărilor specifice.

În stadiul de sinteză, ciclurile se schimbă, grupurile de sarcini sunt combinate spre complicare și comasare a ciclurilor legate de diferite identități, ceea ce crește rolul acțiunilor de recunoaștere a aplicabilității uneia sau alteia identități.

Exemplu.

Ciclul sarcinii de identitate:

I grup de sarcini:

a) prezent sub forma unui produs:

b) Verificați corectitudinea egalității:

c) Extindeți parantezele în expresia:

.

d) Calculați:

e) factorizați:

e) simplificați expresia:

.

Elevii tocmai s-au familiarizat cu formularea identității, înregistrarea ei sub formă de identitate și dovada.

Sarcina a) este legată de fixarea structurii identității studiate, de stabilirea unei legături cu multimi numerice(compararea structurilor de semne ale identității și expresiei în curs de transformare; înlocuirea unei litere cu un număr în identitate). În ultimul exemplu, acesta trebuie încă redus la forma studiată. În exemplele următoare (e și g), există o complicație cauzată de rolul aplicat al identității și de complicarea structurii semnului.

Sarcinile de tip b) vizează dezvoltarea abilităților de substituție pe . Rolul sarcinii c) este similar.

Exemple de tip d), în care se cere alegerea uneia dintre direcțiile de transformare, completează dezvoltarea acestei idei.

Sarcinile grupului I sunt concentrate pe stăpânirea structurii identității, a operațiunii de substituție în cazurile cele mai simple, fundamental cele mai importante, și a ideii de reversibilitate a transformărilor efectuate de identitate. Îmbogățirea limbajului înseamnă arătarea diferitelor aspecte ale identității este, de asemenea, foarte importantă. O idee despre aceste aspecte este dată de textele sarcinilor.

Grupa II de sarcini.

g) Folosind identitatea pentru , factorizați polinomul .

h) Eliminați iraționalitatea în numitorul fracției.

i) Demonstrați că dacă este un număr impar, atunci este divizibil cu 4.

j) Funcția este dată de expresia analitică

.

Scăpați de semnul modulo luând în considerare două cazuri: , .

l) Rezolvați ecuația .

Aceste misiuni vizează utilizare deplinăși ținând cont de specificul acestei identități particulare, sugerați formarea deprinderilor în utilizarea identității studiate pentru diferența de pătrate. Scopul este de a aprofunda înțelegerea identității, luând în considerare diferitele aplicații ale acesteia în situatii diferite, combinat cu utilizarea materialelor legate de alte subiecte ale cursului de matematică.

sau .

Caracteristici ale ciclurilor de locuri de muncă legate de identități pentru funcții elementare:

1) sunt studiate pe baza materialului funcțional;

2) identitățile primului grup apar mai târziu și sunt studiate folosind abilitățile deja formate pentru realizarea transformărilor identice.

Primul grup de sarcini ale ciclului ar trebui să includă sarcini pentru a stabili o conexiune între aceste noi zone numerice și zona originală a numerelor raționale.

Exemplu.

Calculati:

;

.

Scopul unor astfel de sarcini este de a stăpâni caracteristicile înregistrărilor, inclusiv simbolurile de noi operațiuni și funcții, și de a dezvolta abilități de vorbire matematică.

O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Secvența de pași:

a) găsiți o funcție φ pentru care ecuația dată f(x)=0 poate fi reprezentată ca:

b) faceți o substituție y=φ(x) și rezolvați ecuația

c) rezolvați fiecare dintre ecuațiile φ(x)=y k , unde y k este mulțimea rădăcinilor ecuației F(y)=0.

Când se utilizează metoda descrisă, pasul b) este adesea efectuat implicit, fără a introduce o notație pentru φ(x). În plus, elevii preferă adesea căi diferite, conducând la găsirea răspunsului, alegeți-l pe cel care duce rapid și ușor la o ecuație algebrică.

Exemplu. Rezolvați ecuația 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (pasul a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0. (pasul b)

Exemplu. Rezolvați ecuația:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Sugerați pentru auto-decizie.)

Clasificarea sarcinilor în cicluri legate de rezolvarea ecuațiilor transcendente, inclusiv functie exponentiala:

1) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x \u003d y 0 și au un răspuns simplu, general sub formă:

2) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x = a k , unde k este un număr întreg, sau a x = b, unde b≤0.

3) ecuații care se reduc la ecuații de forma a x =y 0 și necesită o analiză explicită a formei în care numărul y 0 este scris explicit.

De mare beneficiu sunt sarcinile în care transformări identice sunt utilizate pentru a reprezenta grafice în timp ce simplifică formulele care definesc funcțiile.

a) Trasează funcția y=;

b) Rezolvați ecuația lgx+lg(x-3)=1

c) pe ce mulțime este formula lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) o identitate?

Utilizarea transformărilor identice în calcule (J. Matematica la școală, nr. 4, 1983, p. 45)

Sarcina numărul 1. Funcția este dată de formula y=0,3x 2 +4,64x-6. Găsiți valorile funcției la x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Sarcina numărul 2. Calculați lungimea catetei unui triunghi dreptunghic dacă lungimea ipotenuzei acestuia este de 3,6 cm, iar celălalt catet este de 2,16 cm.

Sarcina numărul 3. Care este aria unei parcele dreptunghiulare având dimensiunile a) 0,64 m și 6,25 m; b) 99,8m și 2,6m?

a) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 \u003d (0,8 * 2,5) 2;

b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Aceste exemple dezvăluie uz practic transformări identice. Elevul trebuie să fie familiarizat cu condițiile de fezabilitate a transformării (vezi diagramele).

-

imaginea unui polinom, unde orice polinom se potrivește în contururi rotunde (Schema 1)

-

se dă condiția de fezabilitate a conversiei produsului unui monom și a unei expresii care permite conversia la diferența de pătrate. (schema 2)

-

aici, hașura înseamnă monomii egale și este dată o expresie care poate fi convertită într-o diferență de pătrate (Schema 3).

-

o expresie care permite înlăturarea unui factor comun.

Pentru a forma abilitățile elevilor în identificarea condițiilor, puteți folosi următoarele exemple:

Care dintre următoarele expresii poate fi transformată prin scoaterea din paranteze a factorului comun:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Majoritatea calculelor în practică nu îndeplinesc condițiile de fezabilitate, așa că elevii au nevoie de abilitățile pentru a le aduce la o formă care să permită calculul transformărilor. În acest caz, următoarele sarcini sunt adecvate:

când se studiază eliminarea unui factor comun din paranteze:

această expresie, dacă este posibil, se transformă într-o expresie, care este descrisă de schema 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Atunci când se formează conceptul de „transformare identică”, trebuie amintit că aceasta înseamnă nu numai că expresia dată și rezultată ca urmare a transformării au valori egale pentru orice valoare a literelor incluse în ea, dar de asemenea că în timpul transformării identice trecem de la expresia care determină un mod de evaluare, la o expresie care definește un alt mod de evaluare a aceleiași valori.

Este posibil să ilustrăm schema 5 (regula pentru transformarea produsului dintre un monom și un polinom) cu exemple

0,5a(b+c) sau 3,8(0,7+).

Exerciții pentru a învăța să puneți în paranteză factorul comun:

Calculați valoarea expresiei:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc la a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) cu a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Să ilustrăm cu exemple formarea deprinderilor și abilităților în calcule și transformări identice.(f. Matematica la scoala, nr. 5, 1984, p. 30)

1) aptitudinile și abilitățile sunt dobândite mai rapid și păstrate mai mult timp dacă formarea lor are loc pe o bază conștientă (principiul didactic al conștiinței).

1) Puteți formula o regulă de adunare a fracțiilor cu aceiași numitori sau în mod preliminar exemple concrete luați în considerare esența adunării părților egale.

2) La factorizarea prin scoaterea din paranteze a factorului comun, este important să vedeți acest factor comun și apoi să aplicați legea distribuției. La efectuarea primelor exerciții, este util să scrieți fiecare termen al polinomului ca produs, unul dintre ai cărui factori este comun tuturor termenilor:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Este deosebit de util să faceți acest lucru atunci când unul dintre monomiile polinomului este scos din paranteze:

II. Primul pas formarea abilităților - stăpânirea abilității (exercițiile sunt efectuate cu explicații și note detaliate)

(întâi se rezolvă întrebarea semnului)

Faza a doua- etapa de automatizare a deprinderii prin eliminarea unor operatii intermediare

III. Puterea abilităților este obținută prin rezolvarea de exemple care sunt diverse atât ca conținut, cât și ca formă.

Subiect: „Bracketing factorul comun”.

1. Notează multiplicatorul lipsă în loc de polinom:

2. Factorizați astfel încât înainte de paranteze să existe un monom cu coeficient negativ:

3. Factorizați astfel încât polinomul dintre paranteze să aibă coeficienți întregi:

4. Rezolvați ecuația:

IV. Formarea deprinderilor este cea mai eficientă în cazul executării orale a unor calcule sau transformări intermediare.

(oral);

V. Abilitățile și abilitățile formate ar trebui incluse în sistemul format anterior de cunoștințe, abilități și abilități ale elevilor.

De exemplu, atunci când învățați să factorizați polinoame folosind formule de înmulțire abreviate, sunt oferite următoarele exerciții:

Multiplica:

VI. Necesitatea efectuării raționale a calculelor și transformărilor.

în) simplificați expresia:

Raționalitatea constă în deschiderea parantezelor, pentru că

VII. Conversia expresiilor care conțin un grad.

№1011 (Alg.9) Simplificați expresia:

№1012 (Alg.9) Scoateți factorul de sub semnul rădăcinii:

№1013 (Alg.9) Introduceți un factor sub semnul rădăcină:

№1014 (Alg.9) Simplificați expresia:

În toate exemplele, efectuați preliminar fie factorizarea, fie eliminarea unui factor comun, fie „vedeți” formula de reducere corespunzătoare.

№1015 (Alg.9) Reduceți fracția:

Mulți elevi întâmpină unele dificultăți în transformarea expresiilor care conțin rădăcini, în special atunci când investighează egalitatea:

Prin urmare, fie descrieți în detaliu expresii ale formei sau sau mergi la un grad cu un exponent rațional.

№1018 (Alg.9) Aflați valoarea expresiei:

№1019 (Alg.9) Simplificați expresia:

2.285 (Scanavi) Simplificați expresia

și apoi grafică funcția y pentru

Nr. 2.299 (Skanavi) Verificați valabilitatea egalității:

Transformarea expresiilor care conțin un grad este o generalizare a deprinderilor și abilităților dobândite în studiul transformărilor identice ale polinoamelor.

Nr. 2.320 (Skanavi) Simplificați expresia:

În cursul Algebra 7, sunt date următoarele definiții.

Def. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru valorile variabilelor se spune că sunt identic egale.

Def. Egalitatea, adevărată pentru orice valori ale variabilelor numite. identitate.

№94(Alg.7) Este identitatea egalității:

A)

c)

d)

Definiția descrierii: Înlocuirea unei expresii cu o alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu o transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

№ (Alg.7) Printre expresii

găsiți cele care sunt identic egale cu .

Subiect: „Transformări identice ale expresiilor” (tehnica întrebării)

Prima temă din „Algebra-7” - „Expresii și transformările lor” ajută la consolidarea abilităților de calcul dobândite în clasele 5-6, la sistematizarea și generalizarea informațiilor despre transformările expresiilor și soluțiilor ecuațiilor.

Găsirea valorilor numerice și expresii literale dă posibilitatea de a repeta cu elevii regulile de acţiune cu numere raţionale. Abilitatea de a performa operatii aritmetice cu numere raționale sunt de bază pentru întregul curs de algebră.

Când se iau în considerare transformările expresiilor în mod formal, abilitățile operaționale rămân la același nivel care a fost atins în clasele 5-6.

Cu toate acestea, aici studenții se ridică la un nou nivel în stăpânirea teoriei. Sunt introduse conceptele de „expresii identice egale”, „identitate”, „transformări identice ale expresiilor”, al căror conținut va fi constant dezvăluit și aprofundat la studierea transformărilor diferitelor expresii algebrice. Se subliniază că baza transformărilor identice este proprietățile acțiunilor asupra numerelor.

La studierea temei „Polinoame”, se formează abilități formal-operaționale de transformări identice ale expresiilor algebrice. Formulele de înmulțire abreviate contribuie la procesul ulterioar de formare a abilităților de a efectua transformări identice ale expresiilor întregi, capacitatea de a aplica formule atât pentru înmulțirea prescurtată, cât și pentru factorizarea polinoamelor este folosită nu numai în transformarea expresiilor întregi, ci și în operații cu fracții, rădăcini, puteri cu exponent rațional .

În clasa a VIII-a, deprinderile dobândite de transformări identice se exersează pe acțiuni cu fracții algebrice, rădăcină pătratăși expresii care conțin puteri cu un exponent întreg.

În viitor, metodele transformărilor identice se reflectă în expresii care conțin un grad cu exponent rațional.

Un grup special de transformări identice sunt expresiile trigonometrice și expresiile logaritmice.

Rezultatele de învățare obligatorii pentru cursul de algebră din clasele 7-9 includ:

1) transformări identice ale expresiilor întregi

a) deschidere și bracketing;

b) reducerea termenilor similari;

c) adunarea, scăderea și înmulțirea polinoamelor;

d) factorizarea polinoamelor prin scoaterea din paranteze a factorului comun și formulele de înmulțire prescurtate;

e) descompunere trinom pătrat pentru multiplicatori.

„Matematica la școală” (B.U.M.) p.110

2) transformări identice ale expresiilor raționale: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor, precum și aplicarea deprinderilor enumerate la efectuarea transformărilor simple combinate [p. 111]

3) elevii ar trebui să fie capabili să efectueze transformări ale expresiilor simple care conțin grade și rădăcini. (pag. 111-112)

Au fost luate în considerare principalele tipuri de sarcini, capacitatea de rezolvare care permite elevului să obțină o evaluare pozitivă.

Unul dintre cele mai importante aspecte ale metodologiei de studiu a transformărilor identice este dezvoltarea de către studenți a obiectivelor de a efectua transformări identice.

1) - simplificarea valorii numerice a expresiei

2) care dintre transformări ar trebui efectuate: (1) sau (2) Analiza acestor opțiuni este o motivație (de preferință (1), deoarece în (2) zona de definiție este restrânsă)

3) Rezolvați ecuația:

Factorizarea în rezolvarea ecuațiilor.

4) Calculați:

Să aplicăm formula de înmulțire prescurtată:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Aflați valoarea expresiei:

Pentru a găsi valoarea, înmulțiți fiecare fracție cu conjugatul:

6) Trasează graficul funcției:

Să selectăm întreaga parte: .

Prevenirea erorilor la efectuarea transformărilor identice poate fi obținută prin diferite exemple de execuție a acestora. În acest caz, se elaborează tehnici „mici”, care, ca componente, sunt incluse într-un proces de transformare mai voluminos.

De exemplu:

În funcție de direcțiile ecuației, pot fi avute în vedere mai multe probleme: de la dreapta la stânga înmulțirea polinoamelor; de la stânga la dreapta - factorizare. Partea stângă este un multiplu al unuia dintre factorii din partea dreaptă și așa mai departe.

Pe lângă variația exemplelor, puteți utiliza apologie între identități și egalități numerice.

Următoarea mișcare- explicarea identităților.

Pentru a crește interesul studenților, se poate include căutarea diferite căi rezolvarea problemelor.

Lecțiile despre studiul transformărilor identice vor deveni mai interesante dacă le sunt dedicate găsirea unei soluții la o problemă .

De exemplu: 1) reduceți fracția:

3) demonstrați formula „radical complex”.

Considera:

Să transformăm partea dreaptă a egalității:

-

suma expresiilor conjugate. Ele ar putea fi înmulțite și împărțite cu conjugat, dar o astfel de operație ne va conduce la o fracție al cărei numitor este diferența radicalilor.

Rețineți că primul termen din prima parte a identității este un număr mai mare decât al doilea, așa că puteți pătra ambele părți:

Lecție practică №3.

Tema: Transformări identice ale expresiilor (tehnica întrebării).

Literatură: „Atelier despre MPM”, p. 87-93.

Un semn al unei culturi înalte a calculelor și transformărilor identice în rândul studenților este o cunoaștere solidă a proprietăților și algoritmilor operațiilor pe valori exacte și aproximative și aplicarea lor abil; metode raționale de calcule și transformări și verificarea acestora; capacitatea de a fundamenta aplicarea metodelor și regulilor de calcul și transformări, automatitatea abilităților de executare fără erori a operațiilor de calcul.

Din ce clasă ar trebui elevii să înceapă să lucreze la dezvoltarea acestor abilități?

Linia transformărilor identice ale expresiilor începe cu utilizarea metodelor de calcul rațional și începe cu utilizarea metodelor de calcul rațional al valorilor expresiilor numerice. (clasa 5)

Când studiați astfel de subiecte într-un curs de matematică școlar, ar trebui să le acordați atenție. Atentie speciala!

Implementarea conștientă a transformărilor identice de către elevi este facilitată de înțelegerea faptului că expresiile algebrice nu există de la sine, ci sunt indisolubil legate de o mulțime numerică, ele sunt înregistrări generalizate ale expresiilor numerice. Analogiile dintre expresiile algebrice și numerice (și transformările acestora) sunt legitime din punct de vedere logic, utilizarea lor în predare ajută la prevenirea greșelilor elevilor.

Transformările identitare nu sunt oricare un subiect separat curs școlar de matematică, acestea sunt studiate pe tot parcursul cursului de algebră și începutul calculului.

Programul de matematică pentru clasele 1-5 este un material propedeutic pentru studierea transformărilor identice ale expresiilor cu o variabilă.

În cursul algebrei 7 celule. sunt introduse definiţii ale identităţii şi transformărilor identitare.

Def. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valori ale variabilelor, numite. identic egale.

AOD. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.

Valoarea identității constă în faptul că permite înlocuirea unei expresii date cu o alta identic egală cu ea.

Def. Se numește înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta transformarea identităţii sau pur și simplu transformare expresii.

Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

Transformările echivalente pot fi considerate ca bază a transformărilor identice.

AOD. Două propoziții, fiecare fiind o consecință logică a celeilalte, numite. echivalent.

AOD. Propoziție cu variabilele A numită. consecință a propoziției cu variabilele B dacă regiunea de adevăr B este o submulțime a regiunii de adevăr A.

O altă definiție a propozițiilor echivalente poate fi dată: două propoziții cu variabile sunt echivalente dacă regiunile lor de adevăr sunt aceleași.

a) B: x-1=0 peste R; A: (x-1) 2 peste R => A~B deoarece regiunile de adevăr (soluții) coincid (x=1)

b) A: x=2 peste R; B: x 2 \u003d 4 peste R => zona de adevăr A: x \u003d 2; regiunea de adevăr B: x=-2, x=2; deoarece regiunea de adevăr A este cuprinsă în B, atunci: x 2 =4 este o consecință a propoziției x=2.

Baza transformărilor identice este posibilitatea de a reprezenta același număr în forme diferite. De exemplu,

-

o astfel de reprezentare va ajuta la studierea subiectului „proprietățile de bază ale unei fracții”.

Abilitățile de a efectua transformări identice încep să se formeze la rezolvarea unor exemple similare cu următoarele: „Găsiți valoarea numerică a expresiei 2a 3 + 3ab + b 2 cu a \u003d 0,5, b \u003d 2/3”, care sunt oferite elevilor. în clasa a 5-a și permit propedeutica să se realizeze conceptul de funcție.

Când se studiază formulele de înmulțire abreviată, trebuie să se acorde atenție înțelegerii profunde și asimilării lor puternice. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarea ilustrație grafică:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Întrebare: Cum să explicăm elevilor esența formulelor de mai sus conform acestor desene?

O greșeală comună este aceea de a confunda expresiile „suma pătrate” și „suma pătratelor”. Indicația profesorului că aceste expresii diferă în ordinea acțiunii nu pare semnificativă, întrucât elevii consideră că aceste acțiuni sunt efectuate pe aceleași numere și, prin urmare, rezultatul nu se schimbă de la schimbarea ordinii acțiunilor.

Sarcină: Compuneți exerciții orale pentru a dezvolta abilitățile elevilor de a utiliza cu acuratețe formulele de mai sus. Cum să explici cum aceste două expresii sunt similare și cum diferă una de cealaltă?

O mare varietate de transformări identice face dificilă orientarea elevilor către scopul pentru care sunt efectuate. Cunoașterea neclară a scopului efectuării transformărilor (în fiecare caz specific) afectează negativ conștientizarea acestora și servește drept sursă de erori masive ale elevilor. Acest lucru sugerează că explicarea studenților a obiectivelor efectuării diferitelor transformări identice este o parte importantă a metodologiei de studiere a acestora.

Exemple de motivații pentru transformări identice:

1. simplificarea găsirii valorii numerice a expresiei;

2. alegerea unei transformări a ecuației care să nu conducă la pierderea rădăcinii;

3. atunci când efectuați o transformare, puteți marca aria ei de calcul;

4. utilizarea transformărilor în calcul, de exemplu, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Pentru a gestiona procesul de decizie, este important ca profesorul să aibă capacitatea de a oferi o descriere exactă a esenței greșelii făcute de elev. Caracterizarea corectă a erorilor este cheia alegerea potrivita acțiunile de urmărire întreprinse de profesor.

Exemple de erori ale elevilor:

1. efectuarea înmulțirii: elevul a primit -54abx 6 (7 celule);

2. efectuând exponentiația (3x 2) 3, elevul a primit 3x 6 (7 celule);

3. transformând (m + n) 2 într-un polinom, elevul a primit m 2 + n 2 (7 celule);

4. reducerea fracției primite de elev (8 celule);

5. efectuarea scăderii: , studentul scrie (8 celule)

6. Reprezentând o fracție sub formă de fracții, elevul a primit: (8 celule);

7. Îndepărtarea rădăcină aritmetică elevul a primit x-1 (9 celule);

8. rezolvarea ecuaţiei (9 celule);

9. transformând expresia, elevul primeşte: (9 celule).

Concluzie

Studiul transformărilor identice se realizează în strânsă legătură cu mulțimile numerice studiate într-o clasă sau alta.

La început, elevul ar trebui să fie rugat să explice fiecare pas al transformării, să formuleze regulile și legile care se aplică.

În transformările identice ale expresiilor algebrice se folosesc două reguli: înlocuirea și înlocuirea cu egale. Cea mai des folosită substituție, deoarece numărarea formulelor se bazează pe aceasta, adică găsiți valoarea expresiei a*b cu a=5 și b=-3. Foarte des, elevii neglijează parantezele atunci când efectuează înmulțirea, crezând că semnul înmulțirii este subînțeles. De exemplu, o astfel de înregistrare este posibilă: 5*-3.

Literatură

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare”, Mn.. Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko „Erori tipice în testarea centralizată”, Mn.. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Sarcini-capcane privind testarea centralizată”, Mn.. Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov „Metode pentru rezolvarea problemelor trigonometrice”, Mn.. Aversev, 2005